1984高考数学全国卷及答案文
1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
（这份试题共八道大题，满分120分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写
在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出
的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分
1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y
2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ D ） （A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称 3复数i 23
2
1
-
的三角形式是 （ A ） （A ）)3
sin()3
cos(π-+π-i （B ）3
sin 3cos π+πi
（C ）3sin 3cos π-πi （D ）6
5sin 3cos π
+πi
4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ C ） （A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交 5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ A ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求
直接写出结果）
1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围
答：.22
3< 2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：π π4 3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值答：m=0,x=-2 1 . 4.求) 2)(1() ()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 的值 答：15．求6)12(x x -的展开式中x 的一次幂的系数答：240 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．画出方程y 2=-4x 的曲线 2．画出函数2 ) 1(1 +=x y 的图象 解： 四．（本题满 分12分） 已知等 差数列a,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的数列c b a 1 , 1 , 1不可能成等差数列 证：如果 c b a 1 , 1 , 1成等差数列，那么 , , , 1 1 1 1 c c b a b a b cb c b bc b a b c a b - = - - = - - = -得 两边乘以 即 又因为a,b,c成等差数列，且公差不为零，所以 .0 ≠ - = -c b b a由以上两式，可知. 1 1 c a = 两边都乘以a c，得a=c. 但由数列a,b,c的公差不为零，知a≠c，这就得出矛盾 从而 c b a 1 , 1 , 1不可能成等差数列 五．（本题满分14分） 把α - β - α -4 2 2cos sin 2 sin 4 1 1化成三角函数的积的形式(要求结果最简） ) - )sin( sin( 2 sin 2 sin 2 ( 2 cos 2 (2cos ) cos )(cos cos (cos cos cos ) cos (sin cos cos cos cos sin cos cos 2 sin 4 1 ) sin 1( : 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 β α β + α = α - β α + β - ? α - β α + β = α - β α + β = α - β = α + α α - β = α - α α - β = α - α - β - = 原式 解 六．（本题满分14分） 1 X 2．Y 如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积 解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直 如图，作△ABC 的高CE ，连结 DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，所以 ∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300 CE= AB AB CE DE AB tg AB =?=?==?2 33230cos ,23602 用S 截表示△ABD 的面积，则 .8,2 1 21322=∴=?= =AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则 S 底=.3164 3 2 12== ?AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3 3 6443163131 2cm DC S V =??=?=底三棱锥 七．（本题满分14分） 某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的 年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2. D B C 300 E A 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为 a 2,a 3, ….根据题意，数列{a n }是一个公比为1.2的等比数列，其通 项公式为12.12-?=n n a 根据题意，设122.121=?-n 两边取常用对数，得 84 .1010791 .07781 .0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg . 12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为x y 2.12?=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台答：略 八．（本题满分15分） 已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0. 1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程 1．解：把C 1的方程化为标准方程，得 .102,5,5315 45:2 21===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(- 把C 2的方程化为标准方程，得 .24,2,614 36)3(:2 22===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别 0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组???????????-=====--+=-+,2,3,2,3, 02769, 04592 222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2） 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 因为A ，B 两点在圆上，所以有 ? ? ?--===++-=+++133,0.01323, 01323D F E F E D F E D 解得 从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0 由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程 28,2056260 06912)422(50133)2 11( 222 2-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即 从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0. 解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2） 所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0) 由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以 01413:,2)3(4 1|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理 解得m=-1,或m=14. 当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是 x 2+y 2+2x-19=0; 当m=14时，圆的半径5 r，所求圆的方程是 5 x2+y2-28x+71=0.