高数红宝书——第六章_多元函数积分学

第六章多元函数积分学

2008考试内容

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分的应用

2008考试要求

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4.掌握计算两类曲线积分的方法。

5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公

式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。

7.了解散度与旋度的概念，并会计算。

8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、

质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。

关于平面积分（二重积分）和空间积分（三重积分、二类曲线积分和两类曲面积分）共六类积分的方法和技巧。

后积先定常数限，先积方向正直穿；

相交必须同一线，否则域内要分拆；

隐含边界辅助线，极坐标逆弧圆；

多种曲线同园拆，六大对称记心间；

三重积分切穿影，曲线曲面入路径；

闭线闭面高托格，开线开面三补全

开面锐正闭面外，正规区域一项算；

极柱球系雅换元，六类积分谙转换。

223

224

第一节多元函数积分学之一（平面积分或二重积分）

一、三基层面

1、性质与定理

①比较定理 ()()(),, D

f g f x y d g x y d d dxdy σσ

σ≤?

≤=????

②估值定理 ,M m 分别为(),f x y 在闭区域D 上的最大与最小值，A 为D 的面积，则

(

),D

m A f x y d s

M A

≤

≤?? ③中值定理

● (),f x y 在D 上连续，则(),D ξη?∈?

()(),,D

f x y ds f A ξη=??

● ()(),, ,f x y g x y 在D 上连续，则(),D ξη?∈?()()()(),,,,D

f x y f x y d f

g x y d σ

ξησ=????

④几何意义

(), D

f x y d σ

??等于以D 为底，以(), z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。

2、二重积分的六大对称性

如果积分区域D 具有轴或点对称（令1

D 表示D 的一半区域，即D 中对应0y ≥部分，余类

推），被积函数(), f x y 同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列六类对称性定理。

① D 关于X 轴对称（D 关于Y 轴对称类推）

②D 关于, X Y 都对称

(,),)f x y y ③D 关于原点对称

225

④当1D 和2D 关于坐标轴对称，对同一被积函数，则

⑤D 关于X a =轴对称

⑥ 适合六类积分。 ● 轮换对称性概念

如果将x 与y 及z 交换，即x y ? , y z ?，z x ?后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。

● 当区域具有轮换时，被积函数变量轮换后积分值不变。如

()a 区域关于,x y 轮换，则

()b 区域关于,,x y z 轮换

3、二重积分次序选择原则

①先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量；【例1】计算 22

, D

x I dxdy y

由22, =1,2xy y x x +==所围。

解：x 幂次高，所以先积y ?2

2:12,

1D x y x x

≤≤≤≤+

226

222

7 =

+arctan2-

x x I dxdy dx dy y

②若被积函数只有一个变量，就后积此变量；【例2】sin D

y I dxdy

，D 由2, y x x y ==所围。

解：被积函数只有一个变量y ，先积x 210

sin sin 1sin 1y

y y I dxdy dy dx y

=-??

③积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。 4、二重积分次序的更换方法→

后积先定常数限，先积方向正直穿；相交必须同一线，否则域内要分拆；隐含边界须周全，先后交点下上限；极坐标θ逆弧线，多种边界同园拆；

5、换元法技巧

以尽可能简便D 为出发点，再参考(),,f x y z 的特征。如球对称，用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。

()()()()

()

,,[,,,

],D

x y f

x y dxdy

f x u v y u v dudv u v *

?????

()()()()()

,,,,[,,,,,]

,,x y z f x y z dxdgdz f x u v w u v w dudvdw

u v w ξ*

?=???????

其中雅可比矩阵

()()()()

,1,,,x x x y u v u v y y u v u

v x y ???

???==

?????

? ?

????

6、莱布尼茨关于变限积分的求导公式

227

二、重要题型与解法秘诀

【例3】1D :12

111, 22, ()D x y I x

y dxdy -≤≤-≤≤=

+??

2D :2

222 01, 02, ()D x y I x y dxdy ≤≤≤≤=

+??

解：f 为偶函数数，1D 关于,x y 都对称，2D 正好是1D 的

，故

1221

4()4

D D

I I x y dxdy x dxdy y dxdy

dy x dx y dy dx ==

=????

【例4】计算 D

I xydxdy =

()()

()()()

121 :2 2 :2D x y x y

D x y

+=-+=

解：（1） D 关于,x y 对称

(),f x y xy =关于,x y 都是奇数0D

I xydxdy ?=

=??

（2）D 关于原点对称，()()()()(),,, ,f x y x y f x y xy f x y --=--==为偶函数，故

(),2D

x y d xyd σ

σ*

=??

??3

2sin cos 0

d dr π

θθ=??

【例5】更换积分次序

()()1

22,,010

I dx x y dy dx f

x y dy -=

+??

解：

101

: 0x D y ≤≤???

≤≤?? 及 212: 02x D y x

≤≤??

≤≤-?

作12D D 和图形，得：

(

)211

I dy f

x y d x -=

【例6】交换积分次序 ()()2

,,x x

I dx f x y dy dx f x y dy

解： 12

12x D x y x ≤≤??≤≤?

228

8x D x y ≤≤??≤≤? 画出12,D D 图形，得： (

)()4

,,y y

I dy f

x y dx dy f

x y dx =+?

228

【例7】更换积分次序 ()2s i n

, x I dx f x y dy π

解： ()()1arcsin 0

2arcsin 0

arcsin 1arcsin , , y

I dy f

x y dx dy f

x y dx πππ---+=

【例8】更换积分次序 ()c o s 20

,a I d f d π

θπ

ρθρ

解：如改为先θ后ρ则有下列两点技巧 ① D 的边界曲线全都用极坐标表示

② 若以原点o 为圆心的一系列同心圆与y 区域D 的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点

处用逆时针园弧线ρ=把ρ的区间分为两个正规区域：

12arccos arccos arccos 2

222 02a a a D D a π

ρρρθθρρ??

-≤≤-≤≤?

??≤≤≤≤?

(

)(

)cos 2cos

220

cos

2,,arc a arc a

arc a

I d f

d d f

d ρ

ρρθθ

ρρθθ-

能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；

使用极坐标方式有两种：()1原位法：cos sin x r y y θ

θ=??

=? 或()2平移法：00cos sin x x r y y y θθ

=+??=+?，选择的

原则是使被积函数容易积出，如果选择不当会使积分求解复杂。请反复研究【例9】

【例10】和【例11

】。【例9】计算 )12

I dx x

解：积分区域为：01

:1x D y ≤≤

???

≤≤

显然本题适合用极坐标，

cos 12sin

sin 42cos x r y r y r y r θθπθθ

?==-→=???

???

? ?=??

?=→=??交点坐标

由对称性⑤知：

2sin 2

440

228sin D I r rdr d r dr d π

θθθθ=?==????

001cos 21cos 4138212cos 28 2248d d π

θθπθθθ-+??????==-+=- ? ? ???????

229

解：2

:22R R D x y Rx x y ????+≤?-+= ? ?????

为偏心圆域，由于被积函数的特点，故可使用极坐

标，而这里有两种取法。如使用原位法，即 12

cos D : 0, 0cos sin 2

x r r R y y θπ

θθ

=??≤≤

≤≤?

=?，则

()1

c o 2

cos 3

22333

220

2212111422sin 233333R D R I d rdr

R r d R R d R π

θθ

θθθπ==??????=--?=-=- ? ?

?????

???????

如使用平移法，即 12cos D : 02, 02

sin R x r r R y y θθθ

+??≤≤≤≤

??=?

，本质上是把圆心平移到原点，则

22R D I d rdr

πθ==????

显然上述积分十分繁琐，本题不能使用平移法。但在别的场合，必须使用平移法以简便计算，因为平移法有个优点就是能使积分上下限常数化。参见下例。

【例11】求积分()2222111222 :0

D x y I x y x y dxdy D x y ?????-+-≤? ? ?

??????

=+--??+≥???

??。

解：方法一：平移法1cos 12

: 02, 012sin 2

x r D r y y θθπθ

=+???≤≤≤≤?

?=+?? (

)()

110 =02228D

D D

I x y x y

d x d y r r d r d r r d r d πθπθ

??????

=-=?+=- ?

? ??

????

??????注意：

230

方法二：原位法cos 3: , 0cos sin sin 44x r D r y y θππ

θθθ

θ=??-≤≤≤≤+?=?

()()2

cos sin 8

I x y x y

dxdy r r r

rdrd π

θθθ=

+--=

+-==

????

读者可以尝试计算上述积分，其中的计算过程要必平移法复杂得多！【例12】求球面 ()22220x y z a a ++=> 被平面 4

a z =和 2

a z =

所夹部分的表面积

解：

222222222

x y z a x y a a

z a z ?????++=+= ?

???

?????=???=?

2222

22444

x y z a

x y a a

z a z ???

??++=+= ? ???

???=???=?

上半球z =

x y z z =-

由于对称性

(

204 41 422

D D S d a

ρπρπ=====

????

【例13】 D I =

D 由4

236x y xy ??

+= ???

在第一象限所围成的区域。

解：由4

236x y xy ??

+= ???

解出,x y 相当困难，为此采取极坐标，令

2c o s 3s i n

x y ρθρθ?=?

?=??为广义极坐标，

则

231

4222222

sin cos sin cos 236x y xy ρρθθρθθ??+=?=?= ?

所研究的曲线在第一象限，于是0,sin cos 2πθρθθ?

∈?=???

解出,ρθ上下限， sin cos 00,

ρθθρθ=→=?=

()()

,2cos 4cos sin 12sin cos ,3sin 6sin cos x y J θρθθρθθρθ

ρθθ

?-=

==?

sin cos 222

sin cos sin cos 6 15

D I d d d d π

θθρθθρθ

θθρ

【例14】求椭球体的体积

2222

1x y z a

= （广义极坐标）

解：作广义极坐标变换cos sin x ar y br θθ

=??

?z ?= J abr =

再采用穿线法，有1

483

V d dr abc π

θπ==

???

【例15】计算

cos D

x y I dxdy

x y ??

-= ?+????

0, 0

x y D x y +=??

?所围区域。

解：令, u x y v x y =-=+

()()

,111,11,2

1x y J u v u v x y ?=

?-??

111

1cos

cos

2sin 1sin 0

D v

u u I dudv dv du vdv v

v v

-????

【例16】计算10

ln b a

x x I dx x

解：

110

0ln b a

y b x x I dx x dy dx a x

????

???()()1

l n 1l n 10

y b d y x d x b a

a ==+

-+??

232

【例17】

I =

102

x D y ?≤??

≤≤?? 解：题中2y x =为隐含边界

D D I =

115113

dx dx x π

--???? 【例18】 sin()D

I x y dxdy =+??

:0, 0D x y ππ

≤≤≤≤

解：1

sin()sin()D D I x y dxdy x y dxdy =

+????

【例19】 2

sgn()x y

I x y e

dxdy

+ 2:D x y ≤≤【例20】 34D

I x y dxdy =+??

:1D x y +≤

解：21

212

003cos 4sin 5sin()I d r r rdr d r dr π

πθθθθ?θ=+=+?

? 3a r c t a n 4?= 220

0551020

sin()sin sin 3

d d d πππθ?θθθθθ=

==?

? （利用0

()()())T

a T

f x a dx f x dx f x dx ++==??

?）

233

同步练习：

x y dxdy -??

22:1D x y +≤ 答案：

916

π。

【例21】计算2

x y I x y dxdy +≤=

+??

解：隐含边界为 0x y +=，令

()()()1213, | , 01

4437, |

, 014

4, | , 0144D D D ππρ??ρππ

ρ??ρππρ??ρ?

=-≤≤

≤≤??

=≤≤

≤≤???

=-≤≤≤≤??

()()()()()()()

121123

220 , =0 =4 , 4cos D

D D x y D D D D

D D D D D I x y dxdy x y dxdy x y dxdy x y dxdy

x y dxdy x y dxdy

x y dxdy D x y x y dxdy xdxdy D x y d π

??+≤?=?=-

+-+=+-

+??

=+-+ ?

??=??

?????????????? 因为关于都对称，所以因为关于具有轮换对称性

d ρρ=

【例22】()cos D

I x y d σ=

+??

，:D 由, 0, 2

y x y x π

===

所围。

解：隐含放边界 ()c o s 02

x y x y π

+=?+=

在图上画出此辅助线。用12

D 表示积分区域的下半部分，则：

()()()[]1

420

4420

2cos 2cos 2cos 21sin 21

D y

y I x y d dy x y dx

x y dy y dy ππ

ππ

σπ--=+=+=+=-=

-????????

【例23】计算{}2

1 : ,1D

I x

y dxdy D M ax x y =

--≤??。

解：隐含边界2222101x y x y --=?+=把区域D 的第一象限部分分为左右两子域12 D D 和

234

()()()()()()()1

222

112

001

=4141814

1814121

1384122244D D D D D D D D I x

y dxdy x y

dxdy x

dxdy

x y dxdy x

dxdy d d x dxdy

dy x dx π

θρ

ρρππ??=

-------=-----=---??=?

?---=- ???

????????????????

【例24】设区域D 由3,1,1y x y x ===-所围，试计算22

[1()]D

I x yf x y d δ=

++??

解：作辅助线3y x =-，则D 分为12D D 和。显然，1D 关于X 轴对称，2D 关于Y 轴对称。

[1()][1()]2 5

D D x x

D I x yf x

y d x yf x

y d xd xdx dy σσ

--=

+++

++=

???????

【例25】计算2

(

2sin 44)D

I x y d p

-++?? 222

:D x y a +=

解：由于D 关于X ，Y 轮换对称性，故

(

2sin 44)D

I x y d p

-++?? 中被积函数又可以轮换，积分值不变

又由于D 关于X ，Y 轴均对称，故

2sin 0D

xd σ

-=??

40D

yd σ

=??

222222

)42

111 ()()42111 ()4211 (

)44

D a x

I d d p

x y d a p q r dr a

p q a a

σσ

σπππ

π=+

=+++=++=

+????????

【例26】求{}22

m in ,x y

I x y e

d σ--=

()(),,x D y ∈-∞

+∞???∈-∞

+∞??

235

(

)

(

)

x y

y x y x

x y

I xe

d ye

d dy

dx dx

dy σσ

----≥<+∞

+∞-+-+-∞

-∞

=??

【例27】设二元函数(

)2, 1, 12x x y f x y x y ?+≤?

=<+≤，计算二重积分(),D f x y d σ??，其中 (){},|2D x y x y =+≤。

解：记(){}1,|1D x y x y =+≤，21D D D =-

()()(

))

1122112

0000

,,,4411

D D D D y x

x f x y d f x y d f x y d x d x dx dy dx dx σ

σσ

---=

??=+-

????

=+????????

?????

【例28】已知()()(

)

cos ln 1x t u I x du dt x x

；求()0

lim x I x →。

解：当0x

>时，记()()()

cos :02, 0ln 1D

t u dudt

D u x t I x x x -≤≤≤≤?=

+??

当0

x <时，记()()()

cos :20, 0ln 1D

t u dudt

D x u t I x x x --≤≤≤≤?=

+??

根据积分中值定理：

()()()222

cos cos cos 2

D D

t u dudt S x

ξηξη-=-?=-?

236

()()()()()2

cos 2

lim lim 2

cos 2

lim lim 2

lim 2

x x x x x x

I x x x

I x π

ξηπ

→→→→→-?

=-=

【例29】计算()(),D

I a f x y dxdy =??，其中：

()()22

, 0,:0, ,0, x x a y a D x y ax a f x y other

?≤≤≤?+≥>=?

??，求()

l i m

I a a +

→。

解：D 关于x 轴对称，(),f x y 关于y 是偶函数，则

()(

)

()()

c o s 20000

320

22cos 2231cos 3

34228

lim lim lim 2114

ln 12

a a D I a a a a I a xdxdy xdx dy d r rdr a a

a d a a a

a I a e

a a

θπ

θθπθθπ

→→→

==-

???

=-???=--

-===-

+???

???

【例30】求

()2

0y px p q y qx

=<<= 和

()0xy a a b xy b

=<<=所围D 的面积

解：作变换，令

, y

u xy v x

==，由此把原有的曲线区域变成矩形区域

()()

,1111,3,32,x y J u u y u v u

y y x

x y x x y

??-

()1

11ln

333

D b

q q S dxdy dudv dv du b a a

p u

-??????

【例31】设(), f x y 为恒大于零的连续函数，求证：()()

()2

1b b

f x dx dx b a f x ?≥-??

。

237

证明：采用二重积分的逆向思想。设 : , D a x b a y b ≤≤≤≤，

()()

()()()()

()()

()

()()

()()()

()()()()()()111

12111 22222

a a a a D

D D D D D

f x I f

x dx dx f

x dx dy dxdy f

x f

y f y f y I f

x dx dx f

y dy dx dxdy f

x f

x f x f y I dxdy dxdy f y f x f x f y f

x f y dxdy dxdy dxdy b f

y f

x f y f x =

??=+????

+≥??=

=-???????

????????()

【例32】计算{}, 1D

I M ax xy dxdy =

??，其中(){}, | 02, 02D x y x y =≤≤≤

≤。

解：用双曲线的上支将D 分成两块： ()()1122: 1, , : 1, , D xy x y D D D D D xy x y D

≤∈??=?=?

≥∈??

而1D 为非正规区域，过点1, 22

???

作平行于y 轴的直线，把1D 分为左右两个正规区域11D 和12D

{}1112

222

11102

, 11119 1ln 2

D D D x x

I M ax xy dxdy dxdy dxdy xy dxdy

dx dy xdx ydy =

=?+?+?=+

+????????????

【例33】设()f x 是区间[)0, +∞上具有连续导数的单调增加函数，且()01f =。对任意

[)0, t ∈+∞，直线0, x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成

的旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求()f x 。解：依题意得

()

()2

22t

f x f x dx ππ=??（也可使用古尔金第二定理） 0t =时，上述等式显然成立。现在上式两边对t 求导得

()

()()()

()()

()

(

)()

(

)

(

()()

010

0101

ln ln

f t f t

f f t

y f x

x x

f t f t f t

dy dx

y x c

y y

y x y e

y x x y e

f x y e e

?≥

=?≠

?=??????→=

=+=+

???→?

??=

?+=?+=

+=?=?-=

?==+

单增

又

【例34】设函数()

()

x y D

f x y

x y D

∈

，

[]

0, 1

?∈

∈

，求()()

x y t

F t f x y dxdy

+≤

=??。解：含参数的积分问题采用平移法决定参数的取值范围是作者的精妙秘诀。

平移法的思想是：先画出

D的区域图，再令0

x y

+=为基准直线，然后把该基准直线分

别平移到

D的全部边界点上，如本题，把基准直线0

x y

+=平移到边界点1

x=，得分界直线1

x y

+=，再把基准直线0

x y

+=平移到边界点()

1,1

x y

==，得分界直线2

x y

+=，于是得出所求积分关于参数t的三个分段点0, 1, 2

t=，所以有

()10

t≤()()

,00

f x y F t

=?=

()201

<≤，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线x y t

+=，该直线与x轴的交点为t，于是

()()

{}{}

t t x

x y t D

F t f x y dxdy dx dy t

+≤?

===

????

()312

<≤，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线x y t

+=，该直线与x轴的交点

在区域

D外，不可作为积分限，但该直线与1

y=交于()

1, 1

t-，为于是

()()

{}{}

()()

1111

00101

,2221242

t t x

t t

x y t D

F t f x y dxdy dy dx dx dy t t x dx t t

+≤?

==+=-+-=-+-???????

()42

t>，()()

{}{}

,22

x y t D

F t f x y dxdy dx dy

+≤?

===

????

238

239

第二节多元函数积分学之二（三重积分、曲线、曲面积分）【数学1，A 】

一、三重积分

1．关系网络环连

2．三重积分的对称性 ① Ω关于X0Y 平面对称

② Ω关于X0Y 和X0Z 平面都对称

③ Ω关于3

个平面都对称

④ Ω关于x a =平面对称（Ω关于y a =，z a =平面对称结论类推）

3．直角坐标下三重积分的二种方法

240

3.1 两类正规区域： ()a 穿线正规区域：

设Ω为一空间闭区域，如果经过Ω的任一个内点平行于某个坐标轴的直线与Ω的边界曲面交于由唯一曲面方程决定的两点，那么这个区域称为该坐标方向的正规区域。如果Ω对沿三条坐标轴方向都是正规区域，那么Ω称正规区域。 ()b 切片（截面）正规区域：

设Ω为一空间闭区域，如果经过z t =任意平行xo y 平面的平面切之，所得截面边界曲线由同一方程给定，则Ω称z 截面的正规区域。如果如果Ω对沿三条坐标轴的截面都是正规区域，那么Ω称正规区域。

在求三重积分时，遇到的区域为非正规区域时，那么就要用平行于某一个坐标平面的平面或投影柱面将区域分成几个正规子区域，在每个子区域上积分，然后相加得之。对于正规区域，计算三重积分有下列两种方法。

3.2 穿线法（先一后二法）：先做关于某个变量的定积分，然后做关于另外两个变量的二重积

分，例如，先对z 积分，则将Ω投影到0X Y 平面得投影域xy D ，过xy D 内任意一点(),x y 作平行于Z 轴的直线，使之与Ω相穿，下部边界穿入点11(,)z z x y =，上部边界穿出点得

22(,)z z x y =，

则

21(,)

)

(,.)(,.)

z x y z x y D f x y z d dxdy f x y z dz Ω

Ω=

???

3.3 切片法（先二后一法或截面法）先做某两变量的二重积分，然后做关于另一变量的定积分，

例如先计算关于X ，Y 的二重积分，然后计算关于Z 轴的定积分，则先将Ω投影到Z 轴得坐标[,]z c d ∈，然后对任给[,]z c d ∈，对坐标为z 且平行于0X Y 平面的截面，截Ω得到一个平面闭区域z D ，则

(,,)(,,)z

d c

D f x y z d d z f x y z d x d y

Ω=

???

切片法常用于被积函数仅是z 的函数，或用垂直于z 的平面去截Ω所得()D z 是圆域或其一部分时的情形！尤其最适合于旋转体。

241

三重积分没有法线方向，穿线沿坐标轴正向。

【例35】计算2

I z dv Ω

???

y z R x y z R z

Ω++≤++≤

为与的公共部分解：由于被积函数不含,x y ，使用切片法简便

R z =

为相交平面

由于截面非正规区域，故需分成上下两部分12,ΩΩ

2222

1:2

x y z R R

z R ?++≤?Ω?≤≤?? 22222:02

x y z R z

z ?++≤?Ω?≤≤??

截面22221():, D z x

y R z r +≤-=

截面2222():2, D z x y Rz z r +≤-=1

I z dv z dv

ΩΩ=

???

122

()()R

R R D z D z z dz

d z dz

d σσ=

???

59()(2)480

R R z R z dz z Rz z dz R πππ=

【例36】

I zdv Ω

???

{(,,)|, 04}x y z z z Ω=≤≤

≤≤

解一：切片法。是正规区域。

420

{(,,)|,}128z

D z z

I zdv zdz rdrd D x y z z z z I zdz d rdz πθ

θπ

≤

=???

???

12424240

42{(,)|4},{(,)|1648}128xoy xoy r D D r x y D x y x y D x y x y I rdrd zdz rdrd zdz

d rdr zdz d zdz π

πθθθθπ

+==+≤=≤+≤=

=?????

解二：穿线法。由于区域非正规，需用分成个正规区域

242

解三：使用球面坐标，在球面坐标系中，

s i n c o s s i n s i n c o s x y z ρθ?

ρθ?

ρθ=??

=??=?

平面44cos 4cos z ρθρθ

=?=?=

而

yoz z z y π

θ=???→=±→=

平面

224

3cos 0

tan 3

cos sin 128yoz y y z I d d d π

πθππθθ?θρθρθρπ

=???→=→=±

→=

?=?

??平面

【例37】2

(),I x

y dv Ω

+Ω???是由曲线2

2, 0y z x ==绕Z 轴旋转一周而成的曲面与两平面

Z=2，Z=8所围的立体。

解法一：切片法

旋转曲面方程 222, 28x y z z +=≤≤

822

()

822

():2()336D z D z x y z I dz

x y dxdy

dz d rdr πθ

+≤=

解法二：使用柱面坐标，在柱面坐标系中，

c o s s i n

x r y r z z θ

θ=??

=??=?

822

():220336D z x y z r z r I dz d rdr πθ

+≤?≤?≤≤=

?=?

4．三重积分次序更换技巧

()a 邻近平面交换原则； ()b 第三变量常数原则。

如形如 ()

()

()()

()2111,,,,b x z x y a

x z x y I dx dy f

x y z dz ??=

，的积分，积分次序为z y x →

→，如要通过交

换积分次序，使z y x x z y →→?→→，即