苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.4.2含答案
2.4.2 抛物线的几何性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点 抛物线的几何性质
思考 观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x 轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？
答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．
(2)由抛物线y 2
＝2px (p >0)有?
????
2px ＝y 2
≥0，p >0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 梳理 四种形式的抛物线的几何性质
1．抛物线关于顶点对称．(×)
2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(√) 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(√)
类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 2
9＝1，其短轴在x 轴上，
∴抛物线的对称轴为x 轴，
∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p
2＝3,
∴p ＝6.
∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 引申探究
将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程． 解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)， 焦点F ????m 2，0，直线l ：x ＝m
2
， 所以A ，B 两点坐标为????m 2，m ，????m
2，－m ， 所以|AB |＝2|m |.
因为△OAB 的面积为4， 所以12·????
m 2·2|m |＝4，
所以m ＝±2 2.
所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .
反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1 已知双曲线方程是x 28－y 2
9＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程
及抛物线的准线方程．
解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p
2＝22，且抛物线的焦点在x 轴
正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2. 类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题
例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若AB ＝8，则直线l 的方程为________________．
(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________． 答案 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)7
2
解析 (1)由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0.所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. (2)∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则AB ＝4，不符合题意， ∴可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)．
由?
????
y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，(*) 则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k
2.
又AB 过焦点，由抛物线的定义可知AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，∴2k 2＋4
k 2＝6，解得k
＝±1.此时(*)式变为x 2－6x ＋1＝0，满足Δ＞0. ∴所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.
(3)抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为5
2，又准线方程为x ＝－1，
因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝7
2
.
反思与感悟 1.抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为 (1)抛物线y 2＝2px (p >0)，PF ＝????x 0＋p 2＝p
2＋x 0. (2)抛物线y 2＝－2px (p >0)，PF ＝????x 0－p 2＝p
2－x 0. (3)抛物线x 2＝2py (p >0)，PF ＝????y 0＋p 2＝p
2＋y 0. (4)抛物线x 2＝－2py (p >0)，PF ＝?
???y 0－p 2＝p
2－y 0. 2．已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
(1)y 1·y 2＝－p 2
，x 1·x 2＝p 2
4
.
(2)AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)．
(3)S △ABO ＝p 2
2sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)．
(4)1AF ＋1BF ＝2p
. (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
3．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .
跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求AB 的值； (2)若AB ＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan60°＝ 3.
又F ????32，0，所以直线l 的方程为y ＝3????x －3
2. 联立?????
y 2
＝6x ，y ＝3????x －32，消去y 得x 2
－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，
而AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2
＝x 1＋x 2＋p ，所以AB ＝5＋3＝8.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋
x 2＋3，
所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－3
2，
所以M 到准线的距离等于3＋32＝9
2.
类型三 抛物线的综合问题
命题角度1 与抛物线有关的最值问题
例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，求PF
P A 的
最小值．
解 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 如图，过点P 作PN 垂直x ＝－1于点N ，
由抛物线的定义可知PF ＝PN ，
连结P A ，在Rt △P AN 中，sin ∠P AN ＝PN
P A ，
当PN P A ＝PF
P A 最小时，sin ∠P AN 最小， 即∠P AN 最小，即∠P AF 最大， 此时，P A 为抛物线的切线， 切线P A 的斜率一定存在， 设P A 的方程为y ＝k (x ＋1)，
联立?
????
y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，
得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， 解得k ＝±1，
所以∠P AF ＝∠NP A ＝45°， 此时PF P A ＝PN P A ＝cos ∠NP A ＝22.
综上，PF P A 的最小值为22
.
反思与感悟 1.若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．
2．在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决．
跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 答案 2
解析 由题意知，直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定义知，点P 到直线l 2的距离等于点P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离．故所求最值可转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得点P 到点F (1,0)和到直线l 1的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d ＝|4－0＋6|
5＝2.
命题角度2 定值或定点问题
例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若AF ，MF ，BF 成等差数列．
(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；
(2)若MF ＝4，OQ ＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程． (1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则AF ＝x 1＋p 2，BF ＝x 2＋p 2，MF ＝x 0＋p
2，x 0为已知值．
由题意得x 0＝x 1＋x 2
2
，
∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0，t )， 其中t ＝y 1＋y 2
2≠0(否则AF ＝MF ＝BF ?p ＝0)．
而k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p (y 21－y 22
)＝2p y 1＋y 2＝p
t
， 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t
p
(x －x 0)，
即t (x －x 0－p )＋yp ＝0，可知线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p,0)．
(2)解 由MF ＝4，OQ ＝6，得x 0＋p
2＝4，x 0＋p ＝6，联立解得p ＝4，x 0＝2.∴抛物线方程为
y 2＝8x .
反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等．
跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点． 证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又∵OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2,0)．
1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为________． 答案 y 2＝8x 或y 2＝－8x
解析 设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)， 依题意得x ＝p
2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，
∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.
∴抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上一点P (1，m )到焦点的距离为5，则m 的值为________． 答案 ±4
解析 由抛物线的定义知点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，所以1＋p
2＝5，p ＝8，
故抛物线的方程为y 2＝16x ，将点P (1，m )代入方程，得m ＝±4.
3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则AB ＝________. 答案 8
解析 抛物线的准线方程为x ＝－1，则线段AB 的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义及中位线定理得AB ＝8.
4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 答案 2
解析 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ， 且倾斜角为45°的直线的方程为y ＝x －p 2，
把x ＝y ＋p
2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，
∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2. ∵AB ＝8，∴|y 1－y 2|＝42， ∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2， 即4p 2＋4p 2＝32. 又p >0，∴p ＝2.
5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为________． 答案 8
解析 F (2,0)，K (－2,0)，过点A 作AM 垂直准线于点M ，则AM ＝AF ， ∴AK ＝2AM ，∴△AMK 为等腰直角三角形． 设A (m 2，22m )(m >0)，
则△AFK 的面积S ＝1
2×4×22m ＝42m .
又由AK ＝2AM ，得(m 2＋2)2＋8m 2＝2(m 2＋2)2， 解得m ＝2，
∴△AFK 的面积S ＝42m ＝8.
1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很
多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
一、填空题
1．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________． 答案 y 2＝±8x
解析 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标是????a 4，0， 故直线l 的方程为y ＝2????x －a
4， 令x ＝0，得y ＝－a
2
，
故△OAF 的面积为12×????a 4×????－a 2＝a 2
16＝4，a ＝±8，
故抛物线的方程为y 2＝±8x .
2．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为________． 答案 8
解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又圆心在OF 的垂直平分线上，OF ＝p
2，
∴p 2＋p
4
＝6，∴p ＝8. 3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A .如果AF 的斜率为－3，那么PF ＝________. 答案 8
解析 由题意得，准线l 的方程为x ＝－2，焦点F (2,0)， 设点A 的坐标为(－2，n )，则n
－2－2＝－3，
解得n ＝43，由(43)2＝8x ，得x ＝6. ∴P (6,43)，∴PF ＝6＋2＝8.
4．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________． 答案 ???18
，±24
解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ????14，0，所以的P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±2
4，故点P 的坐标为????18
，±2
4.
5．当x >1时，直线y ＝ax －a 恒在抛物线y ＝x 2的下方，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，4)
解析 由题可知，联立????
?
y ＝x 2，y ＝ax －a ，
整理可得x 2－ax ＋a ＝0，当Δ＝a 2－4a ＝0时，解得a
＝0或a ＝4，此时直线与抛物线相切．因为直线恒过定点(1,0)，所以结合图形(图略)可知a ∈(－∞，4)．
6．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________． 答案 y 2＝4x
解析 方法一 设抛物线方程为y 2＝kx (k ≠0)，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－kx ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), ∴x 1＋x 2＝k .
又∵P (2,2)为AB 的中点， ∴x 1＋x 2
2＝2.
∴k ＝4.∴y 2＝4x .
方法二 由题意知，交点其一为原点，所以令A (0,0)， 又∵P (2,2)为AB 的中点，∴B (4,4)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， ∴p ＝2，∴y 2＝4x .
7．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________． 答案
25p 8
解析 由题意知直线l 过点????
p 2，0和(2p,2p )， 所以l ：y ＝4
3???
?x －p 2.
联立????
?
y 2
＝2px ，y ＝43????x －p 2，
整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0. 设另一交点坐标为(x 1，y 1)
由根与系数的关系，得x 1＋2p ＝17p
8，
所以焦点弦的长度为x 1＋2p ＋p ＝25p
8
.
8．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________． 考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的相交弦长及弦中点问题 答案 (3,2)
解析 设线段的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 将y ＝x －1代入y 2＝4x ， 整理得x 2－6x ＋1＝0.
由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 2
2＝3，
∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2，
∴所求点的坐标为(3,2)．
9．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为________． 答案 ????12，1
解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .
则?????
y ＝4x 2
，y ＝4x ＋m ，
?4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，得x ＝1
2，y ＝1，
故所求点的坐标为????
12，1.
10．已知抛物线y 2＝8x ，过动点M (a,0)，且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，若AB ≤8，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－2，－1]
解析 将l 的方程y ＝x －a 代入y 2＝8x ，
得x 2－2(a ＋4)x ＋a 2＝0， 则Δ＝4(a ＋4)2－4a 2>0，∴a >－2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(a ＋4)，x 1x 2＝a 2，