成都外国语学院2014届高三下学期2月月考试题 数学(理)

出题人：罗德益 审题人：李斌

满分150分，考试时间120 分钟。 注意事项：

1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；

3．答题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题10个小题，每题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1、已知复数2

z i =，则z 的虚部为（ ）

A 、i

B 、1

C 、1-

D 、0

2、已知直线12:3250,:(31)20l x ay l a x ay +-=---=，若12//l l ，则a 的值为（ ）

A 、16-

B 、6

C 、0

D 、0或16

- 3、已知3tan()4απ-=，且3(,

)22ππα∈，则sin()2

π

α+=（ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35

-

4、已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）

A 、22(2)(2)1x y ++-=

B 、22(2)(2)1x y -++=

C 、22(2)(2)1x y +++=

D 、22(2)(2)1x y -+-=

5、若正数,a b 满足：111a b +=，则19

11

a b +--的最小值为（ ） A 、16 B 、9 C 、6 D 、1

6、已知双曲线22

13

y x -

=的离心率为2m ，且抛物线2y mx =的焦点为F ，点00(2,)(0)P y y >在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线的准线的距离为（ ）

A 、52

B 、2

C 、3

2

D 、1

7、在ABC ?中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN xAB yAC =+

，则x y +的值为（ ）

A 、12

B 、1

4

C 、1

D 、2

成都外国语学校高2014届高三（下）2月月考

数 学（理工类）

8、若在数列{}n a 中，对任意正整数n ，都有22

1n n a a p ++=（常数）

，则称数列{}n a 为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{}n a 为“等方和数列”，其前n 项和为n S ，且“公方和”为1，首项11a =，则2014S 的最大值与最小值之和为（ ）

A 、2014

B 、1007

C 、1-

D 、2 9、已知11

ln

ln

432

x y x y <+++-，若x y λ-<恒成立，则λ的取值范围是（ ） A 、(,10]-∞ B 、(,10)-∞ C 、[10,)+∞ D 、(10,)+∞

10、双曲线2

2

13

y x -

=的左右两支上各有一点,A B ，点B 在直线12x =上的射影是点'B ，若直线AB 过右焦点，则直线'AB 必过点（ ）

A 、(1,0)

B 、5(,0)4

C 、3(,0)2

D 、7

(,0)4

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上） 11、已知数列{}n a 满足：*1212

12111,,()2n n n a a n N a a a ++==

=+∈，则10a =__________ 12、在三棱锥P ABC -

中，10,PA BC PB AC PC AB ======P ABC -的

体积为_____________ 13、如果2

32(3)n

x x

-

的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________ 14

、已知函数())f x x =，若实数,a b 满足(1)()0f a f b -+=，则a b +=______

15、12,F F 分别是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与双曲线C

的两条渐近线分别交于,P Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若212MF FF =，则双曲线C 的离心率为_________

三．解答题（本大题6个小题，共75分，请把答案填在答题卷上）

16、（本小题满分12分）在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，设22

2

2

2

()()4f x a x a b x c =---，

(1)若(1)0f =，且3

B C π

-=

，求角C 的大小；（2）若(2)0f =，求角C 的取值范围。

17、（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，

未售出的产品，每1t 亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品，以X （单位：t ，150100≤≤X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润。 （1）将T 表示为X 的函数；

（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频

率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)X ∈，则取105X =，且105X =的

概率等于需求量落入[100,110)的概率），求利润T 的数学期望。

O D

C

B

A

P 1(21)()n n b b n n N +=+-∈。 （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ；

（3）若n n n a b

c n

?=，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==PA PD ⊥,底面A B C D 为直角梯形，其中BC ∥AD , AB ⊥AD ,

1AB BC ==,O 为AD 中点。

(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值； (2)求B 点到平面PCD 的距离；

(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D

--,求出PQ QD 的值；若不存在，请

说明理由。

20、（本小题满分13分）已知椭圆

2

2

22

1(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F 2（1，0），点3(1,)2

H 在椭圆上。 （1）求椭圆方程；

（2）点00(,)M x y 在圆222x y b +=上，M 在第一象限，过M 作圆222

x y b +=的切线交椭圆于P 、Q

两点，问|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由。

21、 (本小题满分14分）已知函数321

(1)()(1)(1)

x x ax bx x f x c e x -?-++<=?-≥?在2

0,3x x ==处存在极值。

(1)求实数,a b 的值；

(2)函数()y f x =的图像上存在两点A ，B 使得AOB ?是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围； (3)当c e =时，讨论关于x 的方程()()f x kx k R =∈的实根个数。

成都外国语学校高2014级2月月考

理科数学答案

1-10：DDBBC AADCB

11、

110 12、160 13、5 14、1 15、2

16、解：(1)由 f (1)＝0，得a 2－a 2＋b 2－4c 2＝0，∴b ＝2c

又由正弦定理，得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，将其代入上式，得sin B ＝2sin C

∵B －C ＝π3 ∴B ＝π3＋C ，将其代入上式，得sin(π

3＋C )＝2sin C

∴sin π3cos C ＋cos π3sin C ＝2sin C ，整理得，3sin C ＝cos C ，∴tan C ＝33

∵角C 是三角形的内角，∴C ＝π

6

---------------6分

(2)∵ f (2)＝0，∴4a 2－2a 2＋2b 2－4c 2

＝0，即a 2＋b 2－2c 2＝0 ------7分

由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab ＝a 2＋b 2

－

a 2＋

b 222ab

∴cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝1

2(当且仅当a ＝b 时取等号) ---------------------10分

∴cos C ≥12，∠C 是锐角，又∵余弦函数在(0，π2)上递减，∴0

3

---------12分

17、解：（1）3n n S =，113(2)n n S n --=≥，11

3323(2)n n n n a n --∴=-=?≥-------2分 当1n =时，11

11323a S -==≠?

1

1,1

23,2

n n n a n -=?∴=??≥?-----------4分 （2）12132431(21),1,3,5,,23,n n n n b b n b b b b b b b b n +-=+-∴-=-=-=-=-

O D

B

A

P 以上各式相加得，21(1)(123)

135(23)(1)2

n n n b b n n -+--=++++-==-

又11,b =-故22n b n n =--------------8分 （3）由题意得，1

3,12(2)3,2n n n n n a b c n n n --=?

?=

=?-?≥?

当2n ≥时，123132032132232(2)3n n T n -=-+??+??+??++?-?

234392032132232(2)3n n T n ∴=-+??+??+??++?-?

两式相减得，231262323232(2)3n n n T n --=+?+?++?-?-?

2

3

1

33(25)33

(3333)(2)3(2)322

n n n n

n

n n T n n ---+∴=-+++++-?=-?-= 又11(215)3332T ?-?+=-=，符合上式，*(25)33

()2

n n n T n N -+∴=

∈------12分 18、解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39000，

当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.

所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤

(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.

由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T

所以ET ＝45 000×0.119、解:(1) 在△P AD 中P A =PD , O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ,

又侧面P AD ⊥底面ABCD , 平面PAD ?平面ABCD =AD , PO ?平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .

又在直角梯形ABCD 中,易得OC AD ⊥; 所以以O 为坐标原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴,

OP 为z 轴建立空间直角坐标系.

则()0,0,1P ,()0,1,0A -,()

1,1,0B -()1,0,0C ，()0,1,0D ;

∴()1,1,1PB =--

,易证:OA ⊥平面POC

,

所以()0,1,0OA =-

平面POC 的法向量,

cos ,PB OA PB OA PB OA

==

所以PB 与平面POC …………….4分 （2）()1,1,1--=PB ，设平面PDC 的法向量为(

)z y x u ,,=，

则?????=-=?=+-=?0

0z y PD u y x ，取1=z 得()1,1,1=u B 点到平面PCD 的距离3

3

=

=

d ……………….8分

20、解：（1） 右焦点为2(1,0)F ，∴1=c

左焦点为)0,1(1-F ，点3

(1,

)2

H 在椭圆上

1224a HF HF =+==

2=∴a ，322=-=c a b

所以椭圆方程为13

42

2=+y x ----------------5分

（2）设()),(,,2211y x Q y x P ，()213

412

121≤=+x y x

()()2121212

12122)4(4

1)41(311-=-+-=+-=x x x y x PF

1122

1

2)4(21x x PF -=-=∴------------------------8分

连接OM ，OP ，由相切条件知：

1212121

21

21

2

2

2

2

1

413)41(33||||x PM x x x y x OM OP PM =∴=--+=-+=-=

22

1

212112=+-=+∴x x PM PF ----------------------------------11分

同理可求22

1

212222=+-=+∴x x QM QF

所以22224F P F Q PQ ++=+=为定值。-------------13分

---------------12分

21、解：（1）当1x <时，2

()32f x x ax b '=-++.………………1分

因为函数()f x 在20,3x x ==处存在极值，所以(0)0,

2

()0,3

f f '=??

?'=?? 解得1,0a b ==.………………4分

(2) 由（I ）得321

,(1),()(1),(1),

x x x x f x c e x -?-+

=?-≥?? 根据条件知A,B 的横坐标互为相反数，不妨设32(,),(,()),(0)A t t t B t f t t -+>. 若1t <，则3

2

()f t t t =-+，

由AOB ∠是直角得，0OA OB ?= ，即23232

()()0t t t t t -++-+=，

即42

10t t -+=.此时无解；………………6分

若1t ≥，则1()(1)t f t c e -=-. 由于AB 的中点在y 轴上，且AOB ∠是直角，所以B 点不可能在x 轴

上，即1t ≠. 同理有0OA OB ?= ，即2321()(1)t t t t c e --++?-=0， ()

11(1)1t c t e -=+-. 因为函数()

1

(1)1t y t e -=+-在1t >上的值域是(0,)+∞，

所以实数c 的取值范围是(0,)+∞.………………8分

（3）由方程()f x kx =，知32,(1),(1)

x x x x kx e e x ?-+

=?-≥??，可知0一定是方程的根，…10分

所以仅就0x ≠时进行研究：方程等价于2,(10),,(1).x x x x x k e e x x

?-+<≠?

=?-≥??且

构造函数2,(10),(),(1),x x x x x g x e e x x

?-+<≠?

=?-≥??且

对于10x x <≠且部分，函数2

()g x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分，

当12x =时取得最大值14，其值域是1(,0)(0,]4

-∞ ；

对于1x ≥部分，函数()x e e g x x -=，由2

(1)()0x e x e

g x x

-+'=>， 知函数()g x 在()1,+∞上单调递增.

所以，①当1

4k >或0k ≤时，方程()f x kx =有两个实根；

②当1

k =时，方程()f x kx =有三个实根；