《概率论与数理统计》综合复习资料

《概率论与数理统计》综合复习资料

一、填空题

1、一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为 ；

取到的两只球至少有一个黑球的概率为 。 2、X 的概率密度为f x e x

x ()=

-+-1

2

21

π

(-∞<<+∞x )，则=DX 。

3、已知随机变量X N Y N ~()~()-1131，，，且X 与Y 相互独立，设随机变量

52+-=Y X Z ，则=EX ；

=DX 。

4、已知随机变量X 的分布列为

X -1 0 2 P k 0.4 0.2 p 则： EX = ；

DX = 。

5、设X 与Y 独立同分布，且)2,2(~2N X ，则D (32X Y -)= 。

6、设对于事件A 、B C 、有P A ()=

P B P C ()()==

14，12

1

)(=ABC P ，8

1

)()()(===AC P BC P AB P ，则A 、B C 、都不发生的概率为 。

7、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为 。 8、相互独立，且概率分布分别为 2

)1(1

)(--=

x e

x f π

(-∞<<+∞x ) ； ?

?

?≤≤=其它，，03

12/1)(y y ?

则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。

9、已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为 。 10、设Y X 、的概率分布分别为

???≤≤=其它，，05

14/1)(x x ?； ?()y e y y y =>≤???

-40004，，

则：)2(Y X E += ；)4(2Y X E -= 。

二、选择题

1、设X 和Y 相互独立，且分别服从)2,

1(2N 和)1,1(N ，则 。

A ．2/1}1{=≤+Y X P

B ．2/1}0{=≤+Y X P

C ．2/1}0{=≤-Y X P

D ．2/1}1{=≤-Y X P

2、已知4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，5.0)|(=A B P ，则=)(B A P 。

A ． 1

B ． 0.7

C ． 0.8

D ． 0.5

3、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为 。

A ． 73)32()31(

B ． 73

310)32()31(?C

C ． 37

310)32()31(?C D ． 3)3

1(

4、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 。

(A ) 0.6 (B ) 5/11 (C ) 0.75 (D ) 6/11

5、设事件A 、B 、C 满足C AB ?，则下列结论正确的是 。 (A )P C P A P B ()()()≤+-1 (B )P C P A P B ()()()≥+-1 (C )P C P AB ()()= (D )P C P A B ()()=

6、设4=DX ，1=DY ，6.0=xy ρ，则D ()23Y X -= 。 (A ) 40 (B ) 34 (C ) 25.6 (D ) 17.6

7、设X X X n 12，，， 为来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，EX 未知，则总体方差DX 的无偏估计量为 。

)(A 2

1)(11X X n n i i --∑= )(B 21)(1X X n n i i -∑=

)(C 2

1

)(1EX X n n i i -∑= )(D 21)(11EX X n n i i --∑=

8、设每次试验成功的概率为2/3，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为 。 (A ) 3)3/2( (B ) 3)3/2(1- (C )3)3/1( (D )3)3/1(1- 9、设X 是随机变量，EX DX ==>μσμσ,

(,20常数）

，对任意常数C ，则必有 。 (A )22)()(μ-≥-X E C X E (B )E X C E X ()()-=-22μ (C )E X C E X ()()-<-22μ (D )E X C EX C ()-=-22 三、解答题

1、设X 的分布函数为????

???>≤<≤<≤=2

1212/1103/10

0)(x x x x x F ，，，，，求：

（1）X 的概率分布； （2）P X {}<

12、P X {}132≤<、P X {}13

2

≤≤。 2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：

（1）取到的是次品的概率；

（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 3、设随机向量(,)X Y 的概率密度为

,01,02(,)0,C x y x f x y <<<

求：（1）常数C ；

（2）关于X Y 、的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立。

4、已知r v ?X 、Y 分别服从正态分布)3,

0(2

N 和)4,2(2

N ，且X 与Y 的相关系数

ρXY =-12/，设Z X Y =+//32，求：

（1）数学期望EZ ，方差DZ ； （2）X 与Z 的相关系数ρXZ 。

5、设12,,,n X X X 为X 的一个样本，

?????<<+=其它,

010,)1(),(~x x x f X λλλ 其中1->λ为未知参数，求λ的极大似然法估计量。

6、已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：

（1）该产品是次品的概率；

（2）若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率 。 7、设Y X 、的概率分布为

?????≤≤=,

0,5141)(其它，，x x ? ???≤>=-,00,04)(4y y e y y ，，?

求：)(Y X E +和)32(2

Y X E -。

8、一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）关于X 和关于Y 边缘概率分布。

9、设总体X 的分布列为

X 1 0

p k p 1-p

X X X n 12，，， 为X 的一个样本，求p 的极大似然估计。

10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。

11、设X 随机地在1，2，3中任取一值，Y 随机地在1~X 中任取一整数值,求： （1）()X Y ，的分布律； （2）关于X 和Y 的边缘分布律。

12、设X X X n 12，，， 为X 的一个样本，且X 的概率分布为

?????≤>=--0,

00

,),(1x x e ax x f a

x a λλλ

其中λ为未知参数，a >0为常数，求λ的极大似然估计。

13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。

14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：

（1）X 和Y 的联合概率分布； （2）关于X 和Y 边缘分布； （3）X 和Y 是否相互独立？为什么？

15、设321X X X ，，为来自总体X ),

(~2σμN 的一个样本，且EX =μ存在，验证统计量

（1）、（2）都是μ的无偏估计，并指出哪一个更好。

（1）

123131

5102X X X ++； （2）

123111

362

X X X ++。 16、设随机变量（X ，Y ）具有概率密度

?

??≥≥=+-其它,00

,0,),()(y x Ce y x f y x ，

求（1）常数C ；

（2）关于X 和关于Y 的边缘分布密度。

17、设243221)43()2(X X b X X a X -+-=，其中4321X X X X ，，，是来自总体)20(2，N 的简单随机样本。试问当a 、b 各为何值时，统计量X 服从2χ分布，并指出其自由度。

《概率论与数理统计》答案

一、填空题

1． 1/5 17/45 2． 1/2

3． 0 5 4． 0.4 1.84 5． 52 6． 13/24

7． 1/3 8． 3 -11

9． 7/13 10． 213

3

19 二、选择题 1．C

2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．A 三、解答题

1、设X 的分布函数为

????

??

?>≤<≤<≤=<=21

212/1103/10

0}{x x x x x X P x F ，，，，）（ 求：（1）X 的概率分布；（2）P X {}<

12、P X {}132≤<、P X {}132

≤≤；

解：（1）X 的概率分布列为

X 0 1 2

P 1/3 1/6 1/2 （2）P X F {}<==1

2121

3

（

） P X P X P X {}{}{}1323211

6

≤<=<-<= P X P X P X {}{}{}132132321

6

≤≤=≤<+=

= 2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。

解：设事件A 表示：“取到的产品是次品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”

（i =123，，）。则A A A 123 =Ω，且P A i ()>0，A A A 123、、两两互不相容。

（1） 由全概率公式得

∑=?=3

1

)|()()(i i i A A P A P A P

121214

0.025210041004100

=?+?+?= （2）由贝叶斯公式得

P A A (|)1=∑=31

11)

|()()

|()(j j j A A P A P A A P A P 1221000.40.025

?

==

3、设随机向量(,)X Y 的概率密度为

,01,02(,)0,C x y x

f x y <<<

求：（1）常数C ；

（2）关于X Y 、的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立。

解：（1）利用归一性知：(,)11f x y dxdy C =?=??

（2）()(),X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

，

当01x <<时，有()()20

,2x

X f x f x y dy dy x +∞

-∞

===?

?；

其他情况时，()0X f x =

综合知()2,01

0,X x x f x <

?其他

，

同理()1,02

20,Y y

y f y ?-<

由于

()()(,)X Y f x y f x f y ≠?知X

与Y 不相互独立。

4、已知r v ?X 、Y 分别服从正态分布)3,

0(2N 和)4,2(2N ，且X 与Y 的相关系数

ρXY =-12/，设Z X Y =+//32，求：

（1）数学期望EZ ，方差DZ ；（2）X 与Z 的相关系数ρXZ 。

解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 EZ 122

1

031)2()3()23(

=?+?=+=+=Y E X E Y X E DZ =+=++D X Y D X D Y X Y ()()()()3232232

Cov ， DY DX DY DX XY ρ21

3122

1

3122

??++

= 324143)21(2131242

1

3312222

=-+=??-???+?+

?=

（2）Cov Cov Cov Cov ()()(,)(,)X Z X X Y X X X Y ，，=+=+1312131

2

=

+=131

2

0DX DX DY XY ρ 从而有X 与Z 的相关系数ρXZ X Z DX DZ

=

=Cov(,)

5、设X X X n 12，，， 为X 的一个样本，

?????<<+=其它,

01

0,)1(),(~x x x f X λλλ

其中1->λ为未知参数，求λ的极大似然法估计量。

解：设x x x n 12，，， 为X X X n 12，，， 观测值，则构造似然函数 λ

λλ)()1()(1∏=+=n

i i n

x L

∑=++=n

i i x n L 1

ln )1ln(ln λλ

令

0ln 1ln 1

=++=∑=n i i x n

d L d λλ

解的λ的极大似然估计量为1

?1ln n

i

i n

X

λ

==--∑

6、已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1）该产品是次品的概率；（2）若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率 。

解：设C 表示“取到的产品是次品”；A “取到的产品是A 工厂的”； B “取到的产品是B 工厂的”

。则 （1） 取到的产品是次品的概率为

)|()()|()()(B C P B P A C P A P C P +=

500

7100210040100110060=?+?=

（2）若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率为

)

|()()|()()

|()()()()|(B C P B P A C P A P B C P B P C P BC P C B P +=

=

74

500

7100210040=?

=

7、设Y X 、的概率分布为

?????≤≤=,

0,

5141)(其它，，x x ? ???≤>=-,00,04)(4y y e y y ，，?

求：)(Y X E +和)32(2

Y X E -。

解：由于X 在有限区间[1，5]上服从均匀分布，所以32

1

5=+=EX ；又由于Y 服从参数为4的指数分布，所以EY =

1

4、16

1=DY ， 因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得 )(Y X E +4

1

3413=+

=+=EY EX )32(2Y X E -)(3)(22Y E X E -=

8

5

5836))((362=-

=+-=EY DY 。 8、一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中

任取一球，以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）关于X 和关于Y 边缘概率分布。

解：（1）），（Y X 的所有可能取值为(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、

(3，2)。由概率乘法公式得

61

3241}21

{12=?====Y X P p ， 121

3141}31{13=?====Y X P p ，

同理得6/132232221====p p p p ,12/131=p 。此外}11{==Y X ，，}33{==Y X ，，都是不可能事件，所以03311==p p ,于是（X ，Y ）的概率分布表为 Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6

3 1/12 1/6 0 （2）X 的边缘概率分布为

X 1 2 3

?i p 1/4 1/2 1/4

Y 的联合概率分布为

Y 1 2 3

p j ? 1/4 1/2 1/4 9、设总体X 的分布列为

X 1 0

p k p 1-p

X X X n 12，，， 为X 的一个样本，求p 的极大似然估计。

解：设x x x n 12，，， 为X X X n 12，，， 观测值，X 的分布律为

p x p p p x x (,)()=--11 （x =10，）

于是似然函数 ∏∏=-=-==

n

i x x n i i

i i

p p

p x p p L 1

11

)1(),()(=-==∑∑-p p x n x i i n

i

i n

11

1()

ln ln ()ln()L p x n x p i i n

i i n

=+--==∑∑1

1

1

d L

dp

x p

n x p

i

i n

i

i n

ln =-

--==∑∑1

1

1

令d L

dp ln =0，解得p n x X i i n ===∑11，因此p 的极大似然估计为

p

=11

n x X i i n

=∑= 10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。

解：设A i 表示：“第i 个电子元件被损坏”（i =1，2，3），则有03.0)(1=A P ；04.0)(2=A P ；

06.0)(3=A P 。依题意所求概率为

)()()()()()()(323121321321A A P A A P A A P A P A P A P A A A P ---++= )(321A A A P + 06.004.004.003.006.004.003.0?-?-++=

124672.006.004.003.006.003.0=??+?-

11、设X 随机地在1，2，3中任取一值，Y 随机地在1~X 中任取一整数值,求：（1）()X Y ，的分布律；（2）关于X 和Y 的边缘分布律。

解：（1）()X Y ，的概率分布表为

Y X 1 2 3

1

2

3

1

31619016190

19

（2）关于X 的边缘分布律为

X 1 2 3 P X x p i i {}==?

13 13 1

3

关于Y 的边缘分布律为 Y 1 2 3 P Y y p j j {}==?

1118 518

1

9

12、设n X X X ，，， 21为X 的一个样本，且X 的概率分布为

?????≤>=--,0,

0,

0,),(1x x e ax x f a

x a λλλ

其中λ为未知参数，0>a 为常数，求λ的极大似然估计。

解：设n x x x ，，， 21为n X X X ，，， 21观测值，构造似然函数

∏∏=--===n

i x a i

n i i

a

i e

ax

x f L 1

11

),(λλλλ）

（

∏=--?∑==n

i a i x n

x e

a n

i a

i 1

11

)(λ

λ

∏∑=-=+-=n

i a i n

i a

i

x x

a n L 1

11

ln )ln(ln λλ

令

0ln =λ

d L

d 解得

01

=-∑=n

i a i x n

λ

，因此λ的极大似然估计为

∑==n

i a

i

X

n

1

?λ

。

13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。

解：设X 表示每个人等车时间，且X 服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为

4.05/1)(}2{2

02

===

P

又设Y 表示等车时间不超2分钟的人数，则)4.0,3(~B Y ，所求概率为

}{}{112≤-=≥Y P Y P

3520604060121

3303....=??-?-=C C

14、一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：（1）X 和Y 的联合概率分布；

（2）关于X 和Y 边缘分布； （3）X 和Y 是否相互独立？为什么？

???≤≤=其它,

,/)(05

051x x f

解：（1）），（Y X 的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。

913131}11{11=?====Y X P p ，， 92

3231}21{12=?====Y X P p ， 923132}12{21

=?====Y X P p ，， 9

4

3232}22{22=?====Y X P p ，

于是（X ，Y ）的概率分布表为

Y X 1 2 1 1/9 2/9

2 2/9 4/9 （2）关于X 和Y 的边缘概率分布分别为

X 1 2 Y 1 2

?i p 1/3 2/3 p j ? 1/3 2/3

（3）X 和Y 相互独立。因为j i ,?有?i p ij j p p =?? 15、设321X X X ，，为来自总体X ),

(~2σμN 的一个样本，且EX =μ存在，验证统计量

(1)、(2)都是μ的无偏估计，并指出哪一个较好。

（1）32112110351?X X X ++=μ

； （2）32122

1

6131?X X X ++=μ

。 解：（1）由于μμ=++=)2

1

10351

(?3211X X X E E 所以32112

1

10351?X X X ++=μ

是μ的无偏估计； （2） μμ=++=)2

1

6131

(?3212X X X E E 所以32122

1

6131?X X X ++=μ

是μ的无偏估计。 而 232115019)211035

1

(?σμ

=++=X X X D D 2321218

7

)21613

1(?σμ

=++=X X X D D 显然

221875019σσ<，故32112

1

10351?X X X ++=μ

较好。 16、设随机变量（X ，Y ）具有概率密度

???≥≥=+-其它,

00,0,),()(y x Ce y x f y x ，

求（1）常数C ；（2）边缘分布密度。 解：（1）由于f x y dxdy ()，-∞

+∞

-∞+∞?

?=1，故

1=

Ce dxdy C e dx e dy C x y x y -++∞

--+∞

+∞

+∞?

???==()0

所以C =1，即

f x y e x y x y (,),()=≥≥???-+，，

其他00

（2）??+∞

∞--+-+∞

===x y x X e dy e dy y x f x f )(0

),()( 0≥x ，即

?????≥=-其他

，00

,)(x e x f x X

??+∞∞--+-+∞

===y y x Y e dx e dx y x f y f )(0

),()( 0≥y ，即

?????≥=-其他

，00

,)(y e y f y Y

17、设243221)43()2(X X b X X a X -+-=，其中4321X X X X ，，，是来自总体)20(2，N 的简单随机样本。试问当a 、b 各为何值时，统计量X 服从2χ分布，并指出其自由度。

解：依题意，要使统计量X 服从2χ分布，则必需使)2(212/1X X a -及)43(432/1X X b -服从标准正态分布。 由相互独立的正态随机变量的性质知

))164(0(~)2(212/1a a N X X a +-， 从而解得=a 1/20。 ))6436(,0(~)43(432/1b b N X X b +-

从而解得=b 1/100。 故=a 1/20，=b 1/100时，统计量X 服从2χ分布。且自由度为2。