2011硕士数值分析复习题1
数 值 分 析 复 习 题
第二章 线性方程组的数值解法
1、用T
LDL 分解法解方程组
???
??=++=++=++30
17951695310533321
321321x x x x x x x x x 2、用Jacobi ，Gauss-Seidel 迭代法解下列方程组??
?=+=+4
233
22121x x x x 是否收敛？为什么？若将方
程组变为??
?=+=+324
2321
21x x x x ，再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？
3、设 n n A R ?∈非奇异，n b R ∈，R α∈，0α≠，给定迭代格式
(1)()()()k k k x x b Ax α+=+-
（1）证明：若按上述迭代格式生成的序列(){}k x 是收敛的，则必收敛于方程组Ax b =之解； （2）已知3212A ??=?
???
，问α如何取值可使上述迭代格式生成的序列()
{}k x 收敛，又α取何值时收敛最快。
4、设有方程组AX b =，其中
101221022A -????=??????
，121323b ????
??
??=??
????-????
已知它有解1
1(,,0)23
T
X =-，如果右端有小扰动61
102
b δ-∞
=
?，试估计由此引起的解的相对误差。
5、设有矩阵n n ij a A ?=)(，对角阵),,,(2211nn a a a diag D =，若A 和2D A -都对称正定，证明：求解方程组b Ax =的Jacobi 迭代法对任意初始向量都收敛。
6、设n n ?∈A R 是一个对称正定矩阵.1()0n λλ>分别是它的最大（小）的特征值，建立迭代法
1() 0,1,2,.k k x k ωω+=-+= x I A b
求出ω的范围使迭代法收敛. 并求出最好的ω*使得迭代法有最大的渐近收敛速度.
7、设n n ?∈A R 是一个对称正定矩阵，且对角线元素为1. 建立求解=Ax b 的对称高斯—塞德尔迭代法如下：
(1/2)(),k T k +-=+I L x L x b
(1/2)1() 0,1,2,.T k k k ++-=+= I L x Lx b
证明该迭代法收敛.
8、 令111αααααα?? ?
= ? ???
A ，求出α最大可能的取值范围使得A 是对称正定的. 当α
在这个范围内时，用雅可比迭代法解=Ax b 是否收敛？求出α最大可能的取值范围使得雅可比迭代法解=Ax b 收敛.
9、 若A 时对称正定矩阵，其最小、最大特征值分别是1λ，n λ. 为了求解=Ax b ，我们设计如下迭代方法：
1112
212(),(), 0,1,2,.k k k k k αααα+++=-+?
?=-+=?
x I A x b x I A x b （*）
1）给出上面的迭代法的相容性条件.
2）求出1α，2α使得（*）的渐近收敛速度尽可能大.
10、设,n n I B R ?∈，I 为单位矩阵，若1B <，则I B ±非奇异，且11
()1I B B
-±≤
-，其中.指矩阵的算子范数。
11、设Ax b =的系数矩阵A 对称正定，证明：此方程组有唯一解，且Gauss-Seidel 迭代法收敛。
12、设方程组1231
100.70.25
10.50.800.510.9x x x -?????? ??? ?
--= ??? ? ??? ?-??????
。 （1）Jacobi 迭代法及Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？理由是什么？
（2）若均收敛，哪个方法收敛速度快？
函数的插值
13、建立三次多项式3()p x ，使它在0x =、2
x π
=
处与cos x 相切，并写出余项
33()cos ()R x x p x =-的估计式。
14、求()s i n f x x
=在[0,]π上的等距分段线性插值函数()h L x ，并估计误差；要使得在[0,]
π上用()h L x 对sin x 进行插值计算时误差都不超过5
10-，则至少需要将[0,]π分成多少段？ 15、设()f x 在[,]a b 上二阶连续可导，()()0f a f b ==。用函数插值法证明
21
max ()()max ()8
a x
b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 16、利用差分及插值多项式为工具证明
1
1223(1)(1)(2)3
n n n n n ?+?+++=++
17、设()f x 在区间[,]a b 上连续，证明：分段线性插值多项式
11111()()(),[,]k k
h k k k k k k k k
x x x x x f x f x x x x x x x x ?+++++--=
+∈--
在[,]a b 上一致收敛于()f x 。
18、 构造次数不超过4的多项式()P x ，使其满足下列插值条件
(0)(0)1,(1)(1)2,(2)(2)1,
'(0)'(0)0,'(1)'(1) 1.
P f P f P f P f P f ==========-
函数的数值逼近
19、已知()x
f x e =，01x ≤≤，求()f x 的二次最佳平方逼近多项式2()P x （权为1），并
求误差2
22f P -。 20、已知函数值表为
试通过构造正交多项式，求曲线拟合的二次最小二乘解2S *
，并计算平方误差22
2
y S *-。
21、确定参数c b a ,,，使带权2
11)(x
x -=
ρ的积分
dx x c bx ax x c b a I )()](1[),,(1
1
222ρ?-++--=
取得最小值，并计算该最小值
22
求形如b x
y ae =的最小二乘解.
数值积分
23、运用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式分别计算积分1
x e dx ?
，并估计各种计算方法
的误差（计算中保留五位有效位数字）。 24、已知410=
x ，211=x ，4
3
2=x （1）求在]1,0[上以这三个节点为求积节点的插值型求积公式； （2）指明求积公式的代数精度； （3）用所求公式计算
1
230
(1234)x x x dx +++?
25、计算定积分
2
?
（1）如果要求误差小于0.002，用复化梯形公式计算时，需将区间[0,2]分成多少等份？ （2）要求误差小于0.002，用复化Simpson 公式时应分成多少等份？ （3）要求误差小于0.002，用复化Cotes 公式时应分成多少等份？ 26、将计算积分
b
x a
e dx ?
的梯形公式[()()]2
b a
T f a f b -=
+与中矩形公式()(
)2
a b
R b a f +=-做线性组合，使组合后的积分公式具有尽可能高的代数精度，并指出所求积分公式的代数精度。
27、把区间[]04,x x 等分成4等份，每个小区间的长度记为h 和1k x kh =-+，
0,1,2,3,4k =. 建立形如0
()()()b
n
k k n k a
f x dx f x E f α==+∑?的数值积分公式，使其有尽
可能高的代数精确度，并求出代数精度
28
、
设
10
h x x =-，确定求积公式
1
23''00101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f -=++++?
中的待定参数
,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式。
非线性方程的数值解法
29、说明方程04ln 2=-+x x 在区间[1，2]内有惟一根*
x ，并选用适当的迭代法求*
x （精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。
30、利用牛顿迭代法，给出求实数c 的五次方根的迭代公式，并由此计算533的近似值，精度为
3102
1
-?。 31、设有解方程1232cos 0x x -+=的迭代法12
4cos 3
n x x +=+，
（1）证明0x R ?∈均有lim n n x x *
→∞
=（x *
为方程的根）；
（2）取04x =用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过3
10-，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
32、已知()x x ?=在区间[,]a b 上有根x *
，'()x ?在[,]a b 上连续，且'()31x ?-<，试构造局部收敛于x *
的迭代公式。
33、设)(x f 具有各阶导数，*
x 是0)(=x f 的)2(≥m m 重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭
代序列}{k x 有下列极限关系*1*1lim 1k k k
x x x x m +→∞-=-
- 34、试确定常数p 、q 、r ，使迭代公式2
125k k k k
a a x px q r x x +=++
并使其收敛的阶尽可能高。
35、设函数()f x 具有二阶连续导数，*()0f x =，'*()0f x ≠，''*()0f x ≠，{}k x 是由牛顿迭代法产生的序列，证明
''*
12'*1()
lim ()
2()k k k k k x x f x x x f x +→∞--=-- 36、 设函数()f x 具有连续的m 阶导数，*
x 是 ()0f x =的m 重根（2m ≥），{}k x 是由
牛顿迭代法产生的序列，证明
（1）*1*1lim 1k k k
x x x x m +→∞-=-
-；
（2）11
1
lim
1k k k k k x x x x m +→∞--=--；
（3）111
lim
2k k
k k k k x x m x x x -→∞-+-=-+。
37、 对于迭代函数2()(2)x x C x ?=+-，试讨论：
（1）当C 为何值时，1()k k x x ?+=(0,1,2,...)k =产生的序列{}k x
（2）C 为何值时收敛最快？ （3）分别取12C =-
，()x ?
5
110k k x x -+-<。
常微分方程数值解法
38、求解常微方程初值问题0
0'(,)
()y f x y y x y =??
=?的单步法
（1）写出其局部截断误差表达式
（2）要使方法是二阶方法，θ应取何值？
（3）试给出该方法应用于试验方程'(0)y y λλ=<的稳定条件。
39、用梯形法解初值问题0(0)1
y y y '+=??=?，证明其近似解22n
n h y h -??
= ?
+??，并证明当步长0h →时，n y 收敛到原初值问题的精确解。
40、证明解初值问题 0'(,),()y f x y x a
y a y =>??=?
的计算格式
111[3(,)(,)]2
n n n n n n h
y y f x y f x y +--=+-
是二阶方法。
41、对初值问题???=='00
)()
,(y x y y x f y ，设),(y x f 关于y 满足李普希兹条件，证明计算方法
12121(,)
(,)22
n n n n n n y y hk k f x y h h k f x y k +?
?=+?
=???=++? 是收敛的；又当(,)f x y =y λ时（0λ<），给出该方法稳定的
条件。
42、 证明：常微分方程初值问题数值解法的梯形公式
111[(,)(,)]2
n n n n n n h
y y f x y f x y +++=++
具有二阶精度.
43、证明：改进的Euler 方法是收敛的.
44、 求常微分方程初值问题数值解法的梯形公式应用于试验方程'(0)y y λλ=<的稳定条件.
填空题
1、3.142作为π的近似值具有 位有效数字，相对误差限为 。
2、当2
4b ac >>，0b >时，用韦达定理求2
0ax bx c ++=
的一根
1
(2b a
-+时，应该改用 作计算，以减少舍入误差。
3、用二分法求方程3
10x x +-=在区间[0,1]内的根，进行二步后根所在区间为 。 4、设3221A ??=?
?-??
，23x ??
=??-??，则()cond A ∞= ，2Ax = 。
5、设()(01,2,3,4,5)k l x k =是以互异的节点(0,1,2,3,4,5)k x k =为插值节点5次Lagrange
插值基函数，则
5
5
(0)k k
k x l ==∑ ；5
543
(21)()k
k k k k x
x x l x =+++=∑ 。
6、设10011a A a a a ??
??=??????
，为使A 可分解为T
LL A =，其中L 是下三角阵，a 的取值范围
为 。
7、用复化Simpson 公式计算定积分2
sin I xdx π
=
?
，区间[0,]2
π
至少要分成 等份
才能保证截断误差不超过
51
102
-?。 8、解常微分方程初值问题0
'(,),()y f x y a x b
y a y =<
=?的梯形公式
111[(,)(,)]2
n n n n n n h
y y f x y f x y +++=++的绝对稳定区域是 。
9、用牛顿法求方程()0f x =在[,]a b 内的根，已知'()f x 在[,]a b 内不为0，''()f x 在[,]
a b
内不变号，那么选择初始值0x 满足 ，则它的迭代解数列一定收敛到方程
()0f x =的根。
10、解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报―校正公式是：
预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：y k +1= 。 11、2()(5)x x x ?α=+-，要使得迭代法1()k k x x ?+=
局部收敛到x *
=α取值范围是 。
12、 设线性方程组Ax b =的系数矩阵A 对称正定，迭代格式为
(1)()()()k k k x x b Ax ω+=+-，证明：当2
0ωβ
<<时，上述迭代法收敛（其中β是A
的特征值的上界）
13、设()(0,1,2,...,)k l x k n =是以互异的(0,1,2,...,)k x k n =为插值节点的Lagrange 插值基函数，证明：
（1）0()0,1,2,...,n
m
m
k k k l x x x m n ===∑
（2）0
()()00,1,2,...,n m k k k x x l x m n =-==∑
14、设012()()()()(,)n i j f x a x x x x x x x x i j =---≠≠ ，证明：
1
00(0,1,2,,2),
'()1
(1)
k n
j
j j k n x f x k n a ==-???=?
?=-??
∑
15、令0{()}k k q x ∞=是区间[0,1]上带权()x x ρ=的最高项系数为1的正交多项式，其中0()1q x =，求1
0()k xq x dx ?及2()q x .
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数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
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期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
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( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
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（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
数值分析模拟试题
数值分析模拟试题 一、填空题（每小题3分，共30分） 1、已知近似值* 2.4560x =是由真值x 经四舍五入得到，则相对误差限为 。 2 、为减少舍入误差的影响，应将10改写成 。 3、设(1,1,2,3)T x =-，则12_______,_______,_______x x x ∞===。 4、设1123A -??=????，则1________,________F A A ==，A 的谱半径()A ρ=。 5、用Gauss-Seidel 迭代法解方程组1212423 x ax ax x +=??+=-?，其中a 为实数，则该方法收敛的充要 条件是a 满足 。 6、迭代法12213k k k x x x +=+收敛于*x =，此迭代格式是 阶收敛的。 7、设01(),(),,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则0()n i i l x ==∑。 8、设3()321f x x x =++，则差商[0,1,2,3]_____,[0,1,2,3,4]_____f f ==。 9、数值积分的辛普森公式为()b a f x dx ≈?。 10、数值积分公式0()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑?中，0n k k A ==∑。 二、设函数2()(3)x x a x ?=+-，由迭代公式1()k k x x ?+=产生的序列为{}k x ，试讨论 ⑴当a 为何值时，序列{}k x 收敛； ⑵当a 取何值时，收敛速度最快，并指出迭代法收敛的阶。（12分） 三、设4()[0,2]f x C ∈，且(0)2,(1)1,(2)0,'(1)0f f f f ==-==，试求函数()f x 的三次 插值多项式()P x ，并求余项表达式。（14分） 四、用矩阵的直接三角分解法（即LU 分解）解方程组Ax b =，其中
最新数值分析历年考题
数值分析A 试题 2007.1 第一部分：填空题10?5 1.设3112A ?? = ??? ,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ??? 分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ ,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________ 4.方程13 cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法 113 cos 244 k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2 210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x = 323 2 323,[0,1]31,[1,2] ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7.要想求积公式： 1 121 ()(()f x dx A f f x -≈+? 的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设 ,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________ 9.用线性多步法 2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________
数值分析整理版试题及答案
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
数值分析习题与答案
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因
，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和.
解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
数值分析习题集及答案Word版
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
2014-2015数值分析考试试题卷
太原科技大学硕士研究生 2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷 一、填空题（每空4分，共32分） 1、设?????≤≤-++<≤+=2 1,1321 0,)(2 323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组12312312388 92688 x x x x x x x x x -++=-?? -+=??-+-=? 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为 ?? ???+--=++-=++=+++)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2) (3)(2)1(1882/)96(88k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，其相应的迭代矩阵为??????????-0812/102/9810。 3、方程03 =-a x 的牛顿法的迭代格式为__3 12 3k k k k x a x x x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。 4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-? 解：x 1≈0.937， 31102 1 )(-?≤ x ε 3 31111 10(x )2 (x )0.53410x 0.937 r εε--?=≤=? 5、用列主元高斯消去法解线性方程组 ??? ??=--=++=++2333220221 321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为? ? ?=+--=-5.35.125 .15.03232x x x x 6、设???? ??-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____.
2019年云南昆明理工大学数值分析考研真题
2019年云南昆明理工大学数值分析考研真题 一、判断题：（10题，每题2分，合计20分） 1. 有一种广为流传的观点认为，现代计算机是无所不能的，数学家们已经摆脱了与问题的数值解有关的麻烦，研究新的求解方法已经不再重要了。 （ ） 2. 问题求解的方法越多，越难从中作出合适的选择。 （ ） 3. 我国南宋数学家秦九韶提出的多项式嵌套算法比西方早500多年，该算法能大大减少运算次数。 （ ） 4. 误差的定量分析是一个困难的问题。 （ ） 5. 无论问题是否病态，只要算法稳定都得到好的近似值。 （ ） 6. 高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。 （ ） 7. 求Ax =b 的最速下降法是收敛最快的方法。 （ ） 8. 非线性方程（或方程组）的解通常不唯一。 （ ） 9. 牛顿法是不动点迭代的一个特例。 （ ） 10. 实矩阵的特征值一定是实的。 （ ） 二、填空题：（10题，每题4分，合计40分） 1. 对于定积分105n n x I dx x = +?，采用递推关系115n n I I n -=-对数值稳定性而言是 。 2. 用二分法求方程()55 4.2720f x x x ≡-+=在区间[1 , 1.3]上的根，要使误差不超过10 - 5，二分次数k 至少为 。 3. 已知方程()x x ?=中的函数()x ?满足()31x ?'-<，利用()x ?递推关系构造一个收敛的简单迭代函数()x φ= ，使迭代格式()1k k x x φ+=(k = 0 , 1 , …)收敛。 4. 设序列{}k x 收敛于*x ，*k k e x x =-，当12 lim 0k k k e c e +→∞=≠时，该序列是 收敛的。
数值分析试题及答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
数值分析试题集
2 A J ：；［则 || A 「一— 仙二 ------------- 'a+1 2 3 设「_1 J ，当a 满足条件 时，A 可作LU 分解。 (试卷一) 一 (10 分)已知％ =1.3409, x 2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值， 判断x-i x 2及x 1 - x 2 有几位有效数字。 二 ( 1 多项式 三(15分)设f(x)? C 4［a,b ］，H (x )是满足下列条件的三次多项式 H (a)二 f (a) , H (b)二 f (b) , H (c) = f (c) , H (c)二 f (c) ( a ：：： c ：： b ) 求f (x) -H(x)，并证明之。 1 四(15分)计算， : =10』。 o 1 +X 五(15分)在［0，2］上取X 。= 0, X 1 = 1, X 2 = 2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代 数精度。 六(10分)证明改进的尢拉法的精度是 2阶的。 七(10分)对模型y ■ = ■?y , ■：■ 0，讨论改进的尢拉法的稳定性。 八(15分)求方程x 3 4x 2 - 7x - 1 = 0在-1.2附近的近似值，；=10 "。 (试卷二) 一 填空(4*2分) 1 { k (x) }k￡是区间［0，1］上的权函数为'(x)=x 2的最高项系数为1的正交多项式族，其中 1 （x ） =1，贝y . X 0（ x ）dx = ------------ ， 1（X ）工 ------- 数值分析试题集
3 2 * * * 4设非线性方程f (x)二(x -3x - 3x -1)(x ? 3) = 0，其根& = -3 ,他 =-1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 -------------------------------------- 。 广1 —0.5 a ' 二(8 分)方程组AX=b，其中A= — 0.5 2 -0.5，X, R3 l -a -0.5 1 』 1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代 收敛最快？ 2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。 "V " = f(X y) 三(9分)常微分方程初值问题丿'的单步法公式为y n* = y n」+2hf (x n, y n)，求该 、、y°= y(x°) 公式的精度。 四(14分)设A X =b为对称正定方程组 1求使迭代过程X k 1二X k ?〉(b-A?X k)收敛的数〉的变化范围； 『2 -1 -1、、 1、『0 、 2用此法解方程组-12 0-X2=1 L1 0 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。 （1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。 （1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。 李津 2004.6.21 1、给定2阶RK基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求 yn+1=yn+h/2*(k1+k2) k1=f(tn,yn) k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1) 2、给定一个分段函数，求全函数为1区间[0，2]的最佳二次平方逼近 3、给定对称正定矩阵(3*3)，判断SOR收敛性(w=1.2)、给定初值算一步、估计5次迭代误差 4、给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度 f(x)从0积到2= r1*f(x1)+r2*f(x2) 5、给定两个矩阵A、A1(均为3*3)，将A变化为三对角阵，用QR方法对A1算一步求A2 6、(1)以前试题的变形,设B奇异，证明(||A-B||/||A||)〉=1/(||inv(A)||||A||)，其中|| 为算子范数 (2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与f(x)相同 别的题目记不太清了 第一题有些错误，正确的题目好像是： Y(n+1)＝Y(n)+h*(k1+5*k2)/6 k1=f(tn,Y(n)) k2=f(tn+3/5*h,y(n)+3/5*k1) 偶算出来的是二阶相容 第四题的矩阵A好像是： [10 -1 -2;-1 10 -2;0 -2 10] 2002.12 1.三点高斯－勒让得积分公式 最佳平方逼近，f(x)=|x|，(-1,1)分别在span{1,x^2}和span{x,x^3}中求 2.书上P236第31题第2小问原题，只是没告诉α的范围，要你求 3.书上P257原题 加了两问，证明收敛，再算一步 4.householder变换 Givens做QR分解 5.Y(n+2)=Y(n)+h(fn+f(n+2)) 求局部TE，相容，根条件，绝对稳定区间 6.定理1.12和推论，以及P167式3.4的应用 ||A-B||<1/||inv(A)|| 要证B可逆,||inv(B)||<=||inv(A)||/(1-||A-B||*||inv(A)||) ||inv(A)-inv(B)||<=(||inv(A)||)^2*||A-B||/(1-||A-B||*||inv(A)||) ft，没做完，第4题的矩阵太难算了 一． 单项选择题（每小题2分，共10分） 1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21) ，则1-A 的主特征值是（ ） A 11λ B n λ1 C 1λ或n λ D 11λ或n λ1 3． 设有迭代公式 → →+→+=f x B x k k ) () 1(。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ） A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯—塞德尔迭代法 二． 填空题（每小题4分，共20分） 1． 设有方程组 ??? ??=+-=+-=+0 21324321 32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2． 设?? ?? ??????----=111112101A ，则=∞A 3． 设1)0(,2'2 =+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 4． 设 1)(+=ax x f ,2)(x x g =。若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a = 5． 设 T x )1,2,2(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 三． 计算题（每小题10分，共50分） 1． 求 27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？ 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数字),计 算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 标题: 还是出个回忆版吧，师弟师妹小心了(高数分，小白的） 发信站: 水木社区(Tue Jan 10 17:46:47 2006), 站内 唔,后天还要考门数学,释放一下内存,不然等会就忘光了. 小题很一般了： 1.(1,1/2;1/2,1)求2范数和cond2 2.上题的QR分解 后面是几题判断题，要求写出对错和原因．题不记得了，但不难，与往年差不多（本来准备做完后将题录下来的，可是实在没时间了:(） 以下的小题顺序不一定对: du/dt=(u-u+)(u-u-) u+>u-,问哪个是稳态的哪个不是． 矩阵如果可以相似对角化，就一定可以求解特征值，其条件数等于求矩阵解的条件数cond （判断） 多重网格是解椭圆方程的最优方案，其特点是用粗网格消去高频分量，细网格消去低频分量．（判断） f (x) = f(x1,x2,x3)=x1x2-x2x3-x3^2-x2-x3临界点＼临界值＼正则点＼正则值 不完全LU分解用于用Gauss消去法求解稀疏阵．（判断） 就记得这么多了． 大题： １．（4,1,1;1,2,1;1,1,3)用初值q1=(1/3,2/3,2/3)进行lanczos分解．（数据是回忆的，不一定对）２．一个函数Ｆ(x)，表达示不记得了．问(1)证明x=(...,...)'是其解（送分的，代入就行）(2)写出Newton法迭代式（很容易写）(3)写出当x0=(...,...)'时用newton法的x1．（总体很常规，不难） ３．A=（4,1;1,1;1,2)问(1)svd分解(2)求A+(3)求r(A)，（送分的） 4.证明题:zm属于krylov空间Km(r0,Ar0,A^2r0....)，Lm=AKm(Ar0,A^2r0,A^3r0...)， 证明（r0-Azm,v)=0,v属于Lm<==>||r0-Azm||=min||r0-Az||其中z属于Km． （比较简单，书上有的．） 5．一题变分的，要求证明两个问题等价，好像是d4u/dx4=f(x)，变分为一个边值和一阶边值为零的问题．具体记不清了，因为没时间，只看了看，但也不是太难．可用分部积分算算．应该可以做出来． 【在armroe (光明使徒(鐵甲無敵阿姆羅高達第一)) 的大作中提到: 】 : 题量大,计算难.光lanczos和svd分解就计算一个多小时.最后十分钟才证明了倒数第二题.最后一道简单的证明题看着做不了.svd还没全算出来,一共才做了80多分的题,唉. 小结： 考试时间基本不够用，至少没有人能提前交卷．一些计算技巧可以节省时间． 如第一小题，对于对称阵的2范数不必算A'A，因为A'=A所以A'A的特征值是A特征值平方．如此题为3/2和1/2，所以2范数就是sqrt(p(A'A))=3/2，A-1的2范数就是A特征值的倒数的P，这里为1/2的倒数，所以是2。cond2=2*3/2=3。也就是只求A的特征值就够解两个问题了。 QR分解在这二阶情况下用Givens要比Household容易。 对于一般分解如lanczos和svd，假设参数后代入原始方程计算，往往能从数据的比较中快速求解若干参数，对解题有很大好处。不一定按部就班按书上推的公式做，那是给老实又死板机器做的，人要聪明一些^_^. 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分华南理工大学数值分析试题-14年下-C
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