排列组合和教案

预备：两个基本原理

一、教学目标

1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理

2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题

3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力

二、教材分析

1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．

2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．

三、活动设计

1.活动：思考，讨论，对比，练习．

四、教学过程

(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．

一般地，有如下原理：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法．

1.进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，

都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.

(2) 我们再看下面的问题：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法．一般地，有如下原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2…m n种不同的方法．

2.如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完

成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.

例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

1）从中任取一本，有多少种不同的取法？

2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

例2(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

练习：

1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到

丙地有2条水路可走．（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2、一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？

3．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？

4．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？

5．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

6．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

7、某班有22名女生，23名男生.

①选一位学生代表班级去领奖，有几种不同选法？

②选出男学生与女学生各一名去参加智力竞赛，有几种不同的选法？

8.复数x+yi，若x、y可分别取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的任一个，可组成个不同的复数，可组成不同的虚数.

9.①由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？

②由数字0、1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？

③由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数？

10.105有多少个约数？并将这些约数写出来.

11.从5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画中选不同画种的两幅画布置房间，有几种选法？

12、若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x,y)的不同个数有多少？

小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习

【检测与练习】

a≠,则复数a+bi的个数是…

1.若a、b∈N，且a+b≤6,b

A. 72

B.36

C.20

D.12

2.三科教师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情形有…

A.64

B.81

C.24

D.4

3.若5个运动员争夺三项冠军，则冠军结果种数为

A.5

B.60

C.125

D.243

4.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同.

①从两个口袋内任取一个小球，有种不同的取法；

②从两个口袋内各取一个小球，有种不同的取法.

5.新华书店有语文、数学、英语练习册各10本，买其中一本有种方法，买两本且要求书不同种的有种方法.

6.某工厂有三个车间，第一车间有三个小组，第二车间有四个小组，第三车间有五个小组.有一个新工人分配到该工厂工作，有几种不同的安排？

7.完成一件产品需要三道工序，这三道工序分别有第一、第二、第三车间来完成，第一车间有三个小组，第二车间有四个小组，第三车间有五个小组，各车间的每一个小组都只可以独立完成车间所规定的工序，问完成这件产品有几种不同的分配方案？

【课后检测及练习】

∈，且|x|<4,|y|<5，则以（x,y）为坐标的点的个数是

1.若x、y Z

A. 63

B. 36

C. 16

D. 9

2.有不同的语文书9本，不同的英文书7本，不同的法文书5本，从中选出不属于同一种

文字的书2本，不同的选法种数有A. 315 B. 277 C.143 D. 98

3.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数有 个.

4.乘积（a 1+a 2+a 3）(b 1+b 2+b 3+b 4)(c 1+c 2+c 3+c 4+c 5)展开共有 个项.

5.有四位考生安排在5个考场参加考试.有 种不同的安排方法.

6.已知{}{}{}2,1R ,5,4,3,0b ,3,2,1a ∈∈-∈,则(x-a)2+(y-b)2=R 2

所表示的不同圆有 个.

7.有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码，一

个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码，第三个袋子装有黄色小

球8个，每个球上标有1至8中的一个号码.

① 从袋子里任取一个小球有多少种不同的取法？

② 从袋子里任取红、白、黄小球各一个，有多少种不同的取法？

8.已知{}{}

6.0,21,3.2b ,5.0,5.1,3a ∈∈，那么b log a 可以表示多少个不同的对数？其中

正、负数各多少？

20．1 排列

【复习基本原理】1.加法原理 2.乘法原理 3.两个原理的区别：

【练习1】1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？

2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.

【基本概念】什么叫排列？从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各

不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

1. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.

2. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.

3. 什么叫一个排列？

4. 什么叫全排列？n 个元素的全排列表示为 = ，这是 个连续自然

数的积，n 个元素的全排列叫做 ，表示为 .

5. 用全排列（或阶乘）表示的排列数公式为 .

【例题与练习】

1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

2.已知a 、b 、c 、d 四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个

元素的所有排列.

【排列数】

1. 定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中

取出m 元素的排列数，用符号m n p 表示.用符号表示上述各题中的排列数.

2. 排列数公式：m n p =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

1. 写出：

① 从五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列；

② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.

③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

计算：① 3

100p ② 3

6p ③ 28

48p 2p - ④ 712812p p 【例题与练习】

1.数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

2.已知a 、b 、c 、d 四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个

元素的所有排列.

3. 排列数公式：m n p =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

【课后检测】

1.写出：

④ 从五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列；

⑤ 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.

⑥ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

2. 计算：① 3

100p ② 3

6p ③ 28

48p 2p - ④ 712812p p 3用排列数表示下列各式：

① 10?9?8?7?6= ② 24?23?22?…?3?2?1=

③ n ?(n-1) ?(n-2) ?(n-3)=

4.①从x 个不同元素中任取3个的排列数为720，则x= ；

②1111++--=+n n n n n n xp p p ，求x 的值.

5.用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数 个.

6.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？

7.某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、

二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

小结：1解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素

的个数，即n 、m 的值.

2：解有关排列数的方程关键在于用排列数公式将方程转化为关于x 的一元方程.

【课后检测】

1.由数字1、2、3、4、5、6可以组成没有重复数字的五位数 个；

自然数 个；三位数 个.

2.5个人排成一排，共有 种不同的排法.

3.从5个人中任选两人分别担任班长和团书记，所有选法的总数为 .

4.求下列各式中的n ：

① 89557=-n n n p p p ② 33210n n p p = ③ 4345=+n

n n p p p

5.求证：① 11--=m n m n np p ② 11211--++=-n n n n n n p n p p

③()()()!

!1!1!!!1k n k n k n k n ?+-=--+ 排 列

课题：排列的简单应用(1)

目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和

解决简单的实际问题．

过程：)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!

(!m n n A m n -= （其中m ≤n m,n ∈Z ） 3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=1

4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．小结

二、新授：

1. 判断下列问题是否是排列问题：

① 从7名同学中选3人去完成3种不同的工作，每人完成一种，有多少种不同的选派

方法

② 从7名同学中选3人去某地参加一个会议…………………………………（ ）

③ 设m 、n {}654321、、、、、∈，则可以构成多少个焦点在x 轴的椭圆12

2=+n

y m x （ ） ④ 从6名同学中选4人，参加4?100m 接力赛，有多少种不同的参赛方案……（ ）

小结1：判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关，若与顺序有关则是排列，

否则不是.

2. 用0、1、2、3、4、5、6组成满足下列条件的数各多少个？

① 无重复数字的四位数；

② 无重复数字的四位数偶数；

③ 无重复数字的四位数且能被5整除；

④ 个位数字大于十位数字的四位数.

小结2：解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，

先让特殊元素战位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排

列问题，0不能排在首位

一、投信箱法

⑴5由数字0，1，2，3，4可组成多少个可重复数字的四位数？

⑵5人到4家旅馆住店有几种住法？

⑶已知A=﹛a ，b ，c ，d ﹜ B=﹛1，2﹜从集A 到集合B 有多少种不同的映射？

⑷将3个不同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？

⑼将3个相同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？

（5）有五群鸽子其中有两群各自分别栖息在甲已两片树林中的栖息方法有多少种？

⑷设A={1，2，3，4，5} B={a ，b ，c}从A 到B 的映射使B 中的每一个元素都有原象

共有（ ）个？

5、4个小组，分别从3个风景点中选一处进行观光旅游，不同的选择方案的种数是 .

（A ）34C （B ）34P （C ）34 （D ）43

例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元

素可以优先考虑．

一关于错排问题

1 五个不同的元素a b c d e 每次全取作排列，如果a 不能排在首位e 不能排在末位，

共有几种排法？78

2．四个元素的全错排。

错排问题的推广：⑴六个不同的球分别装在六个有编号的小盒中，其中甲球不能放在A 盒，

乙球不能放在B 盒，有多少种放法？（小结课程表问题）

练习：⑴某一天的课程表要排入政治，语文，数学，物理，体育，美术六节课，

如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有几种排法？（504）

⑵从6个运动员中选出4人参加4*100米接力赛，如果甲已两人都不跑第一

棒，那么共有多少种不同的参赛方法？

⑶7个人按下列要求排成一纵队，分别有多少种不同的排法？

① A ，B两人必须排在两头（240）

②A不在队首，B不在队尾（3720）

③A，B，C三人中两两互不相邻（1440）

④A，B，C三人的前后顺序一定

⑤A，B，C三人相邻（720）

⑥A，B，C三人中至少有一人排在两头（3600）

⑵从5双不同的鞋中任取4只，4只鞋中至少有2只配成一双的可能取法种数？130

二邻或不邻，怎么办？

例三个男生和四个女生安下列条件排成一排有多少种排法？

⑤男生排在一起，女生排在一起有；

⑥男女生间隔相排；

⑦男生互不相邻；

⑧甲乙两人必须相邻.

小结3：解决相邻问题通常用捆绑的办法；不相邻问题通常用插入的办法.

“插空法”和“捆绑法”是解决排队问题的一种好方法，例如

（1）8人排成一排照相，A、B、C三人互不相邻的排法共有多少种？（A55A36种）（2）8人排成一排照相，A、B相邻的排法共有多少种？（A22A77种）但是，在两次使用“插空法”（简称“二次插空法”）时，若考虑问题不全面，思维不严谨，容易出现错解，现举例如下：

例：8人排成一排照相，A、B、C三人互不相邻，D、E也不相邻，共有多少种排法？1．一排6张椅子上坐3个人，每两人之间至少有一张空椅子，则共有多少种不同的

坐法？

2一条长椅子上有7个人，四人坐，求其中两个空位相邻另一张空位与这两个空位不

相邻的坐法种数？

3.要排一张有五个独唱和三个和唱节目的演出节目表，如果和唱节目不排头，并且

任何两个和唱节目不相邻，则不同的排法种数是多少？

4.由数字1，2，3，4，5，组成多少个没有重复数字1与2不相邻的五位数？

5.由数字1，2，3，4，5，组成多少个没有重复数字1与2相邻的五位数？

5．由数字0，1，2，3，4，5组成多少个没有重复数字3与4必须相邻的四位数？

6．由1，2，3，4，5这五个数字可以组成多少个没有重复数字且3在4右边的五位数？7．9人成一排，规定甲，乙之间必须有四个人，问有多少种不同的排法？

8．在一张节目表中原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三

个节目，求有多少种不同的按排方法？

9．三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举办一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女

歌唱家之间恰有一名男歌唱家，共有多少出场方案。

10．计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成

一行陈列，要求同品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方

式。

11．身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？

12．⑴四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？

⑵四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？

13.马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？

三、小结：1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；

⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；

2．基本的解题方法：

⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优

先处理特殊元素（位置）法（优限法）；

⑵某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列

后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；

⑶某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，

这种方法称为“插空法”；

⑷在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解

题途径，这是学好排列问题的根基．

三、查字典法

1 由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复数字比324105大的数？（297）

练习⑴由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字且大于13000的自然数？

⑵由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字且比500000大的偶数？

3、用0、1、2、3、4五个数字，可以组成比2000大、且百位数字不是3的四位数有多少个？

2 、求用0，1，2，3，6，9六个数码组成符合下列条件的无重复数字的三位数的个数

①能被6整除②大于320而小于920 （21 39）

3、由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字能被3整除的五位数？（216）

4、数字0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的⑴四位偶数？⑵个位不是1的

四位数。

四、【检测练习】

1.用1、2、3、4、5这5个数字组成没有重复数字的3位数，其中偶数共有……（）

2.有9个男生，5个女生排成一排，要求女生排在一起(中间不能有男生)，不同的排

有（）种………………………………………………………………………………（）3.用1，2，3，4，5，6，7这7个数字作全排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，这样的七位数共有………………………………（）

4.用0，2，4，6，9五个数字组成无重复数字的五位偶数，共有（）个

5.用数字0，1，2，3，4能组成没有重复数字且比20000大的五位数奇数共有( )个

6.有3位老师和5位学生照相，如果老师不排在最左边且老师不相邻，则不同的排法种数是

7.一台晚会有6个节目，其中有两个小品，如果两个小品不连续演出，共有不同的演出顺序种

8.用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？五位奇数？五位偶数？

9.某班一天六节课：语文、英语、数学、物理、体育、自习.按下列要求，分别有多少种排

课方法①第一节不排体育、自习；②数学不排下午，体育不排在第一、四节.

【几何复习题】求双曲线x2-4y2=-8的焦点、顶点坐标，取值范围，实轴、虚轴的长，渐近线、准线、共轭双曲线的方程，离心率，两准线的距离.

20.2 组合⑴

课题：组合、组合数的概念

目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．

过程：1．复习排列的有关内容：

2．提出问题：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的．

引出课题：组合

．．问题．

【应用举例】

1.下面的问题中属于组合的是（在括号内打√）

（1）集合{0，1，2，3，4}的含两个元素的子集的个数是多少？…………………（）；（2）五个足球队进行循环赛，共要比赛多少场？………………………………（）；（3）从1 9中取2个相加，有多少个不同的和？…………………………………（）如果相减，有多少个不同的差？……………………………………………（）；（4）由没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段？………………………（）如果连成有向线段，共有多少条？…………………………………………（）；（5）某小组有9位同学，从中选出正副班长各一人，有多少种不同的选法？…（）若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？………………（）

2.列举从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的所有的组合和排列.

二、新授：1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同

判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：

⑴从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合）

⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）

2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做

从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．

例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即

有323=C 种组合．

又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，

CD 一共6种组合，即：624=C

题，关键是看是否与顺序有关． 那么又如何计算m n C 呢？

3．组合数公式的推导分步计数原理得：34A ＝?34C 33A ，所以：

333434A A C =． ⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：

① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m

个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m m

A ? ⑶ 组合数的公式：

!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n +---==

或 )!

(!!m n m n C m n -=

),,(n m N m n ≤∈*且 4．例题讲评 例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分

例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有

多少种？

3.求下列各题中的n 的值.

(1)34n n P C = ； (2)n n n C C C 76510711=- 3、=+299399C C 、若x 2172x 17C C =+，则

x 的值是 .

小结：①注意约简，②用排列数和组合数公式将等式转化为n 的一元方程解之.

4.证明下列恒等式

（1）m n n

m n C C -=； （2）1m n m n m 1n C C C -++=

小结：组合数的性质：① m n n m n C C -= ② 1m n

m n m 1n C C C -++= 性质①常用来简化运算，性质②通常用来证明组合恒等式

5、 证（1）1m 1n m 1n 1m n

m 1n C C C C ----+++=；（2）m n 1m n 1m n 1m 2n C 2C C C ++=-+++ 6．求证：11+?-+=

m n m n C m

n m C 7. 设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值． 【课后检测】

1.下面几个说法中 正确的是个数是…………………………………………………（ ） ① 组合数就是一个组合中元素的个数；

② 两个组合中的元素完全相同也可能是不同的组合；

③ 从n 个元素中抽取m(m ≦n)个元素的排列，可以看作先从n 个元素中抽取m 个进行组

合，再对m 个元素进行全排列.

A.0

B.1

C.2

D.3

5.求值：=3100C ；=÷++31n 2

2n C C .

6.判断下列各命题是排列问题还是组合问题：

(1)从五种不同的水稻良种中，选出3种：

①分别种在土质一样的三块田里作试验，有多少种方法？ 是 问题.

②分别种在土质不同的三块田里作试验，有多少种方法？ 是 问题.

(2)从50件不同的产品中抽出5件来检查，有多少种不同的抽法？ 是 问题.

(3)五个人中互送照片一张，共送了多少张照片？ 是 问题.

(4)平面内有不共线的三点：

①过其中任意两点作直线，一共可以作多少条直线？ 是 问题.

②以其中一点为端点，并过另一点的射线有多少条？ 是 问题.

(6) ①从5本不同的书中选出2本借给某人，有多少种不同的借法？ 是 问题.

②若从5本不同的书中选出2本分别借给甲、乙两人，又有多少种不同的借法？

是 问题.

7.用排列数或组合数表示下列问题，并计算出结果.

（1） 从3、4、5、7四个数字中每次取出两个.

①构成多少个不同的分数？ ②可以构成多少个不同的真分数？

（2） 从10名同学在任选出3名同学.

①担任三种不同的职务，有多少种不同的选法？

②组成一个代表队参加数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3） 从10本不同的书中任选3本. ①个同学每人一本，有多少种不同的借法？

②借给一个同学，有多少种不同的借法？

8. 已知点P （4，6），F 为抛物线x 2=4y 的焦点，点M 在抛物线上移动，则MP|+|MF|

的最小值为 ，取得最小值时点M 的坐标为 .

【课后检测】

1.若2

n 3n C 12P =，则n 等于（ ）

2.已知m 、n 、x ∈N 且n x m

x C C =，那么m,n 间的关系是( )

3.89

9989100C C - =( )

4.已知,C C 3

m 15m 15-=则m= .

5.根据条件,求x 的值.

(1)若27x 7C C =,则x= ；(2)若x 16

18

x 218C C -=,则x= ； (3)若3:44C :C 2x 3x =,则x= ；(4)若8x 12x C C =,则x= ； 6.利用组合数的性质进行计算

（1）=+-+4m 51m 5m C C C ；（2）=+++97999698959794

96C C C C ；

（3）=++++210242322C C C C ；（4）=++++1720251403C C C C .

7.解下列方程或不等式

（1）5x 516x x 16C C 2

--=； *（2）31x 3x 1x x C 4P xC +-=+ （3）2x 9x 9P 6P ->

20.3 组 合 ⑵

课题：组合的简单应用及组合数的两个性质

目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．

过程：2．练习一：

练习1：求证：11--=m n m n C m

n C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ） 练习2：计算：① 310C 和710C ； ② 26

37C C -与36C ；③ 511411C C + 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792

（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）

3．练习二：

⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

二、新授：

1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．

理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因

为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每

一个组合一一对应．．．．

，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n

m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

证明：∵)!

(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -=

∴m n n m n C C -= 注：1? 我们规定 10=n C

2? 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

3? 此性质作用：当2

n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化． 例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．

4? y n x n C C =y x =?或n y x =+

2．示例一：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有

1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．

一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m n C 1+，

这

些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从

132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，

共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计

数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思

想，“含与不含其元素”的分类思想．

3．组合数的 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n

C ． 注：1? 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多

1而上标与高的相同的一个组合数．

2? 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我

们会看到它的主要应用．

4．示例二：

⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C

⑶ 解方程：3213113-+=x x C C ⑷ 解方程：33322210

1+-+-+=+x x x x x A C C ⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和55

4535251505C C C C C C +++++ 推广：n n n n n n n n C C C C C 21210=+++++-

5．组合数性质的简单应用：

证明下列等式成立：

⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C

⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C

⑶ )(2

3210321n n n n n n n n n C C C n nC C C C +++=++++ 三、小结：1．组合数的两个性质； 2．从特殊到一般的归纳思想．

四、作业：

20.4 组 合 ⑶

课题：组合、组合数的综合应用⑴

目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力．

过程：一、知识复习：

1．复习排列和组合的有关内容： 依然强调：排列——次序性；组合——无序性．

2．排列数、组合数的公式及有关性质

性质1：m n n m n C C -= 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n

C 常用的等式：111010====+++k k k k k k C C C C

二、例题评讲：

四分类选取法

1．有红、黄、蓝三种颜色的小球各五只，都分别标有字母A、、B、C、D、E现再次取

五只要求字母各不相同且颜色齐备，有多少种不同的取法？

2．乒乓球的10名队员中有三名主力队员，派五名参赛，三名主力队员要求安排在一

、三、五位置，其余7名队员选取2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排法有（252 ）。

3．将5本不同的书全部分给3人，每人至少1本，则不同的分法种数？

（C51C41+C51C43+C53C21+C51C42+C52C31 +C52C32=150）

4．有划船运动员10员，其中3人会划右舷，2人只会划左舷，其中5人既会划右舷又

会划左舷，现在要从这10人当中选出6人平均分配在一只船的两舷划桨，不考虑在同

一舷中3人的顺序，有多少种选法？675

4．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

5．数学高考试题的第一大题15道选择题，满分65分，其中①—⑩题答对一题得4分，第⑾—⒂题答对一题得5分。答错或不答均得0分，某考生第一大题答对12道题，得

分不少于52分，问有多少种不同的答题情形？345

⑹将n本不同的书分给n-1个人，每个人至少一本（要求全部分完）共有多少种分法？

(解先取两本书为一组，其余每本书为一组，将n-1份书分给n-1个人有Cn2（n-1）！

⑺四名优等生保送到三所学校，每所学校至少一名，则不同的选送方案是（）

⑻将10个名额分配给7个班，每个班至少有一个名额的分配方法（）

⑼将3个相同的小球，放在4个不同的盒子内，有多少种放法？

⑽四个不同的小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，则恰有一个空盒的放法（）

⑾从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各

1台，有多少种不同的取法？70

⑿有5个队参加篮球比赛，首轮平均分成三组进行单循环赛，并规定同组的两个队不再

赛第两场，则共进行的比赛有（）场。

13、1、2、、、、100中每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法

有多少种？