华东理工大学高等数学作业答案第10章

第 10 章（之1）（总第53次）

教学内容：§10.1向量及其运算

* 1. 设 a b a b ==+=2232,,，则(,)

a b ∧= ．

答：

5π． ** 2.设向量 a 与 b 不平行，

c a b =+，则(,)(,) a c b c ∧∧=的充分必要条件为．

答：||||b a =．

** 3.设直线L 经过点0P 且平行于向量a , 点0P 的径向量为0r ，设P 是直线L 的任意一点，

试用向量0r ，a 表示点P 的径向量r ．解：∵a P P ||0， ∴a t P P

=0，而P P r r 00+=

，

∴a t r r

+=0

∴P 点的径向量为 a t r

+0．

** 4．设 3,2==b a ，a 与b 的夹角等于π3

，求：

（1）b a ?；（2）)2()23(b a b a +?-；（3）b a )(；（4）b a 23-．

解：（1）??=?b a b a a ,cos b 332

cos 32-=??=π．

（2）()()

b a b a

223+?-b a b a 44322+-=

()363434232

-=-?+?-?=．

（3）()133-=-=?=b

b a a b

．

（4）()()

b a b a b a 2323232-?-=-b a b a

124922-+=

()108312342922=-?-?+?=，

3610823==-b a

．

** 5．设5,4==b a ，a 与b 的夹角等于π3

，求：

（1）b a b a -+)(；（2）b a 25+与b a -的夹角．解：（1）(

)()b a b

a b a

--=-?2

b a b a 222-+=213

cos 542542

2=??-+=π，

∴21=-b a

，

(

)

()()

b a b a b a b

a b

--+=+?-21

2b a -=215422-=7213-=．（2）()(

)

b a b

-+?25b a b a 32522--=

cos

54352452

2=??-?-?=π

，

∴向量b a b a

-+,25垂直．

** 6. 若a ，b 为非零向量，且b a b a -=+，试证b a ⊥．解：b a b a

-=+， ∴ 2

b a b a

-=+，

∴()(

)()(

)

b a b

a b a b

a --=++??，

∴b a b a b a b a

222222-+=++， ∴0=?b a ， ∴b a ⊥．

***7．用向量的方法证明半圆的圆周角必是直角．解：如图所示，AC 为直径，B 为圆周上任一点， =→

--OA →

---OC ， ||→--OB ==→--||OA ||→

--OC ，

则有 →

--AB →

--=OB →

---OA ，

→--CB →--=OB →---OC →--=OB →

--+OA ，

→--AB →--?CB →--=OB (?→---)OA →--OB ()→--+OA 0||||22

=-=→

--→--OA OB ，

∴ 半圆的圆周角必为直角．

第 10 章（之2）（总第54次）

教学内容：§10.2空间直角坐标系与向量代数

1.填空题

*(1) 点A （2，－3，－1）关于点M （3，1，－2）的对称点是______ ．

答：（4,5,3-)

**(2) 设平行四边形ABCD 的三个顶点为A B C (,,),(,,),(,,)231

243313----，则 D 点为______ ．答：（5,8,7--）

**(3) 已知{}{}

a b z =-=-45314,,,,,，且 a b a b +=-，则z =______ ．

答：8-

**2. A,B 两点的坐标分别为)1,3,(),,5,2(--q p ，线段AB 与y 轴相交且被y 轴平分，求q

p ,之值及交点坐标．

解：令AB 与y 轴相交于C 点，即C 为AB 的中点，则C 点的坐标为 )2

,235,22(

+-+-p q ，又C 点在y 轴上，所以

,022=+=+-p q

，即 1,2-==p q ，故C 点的坐标为)0,1,0(，即交点的坐标为)0,1,0(．

**3.设A,B 两点的坐标分别为()()1,0,1,1,2,0-．求（1）向量AB 的模；（2）向量AB 的方向余弦；（3）使2=的C 点坐标．

解：（1）}2,2,1{-=，则32)2(12

=+-+=，

所以的模为3．（2）3

2cos ,32cos ,31

cos =-==

r βα．

（3）设C 的坐标为（x ,y ,z ），由CB AC 2-= 则

2)2(1)2(10=-+-?+=

x ， 2)

2(1)2(02-=-+-?+=y ， 3)2(1)

2(1)1(=-+-?+-=z ，

所以C 点的坐标为)3,2,2(-．

**4. 求q p ,的值，使向量}4,,2{-p 与},0,1{q -平行，再求一组使此两向量垂直的q p ,值．解：向量}4,,2{-=p u 与},0,1{q v -=

平行，

即：v u

λ=，

∴

q p 4

012-=

=-， ∴2,0==q p ，向量u 与v 垂直时，

0=?v u

， ∴()()04012=?-+?+-?q p ． ∴2

=q ， p 为任意值．

**5.求作用于某点三个力}5,4,3{},4,3,2{},3,2,1{321-=--==F F F 之合力的大小及方

向．

解：321F F F F ++=合{}{}{}{}4,1,25,4,34,3,23,2,1=-+--+=，

合力的大小 21412222=++=

合F

，

4cos ,21

1cos ,21

2cos =

γβα，

其中γβα,,分别为合F

与x 轴，y 轴，z 轴的夹角．

** 6.试在xy 平面上求一与 }1,1,1{=a 成正交的向量．

解：设所求向量为 {}z y x b ,,=

， ∵ 在xy 平面上，

∴0=z ，且 0=?b a

，

即：{}{

}01,1,10,,=?y x ， ∴0=+y x ，

y x -=，

取 1,1-==y x ， ∴ 向量 {}0,1,1-=b 与 {

}1,1,1=a

正交．

** 7.设}2,2,1{-=a ，}4,0,3{-=b ，求：

（1）j a

?；（2）k b ?；

（3）)()2(b a b a -?+；（4）)3()(b a b a -?+．解：（1）2)22(-=?+-=?．（2）33)43(-=?=?-=?．

（3）)}4(2,2,31{}422),2(2,312{)()2(----?-?-?+?=-?+b a b a

260)2()4()2(5}6,2,2{}0,4,5{-=?+-?-+-?=--?-=．（4）}24,40,32{}10,6,0{}2,2,4{)3()(---=-?--=-?+b a b a ． ** 8.设}1,1,0{-=a ，}1,1,2{-=b ，求：

（1）a b b a )(,)(；（2）a 与b 的夹角．解：（1）11

)1()2(}

1,1,2{}1,1,0{)(22-=+-+-?-==

b b a a ；

()

{}{}()

2111,1,01,1,22

=-+-?-=

?=a

a b b a

；

（2）θcos =?b a ，即 θc o s 222??=-，则 2

cos -

=θ，又 πθ≤≤0，所以 43πθ=，即a 与的夹角为4

3π．

** 9.在yz 平面内求模为10的向量b ，使它和向量 k j i a 348+-= 垂直．

解：∵ 向量b

在yz 平面内， ∴ 可设坐标为 {}z y ,,0，

∵ a b ⊥， ∴ 0=?a b

，

即：{}{

}03,4,8,,0=-?z y ， ∴034=+-z y ，又 1022=+=

z y b

， ∴6,8==y z ，或 6,8-=-=y z ，

∴向量b

的坐标为：{}8,6,0 或 {}8,6,0--．

*** 10. 试证明

∑∑∑===≥

2i i

i i i

i i

a b

．

其中321,,a a a 及321,,b b b 为任意实数．

解：设b a

,的坐标分别为{}{}321321,,,,,b b b a a a ，

b a b a b a b a

?≤???=?,cos ，

即：2

32221232221332211b b b a a a b a b a b a ++?++≤++，

∴

∑∑∑===≥

i i

i i i

i i

a b

．

第 10 章（之3）（总第55次）

教学内容：§10.3平面与直线[10.3.1]

**1.解下列各题

(1) 平行于x 轴，且过点)2,1,3(-=P 及)0,1,0(=Q 的平面方程是______ ．答：y z +=1

(2) 与xOy 坐标平面垂直的平面的一般方程为______ ．答：Ax By d A B ++=+≠0

022()

(3) 过点)1,2,1(=P 与向量k j S k j i S

--=--=21,32平行的平面方程为_____ ．

答：x y z -+=0

(4) 点 )1,2,6(0-=M 到平面 0622=++-z y x 的距离为=d ___________．解： ()()22

216

122262

=+-++-?+?-=

d ．

（5）平面3360x y --=是（）（A ）平行于xOy 平面（B ）平行于 z 轴，但不通过 z 轴（C ）垂直于y 轴

（D ）通过z 轴

答：B

**2.填表讨论一般方程0=+++D Cz Bx Ax 中，系数A,B,C,D 中有一个或数个等于零的

解：0=+++D Cz By Ax ，（1）0,0≠=ABD C 平行于z 轴（不包括过z 轴）的平面．

（2）0,0≠?==C B D A 过x 轴的平面（不包括过y 轴、z 轴的平面）．

（3）)0(,0,022≠?≠+==B A B A D C 过z 轴的平面．（4）0,0==≠C A B 平面垂直于y 轴．

3．在下列各题中，求出满足给定条件的平面方程：

**（1）过点()2,3,1--=P 及()1,2,0-=Q 且平行于向量{}1,1,2--=l

；

解：所求平面的法向量n

垂直于向量{}1,1,2--=l

与由点()2,3,1--=P 与点()1,2,0-=Q 构

成的向量{}1,1,1-=，故取{}1,3,21

1211

1=---=?=k

j i l n

．

故可得所求平面方程为 ()()()023312=++-++z y x ，即 0532=-++z y x ．

**（2）过z 轴且垂直于平面0723=+--z y x ；解：平面0723=+--z y x 的法向量 {}1,2,3--=n ，

故所求平面法向量n

与0n 垂直，与z 轴正交，故可取

{}0,3,21

123--=--=?=k

j i k n n ，

所求平面过z 轴，故此平面必经过原点()0,0,0，

故可得所求平面方程为 0032=+--z y x ，即 032=+y x ．

**（3）垂直于yz 坐标面，且过点()2,0,4-=P 和()7,1,15=Q ；

解：由题意可知()2,0,4-=P 、()7,1,15=Q ，所以{}9,1,1=．又由题意可知所求平面

法向量 n

即与x 轴垂直，又与向量垂直，故可取

{}1,9,00

911

-==?=k

j i i n

，故可得所求平面方程为：()()()02109=+-+-z y ，即： 029=--z y ．

***4.自点)5,3,2(0-=P 分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程．解：垂足分别为：)0,3,2(=A 、)5,3,0(-=B 和)5,0,2(-=C ，所以

}5,3,0{},5,0,2{--=--=

平面法向量为

}6,10,15{5

30502--=----=?=k

j i n

故平面方程为：15106600x y z +--= ．

*** 5．过两点)3,4,0(-=M 和)3,4,6(-=N 作平面，使之不过原点，且使其在坐标轴上

截距之和等于零，求此平面方程．解：设平面方程为：

x a y b z a b

+-+=1，由于它过M N ,两点，则

?????=+--=++13

461

34b

a b a b a b 解得：a b ==-326,

,，

故平面方程为： 2366x y z --= 或 63218x y z +-=．

**6．判断下列各组平面相对位置，是平行，垂直还是相交，重合．

（1）ππ1221022430:,:x y z x y z -+-=-+-= （2）ππ122210220:,:x y z x y z ---=+-=

解：（1）ππ12,法向量分别为n n n n 12211122242=-=-={,,},{,,}

取π1上一点(,,)100，显然不在π2上，故ππ12,平行，不重合．（2）ππ12,法向量分别为n n n n 12212211220=--=-?={,,},{,,},

故n n 21,垂直，从而ππ12,垂直．

第 10 章（之4）（总第56次）

教学内容：§10.3平面与直线[10.3.2，10.3.3]

**1．解下列各题：

（1）过点M M 12321102(,,),(,,)--的直线方程为???????????????? ．答：x y z +=-=--1422

（2）直线x y z x y z -+-=+-+=??

?230

2260

在xOz 坐标面上的交点为=P ____________，并利用该点

的坐标，写出此直线的对称式方程和参数方程．

答： )3,0,0(=P ．对称式方程为x y z 3435==-，参数方程为??

??+===3

543t z t y t

（3）直线k

y a x =-=

+21在平面3=-+z y x 上的充要条件是=a ______，=k _____．答：2-=a ，3=k ．因为点)0,1,(a P -=在平面上，直线的方向向量{}k l ,2,1=→

与平面的法向量{

}1,1,1-=→

n 必须垂直．

**2．求经过点)2,0,3(-=A 且与两个平面1=+z x 及1=++z y x 同时平行的直线方程．

解：所求直线L 的方向向量 {}1,0,11=⊥n l

，且 {}1,1,12=⊥n l ，

∴ 可取 {}1,0,11

1110121-==?=k

j i n n l

，

∴ 所求直线方程为：

13-==-+z y

x ．

**3．求经过点)0,1,2(-=A 且与两条直线z y x ==及1

1201-=-=+z

y x 同时垂直的直线方程．

解：所求直线L 的方向向量 {}1,1,11=⊥l l ，且 {}1,1,02-=⊥l l

，

∴可取{}1,1,21

1011121-=-=?=k

j i l l l ， ∴所求直线方程为：

z y x =+=--1

22． **4. 求出过点)3,4,1(--=A 且与下列两条直线

???-=+=+-53142:1y x z y x L ?????+-=--=+=t

z t y t

x L 23142:2

均垂直的直线方程．

解：?

??-=+=+-531

42:1y x z y x L

，{}1,4,211-=⊥n l ，{}0,3,121=⊥n l

∴ 可取 {}10,1,3211-=?=n n l

，

231142231142

23142:2+=-+=-?????

?????=+=-+=-??????+-=--=+=z y x t z t y t

x t z t y t x L ，

∴ 可取 {}2,1,42-=l ，1l l ⊥，且2l l

⊥．

∴ 可取 {}1,46,1221-=?=l l l

，

∴所求直线方程为

464121--=+=+z y x ．

**5.求通过点()5,1,20-=M 且与直线1

2131-=-=+z

y x 相交并垂直的直线方程．解法一：直线1

2131:1--=-=+z y x L 上取一点()0,1,11-=M ，过点0M 与直线1L 的平面π的法向量n ，则1l n ⊥ 且 10M M n ⊥

，

∴{}{}{}6,12,105,0,31,2,3101-=-?-=?M M l ，故n 可取为 {}3,6,5-=n ．

因所求直线L 过点0M 点且与1L 相交，故L 亦在平面π上，故 {}28,14,0,

1--=?⊥n l n l

，故可取 {}2,1,0=l

．

故所求直线方程为

1102+=-=-z y x ．解法二：过点0M 作垂直于直线1L 的平面π：

()()()051223=+--+-z y x ，即01323=--+z y x

直线1L 与平面π的交点M 的坐标满足： ?????-====????

??=-=-=+=--+1

321

1213

101323z y x t t z

y x z y x

∴M 点坐标为()1,3,2-，∴{}4,2,00=M M ， ∴所求直线方程为：2

1102+=-=-z y x ．

** 6．试求k 值，使两条直线7

4933:,33541:

21+=--=+--=+=-z y x L z y k x L 相交．解：将第二条直线的参数方程???

??-=+-=-=1479433t z t y t x 代入第一条直线方程，有

344135717

t k t t -=-+=--

解得 k =2

**7．求直线l x y z 112110:-=

--=+与l x y z 21103

:-=+=-之间的夹角．解：l 1，l 2方向向量分别为S S 12110102=-=-{,,},{,,}，

cos(,)||||

S S S S 121212110∧

，故l 1，l 2之间的夹角为 arccos 1

．

**8．已知直线

121-=

-=+z

p y x 和平面126=+-z y qx 垂直,求常数q p ,之值．解： {}{}2,6,//1,,2-=-=q n p l

，

∴

3,42

162=-=?-=-=p q p q ．

**9．求过直线??

?=-+-=--+0

420

7572z y x z y x 且在x 轴和y 轴上的截距相等的平面方程．

解：过直线?

?=-+-=--+0420

7572z y x z y x 的平面束方程可设为

()()(*)

427572=-+-+--+z y x v z y x u

令0==z y ，求得在x 轴截距v u v

u x 2247++=

，

令0==z x ，求得在y 轴截距v

u v

u y -+=

747．

∵y x = ∴

u v

u v u v u -+=++7472247，

∴v u v u v u -=+=+722047或，

即:

74=-=v u v u 或,代入（*）式，可得满足条件的平面有两个（1）()()04275727

=-+-+--+-

z y x z y x ，即：027356=+-z y x ；（2）()()04275725

=-+-+--+z y x z y x ，即：41101616=-+z y x ．

***10. 求直线z y x ==在平面135=-+z y x 上的投影直线．

解：直线L 的方向向量 {}1,1,1=→

l ．在直线L 上取一点()0,0,0=A ，显然不满足方程135=-+z y x , ∴A 不在该平面上．

设过A 做与平面135:0=-+z y x π的垂直的平面π．

则平面π的法向量可取为 {}1,1,243

511110---=-=?=k

j i n l n

，

这就得到了π的方程为02=--z y x ．从而得到投影直线方程为

??=--=-+02135z y x z y x ．

第 10 章（之5）（总第57次）

教学内容：§10.4空间曲面

1. 选择题 *(1) 曲面z x y =

+22是（）

（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面（B ）zoy 平面上曲线z y =绕z 轴旋转而成的旋转曲面（C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面（D ）zoy 平面上曲线z y =绕y 轴旋转而成的旋转曲面答：B

** (2) 方程12

=+z x 在空间表示（）

（A ）z 轴（B ）球面

（C ）母线平行y 轴的柱面（D ）锥面

答：C

*(3) 方程x y z 2

925

-=-是（） (A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 椭球面 (D) 双曲抛物面

答：B

*(4) 双曲面x y z 2

1--=与yoz 平面（） (A) 交于一双曲线

(B) 交于一对相交直线 (C) 不交 (D) 交于一椭圆

答：C

*2. 求以)1,1,1(),5,4,1(21==M M 为直径的两个端点的球面的方程．解：M M 12,中点为)3,2

1(0=M ，M M 125=．即直径为5，半径为5/2．

故球面方程为

()()()()x y z -+-+-=15235

2222．

即x y z x y z 222256100++---+= ．

**3. 动点M 到两定点)0,0,4(),0,0,(21a P a P ==的两个距离之比等于1：2，求动点M 的

轨迹方程．

解：设动点M =(,,)x y z

P M P M 12

12::= 即 44222222

[()]()x a y z x a y z -++=-++，即 x y z a 2222

2++=() ．

**4．动点),,(z y x M =到点()2,0,0=A 的距离和它到xy 平面的距离相等,求动点M 的轨迹

方程．

解：动点),,(z y x M =到点()2,0,0=A 的距离为 ()2

2212-++=z y x d ，

动点M 到xOy 平面的距离为 212d d z

d ==，

∴动点M 的轨迹方程为 ()22

222z z y x =-++，整理得：442

-=+z y x 是旋转抛物面．

**5. 求yOz 平面上曲线y z 2

1-=分别绕y 轴，z 轴而成的旋转曲面的方程．解：绕y 轴 -+-=x y z 2

1；绕z 轴 x y z 2

1+-=．

6. 把下列方程化为标准形式，从而指出方程所表示曲面的名称并画出图形． **（1）01422222=-++-+y x z y x ；解：01422222=-++-+y x z y x ，

()()

1422222

=-+++z y y x x

，

()()14

22=-+++z y x ，是一个单叶双曲面，中心为()0,1,10--=M ．

**（2）09284222=--+--z y z y x ．

解：09284222=--+--z y z y x ， ()()

9224222=+---z z y y x ，

()()41142

2=+---z y x ，

()()14

1142

2=+---z y x ，是一个双叶双曲面，中心为()1,1,00-=M ．

第 10 章（之6）（总第58次）

教学内容：§10.5向量函数空间曲线基本知识

**1. 求曲线x y z x z 222

1645

1230

+-=-+=?????在xoy 平面上的投影柱面方程．

解：消去z ，得x y x 2

20241160+--=，即为所求投影柱面方程．

**2．求以曲线?

??=+-=++11

22222z y x z y x 为准线，母线平行于z 轴的柱面方程．解：131

1222222222=-?????

?=+-=++y x z y x z y x z

消故所求柱面方程为132

2=-y x ．

**3. 求曲线z x y x y z =+++=???22

在各坐标平面上的投影曲线方程．

解：消去z ，得x y x y 221+++=

故在xoy 平面上，投影曲线为 ?

??==+++01

22z y x y x

消去x ，得z y z y =--+()122

故在yoz 平面上，投影曲线为 ???=+--=0

)1(2

2x y z y z

消去y ，得z x x z =+--221()

故在xoz 平面上，投影曲线为 ???=--+=0

)1(2

2y z x x z

** 4．把曲面1222=++z y x 和1=+y x 的交线改写为母线分别平行于x 轴与y 轴的两个

柱面的交线．解：

)1(1

1222??

?=+=++y x z y x

由（1）消去x ()022*******

=+-?=++-?z y y z y y ，由（1）消去y ()022*******

=+-?=++-?z x x z x x ，

交线可写为?

??=-+=-+0220

222

222x z x y z y ．

**5. 求由曲面322x y z +=和z y =-12

所围成的立体在 xOy 平面上的投影区域．

解：投影区域由交线?

??-==+2

2213y z z

y x 在xOy 平面上投影曲线所围成投影曲线为???=-=+013222z y y x ，故投影区域为 ???=≤+0

2322z y x ．

**6. 试求曲线

()k e j e i t t r t t

-++= 对应于0=t 点出的切线方程．

解：()k e j e i t r t t

-++=θ，

∴此空间曲线的参数方程为 ()()()()()()???

??-===??????===--t t t t e

t z e t y t x e t z e t y t t x ''1'．

∴在对应于0=t 时， 0

0010e e z e e y x --=-=-，即：1

11--=

-=z y x ．

**7. 试求曲线

()()()k t j t i t t r

23sin 23cos 2++= 从0=t 到4=t 这一段的弧长．

解：空间曲线的参数方程为()()()()()()()()???

??==-=??????===t t z t t y t t x t

t z t t y t t x 2'3cos 6'3sin 6'3sin 23cos 22．

∴ 弧长()[]()[]()[]dt t z t y t x s ?++=

''' dt t t t ?

++=4

22243cos 363sin 36

3ln 920924

2+=+=?dt t ．

华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(答案)

华东理工大学继续教育学院成人教育《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案）一、单项选择题 1、设xy e y z 2 =，则=)1,1(dz 答（ A ）（A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e - （C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解（知识点：全微分的概念、全微分的计算方法）因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==，所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+ 2、设方程0yz z 3y 2x 22 2 2 =-++确定了函数z=z （x ，y ），则 =??x z 答（ B ）（A ） y z x -64 （B ） z y x 64- （C ） y z y +64 （D ）y z y -64 解（知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法）将方程两边对x 求导得 460z z x z y x x ??+-=??，解得 46z x x y z ?=?- 3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则答（ C ）（A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解（知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系）由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ?=. 平面过原点 0D ?=，所以有 0D ,0B ==，选（C ）. 4、设u =(0,0) u x ?=? 答（ A ）（A ）等于0 （B ）不存在（C ）等于1- （D ）等于1

华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案

第 11 章（之1）（总第59次）教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-2 2 1连续区域是．答：x y 2 2 1+> **（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=? ?? ? ?22 2222000 ，则（） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域：（1）= u y x -；解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分：（2）)1ln(),(xy y x f +=；解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）．（3）y x y x z +-= ．解： ()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．

***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222，即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→．解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在．解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ，故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1）（总第44次）教学内容:§微分方程基本概念 *1．微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是（）（A ）3；（B ）4；（C ）6；（D ）7．答案（A ）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2．下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是（）（（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=；（B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=；（C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=；（D ）)2cos(α+=x C y ．答案（D ）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ，由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．

华理高数全部复习资料之数列与无穷级数

第8章数列与无穷级数（一）数列 1．数列极限的定义若ε?>0，?正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限，或称数列}{n a 收敛于L ，记为L a n n =∞→lim 。否则称数列}{n a 发散。 2．数列极限的运算法则若 ()1 lim L a n n =∞ →，2 lim L b n n =∞ →，c 是常数，则 ()1 lim cL ca n n =∞ →； ()21lim L L b a n n n ±=±∞→； ()2 1lim L L b a n n n =∞ →； ()0,lim 221 ≠=∞→L L L b a n n n 。 3．数列极限的性质 (1)若L a n x =∞→lim >0则正整数?N ，当N n >时成立n a >0；L b a N n N n n n =≥>?∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。 (2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）: L b L c a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>?∞ →∞ →∞ →lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单调有界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5．数列极限与函数极限的联系

对于数列{} n a，若存在定义域包含[)∞ ， 1的函数()x f，使()n f n a=，且()L x f x = +∞ → lim ，且 L a n n = ∞ → lim 。 6．数列与数列的关系（1）若 L a n n = ∞ → lim ， {} k n a是{}n a的一个子数列，则L a k n k = ∞ → lim 。（2）若 L a a k k k k = = + ∞ → ∞ → 1 2 2 lim lim ，则 L a n n = ∞ → lim 。（二）无穷级数的基本概念1．级数敛散性的定义称 ∑ = = n k k n u s 1为级数 ∑∞ =1 n n u 的前n项部分和 () ,2,1=n，而称数列{} n s为级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列。若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s收敛，即s s n n = ∞ → lim ，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，称s为该级数的和，记为 s u n n = ∑∞ =1，同时称 ∑∞ + = = - = 1 n k k n n u s s r 为级数 ∑∞ =1 n n u 的余和。若级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列 {} n s发散，则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散。 2．级数的基本性质（１）若 s u n n = ∑∞ =1，c是常数，则 cs cu n n = ∑∞ =1。（2）若∑∞ =1 n n u =s， σ = ∑∞ =1 n n v ，则 ()σ+ = + ∑∞ = s v u n n n 1。（3）若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ + =1 m n n u 也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。（4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。

吉林大学作业及答案-高数A1作业答案

高等数学作业 AⅠ 吉林大学数学中心 2017年8月

第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题 1．下列结论正确的是( A )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ；（B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0；（C ）x arctan 是无界函数；（D ）4 -22arccos π =． 2．下列函数中不是奇函数的为( B )．（A ）x x x x e e e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2 x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( C )．（A ）π；（B ）π3 2 ；（C ）π2；（D ）π6． 4．. ??? ??-??? ??-??? ? ? -∞→22211311211lim n n Λ=（ C ）（A ）0；（B ）1；（C ）0. 5；（D ）2． 5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ A ）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1 =+∞→n n n a a 则( D )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞ →c a n n ；（C ）n n a ∞ →lim 不存在；（D ）0lim =∞ →n n a ．二、填空题

1．=???? ??-+ +-+-∞→n n n n n 2 2241 2 411 41 lim Λ 0. 5 ． 2．设? ? ?<+≥+=,0,2, 0,12)(2 x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ? ??<+-≥-2,181642, 742x x x x x ． 3．函数1 )(+=x x e e x f 的反函数)(1x f -= )1,0(,1ln ∈-x x x ． 4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 必要条件. 5. =++--+++∞ →])2()11(1sin [lim 1 n n n n n n n n n 22e + ．三、计算题 1．设6 331 34)11(x x x f ++=+ ，求)(x f ．解：令31 1x t +=，则3 1 1-=t x 代入已知的式子中得， 2)1)1(34)(-+-+=t t f t 即有 22)(t t f ++=t 2．求n n n x 13)|1(lim | +∞ →，解：(1)当1||>x 时由于311 33||2)||1(|| x x x n n n <+< 以及 331||||2lim x x n n =∞ → 所以有 313||)|1(lim x x n n n =+∞ →| （2）当1||≤x 时

高等数学(上下册)自测题及参考答案

高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南 SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 2 1 lim 2 x x x →=+- . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+

华丽高数上作业答案

第12次作业教学内容：§3.1微分 **1. ．求，设　dy x x x x y x ),4 0(2tan )(cos )(sin π < <+= 解: dy y x dx ='() []{} dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +?-=　. **2. 设　求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解: du u du du dy dy e u x 2211,+===-则　令　dx e e x x 4212--+-=　. **3. 设　且处处可微求?????(),(),ln ()()x x d x x >???? ??0 解: )() (ln x x u ??= 记，则du u x x d )()()(ln ????'=??????dx x x x x u )() (ln )()()(2 ??????'-'?'= []dx x x x x x ??????'?-'= )()(ln )(ln 1)() (2??????　. **4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033 3 =>=-+ 解: 由 033 3=-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 322=+-+y x x y a y y x x x ax y x ay y d d 22 --=∴.

**5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+?+++?dy dx y x xdx y x dy 由　得　dy y x x y x x y dx =- ++++cos sin() sin sin(). **6. .26 3 的近似值用微分方法计算解:127)()()()(0003 -=?=??'+≈∴=x x x x f x f x f x x f ．，令　 959.2271 3263 =- ≈. **7. .151cos ,0 的值计算用微分代替增量解: f x x x x ()cos === ==．，000150561180ππ ?, 8747.036023180 )150(sin 150cos )151(000-≈-- =? -≈π π f . **8.cm cm cm 005.02.55一层厚的空心铁球的表面上镀外半径为在一个内半径为量。个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm 9.18g/cm 86.7, 解: ，．．，86.72.0534 1113==?==ρπr r r V )(6.4932086.7486.712 11g r r m ≈?=???≈ππ，，，，9.18005.02.5222==?=ρr r )(1.32005.0)2.5(49.1822g m =??≈π. **9. ，要使周期，摆长，其中单摆振动周期cm 8.9cm/s 98022===l g g l T π

华理高等数学(下)期终考试卷

高等数学（下）期终考试卷(华东理工) 222222{0,0,6},{2,2,1}_______;2 25(0),________; 4 )___a L a b xyz yz zx xy L x y R y yds x y z y y z ==-==??++=?+=≥=?++=?=??b 00 一、试解下列各题（每题4分，共16分） 1、向量在向量上的投影Prj 、曲线在(2,1,1)点的切线方程是____________; 3、(1)设是上半圆周则(2过曲线母线平行于轴的柱面方程是0 00 0(4)_______; 41(,,)(,,),:__________; )(,)(,),:0_________; (3)4'''3''0__________; L L x x x y z u x y z L y y I D x y u x y D L Ax By C I y y y y =?ΩΩ? =?++=-+==0、（）立体上点处的密度为则对直线的转动惯量用三重积分可表示为(2平板上点处的密度为则对于直线的转动惯量用二中积分表示为微分方程的通解为 33001002(1)8(1)(1)8 121 8(2,3,2)101(2){1)}6241(,)ln(1)0n n n n y x x x y x n x y z M x dx e dy n y z z x y x ze z ∞ =--++--==-=--+=∑??0 二、（分）求幂级数的收敛域（包括收敛的端点）。三、（分）求点到直线的距离。四、（1）计算二次积分求数列的极限。五、试解下列各题（每题分，共分）、设函数由方程所确定，试求此函数1 1 2222232sin()()sin ,(0,0)(1,0)1 (0,0,1)(0,0,2),2 n n n L dz a x x y dx x y x dy L y x x MA M A B M MB ∞ ∞ ==+--=--=∑?00 的全微分。、设是收敛的正项级数，试证明级数、（1）计算曲线积分其中是自点沿至的一段有向曲线。（2）动点到两定点及的两个距离之比为求动点的轨迹。00101 41()012 2()ln ()x f x x f x x x e ≤

华理复变答案12次作业答案

华东理工大学复变函数与积分变换作业（第1册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________ 第一次作业教学内容：1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念 1．填空题：（1）3 5arctan 2,234,2523,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i （3）)31(2 1i +- (4) 13,1=-=y x 。 2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 (1)31i +; 解：32)3sin 3(cos 2)2321(231π ππi e i i i =+=+=+ (2))0(sin cos 1π???≤≤+-i 解：)22(2sin 2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1? π??π?π???-=-+-=+-i e i i

(3)32 ) 3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解：φφφφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e e e e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i + 3．求复数1 1+-z z 的实部与虚部解：2| 1|)1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=z z z z z z z z z w 2 22|1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=z z i z z z z z z z z 所以，2|1|1Re +-= z z z w ，2|1|Im 2Im +=z z w 4. 求方程083=+z 的所有的根. 解：.2,1,0,2)8()21(331 ==-=+k e z k i π 即原方程有如下三个解： 31,2,31i i --+ 5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ，证明：以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明：记a z =||1，则 23 2232223221|||(|2||z z z z z z z --+=+= 得22323||a z z =-221|)||(|z z -=，同样， 22212123||a z z z z =-=- 所以.||||212321z z z z z z -=-=- 6. 设2,1z z 是两个复数，试证明.

高数答案第七章

第七章空间解析几何与向量代数 §7.1 向量及其线性运算必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题： 1、求点(,,)a b c 分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标. 解：（1） xoy 面（a,b,-c ）,yoz 面（-a,b,c ）, xoz 面（a,-b,c ）; (2）ox 轴（a,-b,-c ）, oy 轴（-a,b,-c ）, oz 轴（-a,-b,c ）; (2）关于原点（-a,-b,-c ）。 2、坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的位置 (3,4,0),(0,4,3),(3,0,0),(0,1,0).A B C D - 解：xoy 面：z=0， yoz 面：x=0， xoz 面：y=0. ox 轴：y=0,z=0， oy 轴：x=0,z=0， oz 轴：x=0,y=0， A 在xoy 面上，B 在yoz 面上， C 在x 轴上， D 在y 轴上。 3、在z 轴上求与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点的坐标. 解：设C （0，0，z ），有|AC|=|BC|，解得：z= 149，所求点为(0,0, 149 ). 4、设2,3,u a b c v a b c =-+=-+- 试用,,a b c 表示23.u v - 解：235117u v a b c -=-+ . 5、已知两点1M 和2(3,0,2),M 求向量12M M 的模，方向余弦和方向角. 解：{} 121,M M =- ，122M M = ，方向余弦为1c o s 2 α=-， cos 2β=- ，1cos 2γ=，方向角23πα=，34πβ=，3 πγ=.

高等数学习题册参考答案

《高等数学》习题册参考答案说明本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=，其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ；（2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ；（2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?；（2）h x x +=2)(?；（3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）（注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）；

华东理工大学网络教育学院专起本高等数学2考试复习大纲

《高等数学》入学考试大纲一.考核目标: 1.了解函数, 极限, 连续, 导数, 微分, 不定积分, 定积分等基本概念及基本理论. 2.熟练掌握极限, 导数, 积分等基本运算, 并能应用于实际问题. 二.考试内容: (一)函数 1.函数的概念: 函数定义, 分段函数 2.函数的简单性质:单调性, 奇偶性, 有界性, 周期性. 3.反函数 4.函数的四则运算与复合运算 5.基本初等函数及初等函数 (二)极限 1.数列极限的概念 2.数列极限的性质:唯一性, 有界性, 四则运算定理,夹逼定理, 单调有界数列极限存在定理. 3.函数极限的概念 4.函数极限的定理: 唯一性, 夹逼定理, 四则运算定理. 5.无穷小量和无穷大量 6.两个重要极限 (三)连续 1.函数连续的概念, 函数的间断点. 2.函数在一点处连续的性质. 3.闭区间上连续函数的性质. 4.初等函数的连续性 (四)导数与微分 1.导数的概念: 导数定义, 左导数与右导数, 导数的几何意义, 导数与连续的关系. 2.导数的四则运算法则与导数的基本公式. 3.求导法则, 复合函数的求导法, 隐函数的求导法, 对数求导法. 4.高阶导数的概念: 高阶导数的定义, 二阶导数的计算. 5.微分: 微分的定义, 微分与导数的关系, 微分法则 (五)中值定理及导数的应用 1.中值定理: 罗尔中值定理, 拉格朗日中值定理. 2.洛比达法则 3.函数增减性的判定法 4.函数极值及极值点, 最大值与最小值 5.曲线的凸凹性, 拐点 (六)不定积分 1.不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义,不定积分的性质. 2.基本积分公式 3.换元积分法, 第一类换元法, 第二类换元法 4.分部积分法 5.一些简单有理函数的积分

华理高数答案word版

第2章（之1）第2次作业教学内容: §2.1 导数概念 **1. 设，试用导数定义求)(x f '. 解： . **2. 试用导数定义计算下列函数的导数：（1）x x f 1)(=，求)1(f '；（2）()3 8t t g -=，求()2g '；（3）()t t t -=2 3?，求()1-'?. 解：（1） . （2） ()()()t t g t t g t g t ?-?+='→?0lim ()[][ ] ()() t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ??+?+?+-=??+-=?--?+-=→?→?→?3223303 3033033lim lim 88lim () 2 20 33lim t t t t t ?-?--=→?23t -=，即 ()2 3t t g -='， ()122-='∴g . （3） ()()() t t t t t t ?-?+='→????0 lim ()()[][ ] t t t t t t t t ?--?+-?+=→?22 033lim t t t t t t ??-?+?=→?2036lim ()16136lim 0-=-?+=→?t t t t ， ()16-='∴t t ?， ()71-=-'?. **3. 求曲线2 2x y = 在点 ()2,1=P 处的切线方程. 解：曲线在点P 处切线的斜率为 41 2 2lim 21=--→x x x ，所以切线方程为 ()214+-=x y . **4. 化学反应速率通常是以单位时间内反应物浓度的减少或生成物浓度的增加来表征。设有一化学反应，反应物浓度C 与反应开始后的时间 t 之间有如下关系：()t f C =.

(完整版)华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案.doc

第 11章（之1）（总第59次）教材内容：§11. 1 多元函数 1．解下列各题： ** （ 1） . 函数 f (x, y) ln( x2 y 2 ) ． 1 连续区域是答： x2 y 2 1 函数 f (x, y) xy y2 x2 y 2 0 ** （ 2） . x 2 x 2 y 2 ，则（） 0 0 (A) 处处连续(B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（ 0,0 ）点连续(D) 除（ 0,0 ）点外处处连续答：（ A） **2. 画出下列二元函数的定义域：（1）u x y ；解：定义域为：( x, y) y x ，见图示阴影部分：（2）f ( x, y)ln(1 xy) ；解： (x, y) xy 1 ，第二象限双曲线xy 1 的上方，第四象限双曲线x y 1 的下方（不包括边界，双曲线xy 1 用虚线表示）．（3）z x y x ． y 解：x y 0 x y x y 0 x y ．x y x y 0 xy

*** 3. 求出满足 f x y, y x 2 y 2 的函数 f x, y . x s x y x s 1 t 解：令 y ， ∴ st t x y 1 t ∴ f s,t s 2 s 2t 2 s 2 1 t ，即 f x, y x 2 1 y ． 1 t 2 1 t 1 y *** 4. 求极限： lim 0 ,0 1 xy 2 1 ． x, y x 2 y 1 xy 1 xy 1 x 2 y 2 解： 0 2 x 2 y 2 1 xy 1 x 2 y 2 1 xy 1 x 2 y 2 x 2 y 2 （ x, y 0,0 ） 2 1 xy 1 ∴ lim 1 xy 1 0 ． 2 2 x, y 0,0 x y ** 5. 说明极限 lim x 2 y 2 不存在． x 2 y 2 x, y 0, 0 解：我们证明 x, y 沿不同的路径趋于 0,0 时，极限不同．首先， x 0 时，极限为 lim x 2 y 2 y 2 1， x 2 y 2 y 2 x x, y 0,0 其次， y 0 时，极限为 lim x 2 y 2 x 2 1 ， x 2 y 2 x 2 y x, y 0,0 故极限 lim x 2 y 2 不存在． x, y 0, 0 x 2 y 2 ** 6. 设 f ( x, y) ysin 2x ，试问极限 lim f (x, y) 是否存在？为什么？ xy 1 1 ( x, y) ( 0,0) 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在 (0,0) 点的任一去心邻域内函数 ysin 2x 并不总有定义的， x 轴与 y 轴上的点处函数 f ( x, y) 就没有定义． f ( x, y) xy 1 1

高数期末考试题

华东理工大学2008–2009学年第一学期《高等数学(上)11学分》期末考试试卷 2009.1 B 开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟考生姓名：学号：班级：任课老师：注意：本试卷共三大张，七大题一、（本题8分）求2 2 sin 2d 3sin 4cos x x x x +? 二、 (本题8分) 求sin 3 (cos ) 1 lim x x x x →-

三（本题8分）判别级数 12! n n n n n ∞ = ∑的敛散性. 四、(本题8分) 求1 d. x x ?

五．填空题.(每小题4分，共40分) 1、设3 (cos ) ()a x b x f x x ++=有可去间断点0,x =则__________.b = 2、设()f x 在0x 的某邻域内有(1)n -阶导数,在0x 处有n 阶导数 (1) 000 '()''()()0,n f x f x f x -==== 则0 00()()lim ____________.() n x x f x f x x x →-=- 3、设sin ()cos(sin )x y x e x π=?，则0 ___________.x dy == 4、 2 cos sin ___________.x xdx π π - =? 5、设cos ,sinx y x x =+则'()___________.y π= 6、设曲线方程为22 2sin x t sin t y t t ?=++?=+?,则此曲线在(2,0)处的切线方程为 ____________.y = 7、设 0 2 ()0()0 x tf t dt x F x x a x ??≠=?? =??，　，，其中()f x 是连续函数，且(0)1,f =则当()F x 在 0x =处连续时，___________.a = 8 、函数ln y =x 的幂级数。 9、计算sin y x =在2 x π =处的曲率为。 10、幂级数() 2 1n n x n n ∞ =-∑ 在收敛区间(1,1)-上的和函数。

华理高数答案第3章

第3章（之1）第13次作业教学内容：§3.1微分 **1. ．求，设　dy x x x x y x ),4 0(2tan ) (cos )(sin π < <+= 解: dy y x dx ='() []{} dx x x x x x x x 2sec 2tan sin )ln(cos cos )(cos 2sin +?-=　. **2. 设　求．y x e e dy x x ()ln()=++--241 解: du u du du dy dy e u x 2211,+===-则　令　dx e e x x 4212--+-=　. **3. 设　且处处可微求?????(),(),ln ()()x x d x x >???? ? ? 0 解: ) () (ln x x u ??= 记，则du u x x d )()()(ln ????'=?? ?? ??dx x x x x u )() (ln )()()(2 ??????'-'?'= []dx x x x x x ?? ????'?-'= )()(ln )(ln 1)() (2??????　. **4. ．的微分所确定隐函数求由方程dy x y y a axy y x )(,)0(033 3 =>=-+ 解: 由033 3 =-+axy y x , 得 0)d d (3d 3d 32 2 =+-+y x x y a y y x x x ax y x ay y d d 22 --=∴. **5. .)(0)cos(sin dy x y y y x x y 的微分所确定隐函数求由方程==+- 解: 0)()sin(cos sin =+?+++?dy dx y x xdx y x dy 由　得　dy y x x y x x y dx =- ++++cos sin() sin sin() . **6. .263的近似值用微分方法计算解:127)()()()(0003-=?=??'+≈∴=x x x x f x f x f x x f ．，令

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1）（总第44次）教学内容:§9.1微分方程基本概念 *1．微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是（）（A ）3；（B ）4；（C ）6；（D ）7．答案（A ）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2．下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是（）（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=；（B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=；（C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=；（ D ）)2cos(α+=x C y ．答案（D ）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但

经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数 C 及 k ，但当令 kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．解根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ，由x x e c e c y -+=21 ， x x e c e c y --='21，可得1 ,02121 =-=+c c c c ，故21,2121 -== c c ，这样就得到所求曲线为) (2 1x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数 y e x x =-2333 2 1 2sin 是初值问题 ??? ??? ?===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．证明 '=-+--y e x e x x x 33323 2 1 21 2sin cos ， ''=----y e x e x x x 33323 2 1 21 2sin cos ，

华东理工高等数学作业本第23次作业答案

第4章（之5）第23次作业教学内容：§4 .4 .5函数图形的的描绘 §4.5 相关变化率 **1. 曲线 x x x y --= 331的渐近线的条数为（）（A ） 2条；（B ）3条；（C ）4条；（D ）5条. 答：（C ） 2．画出下列函数的图形 **（1）21x x y += . 解：y 的定义域为()+∞∞-,，且为奇函数. () () 2 22 2 2211121x x x x x x y +-= +?-+= ', 令0='y ，可知1±=x 为驻点. ( )()()()4 22 2 2 2 111412x x x x x x y +-+-+-= '' () () ( )() () 3 23 23 3 23 313 3212614422x x x x x x x x x x x x ++-= ++-= ++---= ∴令0=''y ，拐点为()0,0， ???? ??±±43,3.

又 1lim 2 =+∞→x x x ， ∴有水平渐近线0=y . 如图示： 3 x **（2） x x y 12+ =. 解：2 321212x x x x y -=-='， 333) 1(222x x x y +=+=''， x )1,(--∞ -1 )0,1(- ) 21 ,0(3 3 21 ) ,2 1(3 +∞ y ' - - - 0 +

y '' + 0 - + + + y 单调减少凸函数拐点 )0,1(- 单调减少凹函数垂直渐近线单调减少凸函数极小值 3 43 单调增加凸函数 y ∞ =→y x 0 lim 0=x 为垂直渐近线 *3* 求曲线 x x x y ++=2 4的斜渐近线. 解：+∞→x 时， -∞→=-===+∞ →+∞→x x y h x y k x x ;2)5(lim ,5lim 时， 2)3(lim ,3lim -=+=-==∞ -→∞-→x y h x y k x x , 所以斜渐近线有两条 25+=x y 和 23--=x y . *4* 求曲线??? ????+=+=32 31313t t y t t x 的斜渐近线.