解微分方程欧拉法,R-K法及其MATLAB实例
解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法及其MATLAB简单实例
欧拉方法（Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解
分为前进EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。
缺点：
欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。
改进欧拉格式：
为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。
算法为：
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。
对于常微分方程：
x∈[a,b]
y(a) = y0
可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi) = f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：
在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：
i=0,1,2,L
这就是向前欧拉格式。
改进的欧拉公式：
将向前欧拉公式中的导数f(xi,yi)改为微元两端导数的平均，即
上式便是梯形的欧拉公式。
可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式：
数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。
实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为f(xn,yn),而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。
龙格-库塔方法的基本思想：
在区间[xn,xn+1]内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。
龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。
令初值问题表述如下。
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：
其中
这样，下一个值(y n+1)由现在的值(y n)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：
k1是时间段开始时的斜率；
k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；
k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；
k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。
当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：
RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。
例子：
下面给出了数值求解该微分方程的简单程序。
其中y1,y2,y3,y4分别为向前欧拉公式，改进的欧拉公式，4级4阶龙格-库塔公式及精确解。
h=0.1;
x=0:h:1;
y1=zeros(size(x));
y1(1)=1;
y2=zeros(size(x));
y2(1)=1;
y3=zeros(size(x));
y3(1)=1;
for i1=2:length(x)
y1(i1)=y1(i1-1)+h*(y1(i1-1)-2*x(i1-1)/y1(i1-1));
k1=y2(i1-1)-2*x(i1-1)/y2(i1-1);
k2=y2(i1-1)+h*k1-2*x(i1)/(y2(i1-1)+h*k1);
y2(i1)=y2(i1-1)+h*(k1+k2)/2;
k1=y2(i1-1)-2*x(i1-1)/y2(i1-1);
k2=y2(i1-1)+h*k1/2-2*(x(i1-1)+h/2)/(y2(i1-1)+h*k1/2);
k3=y2(i1-1)+h*k2/2-2*(x(i1-1)+h/2)/(y2(i1-1)+h*k2/2);
k4=y2(i1-1)+h*k3-2*(x(i1-1)+h)/(y2(i1-1)+h*k3);
y3(i1)=y3(i1-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;
end
y4=sqrt(1+2*x);
%plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)
%legend('y1','y2','y3','y4')
plot(x,y4-y1,x,y4-y2,x,y4-y3)
legend('y1','y2','y3')
微分方程数值解法
《微分方程数值解法》 【摘要】自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge —Kutta 方法、Adams 预估校正法以及勒让德谱方法等，通过具体的算例，结合MA TLAB 求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。 【关键词】 常微分方程 数值解法 MA TLAB 误差分析 引言 在我国高校，《微分方程数值解法》作为对数学基础知识要求较高且应用非常广泛的一门课程，不仅 在数学专业，其他的理工科专业的本科及研究生教育中开设这门课程．近四十年来，《微分方程数值解法》不论在理论上还是在方法上都获得了很大的发展．同时，由于微分方程是描述物理、化学和生物现象的数学模型基础，且它的一些最新应用已经扩展到经济、金融预测、图像处理及其他领域 在实际应用中，通过相应的微分方程模型解决具体问题，采用数值方法求得方程的近似解，使具体问题迎刃而解。 2 欧拉法和改进的欧拉法 2.1 欧拉法 2.1.1 欧拉法介绍 首先，我们考虑如下的一阶常微分方程初值问题 ???==0 0)() ,('y x y y x f y （2--1） 事实上，对于更复杂的常微分方程组或者高阶常微分方程，只需要将x 看做向量，（2--1）就成了一个一阶常微分方程组，而高阶常微分方程也可以通过降阶化成一个一阶常微分方程组。 欧拉方法是解常微分方程初值问题最简单最古老的一种数值方法，其基本思路就是把（2--1）中的导数项'y 用差商逼近，从而将一个微分方程转化为一个代数方程，以便求解。 设在[]b a ,中取等距节点h ，因为在节点n x 点上，由（2--1）可得：
MATLAB代码 解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;
if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵
常微分方程作业欧拉法与改进欧拉法
P77 31.利用改进欧拉方法计算下列初值问题，并画出近似解的草图：dy + =t = t y y ≤ ≤ ,2 ;5.0 0,3 )0( )1(= ,1 ? dt 代码： %改进欧拉法 function Euler(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y+1; 调用：Euler(0,3,[0,2],0.5) 得到解析解：hold on; y=dsolve('Dy=y+1','(y(0)=3)','t'); ezplot(y,[0,2]) 图像：
dy y =t - t y ;2.0 t = ≤ )0( 0,5.0 ,4 )2(2= ≤ ? ,2 dt 代码： function Euler1(t0,y0,inv,h) n=round(inv(2)-inv(1))/h; t(1)=t0; y(1)=y0; for i=1:n y1(i+1)=y(i)+h*fun(t(i),y(i)); t(i+1)=t(i)+h; y(i+1)=y(i)+1/2*h*(fun(t(i),y(i))+ fun(t(i+1),y1(i+1))) end plot(t,y,'*r') function y=fun(t,y); y=y^2-4*t; 调用： Euler1(0,0.5,[0,2],0.2) 图像：
微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法
四川师范大学本科毕业论文 微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙 格—库塔法 学生姓名XXX 院系名称数学与软件科学学院 专业名称信息与计算科学 班级2006级 4 班 学号20060640XX 指导教师Xxx 四川师范大学教务处 二○一○年五月
微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法 学生姓名：xxx 指导教师：xx 【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支，在自然科学的许多领域中，都 会遇到常微分方程的求解问题。当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，利用计算机解微分方程主要使用数值方法，欧拉方法和龙格——库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。本文详细研究了这两类数值计算方法的构造过程，分析了它们的优缺点，以及它们的收敛性，相容性，及稳定性。讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格—库塔方法的差别。通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较，能更深切体会它们的功能，优缺点及适用场合，从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。 关键词：显式单步法欧拉（Euler）方法龙格—库塔（Runge—Kutta）方法截断误差收敛性 Two commonly used numerical solution of differential equations：Euler method and Runge - Kutta method Student Name: Xiong Shiying Tutor：Zhang Li 【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics. In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely powerful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research, the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the Runge—Kutta method are the most typical commonly value method to solve the differential equation. This article dissects the structure process of these two kinds of values commonly value method to solve the analyses their good and bad points, to their astringency, the compatibility, and the stability has made the proof. At the same time, the article discuss the length of stride to the numerical method changing influence and the difference of the coefficient different same step Runge—kutta method. Through establishing C program on the computer can realize these two kind of methods, Anglicizing some models of calculate example result can sincerely realize their function, the advantage and disadvantage points and the suitable situation, thus the suitable solution method can be selected to solve the different type and the
实验五 欧拉法Matlab实验报告
北京理工大学珠海学院实验报告 ZHUHAI CAMPAUS OF BEIJING INSTITUTE OF TECHNOLOGY 班级2012电气2班学号120109021010姓名陈冲指导教师张凯成绩 实验题目（实验五）欧拉法实验地点及时间JD501 2014/1/2（6-7节） 一、实验目的 1.掌握用程序语言来编辑函数。 2.学会用MATLAB编写Euler.m以及TranEuler.m函数。 二、实验环境 Matlab软件 三、实验内容 1、以书中第124页题目11为例编辑程序来实现计算结果。 2、使用MATLAB进行编写： 第一步：编写Euler.m函数，代码如下 编写TranEuler.m函数，代码如下 第二步：利用上述函数编辑命令：（可见实验结果中的截图）
在此之前先建立一个名为f.m 的M 文件，代码如下 function z=f(x); z=8-3y; 再编辑代码： 得到了欧拉法的结果：y （0.4）=2.47838030901267 编辑另一段命令： 得到改进欧拉法的结果：y （0.4）=2.46543714659780 在此基础上，我还编辑龙格库达的命令窗口代码，如下： 四、实验题目 用欧拉法和改进欧拉法求解初值问题'83,(0)2y y y =-=，试取步长0.2h =计算(0.4)y 的近似值。 五、实验结果
六、总结 通过这次实验我掌握了将得到的解进一步精确，而且要学会比较这几种方法的精确性，显然，四阶龙格库达比改进欧拉发精确，改进欧拉发比欧拉法精确。 实验难度不大，要比较n的取值不同，产生的影响不同。
欧拉法matlab程序
法 function [x,y]=naeuler(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end x=x';y=y'; x1=0::1;y1=(1+2*x1).^; plot(x,y,x1,y1) >> dyfun=inline('y-2*x/y'); [x,y]=naeuler(dyfun,[0,1],1,;[x,y] ans = 2.隐式Euler法 function [x,y]=naeulerb(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=iter(dyfun,x(n+1),y(n),h); end x=x';y=y'; x1=0::1;y1=(1+2*x1).^; plot(x,y,x1,y1) function y=iter(dyfun,x,y,h) y0=y;e=1e-4;K=1e+4; y=y+h*feval(dyfun,x,y); y1=y+2*e;k=1; while abs(y-y1)>e y1=y; y=y0+h*feval(dyfun,x,y); k=k+1; if k>K error('迭代发散'); end end >> dyfun=inline('y-2*x/y');
[x,y]=naeulerb(dyfun,[0,1],1,;[x,y] ans = 3.改进Euler法 function [x,y]=naeuler2(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n)); y(n+1)=y(n)+h*k1; k2=feval(dyfun,x(n+1),y(n+1)); y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2; end x=x';y=y'; x1=0::1;y1=(1+2*x1).^; plot(x,y,x1,y1) >> dyfun=inline('y-2*x/y'); [x,y]=naeuler2(dyfun,[0,1],1,;[x,y] ans =
欧拉及改进的欧拉法求解常微分方程
生物信息技术0801 徐聪U200812594 #include
高斯-赛德尔迭代法matlab程序
disp('划分为M*M个正方形') M=5 %每行的方格数，改变M可以方便地改变剖分的点数 u=zeros(M+1);%得到一个（M+1）*（M+1）的矩阵 disp('对每个剖分点赋初值，因为迭代次数很高，所以如何赋初值并不重要，故采用对列线性赋值。') disp('对边界内的点赋初值并使用边界条件对边界赋值：') for j=1:M-1 for i=1:M-1 u(i+1,j+1)=100*sin(pi/M*j)/M*(M-i);%对矩阵（即每个刨分点）赋初值 end end for i=1:M+1 u(1,i)=100*sin(pi*(i-1)/M);%使用边界条件对边界赋值 u(1,M+1)=0; end u tic %获取运行时间的起点 disp('迭代次数为N') N=6 %迭代次数，改变N可以方便地改变迭代次数 disp('n为当前迭代次数，u为当前值，结果如下：') for n=1:N for p=2:M i=M+2-p; for j=2:M u(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1));%赛德尔迭代法 end end n %输出n u %输出u end disp('所用的时间：') t=toc %获取算法运行需要的时间 [x,y]=meshgrid(0:1/M:1,0:1/M:1); z=u(1,:); for a=2:M+1 z=[z;u(a,:)];%获取最终迭代的结果，幅值给z，z的值代表该点的点位值 end mesh(x,y,z)%绘制三维视图以便清楚地显示结果 mesh(x,y,z,'FaceColor','white','EdgeColor','black') %绘制三维视图以便清楚地显示结果
matlab 欧拉算法 附截图
设系统方程为：y t y y /2)1(-=,1)0(=y ,用改进欧拉法求解各离散点y 的数值解，步长 10,1.0≤≤=t h ，解析解为t y 21+= 。 解：改进欧拉法 ),(1n n n p n y t hf y y +=+ )],(),([5.0111p n n n n n c n y t f y t f h y y +++++= 已知 n n n n n y t y y t f /2),(-= n n n n n n n p n y ht y h y t y h y y /2)1()/2(1-+=-+=+ 1 111111/5.0/)5.01()]/2()/2[(5.0+++++++-+-+=-+-+=n n n n n n n n n n n n n c n y ht hy y ht y h y t y y t y h y y 程序： h=0.1; t=0:h:1; N=length(t); y=ones(1,N); ey=ones(1,N); zy=ones(1,N); for k=1:N-1 y(1,k+1)=(1+h)*y(1,k)-(2*h*(k-1)/(N-1))./y(1,k);%预估公式 ey(1,k+1)=(1+h)*ey(1,k)-(2*h*(k-1)/(N-1))./ey(1,k);%欧拉公式 y(1,k+1)=(1+0.5*h)*y(1,k)-(h*(k-1)/(N-1))./y(1,k)+0.5*h*y(1,k+1)-(h*k/(N-1))./y(1,k+1);%改进欧拉 zy(1,k+1)=(1+2*k/(N-1)).^0.5;%解析解 end plot(t,zy,'-xk',t,y,':ob',t,ey,'-.*r','linewidth',1.0); xlabel('t'); ylabel('y'); 截图：
数值分析的MATLAB程序
列主元法 function lianzhuyuan(A,b) n=input('请输入n:') %选择阶数A=zeros(n,n); %系数矩阵A b=zeros(n,1); %矩阵b X=zeros(n,1); %解X for i=1:n for j=1:n A(i,j)=(1/(i+j-1)); %生成hilbert矩阵A end b(i,1)=sum(A(i,:)); %生成矩阵b end for i=1:n-1 j=i; top=max(abs(A(i:n,j))); %列主元 k=j; while abs(A(k,j))~=top %列主元所在行 k=k+1; end for z=1:n %交换主元所在行a1=A(i,z); A(i,z)=A(k,z); A(k,z)=a1; end a2=b(i,1); b(i,1)=b(k,1); b(k,1)=a2; for s=i+1:n %消去算法开始m=A(s,j)/A(i,j); %化简为上三角矩阵 A(s,j)=0; for p=i+1:n A(s,p)=A(s,p)-m*A(i,p); end b(s,1)=b(s,1)-m*b(i,1); end end X(n,1)=b(n,1)/A(n,n); %回代开始 for i=n-1:-1:1 s=0; %初始化s for j=i+1:n s=s+A(i,j)*X(j,1);
end X(i,1)=(b(i,1)-s)/A(i,i); end X 欧拉法 clc clear % 欧拉法 p=10; %贝塔的取值 T=10; %t取值的上限 y1=1; %y1的初值 r1=1; %y2的初值 %输入步长h的值 h=input('欧拉法please input number(h=1 0.5 0.25 0.125 0.0625):h=') ; if h>1 or h<0 break end S1=0:T/h; S2=0:T/h; S3=0:T/h; S4=0:T/h; i=1; % 迭代过程 for t=0:h:T Y=(exp(-t)); R=(1/(p-1))*exp(-t)+((p-2)/(p-1))*exp(-p*t); y=y1+h*(-y1); y1=y; r=r1+h*(y1-p*r1); r1=r; S1(i)=Y; S2(i)=R; S3(i)=y; S4(i)=r; i=i+1; end t=[0:h:T]; % 红线为解析解，'x'为数值解 plot(t,S1,'r',t,S3,'x')
lu分解法、列主元高斯法、jacobi迭代法、gaussseidel法的原理及matlab程序
一、实验目的及题目 1.1 实验目的： （1）学会用高斯列主元消去法，LU 分解法，Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组。 （2）学会用Matlab 编写各种方法求解线性方程组的程序。 1.2 实验题目： 1. 用列主元消去法解方程组： 1241234 123412343421233234x x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??--+=-??-++-=? 2. 用LU 分解法解方程组,Ax b =其中 4824012242412120620266216A --?? ?- ?= ? ?-??，4422b ?? ? ?= ?- ?-?? 3. 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组： 123234 1231234102118311210631125x x x x x x x x x x x x x -+=-??-+=-??-+=??-+-+ =? 二、实验原理、程序框图、程序代码等 2.1实验原理 2.1.1高斯列主元消去法的原理 Gauss 消去法的基本思想是一次用前面的方程消去后面的未知数，从而将方程组化为等价形式： 1111221122222n n n n nn n n b x b x b x g b x b x g b x g +++=??++=????= ? 这个过程就是消元，然后再回代就好了。具体过程如下： 对于1,2, ,1k n =-，若() 0,k kk a ≠依次计算
()() (1)()()(1)()()/,,1, ,k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a a a m a b b m b i j k n ++==-=-=+ 然后将其回代得到： ()() ()()()1/()/,1,2,,1 n n n n nn n k k k k k kj j kk j k x b a x b a x a k n n =+?=??=-=--? ? ∑ 以上是高斯消去。 但是高斯消去法在消元的过程中有可能会出现() 0k kk a =的情况，这时消元就无法进行了，即使主元数() 0,k kk a ≠但是很小时，其做除数，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。因此，为了减少误差，每次消元选取系数矩阵的某列中绝对值最大的元素作为主元素。然后换行使之变到主元位置上，再进行销元计算。即高斯列主元消去法。 2.1.2直接三角分解法（LU 分解）的原理 先将矩阵A 直接分解为A LU =则求解方程组的问题就等价于求解两个三角形方程组。 直接利用矩阵乘法，得到矩阵的三角分解计算公式为： 1111111 11 1,1,2,,/,2,,,,,1,,,2,3, ()/,1,2, ,i i i i k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a i n l a u i n u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-===?? ==?? =-=+??=??=-=++≠?? ∑∑且 由上面的式子得到矩阵A 的LU 分解后，求解Ux=y 的计算公式为 11 111,2,3,/()/,1,2, ,1 i i i ij j j n n nn n i i ij j ii j i y b y b l y i n x y u x y u x u i n n -==+=??? =-=?? =??? =-=--?? ∑∑ 以上为LU 分解法。
Euler法解微分方程-Matlab程序
%主程序main.m-----OK! clear; T=0.0; Y=zeros(3,1); Y(1)=1.0;Y(2)=1.0;Y(3)=1.0; H1=0.05;M=3;EPS=1.0e-05;%EPS精度要求M方程个数H1拟定的输出步长 for i=1:10 [X,Y]=euler1(T,H1,Y,M,EPS) T=T+H1; End %变步长euler方法 function [X,Y1]=euler1(T,H1,Y,M,EPS) %M-方程个数,EPS-精度,Y0-右端初值，T-自变量前一点值，H-步长 N=1;P=1+EPS;X=T;G=zeros(M,1); H=H1;%H-在程序中要改变的步长H1－主程序中确定的输出步长 for i=1:M C(i)=Y(i); end K1=zeros(M,1);K2=zeros(M,1);K3=zeros(M,1);K4=zeros(M,1); while P>=EPS %变步长积分一步（H1） for i=1:M G(i)=Y(i); Y(i)=C(i); end DT=H/N; T=X; %－－变步长积分过程 for j=1:N K1=F(Y); K2=F(Y+H/2*K1'); K3=F(Y+H/2*K2'); K4=F(Y+H*K3'); for i=1:M Y(i)=Y(i)+H/6*(K1(i)+2*K2(i)+2*K3(i)+K4(i)); T=T+DT; end end %－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ P=0.0; for i=1:M Q=abs(Y(i)-G(i)); if Q>P
P=Q; end end H=H/2.0; N=N+N; end T=X; X=T+H1; Y1=Y; %右端函数值function D=F(y) D(1)=y(2); D(2)=-1*y(1); D(3)=y(3);
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1.欧拉法
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。 3．单步法的收敛性与稳定性。 重点、难点 一、微分方程的数值解法 在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。本章我们主要 讨论常微分方程初值问题?????==00 )() ,(y x y y x f dx dy 的数值解法。 数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x 0＜x 1＜…＜x N =b （其中差h n = x n –x n-1称为步长，一般取h 为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。 二、欧拉法与改进欧拉法 欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。 将常微分方程),(y x f y ='变为() *+=?++1 1))(,()()(n x n x n n dt t y t f x y x y 1．欧拉法（欧拉折线法） 欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。 欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（＊）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：N a b h N n y x hf y y n n n n -= -=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差 11121 )(2 ++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 2）。
MATLAB改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程
姓名：樊元君学号：2012200902 日期：2012.11.06 一、实验目的 掌握MATLAB语言、C/C++语言编写计算程序的方法、掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。掌握使用MATLAB程序求解常微分方程问题的方法。 二、实验内容 1、分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。 实验中以下列数据验证程序的正确性。 求，步长h=0.25。 2、实验注意事项 的精确解为，通过调整步长，观察结果的精度的变化
三、程序流程图： ●改进欧拉格式流程图：
●四阶龙格库塔流程图： 四、源程序： ●改进后欧拉格式程序源代码：
format long h=input('h='); x0=input('x0='); y0=input('y0='); disp('输入的范围是：'); X=input('X=');Y=input('Y='); n=round((Y-X)/h); i=1;x1=0;yp=0;yc=0; for i=1:1:n x1=x0+h; yp=y0+h*(-x0*(y0)^2);%yp=y0+h*(y0-2*x0/y0);% yc=y0+h*(-x1*(yp)^2);%yc=y0+h*(yp-2*x1/yp);% y1=(yp+yc)/2; x0=x1;y0=y1; y=2/(1+x0^2);%y=sqrt(1+2*x0);% fprintf('结果=%.3f,%.8f,%.8f\n',x1,y1,y); end end ●四阶龙格库塔程序源代码：
微分方程数值解
微 分方程数值解及其应用 绪论 自然界中的许多事物的运动和变化规律都可以用微分方程来描述，因此对工程和科学技术中的实际问题的研究中, 常常需要求解微分方程．但往往只有少数较简单和典型的微分方程可求出其解析解，在大多数情况下,只能用近似法求解，数值解法是一类重要的近似方法．本文主要讨论一阶常微分方程的初值问题的数值解法，探讨这些算法在处理来自生活实际问题中的应用，并结合MATLAB 软件，动手编程予以解决． １ 微分方程的初值问题[1] 1.1 预备知识 在对生活实际问题的研究中，通常需要考虑一阶微分方程的初值问题 00(,)()dy f x y dx y x y ?=???=? （1） 这里(),f x y 是矩形区域R ：00,x x a y y b -≤-≤上的连续函数． 对初值问题（1）需要考虑以下问题：方程是否一定有解呢?若有解，有多少个解呢?下面给出相关的概念与定理． 定义1 Lipschitz 条件[1][2]：矩形区域R ：00,x x a y y b -≤-≤上的连续函数(),f x y 若满足：存在常数0L >，使得不等式()()1212,,f x y f x y L y y -≤-对所有()()12,,,x y x y R ∈都成立，则称(),f x y 在R 上关于y 满足Lipschitz 条件. 定理 1 解的存在唯一性定理[1][3]：设f 在区域()}{,,D x y a x b y R =≤≤∈上连续，关于y 满足Lipschitz 条件，则对任意的[]00,,∈∈x a b y R ，常微分方程初值问题（1）当[],x a b ∈时存在唯一的连续解()y x ． 该定理保证若一个函数(),f x y 关于y 满足Lipschitz 条件，它所对应的微分方程的初值问题就有唯一解.在解的存在唯一性得到保证的前提下，自然要考虑方程的求
MATLAB Euler法解常微分方程
Euler 法解常微分方程 Euler 法解常微分方程算法： Step 1 分别取积分上限、积分下限、步长 Step 2计算h n n +=判断b n ≤是否成立，成立转到Step 3，否则继续进行Step 4 Step 3 计算),(1n n n n y x hf y y +=+ Step 4 ),(1n n n n y x hf y y +=+ Euler 法解常微分方程算程序： function euler2(fun,y0,A,h) %fun--y' %y0---初值 %A----x 取值范围 %a----x 左区间端点值 %b----x 右区间端点值 %h----给定步长 x=min(A); b=max(A); y=y0; while x 0.4613 指导教师： 年 月 日 改进Euelr 法解常微分方程 改进Euler 法解常微分方程算法： Step 1 分别取积分上限、积分下限、步长 Step 2 取一个以h 为步长，a ，b 分别为左右端点的矩阵 Step 3 （1）做显性Euler 预测),( 1n n i i y x hf y y +=+ （2）将1+i y 带入,(),([2h 11++++=i i i i i x f y x f y y Step 4计算h n n +=判断b n ≤是否成立，成立返回Step 5 )],(),([2h 111+++++=i i i i i i y x f y x f y y 改进Euler 法解常微分方程算程序： function gaijineuler2(fun,y0,A,h) %fun--y' %y0---初值 %A----x 取值范围 %a----x 左区间端点值 %b----x 右区间端点值 %h----给定步长 a=min(A); b=max(A); x=a:h:b; y(1)=y0; for i=1:length(x)-1 w1=feval(fun,x(i),y(i)); y(i+1)=y(i)+h*w1; w2=feval(fun,x(i+1),y(i+1)); y(i+1)=y(i)+h*(w1+w2)/2; end x=x' 利用MATLAB求解常微分方程数值解 目录 1. 内容简介 (1) 2. Euler Method(欧拉法)求解 (1) 2.1. 显式Euler法和隐式Euler法 (2) 2.2. 梯形公式和改进Euler法 (3) 2.3. Euler法实用性 (4) 3. Runge-Kutta Method(龙格库塔法)求解 (5) 3.1. Runge-Kutta基本原理 (5) 3.2. MATLAB中使用Runge-Kutta法的函数 (7) 4. 使用MATLAB求解常微分方程 (7) 4.1. 使用ode45函数求解非刚性常微分方程 (8) 4.2. 刚性常微分方程 (9) 5. 总结 (9) 参考文献 (11) 附录 (12) 1. 显式Euler法数值求解 (12) 2. 改进Euler法数值求解 (12) 3. 四阶四级Runge-Kutta法数值求解 (13) 4.使用ode45求解 (14) 1.内容简介 把《高等工程数学》看了一遍，增加对数学内容的了解，对其中数值解法比较感兴趣，这大概是因为在其它各方面的学习和研究中经常会遇到数值解法的问题。理解模型然后列出微分方程，却对着方程无从下手，无法得出精确结果实在是让人难受的一件事情。 实际问题中更多遇到的是利用数值法求解偏微分方程问题，但考虑到先从常微分方程下手更为简单有效率，所以本文只研究常微分方程的数值解法。把一个工程实际问题弄出精确结果远比弄清楚各种细枝末节更有意思，因此文章中不追求非常严格地证明，而是偏向如何利用工具实际求解出常微分方程的数值解，力求将课程上所学的知识真正地运用到实际方程的求解中去，在以后遇到微分方程的时候能够熟练运用MATLAB得到能够在工程上运用的结果。 文中求解过程中用到MATLAB进行数值求解，主要目的是弄清楚各个函数本质上是如何对常微分方程进行求解的，对各种方法进行MATLAB编程求解，并将求得的数值解与精确解对比，其中源程序在附录中。最后考察MATLAB中各个函数的适用范围，当遇到实际工程问题时能够正确地得到问题的数值解。 2.Euler Method(欧拉法)求解 Euler法求解常微分方程主要包括3种形式，即显式Euler法、隐式Euler法、梯形公式法，本节内容分别介绍这3种方法的具体内容，并在最后对3种方法精度进行对比，讨论Euler法的实用性。 本节考虑实际初值问题 使用解析法，对方程两边同乘以得到下式 1.1、求解初值问题()?????=-=-1 0y y xe dx dy x ，已知精确解为 ()()x x x x y -+=22 12 当h=0.1时，解为： n x n y ()n x y ()n n y x y - 0 1 1 0 0.1 0.900000 0.909362 9.3616E-03 0.2 0.819048 0.835105 1.6057E-02 0.3 0.753518 0.774155 2.0637E-02 0.4 0.700391 0.723946 2.3555E-02 0.5 0.657165 0.682347 2.5182E-02 0.6 0.621775 0.647598 2.5823E-02 0.7 0.592526 0.618249 2.5723E-02 0.8 0.568034 0.593114 2.5080E-02 0.9 0.547177 0.571230 2.4053E-02 1.0 0.529051 0.551819 2.2768E-02 0.1 0.2 0.30.40.50.60.70.80.91 当h=0.05时，解为： n x n y ()n x y ()n n y x y - 0 1 1 0 0.05 0.950000 0.952418 2.4185E-03 0.10 0.904878 0.909362 4.4835E-03 0.15 0.864158 0.870391 6.2326E-03 0.20 0.827406 0.835105 7.6996E-03 0.25 0.794223 0.803138 8.9155E-03 0.30 0.764247 0.774155 9.9084E-03 0.35 0.737147 0.747850 1.0704E-02 0.40 0.712621 0.723946 1.1324E-02 0.45 0.690397 0.702188 1.1791E-02 0.50 0.670223 0.682347 1.2124E-02 0.55 0.651876 0.664213 1.2338E-02 0.60 0.635148 0.647598 1.2450E-02 0.65 0.619855 0.632328 1.2473E-02 0.70 0.605829 0.618249 1.2420E-02 0.75 0.592918 0.605220 1.2302E-02 0.80 0.580985 0.593114 1.2129E-02 0.85 0.569909 0.581819 1.1909E-02 0.90 0.559579 0.571230 1.1651E-02 0.95 0.549896 0.561258 1.1362E-02 1.00 0.540771 0.551819 1.1048E-02 0.1 0.2 0.30.40.50.60.70.80.91MATLAB求解常微分方程数值解
微分方程数值解欧拉法