第二十一章 二次根式
第二十一章 二次根式
21.1 二次根式(1)
学习要求：
了解二次根式的概念，会求二次根式中被开方式所含字母的取值范围． 做一做： 填空题：
1．要使根式3-x 有意义，则字母x 的取值范围是______． 2．当x ______时，式子
1
21
-x 有意义． 3．要使根式
2
34+-x x
有意义，则字母x 的取值范围是______． 4．若14+a 有意义，则a 能取得的最小整数值是______． 5．若x x -+有意义，则=+1x ______． 6．使等式032=-?+x x 成立的x 的值为______．
7．一只蚂蚁沿图1中所示的折线由A 点爬到了C 点，则蚂蚁一共爬行了______cm ．(图中小方格边长代表1cm)
图1
选择题：
8．使式子23+x 有意义的实数x 的取值范围是( ) (A)x ≥0
(B)3
2-
>x (C)2
3-
≥x (D)3
2-
≥x 9．使式子
2
||1
+-x x 有意义的实数x 的取值范围是( )
(A)x ≥1 (B)x ＞1且x ≠－2 (C)x ≠－2 (D)x ≥1且x ≠－2 10．x 为实数，下列式子一定有意义的是( )
(A)
2
1x (B)x x +2
(C)
1
1
2-x (D)12+x
11．有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗
细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )
(A)cm 41 (B)cm 34 (C)cm 25 (D)cm 35
12．如图2，点E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、N 分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应是( )
图2
(A)
52
5 (B)53 (C)25 (D)54
解答题
13．要使下列式子有意义，字母x 的取值必须满足什么条件?
(1)1||21--x x (2)x +--21 (3)2
3
2+x (4)x x 2)1(- (5)222++x x
14．如图3，在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个△ABC ，请你求出这个△ABC 的
周长．
图3
15．一个圆的半径为1 cm ，和它等面积的正方形的边长是多少?
16．有一块面积为(2a ＋b )2π的圆形木板，挖去一个圆后剩下的木板的面积是(2a －b )2π，问
所挖去的圆的半径多少?
17．(1)已知05|3|=-++y x ，求
y
x
的值；(2)已知01442=+++++y x y y ，求y x
的值．
18．2006年黄城市全年完成国内生产总值264亿元，比2005年增长23％，问：(1)2005年
黄城市全年完成国内生产总值是多少亿元(精确到1亿元)?(2)预计黄城市2008年国内生产总值可达到386.5224亿元，那么2006年到2008年平均年增长率是多少?(下列数据供
计算时选用22.14884.1,21.14641.1==)．
问题探究：
已知实数x 、y 满足32
442
2+--+-=x x x y ，求9x ＋8y 的值．
21.1 二次根式(2)
学习要求：
掌握二次根式的三个性质：a ≥0(a ≥0)；(a )2＝a (a ≥0)；||2a a =． 做一做： 填空题：
1．当a ≥0时，=2a ______；当a ＜0时，2a ＝______． 2．当a ≤0时，=23a ______；=-2
)23(______．
3．已知2＜x ＜5，化简=-+-2
2)5()2(x x ______．
4．实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：=-+-2
)2(|1|a a ______．
5．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 则=+----||)(2
c a b c b a ______．
6．若2
2)()(y x y x -=-，则x 、y 应满足的条件是______．
7．若0)2(|4|2
=-+++x y x ，则3x ＋2y ＝______．
8．直线y ＝mx ＋n 如图4所示，化简：|m －n |－2m ＝______．
图4
9．请你观察、思考下列计算过程：
因为112＝121，所以11121=，同样，因为1112＝12321，所以=12321111，……由此猜想=76543211234567898______． 选择题：
10．36的平方根是( )
(A)6
(B)±6
(C)6
(D)±6
11．化简2
)2(-的结果是( )
(A)－2 (B)±2 (C)2
(D)4
12．下列式子中，不成立的是( )
(A)6)6(2= (B)6)6(2
=
--
(C)6)6(2=-
(D)6)6(2
-=--
13．代数式)0(2
=/a a a 的值是( )
(A)1
(B)－1
(C)±1
(D)1(a ＞0时)或－1(a ＜0时)
14．已知x ＜2，化简442+-x x 的结果是( )
(A)x －2
(B)x ＋2
(C)－x ＋2
(D)2－x
15．如果2)2(2
-=-x x ，那么x 的取值范围是( )
(A)x ≤2 (B)x ＜2 (C)x ≥2 (D)x ＞2
16．若a a -=2，则数a 在数轴上对应的点的位置应是( )
(A)原点
(B)原点及原点右侧 (C)原点及原点左侧
(D)任意点
17．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简|3|2x x +的结果是( )
(A)4x
(B)－4x
(C)2x
(D)－2x
18．不用计算器，估计13的大致范围是( )
(A)1＜13＜2 (B)2＜13＜3 (C)3＜13＜4 (D)4＜13＜5
19．某同学在现代信息技术课学了编程后，写出了一个关于实数运算的程序：输入一个数值
后，屏幕输出的结果总比该数的平方小1，若某同学输入7后，把屏幕输出的结果再次输入，则最后屏幕输出的结果是( ) (A)6 (B)8 (C)35 (D)37
解答题： 20．计算：
(1);)12(|3|)2(02---+- (2)?-
+-|2
1|2)3(0
2
21．化简：
(1));1()2()1(22
>++
-x x x (2).||2)(2x y y x ---
22．已知实数x ，y 满足04|5|=++-y x ，求代数式(x ＋y )2007的值．
23．已知x x y y x =-+
-+7
135，求2)3(|1|-+-y x 的值．
24．在实数范围内分解因式：
(1)x 4－9； (2)3x 3－6x ； (3)8a －4a 3； (4)3x 2－5．
25．阅读下面的文字后，回答问题：
小明和小芳解答题目：先化简下式，再求值：221a a a +-+，其中a ＝9时，得出了不同的答案．
小明的解答是：原式＝1)1()1(2
=-+=-+a a a a ；
小芳的解答是：原式＝1719212)1()1(2
=-?=-=--=-+a a a a a ．
(1)______的解答是错误的；(2)说明错误的原因．
26．细心观察图5，认真分析各式，然后解决问题．
图5
;21,21)1(12=
=+S ;22
,31)2(22==+S
;23
,41)3(32==+S
…… ……
(1)请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；
(3)求出2
10
24232221S S S S S +++++ 的值．
27．一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：秒)与开始落下时的高度h (单位：
米)有下面的关系式：?≈
5
h t (1)已知h ＝100米，求落下所用的时间t ；(结果精确到0.01)
(2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间?(每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米)(结果精确到0.01)
(3)如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．
问题探究：
同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧!蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军!
我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗?我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的推导却让你大吃一惊：蚂蚁
和大象一样重!
设蚂蚁重量为x 克，大象的重量为y 克，它们的重量和为2a 克，则x ＋y ＝2a ． 两边同乘以(x －y )，得(x ＋y )(x －y )＝2a (x －y )， 即x 2－y 2＝2ax －2ay ．
可变形为x 2－2ax ＝y 2－2ay ．
两边都加上a 2，得(x －a )2＝(y －a )2． 两边开平方，得x －a ＝y －a ． 所以x ＝y ．
这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重，岂不荒唐!那么毛病究竟出在哪里呢?亲爱的同学，你能找出来吗?
21.2 二次根式的乘除(1)
学习要求：
理解二次根式的乘法法则，即)0,0(≥≥=?b a ab b a 的合理性，会运用法则进行计算，并会逆用乘法法则对二次根式进行化简．
做一做： 填空题： 1．计算：ab a ?＝______．
2．已知xy ＜0，则=y x 2
______．
3．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简22b a 的结果是______．
4．若,6)4()4)(6(2
x x x x --=--则x 的取值范围是______．
5．在如图的数轴上，用点A 大致表示40：
6．观察分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，23，15，23，……那么第10个数据应是______． 选择题：
7．化简20的结果是( ) (A)25
(B)52
(C)102
(D)54
8．化简5x -的结果是( )
(A)x x
2
- (B)x x
--2
(C)x x
-2
(D)x x
2
9．若a ≤0，则3
)1(a -化简后为( )
(A)1)1(--a a (B)a a --1)1( (C)a a --1)1(
(D)1)1(--a a
解答题： 10．计算：
(1);63? (2));7(21-? (3));102(53-?
(4));804()245(-?- (5));25.22(3
2
1
-? (6);656)3
122(43?-?
(7));15224
5
(522
-?
(8);24)654(?- (9));3223)(3223(-+
(10));23)(32(x y y x -+ (11);)10253(2+ (12);10253ab a ?
(13)
);42(22
1
2mn m m +-? (14)
)12()32
1
(123143z xy x x ?-??．
11．化简：
(1));0(224≥-a b a a (2)?≥≥+-)0(23223a b ab b a b a
12．计算：
(1)|;9
1
1|)1π(8302
+-+--+-
(2).425.060sin 12)
2
1(20082008o 2
?---
13．如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B 的平分线BD 的长为4cm ，求这个
三角形的三边长及面积．
图1
问题探究：
在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm ，宽为16cm 的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上)．请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积．
21.2 二次根式的乘除(2)
学习要求：
理解二次根式除法运算法则，即
b a
b
a =(a ≥0，
b ＞0)的合理性，会运用法则进行计算，了解最简二次根式的概念，会逆用除法法则对二次根式进行化简，掌握类比学习的方法．
做一做： 填空题： 1．在4,2
1
,
8,6中，是最简二次根式的是______．
2．某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔，其面积是42cm 2，它的长为5cm ，则这
个孔的宽为______cm ．
3．2－3的倒数是______，65+的倒数是______． 4．使式子
3
333+-=
+-x x
x x 成立的条件是______． 选择题：
5．下列各式的计算中，最简二次根式是( ) (A)27
(B)14
(C)
a
1 (D)23a
6．下列根式xy y x xy 5
3,,21,12,2+中最简二次根式的个数是( ) (A)1个 (B)2个
(C)3个
(D)4个
7．化简
2
73
-的结果是( ) (A)27- (B)27+
(C))27(3-
(D))27(3+
8．在化简
2
53
-时，
甲的解法是：
,25)25)(25()
25(32
53+
=+
-+
=
-
乙的解法是：
,252
5)
25)(25(253+=--+=-
以下判断正确的是( )
(A)甲的解法正确，乙的解法不正确 (B)甲的解法不正确，乙的解法正确
(C)甲、乙的解法都正确
(D)甲、乙的解法都不正确
9．△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，若△ABC ～
△A 'B 'C '，则△A 'B 'C '的第三边的长应等于( ) (A)
22
(B)2
(C)2 (D)22
10．如图1，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为
30°，沿CB 方向前进12m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，则建筑物AB 的高度等于( )
图1
(A)m )13(6+ (B)m )13(6- (C)m )13(12+
(D)m )13(12-
11．计算
)(b
a
a b a b b a ÷的正确结果是( ) (A)b
a
(B)a
b
(C)22b
a
(D)1
12．若ab ≠0，则等式ab
a b a 1
35-
?=--成立的条件是( ) (A)a ＞0，b ＞0
(B)a ＜0，b ＞0
(C)a ＞0，b ＜0
(D)a ＜0，b ＜0
解答题： 13．计算：
(1);5
1 (2)
;20
8 (3)
;28
14 (4);5)12(÷-
(5));74(142-÷ (6));452()403(-÷-
(7));6
121(211-÷ (8);1543513÷- (9);45332b a b a ÷
(10));6(32
23
44c b a c b a -÷
(11);152)102
1
(
23÷?
(12);5
21431252313?÷ (13);65303
4y xy xy ?÷
(14);3)23(235a
b b a ab b ÷-? (15));18
43(321123
3
xy xy x -÷?
(16)?-÷+)2332()2332(
14．已知一个圆的半径是cm,90一个矩形的长是135πcm ，若该圆的面积与矩形的面积
相等，求矩形的宽是多少?
15．已知b a ==20,2，用含a ，b 的代数式表示：
(1);5.12
(2).016.0
16．已知：如图2，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝8．求△ABC 的面积．
图2
17．阅读下列解题过程，根据要求回答问题：
化简：)0(2323<<+--a b a
b
a a
b b a b a
解：原式a b a b a
b a 2
)(--= ①
a
b
a b a b a --=
)(
②
ab a
a )1
(?=
③ ab =
④
(1)上面解答过程是否正确?若不正确，请指出是哪几步出现了错误? (2)请你写出你认为正确的解答过程．
18．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式是g
l
T π
2=，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟的摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内这台座钟大约发出了多少次滴答声?(π取3.14)
问题探究：
借助计算器计算下列各题：
(1);211- (2);221111- (3);222111111- (4).222211111111-
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律?你能解释这一规律吗?与同学交流一下想法．并用所发现的规律直接写出下面的结果：
个
个
10012002222111???-???＝______．
21.3 二次根式的加减(1)
学习要求：
了解同类二次根式的概念，会辨别两个二次根式是否为同类二次根式．会进行简单的二次根式的加、减法运算，体会化归的思想方法．
做一做： 填空题： 1．计算：=+
28______．
2．写出两个与
2
ab
是同类二次根式的根式：______． 3．若最简二次根式123+x 与13-x 是同类二次根式，则x ＝______． 4．若最简二次根式b a +3与b
a b 2+是同类二次根式，则a ＝______，b ＝______．
5．计算：=++
+-8)32
1(|2|0
______． 6．三角形的三边长分别为cm 20、cm 40、cm 45，这个三角形的周长是______cm ．
选择题：
7．计算312-的结果是( ) (A)3
(B)3
(C)32
(D)33
8．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) (A)a 4
(B)
4
a
(C)4a
(D)
4a
9．下列二次根式中，与2是同类二次根式的是( ) (A)27
(B)12
(C)10
(D)8
10．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )
(A)3和18
(B)3和
3
1 (C)b a 2和2ab (D)1+a 和1-a
11．下列各式的计算中，成立的是( )
(A)5252=+
(B)15354=- (C)y x y x +=+2
2
(D)52045=-
12．若1
21,1
21+=
-=
b a 则)(
a
b b a ab -的值为( ) (A)2 (B)－2
(C)2
(D)22
解答题：
13．计算：
(1);2523+ (2);188+ (3);50483122+-
(4);3
12712-
+ (5);2024523
2
1
+-
(6);1253
1
110845--+ (7);)33()33(22++- (8);5.0753128132-+--
(9))455
112()3127(+--+； (10)2
31)13(3-+
+； (11)
a a a a
a
a a 1084
3
33273
12
3-
+-；
问题探究
教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一个面积为800cm 2，另一个面积为450cm 2．他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2米金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗?如果不够用，还需买多长的金彩带?(2＝1.414，保留整数)
21.3 二次根式的加减(2)
学习要求
会进行简单的二次根式的加、减、乘、除四则运算的混合运算． 做一做： 填空题：
1．若最简根式12-a 与43-a 是同类二次根式，则a ＝______． 2．计算：=+-?--++-|31|3)1π(27202______． 3．计算：=+--22)3553()3553(______．
4．计算：=-+-+
8
1
4
1
21218______． 5．若y ＜0，则=-33
xy y x ______．
6．化简：
=-+x
x x x x 5022322123______． 7．已知a ＋b ＝－8，ab ＝8，化简=+b
a
a a
b b
______． 8．一青蛙在如图1的8×8的正方形(每个小正方形的边长为1)网格的格点(小正方形的顶点)上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为5，青蛙从点A 开始连续跳六次正好跳回到点A ，则所构成的封闭图形的面积的最大值是______．
图1
选择题：
9．在二次根式16,8,4,2中同类二次根式的个数为( ) (A)4 (B)3
(C)2
(D)1
10．下列计算中正确的是( )
(A)2323182=?= (B)134916916=-=-=- (C)
243
12312=== (D)a a 242=
11．下列各组式子中，不是同类二次根式的是( )
(A)
8
1
与18 (B)63与
28
25 (C)48与8.4 (D)125.0与128
12．化简)22(28+-得( )
(A)－2
(B)22-
(C)2
(D)224-
13．下列计算中，正确的是( )
(A)562432=+ (B)3327=÷
(C)632333=?
(D)3)3(2
-=-
14．下列计算中，正确的是( )
(A)
1493
12
27=-=-
(B)1)52)(52(=+-
(C)
232
2
6=-
(D)228=-
15．化简
a
a a a a a 1
49164212
-+的值必定是( ) (A)正数
(B)负数
(C)非正数
(D)非负数
16．若a ，b 为实数且211441+
-+-=
a a
b ，则22-+-++b
a
a b b a a b 的值为( ) (A)22 (B)2
(C)22-
(D)32
解答题：
17．计算：
(1))232)(232(-+； (2)2)32(+； (3)2
1
4
5051183-+；
(4);7232318283--+ (5)2
3
)121543(÷-； (6)20072006)65()56()1245()3
1
251(-?+++--；
(7)3
3322)1(2m n m n m n m m n ÷-．
18．如图2，大正方形的边长为515+，小正方形的边长为515-，求图中的阴影部
分的面积．
图2
19．阅读下面的解答过程，然后答题：已知a 为实数，化简a
a a 13
-
--． 解：原式.)1(1
a a a a
a a a --=-?
--= (1)上述解答是否有错误?答：____________；
(2)若有错误，错在______步，错误的原因是____________； (3)写出正确的解答过程．
20．阅读理解题：如果按一定次序排列的三个数a ，A ，b 满足A －a ＝b －A ，即,2b
a A +=
则称A 为a ，b 的等差中项．如果按一定次序排列的三个数a ，G ，b 满足,G
b
a G =即
G 2＝ab (a ，b 同号)，则称G 为a ，b 的等比中项．根据前面给出的概念，求25-和
25+的等差中项和等比中项．
问题探究：
因为223)12(2-=-，所以,12223-=- 因为223)12(2+=+，所以,12223+=
+
因为347)32(2-=-，所以,32347-=-
请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： (1)625-； (2)
?+24
9
复 习
学习要求：
了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算和化简．
做一做： 填空题： 1．在函数5
2-=
x x y 中，自变量x 的取值范围是______．
2．当x ＞2时，化简=-2
)2(x ______．
3．若数P 在数轴上如图所示，则化简=-+-2
2)2()1(P P ______．
4．已知x x -+-11有意义，则x 的平方根为______． 5．当二次根式x 32-有意义时，y ＝|3x －1|的最小值是______． 6．若x ＜0，则
=-x
y x xy y 31______． 7．若最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则a ＝______． 8．当3
1
≤
a 时，化简|13|9612-++-a a a 的结果是______． 9．若0966|2|2=+-+-+-z z y x ，则=??
z y x ______．
选择题： 10．使根式
x x 1
+有意义的字母x 的取值范围是( )
(A)x ＞－1
(B)x ＜－1
(C)x ≥－1且x ≠0
(D)x ≥－1
11．已知a ＜0＜b ，化简2
)(b a -的结果是( )
(A)a －b (B)b －a (C)a ＋b (D)－a －b
12．在32,9,,,
45222x
a y x x
y +-中，最简二次根式的个数是( ) (A)1
(B)2
(C)3
(D)4
13．下列二次根式中，与35-是同类二次根式的是( )
(A)18 (B)3.0 (C)30 (D)300
14．计算28-的结果是( )
(A)6
(B)2
(C)2
(D)1.4
15．估算37(误差小于0.1)的大小是( ) (A)6 (B)6.0～6.1 (C)6.3
(D)6.8
16．下列运算正确的是( )
(A)171251251252222=+=+=+ (B)1234949=-=-=
-
(C)20)4()5(1625)16()25(=-?-=-?-=-?-
(D)1535)3()5(2
2=?=-?-
17．下列运算中，错误．．
的是( ) (A)632=
?
(B)
2
2
2
1=
(C)252322=+ (D)32)32(2
-=-
18．若把a
a 1
-
的根号外的a 适当变形后移入根号内，结果是( ) (A)a -- (B)a -
(C)a -
(D)a
19．小明的作业本上有以下四题：
①24416a a =；
②a a a 25105=?； ③;1
.12a a
a a a
== ④.23a a a =-
做错的题是( ) (A)①
(B)②
(C)③ (D)④
20．若)()()(22
m n m n n a a m >-=-+
-成立，则a 的取值范围是( )
(A)m ≤a ≤n
(B)a ≥n 且a ≤m
(C)a ≤m
(D)a ≥n
21．用计算器计算,1
51
5,1414,1313,12122222--------…，根据你发现的规律，判断
(人教版初中数学)人教版数学第21章二次根式知识点及对应练习
初三数学知识点 第一章二次根式知识点 1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数； () ()02 ≥=a a a ； ()02≥=a a a . 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=?b a ab b a ； ()0,0>≥=b a b a b a . 3 二次根式的加减：二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=,S 是三角形的面积,p 为2 c b a p ++= . 第一章二次根式21.1二次根式练习 一、选择题 1．下列式子中,是二次根式的是（ ） A ． B C D ．x 2．下列式子中,不是二次根式的是（ ） A B C D ． 1x 3．已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（ ） A ．5 B C ． 1 5 D ．以上皆不对 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,?底面应做成正方形,试问底面边长应是多少？ 2．当x 是多少时2在实数范围内有意义？ 3有意义,．
A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 5.已知a 、b 为实数,求a 、b 的值． 第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习 1. 当0a ≤,0b 时__________=. 2. ,则_____,______m n ==. 3. __________==. 4. 计算： _____________=. 5. ,面积为则长方形的长约为 （精确到0.01）. 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） 7. 已知0xy ,化简二次根式的正确结果为（ ） C. D. 8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+a b =+ 22a b =+a b =+ 9. -和- ） A. 32-- B. 32-- C. -=-不能确定 10. 以下说法中不正确的是（ ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算： () 1()2
第二十一章二次根式以及二次根式的乘除练习题
第二十一章二次根式以及二次根式的乘除练习题 一、选择题 1．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D ． 1x 2．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5 B ． C ． 1 5 D ．以上皆不对 3.使式子x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 4．二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 6+ ）． A ．0 B ．23 C ．423 D ．以上都不对 7．a ≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A ≥． C ． ． 8和cm ，?那么此直角三角形斜边长是（ ） A ． B ．cm C ．9cm D ．27cm 9．化简 ）． A ． ．． 10= ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 11．下列各等式成立的是（ ）．A ．． C ．3 ．× 12A ． 27 B ． 27 C D 7 13．阅读下列运算过程： 3 = = 5 = = 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简 的结果是（ ）． A ．2
B ．6 C ． 13 D 14y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A ． （y>0） B y>0） C y y>0） D ．以上都不对 15．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． A ． ．．16．在下列各式中，化简正确的是（ ） A ． B ± 12 2 D ． 17 ） A ．- 3 B ． C ．- 3 D ． 二、填空题 1．若． 2．（）2=________． 3_______数． 4．=________． 5．若 m 的最小值是________． 6．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1； 乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 7．分母有理化:(1) =________;(3) 8．已知x=3，y=4，z=5_______． 9．（x ≥0） 10．a 化简二次根式号后的结果是_________．
重庆市九年级数学上册 第21章 二次根式 21.1 二次根式教案 (新版)华东师大版
二次根式 课题名称二次根式 三维目标 1.了解二次根式的概念; 理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含字母的取值范围; 会求二次根式的值; 2.经历二次根式概念的发生过程 3.体验数学符号的美 重点目标形如a（a≥0）的式子叫 做二次根式的概念难点目标利用“a（a≥0）”解决具体 问题 导入示标 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 2. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 目标三导学做思一：认真阅读课文例题前面的内容，思考以下几个问题： 1．当a是正数时， a表示a的什么？（算术平方根，即正数a的正的平方根）． 2．当a是零时， a等于什么？，它表示什么？（它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．） 3．当a是负数时， a有没有意义？（没有意义．） 学做思二：x是怎样的实数时，二次根式1 x-有意义？ 解:被开方数x-1≥0，即x≥1． 所以，当x≥1时，二次根式 1 x-有意义． 学做思三：思考2a与（a）2等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律. 概括:当a≥0时，2a= ；当a＜0时，2a= ，()() 2 a a a =≥
例 .当x 是多少时，1231x x ++ +在实数范围内有意义？ 例 (1)已知225y x x =-+-+，求 x y 的值． (2)若110a b ++-=，求a 2004 +b 2004的值． 达标检测 1.计算： （4）2=______；（3）2=______； 9=______； 2(4)-=______； 2.x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 反思总结 1.知识建构 2.能力提高 3.课堂体验 课后练习
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例：1.已知：0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。 3、运用数形结合，进行二次根式化简 例：.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 第二十一章 二次根式 测试5 二次根式的加减(二) 学习要求 会进行二次根式的混合运算，能够运用乘法公式简化运算． 课堂学习检测 一、填空题 1．当a =______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并． 2．若27+= a ，27-= b ，那么a ＋b =______，ab =______． 3．合并二次根式：(1)=-+)18(50________；(2)=+-ax x a x 45________． 二、选择题 4．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )． A ．ab 与2ab B mn 与 n m 11+ C ．22n m +与22n m - D ． 239 8b a 与4329 b a 5．下列计算正确的是( )． A ．b a b a b a -=-+2))(2( B ．1239)33(2=+=+ C ．32)23(6+= +÷ D ． 641426412)232(2-=+-=- 6．)32)(23(+-等于( )． A ．7 B ．223366-+- C ．1 D ．22336-+ 三、计算题(能简算的要简算) 7．?-12 1 ).2218( 8．).4818)(122(+- 9．).3 2841)(236215(-- 10．).32 18)(8321( -+ 11．.6)1242764810(÷+- 12．.)18212(2 - 综合、运用、诊断 一、填空题 13．(1)规定运算：(a *b )=｜a －b ｜，其中a ，b 为实数，则=+7)3*7(_______． (2)设5=a ，且b 是a 的小数部分，则=-b a a ________． 二、选择题 14．b a -与a b -的关系是( )． A ．互为倒数 B ．互为相反数 C ．相等 D ．乘积是有理式 15．下列计算正确的是( )． A ．b a b a +=+2)( B ．ab b a =+ C ．b a b a +=+22 D ．a a a =? 1 三、解答题 16．?+?-2 2 1221 17．?-- + ?2 818)2 12(2 18．.)21()21(20092008-+ 19．.)()(22b a b a --+ 四、解答题 20．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x 3y ＋xy 3的值． 21．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值． 苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式 0)a ≥. 要点诠释：0a ≥，即只有被开方数0a ≥时， 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2）； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥）， 如22212;;3x ===（0x ≥）. （2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42的异同 a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2. 3.最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号. 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ .21.2 二次根式的乘除 21．2.1 二次根式的乘法 理解a·b＝ab(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简． 由具体数据发现规律,导出a·b＝ab(a≥0,b≥0)并运用它进行计算． 通过探究a·b＝ab(a≥0,b≥0),培养特殊到一般的探究精神,培养学生对事物规律的观察发现能力,激发学生的学习兴趣． 重点 a·b＝ab(a≥0,b≥0)及它的应用． 难点 发现规律,导出a·b＝ab(a≥0,b≥0)． 一、情境引入 1．填空： (1)4×9＝________, 4×9＝________; (2)16×25＝________, 16×25＝________; (3)100×36＝________, 100×36＝________． 参照上面的结果,用“>”、“<”或“＝”填空． 4×9________4×9; 16×25________16×25; 100×36________100×36. 2．利用计算器计算填空． 2×3________6; 2×5________10; 5×6________30; 4×5________20. 二、探究新知 (学生活动)让3,4个同学上台总结规律． 教师点评：(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式,它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积． 一般地,对二次根式的乘法规定为 a·b＝ab(a≥0,b≥0)． 例1 计算： (1)5×7; (2)1 3 ×9; (3)1 2 × 6. 解：(1)5×7＝35; (2)1 3 ×9＝ 1 3 ×9＝3; (3)1 2 ×6＝ 1 2 ×6＝ 3. 三、练习巩固 1．直角三角形两条直角边的长分别为15 cm和12 cm,那么此直角三角形斜边长是( ) A．3 2 cm B．3 3 cm C．9 cm D．27 cm 2．化简a－1 a 的结果是( ) A.－a B. a C．－－a D．－ a 3．等式x－1·x＋1＝x2－1成立的条件是( ) A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1 4．下列各等式成立的是( ) A．45×25＝8 5 B．53×42＝20 5 C．43×32＝7 5 D．53×42＝20 6 四、小结与作业 小结 1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？请与同伴交流． 2．教师总结归纳二次根式的乘法规定 a·b＝ab(a≥0,b≥0)． 布置作业 从教材“习题21.2”中选取． 这节课教师引导学生通过具体数据,发现规律,导出a·b＝ab(a≥0,b≥0),并学会它的应用,培养学生由特殊到一般的探究精神,培养学生对于事物规律的观察、发现能力,激发学生的学习兴趣． 二次根式小结与复习 夏飞 【主要内容】 本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等． 【要点归纳】 1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 2. 二次根式的性质： ① ② ③ ④ 3. 二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减． （1）二次根式的加减： 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相 加减，被开方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． （2）二次根式的乘法： （3）二次根式的除法： 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． （4）二次根式的混合运算： 先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算． 注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成 假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成． （5）有理化因式： 一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与；②与； ③与；④与． 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化． 【难点指导】 1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有； 《第二十一章 二次根式》 练习题 一、填空题 1． ______个． 2. 当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 。 3. _____________ 4. = 5. 实数a 在数轴上的位置如图所示：化简 ：1______a -=． 6. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm 2,则此边的高线长 ． 7. 若()2240a c -+-=，则=+-c b a ． 8. 计算：20102010)23()23(+-= 9. 已知2310x x -+=，则 = 10. = = =用含自然数(1)n n ≥的代数式表示出来是 ． 二、选择题（每小题3分，共24分） 11. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 12. 下列二次根式中，x 的取值范围是2≥x 的是（ ） A ．2－x B ．x+2 C ．x －2 D ．1x －2 13. 实数a b c ，，在 数轴上的对应点的位置如图所示，式子①0b c +>②a b a c +>+③bc ac >④ab ac >中正确的有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 14. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A . B . C. D . 15. 下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a = C ．1122-=+-x x x D ．3392-?+=-x x x 16．设4a ，小数部分为b ，则1a b - 的值为（ ） Ａ．1- Ｃ．1 Ｄ．17. 把m m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ） A ．m B ．m - C ．m -- D ．m - 18. 2，则a 的取值范围是（ ） Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤ Ｃ．24a ≤≤ Ｄ．2a =或4a = 三、解答题（76分） 19. (12分)计算： (1) 21418122-+- (2) 2)352(- (3) (4)28 4)23()21(01--+-?- 20. （8分）先化简，再求值：1 1212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ． 21. （8分）已知：3x 22x y --+-=，求：4y x ）（+的值。 章复习第21章二次根式 一、二次根式 1、二次根式的概念 一般地，把形如______的式子叫做二次根式，“______”叫做二次根号，______叫做被开方数. 注：被开方数a可以是数，也可以是代数式（整式、分式），但a必须____________. 2、二次根式的意义与性质 ⑴意义：二次根式实际上就是指非负数a的____________． a≥是一个______数；②____________；③____________． (0) 注：①2(0) =≥可逆用平方根定义得出；②注意0 a a a<时，a-． 二、二次根式的乘除 1、二次根式的乘法规定：__________________ 即：____________________________________． 注：①此规定可推广到多个二次根式的情况；②此规定是积的算术平方根的性质____________的逆用；③公式中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是______数，因为负数____________. 2、二次根式的除法规定：__________________ 即：______________________________. 注：①一般地，两个二次根式相除，如果被开方数不能恰好整除时，应将分母有理化. 分母有理化的依据是分式的基本性质和2(0) =≥；②商的算术平方根的性质的限制条 a a 件“(00) ，”与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别，因为分母不能为零， a b ≥> 所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数，否则性质不成立. 3、最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含______；②被开方数中不含____________的因数或因式. 注：①判断最简二次根式，应紧紧抓住最简二次根式的定义；②如果被开方数是多项式时，应先因式分解，再来判断；③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2，即每个因式的指数都为1． 三、二次根式的化简 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： ①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分数或分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来． 四、二次根式的加减 1、同类二次根式 第21章 二次根式 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 。 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 。 三、学习过程 （一）知识准备： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）学习内容 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y= 3x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 4 A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称 ．因此，一般地，我们把形如a≥0）?的式子叫做， ”称为． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 例2．当x 在实数范围内有意义？ （四）知识梳理 1．非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时， a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2 ≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方 根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ，b a + 与 b a - ，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并 《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3, ,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2） ； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2 a =（0a ≥）， 如2 2211 22); );)33 x x ===（0x ≥）. （2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a . （3a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （42 的异同 a 可以取任何实数，而2 中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2 . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同， 再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥> 要点诠释： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 = （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变， 2019-2020年九年级数学上册第21章二次根式复习教案新 人教版 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子： 二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零． x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0． 解因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的． 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 第21章 二次根式单元测试 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） 2．若 b b -=-3)3(2，则（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．下面计算正确的是（ ） A.3=3=2 35= D.2=- 4．若x<0，则x x x 2-的结果是（ ） 5．下列二次根式中属于最简二次根 式的是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 A ．14 B ．48 C ． b a D ．44+a 6． 已知y =，则2xy 的值为（ ） 7．化简 6 151+的结果为（ ） A ．15- B ． 15 C ．152- D ． 15 2 A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ．1130 8．小明的作业本上有以下四题： ①24416a a =； ②a a a 25105=?； ③a a a a a =?=1 12；④a a a = -23。做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．4 3- =a B ．34 =a C ．a=1 D ．a= —1 10． 计算2 2 1－631 ＋8的结果是（ ） A ．32－23 B ．5－2 C ．5－3 D ．22 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2 )52( 。12．二次根式3 1-x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m ++= 。14．=?y xy 82 ， =?2712 。 15．1112-= -?+x x x 成立的条件是 。16．比较大小： 。 17．计算3 393a a a a - += 。18．232 31+-与的关系 是 。 19．若35-= x ，则562++x x 的值为 。20．化简 ? ?? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题16分，共40分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2） a 83 1 - （3）42+m （4）x 1- 《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0） 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a 6 21 2 .2 A 石 B 辰 C 屈 D 血1 3 ?、a A 屆 B 73a 2 3 C 肩 D V a 4 4 25 A 5 B V 5 C 5 D 5 5 9 A 3 B 3 C 3 D 81 6 7a 2 b 1 0 (a b )2007 A 1 B 1 C 32007 D 32007 7 A ( 2)0 0 B 3 2 9 C 晶 3 D V 2 73 75 8 J x 1 x A x 1 B x l C x 1 D x 9 P A 、 斤 B C 3.2 D 1 1 P 1 1 亠 i i i 3 2 1O 1 2 3 10 9 A d 2 46 B v'2 C 珂'8 4血 D <4 42 <2 11 V20n n A 2 B 3 C 4 D 5 12 A 恵昭晁 B 恵爲 C 78 4D 7( 3)2 3 1 x ___________ J x 3 2 侮 ______________ 3 d 2x 6 x 3 .5 4 A B C 4 A B 7、观察下列各式: 8计算：晶 ___________________ : 9. 一个三角形的三边长分别为、、8cm,12cm,、、18cm ，则它的周长是 cm 10. 当 1 x<5时， ~x 5 ____________________ 。 三、解答题 1、计算：（n 1）°屁 的. 四.解答题。 1.如图：面积为48cm 2的正方形四个角是面积为3cm 2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子, 求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到 0.1 cm,、、3 1.732 ） 2. 当 1v x V 5 时，化简：.x 2 2x 1 . x 2 10x 25 3. 若最简二次根式3x 10 2x y 5和. x 3y 11是同类二次根式 ⑴.求x 、y 的值。 ⑵.求x 、y 平方和的算术平方根。 n （n > 1）的等式表示出来 3、 8+ (- 1)3 — 2X 4、1 10 (3 15 5.. 6) 2 5、(3.6 ^.2 )(3.6 42) & (、. 5 2)2 ( 5 1)(、. 5 3) 8. 48 54 2 1 73 请你将发现的规律用含自然数 2、 ,12 ,18 ,0.5 7, 2.12 30 30 九年级数学第二十一章二次根式测试题（A ） 时间：45分钟 分数：100分 一、选择题（每小题 2分，共20分） 1 .下列式子一定是二次根式的是（ ） A . x-2 B . . x C . x 2 2 D . 、、x 2 -2 2.若,3匚b ）2 =3-b ，则（） A . b>3 B . b<3 C . b > 3 D . b < 3 3 ?若..3m -1有意义，则 m 能取的最小整数值是（ ） A . m=0 B . m=1 C . m=2 D . m=3 A . 0 B . — 2 C . 0 或一2 D . 2 5. （ 2005 ?岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A . B . ^48 C . J 旦 D .』4a+4 \ b 6.如果?? xx -6 二 $x （x -6），那么（） A . x > 0 B . x > 6 C . 0< X W 6 D . x 为一切实数 7. （ 2005 ?湖南长沙）小明的作业本上有以下四题: ■- 3^ - 2^ _ a 。做错的题是（ ） A .① B .② C .③ D .④ 11 1 &化简J —+—的结果为（） 15 6 B . 30 330 若x<0 ,则 ① 16a 4 =4a 2 ； D . 30 11 的结果是 ) ④ 9. （2005 ?青海）若最简二次根式,1 a与一4 - 2a的被开方数相同，则a的值为（） 3 4 A.a 二 B. a 二一 C. a=1 D. a= 1 4 3 10 .（2005 ?江 西） 化简 、8 - ? 2（、. 2 - 2）得（） A.—2 B. 2 - -2 C. 2 D. 4.2-2 _ 、 填空题（每小题 2 分，共 20分） 11 .①、（-0.3） 2 : = :②-』（2 - ％5）2 = 。 1 12. 二次根式 _________________ ——有意义的条件是。*'x -3 13. 若m<0，贝U | m | , m2 3. m3= ________ 14. < x x - x2 -1成立的条件是_______________________ 15 ?比较大小：2 3 ________ 13。 16. . 2xy ?8y 二,? 12 ?? 27 二___________ 。 3 — 3 ■ a 17 .计算a〔' ■■- 9a ■ _______ = 。 \ a J3 18. - 1十与駅+込的关系是___________________ 。 -<2 19. _____________________________________________ 若x - .5 -3「x2■ 6x ■ 5 的值为 _____________________________________ 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题24分，共48分） 21.求使下列各式有意义的字母的取值范围：第二十一章 二次根式3
苏教版八年级下册数学[《二次根式》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除21.2.1二次根式的乘法教案新版华东师大版
二次根式小结与复习
第二十一章 二次根式
章复习 第21章 二次根式
第21章 二次根式
二次根式知识点总结
二次根式全章复习与巩固(基础)知识讲解
2019-2020年九年级数学上册 第21章 二次根式复习教案 新人教版
第21章 二次根式单元测试题(一)及答案
第二十一章 二次根式教案
二次根式知识点总结大全
第21章二次根式练习题(已整理)
第二十一章二次根式