不定积分求解方法及技巧小汇总

不定积分求解方法及技巧小汇总

摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一．不定积分的概念与性质

定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原

函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）

简单的说就是，连续函数一定有原函数

定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则

（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；

（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为?f(x)d(x),即?f(x)d(x)=F(x)+C

其中记号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则?[f(x)±g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx.

性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则?kf(x)dx=k?f(x)dx.

二．换元积分法的定理

如果不定积分?g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[?(x)] ?’(x). 做变量代换u=?(x),并注意到?‘（x）dx=d?(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积

分，于是有?g(x)dx=?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du.

如果?f(u)du可以积出，则不定积分?g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换

元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=?(x)可导，则有换元公式

?f[?(x)] ?’(x)dx=?f(u)du=F(u)+C=F[?(x)]+C.

第一类换元法是通过变量代换u=?(x),将积分

?

f[?(x) ?’(x)dx 化为

?

f(u)du.但

有些积分需要用到形如x=?(t)的变量代换，将积分?

f(x)dx 化为

?

f[?(t)] ?’(t).

在求出后一积分之后，再以x=?(t)的反函数t=?1

-(X)带回去，这就是第二类换元法。

即

?

f(x)dx={

?

f[?(t)] ?’(t)dt})(1X t -=?.

为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=?1

-（x ）存在的条

件，给出下面的定理。

定理2 设x=?(t)是单调，可导的函数，并且?‘（t ）≠0.又设f[?(t)] ?’(t)具

有原函数F （t ）,则?f(x)dx=?f[?(t)] ?’(t)dt=F(t)+C=F[?

1

-(x)]+C

其中?

1

-（x ）是x=?（t ）的反函数。

三．常用积分公式 1 基本积分公式 （1）

?kdx=kx+C(k 是常数)； （2）

?

x u

dx=1

u x 1

u +++C(u ≠-1);

（3）

?x dx =ln x +C ； （4）?2

x 1dx +=arctanx+C; (5)

?2

x

1dx -=arcsinx+C; (6)

?cosxdx=sinx+C;

(7) ?sinxdx=-cosx+C ; (8)

?x

2cos dx =?sec 2

xdx=tanx+C; (9)

?x

dx 2

sin =?csc 2

xdx=-cotx+C; (10) ?secxtanxdx=secx+C; (11) ?cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ?e x dx= e x

+C; (13) ?a x

dx= e x

+C; (14) ?shxdx=chx+C; (15) ?chxdx=shx+C. (16) ?tanxdx=-ln cosx +C; (17)

?

cotxdx=ln sinx +C; (18)

?

secxdx=ln tanx secx ++C;

(19)cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)

?

2

2x a dx +=a

x x ln a 1+-a

+C;

(21)

?22x a dx -=arcsin

a

x

+C; (22) ?2

2x a dx +=ln(x+22a x ++C;

(23)

?

2

2a x dx -=ln 22a x x -+

+C.

2.凑微分基本类型

四．解不定积分的基本方法

四．求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([?????

其中)(x ?可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：?

+-+dx x x x

x )

1(ln )1ln(

【解】)

1(1

111)'ln )1(ln(+-

=-+=

-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2

)ln )1(ln(2

1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：?

+dx x x x 2

)ln (ln 1

【解】x x x ln 1)'ln (+=

C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1

)ln (ln )1(ln 122

3.第二类换元法：

设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式

??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会

用。主要有以下几种：

acht

x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t

a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222

也奏效。

，有时倒代换当被积函数含有：：t

x c bx ax x t d

cx b

ax d cx b ax t

b ax b ax m n n

n

n 1

)6()5()4(2=++?=++++=++

4.分部积分法.

公式：??-=νμμννμd d

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx x

x x ?

-?2

31arccos

【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则

=-=-=-???

tdt t dt t t t

t dx x x x 332

3cos )sin (sin cos 1arccos

C x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=

-+-=---=-=-????arccos 1)2(3

1

3291cos 91

cos 32sin sin 31cos )1sin 31

(sin sin 31)sin sin 31

(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332

例4：?xdx 2arcsin 【解】

?

?--=dx

x x x x x xdx 2

2

211arcsin 2sin arcsin

C

x x x x x dx x

x x x x x x xd x x +--+=----+=-+??2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22

222

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在??-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：

选取的函数不能改变。

，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x

x e x P x x x ax ax e x P ax

m ax m ======

将以上规律化成一个图就是：

但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。 对于（3）情况，有两个通用公式：

C

bx b bx a b a e dx bx e I C

bx b bx a b a e dx bx e I ax ax

ax

ax

+++=?=+-+=?=??)sin cos (cos )cos sin (sin 2

222

21

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数

)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)

()

(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现?

+=n

n x a dx

I )(22时，记得用递推公式：12

1222)

1(23

2))(1(2----++-=

n n n I n a n a x n a x I ） 例5：dx x x x x x ?+--+2

23246)

1(2

4 【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 2

2322)1(2

41++-

+x x x x x

2

22

242

224222322

2)1(12)1(24)1(24)1ln(211x dx x x x xdx x x x dx x x x C

x dx x x =++=++=++++=+????μ C x x C d d d ++-=+-+=+-=

+-+=++???)

1(1111))1(11()1()1()1(12222

2222

222μμμμμμμμμμμμμμ

故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分

万能公式：?????

?????

?

+-=

+=2tan 12tan 1cos 2tan 12

tan 2sin 22

2x x

x x x x 化为有理函数可用变换2

tan )cos ,(sin )cos ,(sin x t dx x x Q x x P =?的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。

对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成

x

x

x x sin cos cos sin 或。再用待定系数 x

b x a x b x a B x b x a A sin cos )

sin'cos'()sin cos (++++来做。

（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x x +1和时，可令t x 2tan =；同时出现x x -1和时，可令t x 2sin =；同时出现x x arcsin 12和-时，可令x=sint ；同时出现x x arccos 12和-时，可令x=cost 等等。

学习完不定积分，觉得这部分内容对我们思维的灵活性要求很大，应该加大习题量，达到见多识广的效果，做完习题注意总结，以及类似题目的整理。熟记三角函数公式，不定积分基本公式，掌握各种求积分的方法。