二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面
二次型的定义
定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式
()ji
ij n i n
j j i ij
n a a ,x x a
,x ,,x x Q ==
∑∑==1
1
21
称为n 元二次型或二次形式。当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。 例：()32212
13213x x x x x ,x ,x x Q +-=
例：()2332212
13212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-=
()()
()?????
????????????????
???=++++++++++++===
∑∑==n nn n n n n n n nn n n n n n n n n ji ij n i n
j j i ij
n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a
,x ,,x x Q
2
12
1
22221
11211212
2211222
22212211121122
1111
1
21
令()()T
ij T
n A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为
()Ax x ,x ,,x x Q T
n = 21，
称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ???????
?
?
?-
-
=+-=02
302302102
113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且r (A )=n .
)∑∑===
n i n
j j
i ij
n x x |A|
A ,x ,,x x Q 1
1
21
矩阵的相合
设n n ,β,,ββ,,α,
,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即
()()P ,α,
,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为
()()T
n T
n ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121==
则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：
x P y Py x 1
-==或。
则()()()
y AP P
y
APy Py Ax x αQ T
T
T
T
===
称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型
Ax x T
和()By y y AP P y T T T =是等价的。
定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。
性质：
（1） 自反性：A 与自身相合；
（2） 对称性：若A 与B 相合，则B 与A 相合； （3） 传递性：若A 与B 相合，B 与C 相合，则A 与C
相合；
结论：若矩阵A 与B 相合，则r (A )=r (B )，且与对称矩阵相合的矩阵也是对称矩阵。 ????
?
?
?=????? ?
?=?????
?
?=20
0022
022
00
0140
01440
0040
004C ,B ,A 已知例 试判断A , B , C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同。
()
满足关系则例设B A B ,A ,,00
000000000
0004
111111111111
1111
????
??
?
?
?=???????
?
?=（1）合同且相似； （2）合同但不相似； （3）不合同但相似； （4）不合同且不相似。 二次型的标准形
定义：形如()n
n
n x d x d x d αQ +++= 2
222
11的二次型称为二次
型的标准形。
主轴化方法（正交变化法）（适用于实二次型）
定理（主轴定理）：任一实二次型()T
T A A Ax x αQ ==其中,，
存在正交线性替换x =Py ，其中P 是正交矩阵，使得()αQ 化
为标准形：()n
n
n y y y αQ λλλ+++= 2
222
11，其中n λλλ,,,21 是
A 的n 个特征值。
用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤： （1） 写出二次型的矩阵A （A 一定是实对称矩阵）； （2） 求矩阵A 的特征值，得n λλλ,,,21 ； （3） 求相应的特征向量；
（4） 将特征向量作Schmidt 正交化，得到标准正交的特
征向量；
（5） 将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵P ，这时有
()n T
AP P
AP P λλλ,,,diag 211
==-；
（6） 写出可逆线性替换x =Py ，则有
()n
n
n y y y αQ λλλ+++= 2
222
11。
例：已知实二次型()()3231212
32221444x x x x x x x x x a αQ +++++=经正交变换x =Py 可化成标准形()2
16y αQ =，则a =？
例：用主轴化方法将二次型
()4
34232413121222222x x x x x x x x x x x x αQ ++--+=为标准形。
解：二次型对应的矩阵为??????
?
?
?----=01
1
1101111011110A 其特征多项式为：
()()
311
1
1
1111111113
+-=--------=
-λλλ
λλλ
A λI
所以A 的特征值为()3121-==λ，
三重根λ。 11=λ时，由()01=-x A I λ，求得三个线性无关的特征向量
()()()T
T
T
,,,,,,,,,1001,0101,0011321-===ααα
用施密特正交化方法求得三个标准正交向量为：
T
T
T
??
?
?
?
-=???? ??-=???
??=123,121
,121,121
0,62,61,6
10,0,21,213
21γγγ，
，
32-=λ时，求得一个单位特征向量为T
?
?? ??--=21,21,21,2
1
4γ
取正交矩阵：
??????????
?????
??????
?
---
-
=2112
30
21121620211216121211216121P 则P T AP =diag(1,1,1,-3)T ,作正交变换x =Py ,得
()()2
4
2
32
22
133111y y y y y ,,,diag y APy P y Ax x αQ T
T
T
T
-++=-===配方法：（适用于任意二次型）
例：用配方法将二次型
()3231212
32
22
182252x x x x x x x x x αQ +++++=
化为标准形。
()()()()
()()()2
2
21
123232322
2323
2
2
2
1232323
22
2
123233
22584635Q αx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++-++++=+++++=++++-解:
??
??
? ??????? ?
?=????? ?????
??=+=++=32132133
322321110
0310111
3x x x y y y x
y x x y x x x y 即
令
Py
y y y x x x y
x y y x y y y x =???
?
? ??????? ?
?--=????? ?????
??=-=+-=?32132133
3223
21110
031021132即
作可逆线性替换x =Py ,得
()2
32
22
15y y y APy P y Ax x αQ T
T
T
-+===
1
001111
1211012401323114500
11111121
0001301301000
500
100
5-??????
? ? ?-- ? ? ? ? ? ?-?????
?-??????
? ? ?=-= ? ?
? ? ? ?--?
??
??
?
例：用配方法将二次型()312142x x x x αQ +=化为标准形。
??
??
? ??????? ?
?-=????? ?????
??=-=+=32132133
2
1221110
0011011
y y y x x x y
x y y x y y x 即
解：令 ()()()()()(
)
()()
2
322
312
3
322
223132312
22
13
21212122222442242y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y αQ --+=+--+=++-=++-+=则
??
??
? ??????? ?
?-=????? ?????
??=-=+=32132133
3
223
1110
0110101
即
z z z y y y y
z y y z y y z 令 则()2
22122z z αQ -=为所求的标准形。所作的坐标变换为
??
??
? ??????? ?
?--=????
?
??????? ?
?-????? ??-=????? ??????? ?
?-=????? ??32132132132110
021101110
0110101
10
0011011100011011z z z z z z y y y x x x
定理：任意一个二次型都可以通过可逆线性替换化成标准形 矩阵的初等变换法
定理：对每个实对称矩阵A ，存在初等矩阵s ,P ,,P P 21使得 ()n s T
T
T
s ,d ,,d d P P AP P P P 212112diag =
方法：先将二次型的对应矩阵A 写出，然后将单位矩阵写在
A 的下面，构成一个()n n ?2阶矩阵，当列进行初等变换后，对行向量也进行相同的初等变换，则当A 变成对角阵时，I 就成了所作的变换矩阵。 例：用初等变换法将下列二次型
()3231212
32
22
182252x x x x x x x x x αQ +++++=
化为标准形。 ()()()()()()2131332111100100124113013A 145134034I 1
001
1111101001001000
10
010
11001000100100350051121
120130130
10
1---?????? ? ? ?
? ? ? ? ? ???=→→
? ? ? ?----?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????
??
??? ? ? ?
--→→
?-- ? ?-- ????解：?
?
? ? ? ? ? ??
后，得到
当作坐标变换令
Py x P =???
?
? ?
?--=,10
0310
211()2
32
22
15y y y αQ -+=即为标准形。
例：用初等变换法将下列二次型
()x
x αQ T
????
? ?
?=11
1112
120 化为标准形。 ()()
→?????????
?
?
?→??????????
?
?→??????????
??=????
???10
0001010111102121
10
0001010111121102
10
0010001
111
112120
12I A 解： 例：用初等变换法将下列二次型
()x
x αQ T
????
? ?
?=00
2001
210 化为标准形。 ()()
→?????????
?
?
?→??????????
?
?→?????????? ??=?
???
??+10
0011001002001212
10
001100100200121110
0010001
002
001210
12I A 解： 惯性定理和二次型的规范形
设()Q α为复二次型，它的秩为r ，其标准形为 2
2
2
1122r r d y d y d y +++ 其中,0,1,2,i i d C d i r ∈≠= ，令
1,1,2,,,1,,.i i i i
y z i r y z i r n ?
=
=??
?==+?
则()222
12r Q z z z α=+++------ 规范形
定理：任意一个复系数二次型总可以经过一个适当的可逆线性替换化为规范形，且规范形是唯一的。 定义：称形如
22
2
2121
p p
r
z z z
z z +++
+--
- 的二次型为实二次型的规范形。称p 为二次型的正惯性指数，r -p 为负惯性指数，正、负惯性指数的差p -(r -p )=2p -r 叫符合差。
定理(惯性定理) 任意一个实系数的二次型，总可以经过一个适当的可逆线性替换，化成规范形，且规范形是唯一的，即正、负惯性指数由二次型唯一确定。
证明：只证p 的唯一性。 设()Q α为实二次型。
()()()()2
2
2
2
2
12122222
12112p p r
q q r
Q x Pz z z z z z Q x Tu u u u u u αα++=+++---=+++---
1
1
,,,p q p q z P x u T
x --≠<==假设，不妨设由不妨设
11221122,1,2,,,1,2,,i i i in n i i i in n z a x a x a x i n u b x b x b x i n =+++==+++=
考虑齐次线性方程组
}11112211122111122111220000
n n p p pn n q q q n n n n n n n a x a x a x p a x a x a x b x b x b x n q b x b x b x +++?
+++=?
??+++=??
+++=?-??+++=?
个方程个方程 方程组有非零解，设为()()()
(
)
000012,,,0T
n
x x x x =≠ ，则
()()1
0011
0010,,0,,,0
,,,0,,00
T
p n T
q z P x z z u T
x u u -+-==≠==≠
分别代入(1)和(2)，有()()0000Q x Q x ≤>和，矛盾. 推论 对任意的实对称矩阵A ，存在可逆矩阵Q 使得 (),,0T
p r p Q AQ diag I I -=-。
注：可逆矩阵Q 不唯一，但p ，r 由A 唯一确定。 注：两个实对称阵A , B 合同当且仅当有相同的正、负惯性指数。
实二次型的正定性
定义：如果对于任意非零向量()12,,,T
n x x x x = ，恒有 ()12,,,0T
n Q x x x x Ax =>
则称实二次型T
x Ax 为正定二次型；称矩阵A 为正定矩阵。
例 1 二次型()222
1212,,,n n Q x x x x x x =+++ 是正定二次型；但二次型()()2
2
2
1212,,,n r Q x x x x x x r n =+++< 不是正定二次型（单位矩阵是正定矩阵）。
例2 设A , B 均为n 阶正定矩阵，k , l 为正数，证明kA +lB 为正定矩阵。
例3 设V 是欧氏空间，12,,,n ααα 是V 的一组基，定义
()
()()()()
()()()
()111212122212,,,,,,,,,n n n n n n G αααααααααααααααααα??
?
?
=
? ?
???
则G 是正定矩阵。
性质：二次型经过可逆线性替换，其正定性不变；或者说，若矩阵A 与B 合同，则A 正定当且仅当B 正定。 证明：设(),,00,T
Q x Ax x Py x y α==≠≠令则当且仅当且
()()()()T
T
T
T
Q x Ax Py A Py y
P
AP y
α===
所以
(
).T
T
T
x
A x y P
A P y 正定当且仅当
正
定 定理 若A 是n 阶实对称矩阵，则下列命题等价：
(1) Ax x T
是正定二次型（或A 是正定矩阵）；
(2) A 的正惯性指数为n （或二次型的正惯性指数为n ）; (3) A 与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵C ，使得C T AC =I ； (4) 存在可逆矩阵B ，使得A =B T B ; (5) A 的n 个特征值n λλλ,,,21 都大于零。
证明：(1)?(2) 设二次型的正惯性指数p ()221 222 21 r p p T y y y y y Ax x Q ---+++==+ α 取()T ,,,,,,y 110000 =，则()0≤αQ ，与Ax x T 是正定二次型矛盾。 (2)?(3) 显然成立。 (3)?(4) 由于C T AC =I ，所以() 1 1 1 ,-T T C B B B C C A ===--其中. (4)?(5)设λ是A 的一个特征值，x 是属于λ的特征向量，则 0≠x ，且λx Ax =，由于A =B T B ，B 可逆，所以 ()x λx Bx Bx x λx Bx B x x λx Ax x T T T T T T T =?=?= 即有 ()()x x,λBx Bx,= 因为0≠x ，B 可逆，所以()()0,0>>x x,Bx Bx,，因此 () () >= x x,Bx Bx,λ。 (5)?(1) 对实对称矩阵A ，存在正交矩阵P ，使得 ()n T ,λ,,λAP P 21diag λ= 做可逆线性替换x =Py ，得 ()2 2 222 11n n T y λy λy λAx x αQ +++== 由已知，(),n ,,i λi 210=>，则对任意0≠y ，有 ()02 2 222 11>+++==n n T y λy λy λAx x αQ 所以()Ax x αQ T =正定。 结论：与正定矩阵合同的矩阵只能是正定矩阵。 例1 证明：若A 是正定矩阵，则A -1也是正定矩阵。 定理2 若二次型Ax x T 正定，则 （1） A 的主对角线元素(),n ,,i a ii 210=>； （2） A 的行列式0|>A|。 证明：(1)取()T i ,,,,,,x 00100 =即可 (2) n λλλA| 21|= 定义：设()n ij M a A ∈=，子式 n ,,k a a a a a a a a a A kk k k k k k 21,||2 1 2222111211 == 称为矩阵A 的k 阶顺序主子式。 定理3 n 元二次型Ax x T 正定当且仅当A 的n 个顺序主子式 大于0。 证明：(必要性)取()00021≠=T k ,,,,x ,,x x x 记 ()()120T T T k k k x y ,,y x ,x ,,x == ，则 ( ) () k k T k k T k k T k k k T k T y A y y B y A y y B B B A ,y Ax x =??? ? ? ?=??? ? ?????? ??=<0,0 001 32 1 上式对一切0≠k y 成立，所以k 元二次型k k T k y A y 正定，由 定理2，有0>||A k 。 (充分性)对n 归纳。 n =1时，因为011>a ，所以()002 1 11≠?>=x x a Ax x T ，因此Ax x T 正定。假设充分性对n -1元二次型成立。 ()1211 ,--=??? ? ??=nn n n T nn T n ,a ,,a a a ααA A α其中设 因为01>-||A n ，所以1-n A 可逆，取 ??? ? ??-=??? ? ? ?-=-----10101 111 1 11 1-n T n T n n A αI C ,αA I C 则 ??? ? ??=???? ? ?-=??? ? ??-???? ?????? ??-=----------a A αA αa A αA I a ααA A αI AC C n n T nn n T n n nn T n n T n T 00010101 111 11 11 1111 因为001>>-||A ,|A|n ，所以a >0。 由归纳假设,,1P A n 即存在可逆矩阵 正定-使得11--=n n T I P A P 22 2001100T T P P C ,C C ???? ? ?=== ? ? ? ??? ? ? 取 则 ( ) n n-T T I a P a A a P C AC C C =? ?? ? ?????? ?????? ??=100001001 2 112 所以，A 与单位矩阵合同，因此A 正定。 定理4 n 元二次型Ax x T 正定当且仅当A 的所有主子式全大于0。 例1 判断二次型 ()32212 32 22 1x x x x x x x αQ +-++= 是否是正定二次型。 例2 t 为何值时下列二次型是正定的？ ()32212 32 22 122x tx x x x x x αQ ++++=。 例3 A 是n m ?的实矩阵，A A λI B T +=，证明0>λ时，B 正定。 例4 设A 是实对称正定矩阵，B 是n m ?的实矩阵，证明：B T AB 正定的充分必要条件是r (B )=n . 例5 设A , B 都是n 阶正定矩阵，且AB =BA ，证明：AB 为正定矩阵。 例6 设A 是实对称矩阵，证明：A 是正定矩阵的充要条件是，对任意正整数m ，存在正定矩阵B , 使得A =B m . 例7 设A 是n 阶可逆实矩阵，试证明： （1） A T A 是正定矩阵； （2） A 可分解为一个正交矩阵和一个正定矩阵的乘积，即 A =QS ，其中Q 是正交矩阵，S 是正定矩阵。 例8 设A ，B 都是n 阶实对称矩阵，其中A 正定，证明：当实数t 充分大时，tA +B 也是正定矩阵。 其它有定二次型 定义：设()αQ 是实二次型，若对任意非零向量α， （1） 恒有()0≥αQ ，且存在0α，使得()00Q α=，则称 实二次型()αQ 是半正定的； （2） 恒有()0<αQ ，则称实二次型()αQ 是负定的； （3） 恒有()0≤αQ ，且存在0α，使得()00Q α=，则称 实二次型()αQ 是半负定的； 既非正定、半正定，又非负定、半负定的二次型称为不定的，半正定、负定、半负定二次型的矩阵分别称为半正定、 负定、半负定矩阵。 例1：()2 2 222 11n n T x d x d x d Ax x αQ +++== ， （1）(),n ,,i d i 210=>，则()αQ 正定； （2）()0,,210==≥i i d i ,n ,,i d 使得且存在 ，则()αQ 半正定； （3）(),n ,,i d i 210=<，则()αQ 负定； （4）()0,,210==≤i i d i ,n ,,i d 使得且存在 ，则()αQ 半负定。 例2：()2 2 2 1232Q αx x x =+-，则()αQ 是不定的。 结论：A 正定(半正定)当且仅当-A 负定(半负定)。 定理：设()Ax x αQ T =是实二次型，以下命题等价。 （1）()αQ 是半正定二次型，或A 是半正定矩阵； （2）()αQ 的正惯性指数p =r （3）A 相合于diag(I r , 0)，r （4）存在非满秩n 阶方阵C ，使得A =C T C ； （5）A 的所有特征值非负，且至少有一个特征值为0； （6）A 的所有主子式均大于等于零，且至少有一个为0。 例1：判断二次型 2 11 2 ? ? ? ??-∑∑ ==n i i n i i x x n 是否是有定二次型。 例2：设B 是n 阶实矩阵，r (B ) 定义：在空间直角坐标系中，若曲面S 上每个点的坐标都是方程F (x ,y ,z )=0的一组解；反之，以满足方程F (x ,y ,z )=0的每一组解为坐标的点都在这个曲面上，则方程F (x ,y ,z )=0叫做这个曲面S 的方程，曲面S 就是这个方程的曲面。 球面方程 球心为()000,,x y z ，半径为r 的球面方程为 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z r -+-+-= 球面的标准方程 定理：形如222 0x y z ax by cz d ++++++=的二次方程，其图形或者是球，或者是一个点，或者不代表任何图形。 2 2 2 2 2 2 42224a b c a b c d x y z ++-?????? ??????--+--+--= ? ? ? ? ? ????????????? 母线与坐标轴平行的柱面方程 定义：直线L 在空间平行于固定方向运动，并且总和一条定曲线Γ相交所形成的曲面叫做柱面，直线L 叫做柱面的母线，定曲线Γ叫做柱面的准线。 ()()(),0,0,0f x y z g y z x h z x y =----=----=----母线平行于轴的柱面母线平行于轴的柱面母线平行于轴的柱面 绕坐标轴旋转的旋转面方程 定义：曲线Γ绕一条固定直线L ，在空间旋转一周所成的曲面，称为旋转曲面，曲线Γ叫做母线，定直线L 叫做旋转轴。 定理 设Oxy 坐标面上一条曲线Γ的方程是 ()00≥=,y x,y f ，则以曲线Γ为母线，x 轴为旋转轴的旋转面方程为 ( )02 2=+z y x, f 。 证明：在旋转面上任选一点P (x ,y ,z )，P 是由Γ上的点 ()0000,,y x P 绕 x 轴旋转而得，则P 和P 0点坐标之间满足 ?? ???=+=02 20y z y x x 因为P 0在曲线Γ上，所以有()000=,y x f ，即() 02 2=+z y x,f . 反之，若一点P (x ,y ,z )满足() 02 2=+z y x,f ，则Oxy 坐标 面上的点()0000,,y x P 满足方程()000=,y x f ，其中 2 2 00,z y y x x += =，因此点P 0在曲线Γ上，而点P 恰是由 点P 0绕x 轴旋转而得，于是P (x ,y ,z )在该旋转面上，所以 ( )02 2=+z y x,f 为所求旋转面的方程。 例：球面由? ??==+02 22z r y x 绕x 轴旋转而得，所以球面方程为 ( ) 2 22222 2 22 r z y x r z y x =++?=++ 例圆柱面由直线? ??==0x r y 绕z 轴旋转而成，所以圆柱面方程为 ( )2 22 2 2r y x r x y =+?=+ 例：? ??==02 z x y 分别绕x 轴和y 轴的旋转面方程分别为 ( ) 2 22 2 2 4 2 22 2 2z x y z x y y x z y x z y x +=?+= =+? =+轴：轴： 空间曲线方程 第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型: 三维空间中二次方程与二次曲面 张晓青（2010073060029） 指导教师：李厚彪 【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解. 【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面 1 引 言 教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文 如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变 换 =X A α，=Y A β， 则 T T T T (,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变. 设 222 12311122233312121313 2323112233(,,)222? f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1） 则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面. 令11 121321 222331 32 33a a a a a a a a a ?? ? = ? ???A ,123x x x ?? ?= ? ???X ，123b b b ?? ?= ? ??? b 则（1.1）式可记为 T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T ()g =X X AX 1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则 223'' '112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3） 二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍， 并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵 第七章 二次型与二次曲面 二次型的定义 定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式 ()ji ij n i n j j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==11 21 称为n 元二次型或二次形式。当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。 例：()32212 13213x x x x x ,x ,x x Q +-= 例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-= ()() () ????? ???????????????????=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n n nn n n n n n n n n ji ij n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 21212222111211212 22112222 221221112112211111 21 令()()T ij T n A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q T n = 21， 称A 为二次型的矩阵。 ()x x x x x x x ,x ,x x Q T ??????? ? ? ?--=+-=02 302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且 r (A )=n . ()∑∑ ===n i n j j i ij n x x |A| A ,x ,,x x Q 11 21 矩阵的相合 设n n ,β,,ββ,,α, ,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即 ()()P ,α, ,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为 ()()T n T n ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121== 则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）： x P y Py x 1 -==或。 则 ()()() y AP P y APy Py Ax x αQ T T T T === 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型 Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。 定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。 常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8 例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z 第六章 二次曲面的一般理论 教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 . 研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 . 教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 . 基本概念 二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程 2 2 2 a 11x a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1) 所表示的曲面 . 虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号 F(x,y,z) F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44 2 2 2 (x, y,z) a 11x 2 a 22 y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 1 (x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2 (x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z 2 a 11 x 22 a 22 y a 33 z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44 第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1） 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 ≡ ),,(z y x F 44 342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡ yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ 第八章二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论 在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用?本章主要介绍二次 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 § 8.1二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去 xy项，通常的坐标变换公式为： x x cos y sin (1.2) y x sin y cos 从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关 键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只 考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式： 2 f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n 2 a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3) 1 2 2 2 L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n 称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果 数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即 2 2 2 f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n 称为标准形式的二次型，简称为标准形. 说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型： 2 2 f (x, y) x 3xy 3y f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2 F列多项式都不是二次型 高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 ； 6、 7、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 | （二） （三） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //? =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （四） 曲面及其方程 1、 ] 2、 曲面方程的概念： ),,(:=z y x f S 3、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 4、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 5、 @ 6、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x 二次曲面的分类 在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成 222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即 ()1112 1311232122232141242343443132 333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ???? ???++++= ??? ??????? ， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ?? ?= ? ???，那么实二次型()1112131123123212223231 32333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ???? ???Φ= ??? ???????的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ?? ?= ? ??? ，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ?? ?Φ====++ ? ?? ?， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=. 最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面： （一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去 一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。进而得到： 1. 椭圆面 2223122221z z z a b c ++=； 2. 虚椭圆面 2223122221z z z a b c ++=-； 3. 2 其它二次曲面 本节主要从曲面的方程出发，考虑三类二次曲面，运用用平面截线法来讨论其几何特征及图像。 一般二次曲面的方程设为： 2221112221323332220a x a xy a y a xz a yz a z Ax By Cz D +++++++++= 上节我们以讨论过二次锥面，即222 2220x y z a b c +-=。 本节讨论下面三类二次曲面 222 2221x y z a b c ++= (椭球面)， 222 222 1x y z a b c +-=± (单叶，双叶双曲面) 22222x y z a b += (椭圆抛物面)，22 222x y z a b -= (双曲抛物面) 3.2.1 椭球面 在空间直角坐标系下，由方程 2222221x y z a b c ++= (其中,,a b c 为正常数) (3． 2．1) 所确定的曲面称为椭球面．特别，当,,a b c 有两个相等时，(3．2．1)表示旋转椭球面，当 a b c ==时，(3．2．1)表示球面． 下面来讨论椭球面的几何特征及其图像． 1）范围 由方程(3．2．1)可知，x a ≤，y b ≤，z c ≤．故曲面包含在由六个平面x a =±， y b =±，z c =±所围成的立方体中． 2）对称性 x 用x -，y 用y -，z 用z -来代替，方程(3．2．1)不变，这表明椭球面关于三个坐 标面，三个坐标轴及原点都是对称的，此时原点称为椭球面的中心． 3）与三个坐标轴的交点及与平行于坐标面的平面的交线 椭球面与三个坐标轴交点分别为(,0,0)a ±，(0,,0)b ±，(0,0,)c ±，这六个点称为椭球面的顶点，若 a b c >>，则,,a b c 分别称为椭球面的长半轴，中半轴，短半轴． 第六章二次曲面的一般理论 教学目的：本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念，从不同角度对二次曲面进行了分类? 研究了二次曲面的几何性质，并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式化二次曲面的一般方程为规范方程，对二次曲面进行了分类和判定，是二次曲面理论的推 广和扩充? 教学重难点：通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规 范方程,既是重点又是难点? 基本概念 二次曲面：在空间，由三元二次方程 2 2 2 a11x a22y - a33z 2a12xy - 2a13xz 2a23yz 2a14x 2a24y 2a34z a44= 0（1） 所表示的曲面? 虚元素:空间中，有序三复数组（x,y,z）叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 F（x,y,z）二 a11x2 a22y2a33Z22a12xy 2a13xz 2a23yz 2 a14x 2a24y 2 a34z a44 F1（x, y,z）=印必a^y a^z a^ F2（x,y,z）二盹乂a23y a?3Z a?4 F3（x,y,z）三33X a23y a33Z a34 F4（x,y,z）三a^x a?4y a34Z a44 ：：」（x, y,z）二印必2 a22y2 a33Z2 Za^xy Za^xz 2a23yz :：J1（x,y, z）= aux a12y a^z :：J2（x, y, z）= a^x *22 y a?3z ?：」3(x, y, z)三 a^x a 23y a 33Z ?：」4(x, y, z)三 a i4x a 24y a 34Z 即有恒等式成立:F (x, y, z) = xF 1(x, y, z) yF 2(x, y, z) zF 3(x, y,z) F 4(x, y, z) :：J (x, y, z) = x ：：、(x, y,z) y ：：」2 (x, y,z) z^(x,y, z) 缶 a i2 a i3 a i4 ' 二次曲面F(x,y,z)的系数矩阵 A = a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 014 a 24 a 34 a 44 J 2ii a i2 a i3 而由①(x, y,z)的系数矩阵为 A* = a i2 a 22 a 23 l a i3 a 23 a 33 J 二次曲面(1)的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是F j (x,y,z), a ii a i2 a i3 a ii a i2 a ii a i3 a 22 a 23 i = aii + 822+ a 33 I 2 = + + 13 = a )2 a 22 a 23 a i2 a 22 a i3 a 33 a 23 a 33 a i3 a 23 a 33 § 6.1二次曲面与直线的相关位置 2 2 2 F(x, y,z)三 a 11x a 22y a 33z 2a 12xy 2a 13xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44 (1) x = x 0 Xt 与过点(X o , y o , z o )的直线 y = y ° Yt (2) z = Zo Zt 将⑵代入(1)得 ：：」(X,Y,Z)t 2 2〔XF i (x °, y o ,z o ) YF 2(x °, y °, zj ZF 3(x °, y °,z g )t F(x o ,y °,z °) = 0 (3) a ii a i2 a i4 a ii a i3 a i4 a 22 a 23 a 24 a i2 a 22 a 24 + a i3 a 33 a 34 + a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 44 a i4 a 34 a 44 a 24 a 34 a 44 K 2 F 2(x, y,z)，F 3(x, y, z)， F 4(x, y,z)的系数。 a ii a i2 a i3 a i4 a i2 a 22 a 23 a 24 a i3 a 23 a 33 a 34 a i4 a 24 a 34 a 44 a ii a i4 + a 22 a 24 + a 33 a 34 a i4 a 44 a 24 a 44 a 34 a 44 K i 二次型在中学数学中的应用 摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。 关键词 二次型 标准形 对称矩阵 1. 引言 二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。 2. 正文 二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下： 文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。 定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。 定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。或秩等于1． 应用MATLAB 绘制二次曲面图 1、用surf 工mesh 函数绘图 Surf 函数绘制的是三维表面图，mesh 函数绘制的是三维网格图，当二次曲面方程是标准方程时，原方程式可化为),(),,(),,(x z f y z y f x y x f z ===时，我们就用这两种函数完成绘图。 例1、绘曲面①11694222=++z y x ②11694222=-+z y x ③4 9422z y x =+在区域 44,33,22≤≤-≤≤-≤≤-z y x 上的图像。 解：以上三个方程化为：941422y x z --±=、19 4422-+±=y x z 、9422y x z +=； 2、用plot3或contour3函数绘图 plot3函数绘制的是三维直角坐标曲线图，contour3函数绘制的是三维等高曲线图。 x=-2:0.1:2;y=-3:0.1:3; [x,y]=meshgrid(x,y); z1=4.*sqrt(1-(x.^2)./4-(y.^2)./9); z2=-4.*sqrt(1-(x.^2)./4-(y.^2)./9); subplot(2,3,1); plot3(x,y,z1); hold on ; plot3(x,y,z2) grid on 3、用ezsurf 或ezmesh 函数绘图 Ezsurf 函数和ezmesh 函数主要针对参数方程的三维作图函数，它们是专业作图函数，ezsurf 绘制三维表面图，ezmesh 绘制三维网格图，当二次曲面可化为参数方程时，就可以用这两种函数完成绘图。 椭球方程的参数方程为：?? ???===ββαβαsin 4cos sin 3cos cos 2z y x （ 22, *20pi pi pi ≤≤-≤≤βα） 双曲方程的参数方程为：?????-±===14sin 3cos 22t z t y t x αα （1, *20≥≤≤t pi α或1≤t ） 第四章一般二次曲线与二次曲面 这一章讨论用一般方程给出的二次曲线，在适当选取的坐标系中可以把它们的一般方程化成标准方程，从而达到判断一般方程所表示的曲线的类型与位置的目的。其次用不变量对二次曲线与二次曲面进行分类。 §4.1直角坐标变换 平面上的一般坐标变换可以看成是平移与旋转两种变换连续进行的结果。因此下面先分别介绍这两种变换，再研究一般的坐标变换。 4.1.1平面直角坐标平移 设Oxy 和O x y '''是同一个平面上的两个直角坐标系，它们的轴的方向和度量单位相同，只是原点位置不同（图4-1-1），那么平面上任意一点P 在坐标系Oxy 中的坐标(,)x y 和在坐标系O x y '''中的坐标(,)x y ''有什么联系呢？ 设O '在Oxy 中的坐标为00(,)x y ，从点P 向各坐标轴作平行线，从图4-1-1中容易看出： x x x y y y '=+?? '=+? （4.1.1） 这就是将原点O 平移到00(,)O x y '的坐标变换，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点 P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系O x y '''中的坐标。这种坐标变换叫做平移。如果用旧坐标表示 新坐标，那么有 x x x y y y '=-?? '=-? （4.1.2） （4.1.1）和（4.1.2）都是平移公式。 x'x 图4-1-1 例1 用平移化简2 2490x x y --+=，并画出它的图形。 解 原方程可以移项、配方成 2 (1)4(2)x y -=- 将原点O 移到(1,2)O '，即作平移： 1 2x x y y '=-?? '=-? 那么，在新坐标系O x y '''中，方程简化成2 4x y ''=。这是一条开口向上，焦参数为2的抛物线，如图4-1-2。 图4-1-2 4.1.2平面直角坐标旋转 设坐标原点O 不动，将坐标系的两条轴同时绕原点旋转一个角度θ得到一个新的坐标系 Ox y ''（图4-1-3） ，那么平面上任意一点P 的新、旧坐标之间的关系又如何呢？ 如图1.3所示，有 ||cos ||cos() ||sin ||sin() x OM OP MOP OP y MP OP MOP OP ?θ?θ==∠=+?? ==∠=+? 利用两角和的三角展开式，我们有 ||cos cos ||cos sin ||cos sin ||sin cos x OP OP y OP OP ?θ?θ ?θ?θ=-?? =+? 但||cos ,||sin x OM OP y M P OP ??''''====，以此代入上面两个展开式中，即得 cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ''=-?? ''=+? （4.1.3） 这就是转角为θ的坐标旋转公式，其中(,)x y 和(,)x y ''分别是平面上同一点P 在旧坐标系Oxy 和新坐标系Ox y ''中的坐标。如果用旧坐标表示新坐标，那么从（4.1.3）中解出,x y ''，则得到 cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=+?? '=-+? （4.1.4） 唐山师范学院本科毕业论文 题目二次型的正定性及其应用 学生王倩柳 指导教师张王军讲师 年级 2012级数学专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014 年5月 郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年月日 目录 摘要 (1) 前言 (1) 1 二次型的历史及概念 (2) 1.1二次型的历史 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (6) 3.1 多元函数极值 (6) 3.2 证明不等式 (12) 3.3 因式分解.................................. (错误!未定义书签。) 3.4 二次曲线 (13) 结论 (14) 参考文献 (15) 致谢 (14) 二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳 指导老师：张王军 摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjun Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方
10三维空间中二次方程与二次曲面解读
二次型的几何分类及其应用
二次型与二次曲面
常见的空间曲面与方程
二次曲面的一般理论
二次曲面的一般理论
二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.
高数下册常用常见知识点
二次曲面的分类
解析几何&二次曲面期末复习资料
二次曲面的一般理论
二次型在中学数学中的应用
应用MATLAB绘制二次曲面图
空间解析几何 第四章一般二次曲线与二次曲面
二次型的性质及应用