专题04数列与不等式2017年高考数学(文)试题分项版解析(附解析)

专题04数列与不等式2017年高考数学(文)试题分项版解析(附解析)
专题04数列与不等式2017年高考数学(文)试题分项版解析(附解析)

专题04 数列与不等式-2017年高考数学(文)试题分项版解析

1.【2017课标1,文7】设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤??

-≥??≥?

则z=x+y 的最大值为

A .0

B .1

C .2

D .3

【答案】D 【解析】

【考点】简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,作图时,可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤(或b kx y +≥),“≤”取下方,“≥”取上方,并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

2.【2017课标II ,文7】设,x y 满足约束条件2+330

233030x y x y y -≤??

-+≥??+≥?

,则2z x y =+的最小值是

A.15-

B.9-

C.1 D 9 【答案】A

绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B -- 处取得最

小值12315z =--=- .故选

A.

【考点】线性规划

【名师点睛】点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

3.【2017课标3,文5】设x ,y 满足约束条件326000x y x y +-≤??

≥??≥?

,则z x y =-的取值范围是( ) A .[–3,0]

B .[–3,2]

C .[0,2]

D .[0,3]

【答案】

B

【考点】线性规划

【名师点睛】点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

4.【2017北京,文4】若,x y满足

3,

2,

,

x

x y

y x

?

?

+≥

?

?≤

?

错误!未找到引用源。则2

x y

+的最大值为

(A)1 (B)3

(C)5 (D)9

【答案】D

【解析】

试题分析:如图,画出可行域,

【考点】线性规划

【名师点睛】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义;求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.常见的目标函数有:(1)截距型:形如z ax by

=+.求这类目标函数的最值常将函数z a x b y

=+转化为直线的斜截式:

a z y x

b b =-

+,通过求直线的截距z

b

的最值间接求出z 的最值;(2)距离型:形如()()22

z x a y b =-+- ;(3)斜率型:形如y b z x a -=-,而本题属于截距形式. 学#科网

5.【2017山东,文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤??

+≥??≤?

,则z =x +2y 的最大值是

A.-3

B.-1

C.1

D.3 【答案】D 【解析】

【考点】线性规划

【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是:“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域;当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.

(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤:①画出约束条件对应的可行域;②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点;③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值.

6.【2017浙江,4】若x ,y 满足约束条件0

3020x x y x y ≥??

+-≥??-≤?

,则y x z 2+=的取值范围是

A .[0,6]

B .[0,4]

C .[6,)∞+

D .[4,

)∞+

【答案】D 【解析】

试题分析:如图,可行域为一开放区域,所以直线过点(2,1)时取最小值4,无最大值,选D .

【考点】 简单线性规划

【名师点睛】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,作图时,可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤(或b kx y +≥),“≤”取下方,“≥”取上方,并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

7.【2017浙江,6】已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

【答案】C 【解析】

【考点】 等差数列、充分必要性

y

【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式,通过公式的套入与简单运算,可知4652S S S d +-=,

结合充分必要性的判断,若q p ?,则p 是q 的充分条件,若q p ?,则p 是q 的必要条件,该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”,故为充要条件.

8.【2017江苏,10】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费

用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30

【解析】总费用600900464()4240x x x x +?=+≥?=,当且仅当900

x x

=

,即30x =时等号成立.

【考点】基本不等式求最值

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 学%科网

9.【2017江苏,9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763

44

S S ==,,

则8a = ▲ . 【答案】32

【解析】当1q =时,显然不符合题意;

当1q ≠时,316

1(1)714(1)6314a q q a q q

?-=?-??-?=?-?,解得1142a q ?=

???=?,则7812324a =?=. 【考点】等比数列通项

【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

10.【2017天津,文13】若a ,b ∈R ,0ab >,则4441

a b ab

++的最小值为 .

【答案】4 【解析】

【考点】基本不等式求最值

【名师点睛】本题使用了两次基本不等式,要注意两次使用的条件是不是能同时成立,基本

不等式的常用形式包含()22

2,a b ab a b R +≥∈,)

,a b a b R

+

+≥∈,

22a b ab +??

≤ ???

,2

22

22a b a b ++??≤

??? 等,基本不等式可以证明不等式,也可以求最值,再求最值时,注意“一正,二定,三相等”的条件,是不是能取得,否则就不能用其求最值,若是使用2次,更要注意两次使用的条件是不是能同时成立. 11.【2017山东,文】若直线1(00)x y

a b a b

+=>,> 过点(1,2),则2a +b 的最小值为 . 【答案】8 【解析】

【考点】基本不等式

12.【2017课标1,文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{}n a 的通项公式;

(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.

【答案】(1)(2)n

n a =-;(2)3

2)1(321

+?-+=n n n S ,证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)由等比数列通项公式解得2q =-,12a =-;(2)利用等差中项证明S n +1,S n ,S n +2成等差数列.

试题解析:(1)设{}n a 的公比为q .由题设可得12

1(1)2(1)6

a q a q q +=??

++=-? ,解得2q =-,

12a =-.

故{}n a 的通项公式为(2)n n a =-.

(2)由(1)可得1

1(1)22()133

1n n n n a q S q +-==--+-. 由于321

2142222()2[()]23133

13n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-, 故1n S +,n S ,2n S +成等差数列. 【考点】等比数列

【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

13.【2017课标II ,文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,11221,1,2a b a b =-=+= (1)若335a b += ,求{}n b 的通项公式; (2)若321T =,求3S .

【答案】(Ⅰ)错误!未找到引用源。;(Ⅱ)当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。.当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。.

【解析】试题分析:(1)根据等差数列及等比数列通项公式,表示条件,得关于公差与公比的方程组,解方程组得公比,代入等比数列通项公式即可,(2)由等比数列前三项的和求公比,分类讨论,求公差,再根据等差前三项求和. 学&科网

数学真题2017年广东省3+证书高职高考数学试卷及参考答案

2017年广东省高等职业院校 招收中等职业学校毕业生考试 数 学 试 题 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新的答案:不能使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共15小题,没小题5分,满分75分.在每小题给出的四个只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合}5,4,3{},4,3,2,1,0{==N M ,则下列结论正确的是 A. N M ? B. N M ? C. {} 4, 3=N M I D. {} 5,2,1,0=N M Y 2.函数x x f += 41 )(的定义域是 A. ]4, (--∞ B. () 4,-∞- C. ),4[+∞- D. ),4(+∞- 3.设向量a = )4, (x ,b = )3,2(-,若a . b ,则x= A. -5 B. -2 C. 2 D. 7 4.样本5,4,6,7,3的平均数和标准差为 A. 5和2 B. 5和2 C. 6和3 D. 6和3 设0>a 且y x a ,,1≠为任意实数,则下列算式错误的是 A. 10 =a B. y x y x a a a +=? C. y x y x a a a -= D. 22)(x x a a = 5.设)(x f 是定义在R 上的奇函数,已知当32 4)(时,0x x x f x -=≥,则f(-1)=

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. ; 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. % 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. {

、 ~

、 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -=. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

2017年广东省高职高考数学试卷及参考答案

2017年广东省高职高考数学试卷及参考答案 考试时间:120分钟 总分:150 姓名:__________班级:__________考号:__________ △注意事项: 1.填写答题卡请使用2B 铅笔填涂 2.提前5分钟收答题卡 一 、选择题(本大题共15小题,每小题5分,共75分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的) 1. 已知集合}5,4,3{},4,3,2,1,0{==N M ,则下列结论正确的是( )。 A. N M ? B. N M ? C. {}4,3=N M D. {}5,2,1,0=N M 2.函数x x f += 41 )(的定义域是( )。 A. ]4,(--∞ B. ()4,-∞- C. ),4[+∞- D. ),4(+∞- 3.设向量)4,(x =,)3,2(-=,若2=?,则x =( )。 A. -5 B. -2 C. 2 D. 7 4.样本5,4,6,7,3的平均数和标准差为( )。 A. 5和2 B. 5和2 C. 6和3 D. 6和3 5.设)(x f 是定义在R 上的奇函数,已知当3 24)(0x x x f x -=≥时,,则f(-1)=( )。 A. -5 B. -3 C. 3 D. 5 6.已知角θ的顶点与原点重合,始边为x 轴的非负半轴,如果θ的终边与单位圆的交点为)5 4 ,53(-P ,则下列 等式正确的是( )。 A. 5 3sin =θ B. 54cos -=θ C. 34tan -=θ D. 43 tan -=θ 7. “4>x ”是“0)4)(1(>--x x ”的( )。 A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件 8.下列运算不正确的是( )。 A. 1log log 5210 2=- B. 15 252102log log log =+ C. 12 = D. 422810=÷ 9.函数x x x x x f sin 3sin cos 3cos )(-=的最小正周期为( )。 A. 2 π B. 3 2π C.π D.π2 10.抛物线x y 82-=的焦点坐标是( )。 A.)0,2(- B.)0,2( C.)2,0(- D.)2,0( 11.已知双曲线16 2 22=-y a x (a>0)的离心率为2,则a =( )。 A. 6 B. 3 C. 3 D. 2 12.从某班的21名男生和20名女生中,任意选一名男生和一名女生代表班级参加评教座谈会,则不同的选派 方案共有( )。 A. 41种 B. 420种 C. 520种 D. 820种 13.已知数列}{n a 为等差数列,且1a =2,公差d=2,若k a a a ,,21成等比数列,则k=( )。 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 14.设直线l 经过圆0222 2=+++y x y x 的圆心,且在y 轴上的截距1,则直线l 的斜率为( )。 A. 2 B. -2 C. 21 D. 2 1 - 15.已知函数 x e y =的图象与单调递减函数))((R x x f y ∈=的图象相交于),(b a ,给出的下列四个结论:① b a ln =,②a b ln =,③b a f =)(④ 当a x >时,x e x f <)(. 其中正确的结论共有( )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 姓名:__________班级:__________考号:__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?? ???? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为 ( ) A .0 B .1 C .32 D .2 【答案】D

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,

(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络

其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时,

高考数学不等式专题

基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ (6),、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; (7))(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有: 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

最新数学不等式高考真题【精】

1.(2018?卷Ⅱ)设函数 (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围 2.(2013?辽宁)已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1 (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.3.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 4.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 5.(2017?新课标Ⅰ卷)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分) (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围. 6.(2017?新课标Ⅱ)[选修4-5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (Ⅰ)(a+b)(a5+b5)≥4; (Ⅱ)a+b≤2. 7.(2018?卷Ⅰ)已知 (1)当时,求不等式的解集 (2)若时,不等式成立,求的取值范围 8.(2018?卷Ⅰ)已知f(x)=|x+1|-|ax-1| (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.(2017?新课标Ⅲ)[选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围. 10.(2014?新课标II)设函数f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 11.(2015·福建)选修4-5:不等式选讲 已知,函数的最小值为4.(1)求的值;

2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)当1a =时,()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴12 x = 的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?,,≤x ≤,, 当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -++= ,解得x =()g x 在()1+∞, 上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? . 当[]11x ∈-, 时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-, 时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=. 综上所述,()()f x g x ≥ 解集1?-??? . (2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-, 恒成立. 即220x ax --≤在[]11-, 恒成立. 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤. 故a 取值范围是[]11-, .

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知0a >,222ba b +==2.证明: (1)()22()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121

2017辽宁省中职升高职高考真题含解答

辽宁省2017年中等职业教育对口升学招生考试 数学 答案由李远敬所做 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30) 1.设集合错误!未找到引用源。,集合错误!未找到引用源。,集合错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 2.命题甲:错误!未找到引用源。,命题乙:错误!未找到引用源。,则命题甲是命题乙的 错误!未找到引用源。 充分而非必要条件 错误!未找到引用源。 必要而非充分条件 错误!未找到引用源。 充要条件 错误!未找到引用源。既非充分也非必要条件 3.设向量)4,22(+=k a 错误!未找到引用源。,向量1,8(+=k b )错误!未找到引用源。,若向量a ,b 错误!未找到引用源。互相垂直,则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 0 错误!未找到引用源。 1 错误!未找到引用源。 3 4.下列直线与错误!未找到引用源。平行的是 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 5.已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。等于 错误!未找到引用源。 5 错误!未找到引用源。 8 错误!未找到引用源。 10 错误!未找到引用源。 15 6.点错误!未找到引用源。到直线错误!未找到引用源。的距离等于 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 2 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 7.数列错误!未找到引用源。为等差数列,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 12 错误!未找到引用源。 10 错误!未找到引用源。 8 错误!未找到引用源。 6 8.已知错误!未找到引用源。为偶函数,则关于错误!未找到引用源。的说法正确的是 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。内是增函数 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。内是增函数 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。内是减函数 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。内是减函数 9.要得到函数错误!未找到引用源。的图像,只需将函数错误!未找到引用源。的图像 错误!未找到引用源。 向左平移错误!未找到引用源。 个单位 错误!未找到引用源。 向右平移错误!未找到引用源。 个单位 错误!未找到引用源。 向左平移错误!未找到引用源。 个单位 错误!未找到引用源。 向右平移错误!未找到引用源。 个单位 10.已知函数错误!未找到引用源。,则该函数的最大值为 错误!未找到引用源。 2 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 1 错误!未找到引用源。 0 1B 2B 3A 4A 5D 6A 7D 8C 9D 10B 二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 11.函数错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 . 12.已知三点错误!未找到引用源。,则向量错误!未找到引用源。的坐标是 . 13.已知错误!未找到引用源。的内角为错误!未找到引用源。,其对边分别为错误!未找到引用源。,且错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 . 14.已知直线过点错误!未找到引用源。和点错误!未找到引用源。,则该直线的方程是 . 15.以点错误!未找到引用源。为圆心,并且过点错误!未找到引用源。的圆的标准方程

高考数学真题汇编8 不等式 理( 解析版)

2012高考真题分类汇编:不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ,即12 1 <<-x 或1=x ,所以不等式的解为12 1 ≤<- x ,选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0,b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ,则a >b B.若2a +2a=2b +3b ,则a >b C.若2a -2a=2b-3b ,则a >b D.若2a -2a=a b -3b ,则a <b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其 余选项用同样方法排除.故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品,y 桶乙产品,总利润为Z , 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ,目标函数为300400Z x y =+,

高考数学专题练习:不等式与线性规划

高考数学专题练习:不等式与线性规划 1。若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1,43 B 。? ???? 12,43 C 。? ? ???1,74 D 。? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4。 综上,12<a <7 4,故选D 。 2。已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A 。(a -1)(b -1)<0 B 。(a -1)(a -b )>0 C 。(b -1)(b -a )<0 D 。(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(-3,1)∪(3,+∞) B 。(-3,1)∪(2,+∞) C 。(-1,1)∪(3,+∞) D 。(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3。由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-33。 4。 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A 。若a >b ,则ac 2>bc 2 B 。若a <b <0,则a 2>ab >b 2

2017年广东省3+证书高职高考数学试卷(真题)和答案

2017年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试 数 学 班级 学号 姓名 本试卷共4页,24小题,满分150分,考试用时120分钟 一、选择题:(本大题共15小题,每小题5分,满分75分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。) 1. 若集合{}0,1,2,3,4=M ,{}3,4,5=N ,则下列结论正确的是 ( ). A.?M N B. ?N M C. {}3,4=M N D. {}0,1,2,5=M N 2. 函数() = f x 的定义域是 ( ). A. (,)-∞+∞ B. 3,2 ?? -+∞?? ?? C. 3,2??-∞- ?? ? D. ()0,+∞ 3. 设向量(,4)=a x ,(2,3)=-b , 若2?=a b 则 =x ( ). A. 5- B. 2- C. 2 D. 7 4. 样本5,4,6,7,3的平均数和标准差分别为 ( ). A. 5和2 B. 5 C. 6和3 D. 6不等式2560x x --≤的解集是 ( ). A. {}23x x -≤≤ B. {}16x x -≤≤ C. {}61x x -≤≤ D. {}16x x x ≤-≥或 5. 设()f x 是定义在上的奇函数,已知当0≥x 时,23()4=-f x x x ,则(1)-=f ( ). 下列函数在其定义域内单调递增的是 ( ) . A. 5- B. 3- C. 3 D. 5

6.已知角θ的顶点与原点重合,始边为x 轴的非负半轴,如果θ的终边与单位圆的 交点为34,5 5?? - ??? P ,则下列等式正确的是 ( ). A. 3 sin 5θ= B. 4cos 5θ=- C. 4tan 3θ=- D. 3tan 4 θ=- 7. “4>x ”,是“(1)(4)0-->x x ”的 ( ). A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件 8. 下列运算不正确的是( ) . A. 22log 10log 51-= B. 222log 10log 5log 15+= C. 021= D. 108224÷= 9. 函数()cos3cos sin3sin =-f x x x x x 的最小正周期为 ( ). A. 2 π B. 23π C. π D. 2π 10. 抛物线28=-y x 的焦点坐标是 ( ). A. (2,0)- B. (2,0) C. (0,2)- D. (0,2) 11. 已知双曲线22 216 -=x y a 的离心率为2,则=a ( ). A. 6 B. 3 C. D. 12. 从某班的21名男生和20名女生中,任意选派一名男生和一名女生代表班级参加评教座谈会,则不同的选派方案共有 ( ). A. 41种 B. 420种 C. 520种 D. 820种 13. 已知数列{}n a 为等差数列,且12=a ,公差2=d ,若12,,k a a a 成等比数列,则=k ( ). A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

2018年高考数学—不等式专题

不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2-(m +1)x -m =0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ=[(m +1)]2+4m >0.即m 2+6m +1>0, 解得m >-3+22或m <-3-2 2. 答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件???x -y +1≥0, x +y -3≥0,x -3≤0, 则 z =x -2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x =3与直线x -y +1=0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z =x -2y 得到-5. 答案 -5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件???2x -y +1≥0, x -2y -1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y -5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知, 当直线y =-23x +53+z 3过点A (-1,-1)时,z 取得最小值,即z min =2×(-1)+3×(-1)-5=-10.

(2017·西安检测)已知变量x ,y 满足???2x -y ≤0, x -2y +3≥0,x ≥0, 则z =(2)2x +y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m =2x +y ,由图象可知当直线y =-2x +m 经过点A 时,直线y =-2x +m 的纵截距最大,此时m 最大,故z 最大.由?????2x -y =0,x -2y +3=0,解得?????x =1,y =2, 即A (1,2).代入目标函数z =(2)2x +y 得,z =(2)2×1+2=4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ,y 满足???2x -y ≤0,x +y ≤3,x ≥0, 则2x +y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域,如图中阴影部分所示, 令z =2x +y ,则y =-2x +z ,当直线y =-2x +z 过点A (1,2)时,z 最大,z max =4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ,y 满足???x +y ≤2, 2x -3y ≤9,x ≥0, 则x 2+y 2的最大值是( )

高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题

(重庆)22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分) 在数列{}n a 中,()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ (1)若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式; (2)若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明:01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】(1)132n n a -=?;(2)证明见解析. 试题分析:(1)由02λμ==-,,有212,(n N )n n n a a a ++=∈

若存在某个0n N +∈,使得0n 0a =,则由上述递推公式易得0n 10a +=,重复上述过程可得 10a =,此与13a =矛盾,所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈,即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-,,数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =,归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +,所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面,由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上:01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点:等比数列的通项公式,数列的递推公式,不等式的证明,放缩法.

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