fortrain
BA 无标度网络
上海大学计算数学09720035童丽艳
摘要：
结构决定功能是系统科学的基本观点。本文从统计特性、结构模型和网络上的动力学行为三个层次简述BA 无标度网络相关研究, 并通过fortrain 程序对其进行实现。
关键词: 复杂网络; 无标度网络;平均路径长度；聚集系数
近年来在复杂网络研究上的一个重大发现就是许多复杂网络，包括Internet 、WWW 以及新陈代谢网络等的连接度分布函数具有幂律形式。由于这类网络的节点的连接度没有明显的特征长度，故称为无标度网络。
为了解释幂律分布的产生机理，Barabasi 和Albert 提出了一个无标度网络模型，现被称为BA 无标度网络模型。他们认为实际网络具有如下两个重要的特性： ① 增长特性：即网络的规模是不断扩大的。
② 优先连接特性：即新的节点更倾向于与那些具有较高连接度的“大”节点相连接。
基于网络的增长和优先连接特性，BA 无标度网络模型的构造算法如下： ① 增长：从一个具有0m 个节点的网络开始，每次引入一个新的节点，并且
连到m 个已存在的节点上，这里0m m ≤。
② 优先连接：一个新节点与一个已经存在的节点i 相连接的概率i ∏与节点i 的度i k ，节点j 的度j k 之间满足如下关系：i i j j
k k ∏=
∑ 1．平均路径长度
BA 无标度网络的平均路径长度为 l o g l o g l o g N L N ∝
2．聚集系数 BA 无标度网络的聚集系数为 222
(1)11[ln()][ln()]4(1)1m m m t C m m m t ++=--+，这表明网络充分大时BA 无标度网络不具有明显的聚集特征。
3．度分布
定义(,,)i p k t t 为在i t 时刻加入的节点i 在t 时刻的度恰好是k 的概率。在BA 模型中，当一个新节点加入到系统中来时，节点i 的度增加1的概率为2i m k t ∏=，否则该节点的度保持不变，由此得到如下递推关系式：
1(,,1)(1,,)(1)(,,)22i i i k k p k t t p k t t p k t t t t
-+=-+- 而网络的度分布为 1()l i m ((,,))i
i t t p k p k t t t →∞=∑ 它满足如下的递推方程 1(1),12()2,2k p k k m k p k k m m -?-≥+??+=??=?+?
从而求得BA 网络的度分布函数为232(1)()2(1)(2)
m m p k m k k k k -+=∝++ 这表明BA 网络的度分布函数可由幂指数为3的幂律函数近似描述。
源程序：
function scalefree(ni,m,de)
integer:: m
real::b(m,1)
real :: scalefree(m,1)
real::dp(ni+1,1)
real::sk
real::pd,it,i,j
integer::is,r
sk=0
is=1
b(m,1)=0
dp(ni+1,1)=0
do i=1,ni
sk=sk+de(i)
end do
dp(1,1)=0
do i=1,ni
dp(i+1,1)=dp(i,1)+de(i,1)
end do
do while(is<=m)
r=1
r=r*sk+1
do i=1,ni
if (r>dp(i,1).and.r<=dp(i+1,1)) then
it=i
endif
end do
pd=0
do j=1,is
if (it==b(j,1)) then
pd=1
endif
enddo
if (pd==0) then
b(is,1)=it
is=is+1
endif
enddo
scalefree=b
return
end function
! The BA scalefree model
program bascalefree
real,external::scalefree
integer p0
integer,parameter :: n=500 ! The total number of the net real::a(n,n)
integer,parameter:: m=4
integer,parameter:: n0=5
real:: deg(n0)
real:: b(m,1)
a(n,n)=0
! The mean degree
! The initial random network
p0=0.8
do i=1,n0
do j=i+1,n0
if (1 a(i,j)=1 a(j,i)=1 end if end do end do do i=1,n0 deg(i)=sum(a(i,:)) end do do i=n0,n-1 b(m,1)=0 b=scalefree(i,m,deg) do j=1,m a(b(j,1),i+1)=1 a(i+1,b(j,1))=1 deg(b(j,1))=deg(b(j,1))+1 end do deg(i+1)=m; end do endprogram BA 模型的提出是复杂网络研究中的又一重大突破,标志着人们对客观网络世界认识的深入。之后, 许多学者对这一模型进行了改进, 如非线性择优连接、加速增长、重绕边的局域事件、逐渐老化、适应性竞争等等。需要注意的是, 绝大多数而不是所有的真实网络都是Scale-free 网络, 如有的真实网络度分布为指数分布截断形式等等。