解析几何与平面向量综合
解析几何与平面向量
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.将椭圆x 2+6y 2-2x -12y -13=0按向量a 平移,使中心与原点重合,则a 的坐标是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-1,-1) D .(1,1) C 椭圆方程变形为20)1(6)
1(22
=-+-y x . 需按a =(-1,-1)平移,中心与原点重合
2.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OB OA OC βα+=,其中α、β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )
A .3x +2y -11=0
B .(x -1)2+(y -2)2=5
C .2x -y =0
D .x +2y -5=0
∵C 点满足β+α=且1=β+α,∴A 、B 、C 三点共线. ∴C 点的轨迹是直线AB
*3.已知曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A .(]2,1
B .()2,1
C .[)+∞,2
D .()+∞,2 C 过焦点F 且倾斜角为60°的直线l 为
)(3c x y -=,令
e=2时,双曲线
22
2
21(0,0)x y a b a b
-=>>渐近线是x y 3=,此时与直线l 平行,∴直线l 与双曲线的右支交于一个点,从而排除B 、D ;令e=4时,双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>即为115161622
22=-c y c x ,
∴??
???-==-)(3115161622
22c x y c
y c x ,∴0639619222=-?+c x c x , ∴两根之积0192
632
21<-=?c x x ,∴直线l 与双曲线的右支交于一个点,从而排除A.
4.已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆1
2
2
22=+b y a x (a >b >0)上一点,若021=?PF PF ,tan PF 1F 2=21,则椭圆的离心率为( )
A .
21 B .32 C .31 D .3
5
设c 为椭圆半焦距,∵12
0PF PP ?= ,∴21PF PF ⊥,又tan 2
1
21=F PF , ∴ 222
12122
1||||(2)||||2||1
||2
PF PF c PF PP a PF PF ?
?+=??+=???=??,解得:35,952===???
??a c e a c . 选D.
5.在△ABC 中,2=-=?||,则△ABC 的面积最大值为( )
A .
3 B .2
3
C .32
D .33 ∵||2AB AC -= ,∴4|2||2
2=+?-AC AB ,又∵2=?,∴
22||||8,||||cos 2AB AC AB AC AB AC A +=?=??=
. 故△ABC
的面积
AB A AC AB S |2
1
sin ||21=?=
=
3=≤=
(当且仅当AC AB ==2时取等号).∴△ABC 的面积的最大值是3,故选A.
*6.从坐标原点O 引圆(x-m )2+(y -2)2=m 2+1的切线y=kx ,当m 变化时,则切点P 的轨迹方程为( )
A .x 2-y 2=3
B .x 2+y 2=3
C .x 2+y 2=5
D .x +y =5 B 根据题意画出示意图,设圆心为C ,
切点P 的坐标为P(x ,y),则发现图中隐含
条件2
22||||||PC OC OP -=. ∵4||,||22222+=+=m OC y x OP ,
1||222+==m r PC
故点P 的轨迹方程为22 3.x y +=
*7.若直线l :ax+y +2=0与连结点A (-2,3)和点B (3,2)的线段有公共点,则a 的取值范围为( )
A .2534≤≤-
a B .2
5
34<<-a C .3425-≤≥a a 或 D .3425-<>a a 或
∵由方程02=++y ax 可知直线恒过定点C(0,-2),又∵A(-2,3),B(3,2),如图连结AC 、
BC ,则?k AC ,25
02)2(3-=----=
3403)2(2=---=BC k ,故直线l 的斜率a -应满足
3425≥--≤-a a 或,即2
5≥a 或.34
-≤a
8.已知直线y =(a +1)x -1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点,则实数a 的值为( )
A .a =0或-1
B .-1或54-
C .a =0或54-
D .a =0或-1或5
4- D 联立方程???=-+=ax
y x a y 2
1)1(,(1)当a=0时,此方程组恰有一组解???==01
y x . (2)当0≠a 时,
消去x 得
0112=--+y y a a ,①若01
=+a
a ,
即a=-1时,方程变为一元一次方程01=--y . 此时方程组恰有一组解?
??-=-=11y x ,②若01
≠+a a ,即1-≠a 时,令△0)1(41=++
=a a ,解之得5
4-=a . 此时直线与曲线相切,只有一个公共点. 综上所述,当4
0,1,5a =--时,直线
与曲线ax y =2
只有一个公共点.
9.已知向量=(2,0),=(2,2),=(2cos α,2sin α),则向量OA
与的夹角范围为( ) A .??????4,
0π B .??????125,4ππ C .??????2,125ππ D .???
???125,12ππ .D ∵(2,2),(2,0)OC OB ==
,∴B (2,0),C (2,2),
∵)CA αα=
, ∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心,2为半径的圆. 过原
点O 作此圆的切线,切点分别为M ,N ,连结CM 、CN (∠MOB<∠NOB ),则向量与的夹角范围是≤∠MOB 〈,OA OB
〉NOB ∠≤. ∵22||=OC ,∴
|21||OC CN CM ==知6
π
=∠=∠CON COM ,但4π=∠COB .
∴5,1212MOB NOB ππ∠=∠=,故≤π12
〈OB ??OA ,〉5.12π
≤
10.(理)已知椭圆19
162
2=+y x ,则其内接三角形面积的最大值为( )
A .36
B .39
C .312
D .12
B 如图椭圆19
162
2=+y x 的长、短轴之比
为4∶3,将椭圆按AB
B
A 1143cos ==α投影到平面M ,
得到半径为R=3的圆O 1,圆内接正△C 1E 1F 1的面积
最大,此时最大面积为3427
)33(432==
'=S . ∴椭圆内接三角形最大面积为393
43427cos 3
427
=?=α=S .
11.M 是抛物线x y
=2
上一点,N 是圆1)3(22=+-y x 上的动点,则|MN |的最小值是( )
A .1211-
B .12
10- C .52+ D .23-
A 如图,设M 是x y =2
上一点,||||||MC NC MN ≥+,所以|MN|的最小值即为点M 到圆心C 的距离减去半径R. 设2
(,)M y y 是抛物线x y
=2
上一点,则
2
4
2
2
2
2
5)3(||y
y y y MC -=+-=4
11)25(922
+-=+y ,
∴2
10±=y 时,211||min =MC ,∴min || 1.2MN =-
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上.
13.已知双曲线的右准线为x =4,右焦点F (10,0),离心率e =2,则双曲线方程为 .
14816)2(2
2=--y x 设P(x ,y)为双曲线上任意一点,则双曲线的右准线为x=4,右焦点F(10,0),离心率e=2,∴由双曲线第二定义知2|4|)10(22=-+-x y x ,整理得148
16)2(22=--y x
14.已知向量a =(2cos α,2sin α),b =(3cos β,3sin β),其向量a 与b 的夹角为60°,则直线
0sin cos =?α-?αy x 与圆2
1
)sin ()cos (22=β++β-y x 的位置关系是 .
相交 向量a 与b 的夹角为60°,根据向量的夹角公式cos 〈a ,b 〉
=|
|||b a b a ??=21)cos(32|sin sin cos cos |6=β-α=?βα+βα,则圆心到直线的距离
r d =<=β-α=α
+αβα+βα=2221|)cos(|sin cos |sin sin cos cos |22,所以直线与圆的位置关系是相交
15.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是)200(22
≤≤=y y x . 在杯内放入一个玻
璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃的半径r 的范围为 .
10≤ 2222 2,(), x y x y r r ?=??+-=??得0)1(22=-+y r y ,由0)1(42 =-=?r ,得r=1 16.设)2,2(),2,2(21--P P ,M 是双曲线x y 1= 上位于第一象限的点,对于命题①22||||12=-MP MP ;②以线段MP 1为直径的圆与圆22 2=+y x 相切;③存在常数b , 使得M 到直线 b x y +-=的距离等于 ||2 2 1MP . 其中所有正确命题的序号是 . ①②③ 由双曲线定义可知①正确,②画图并结合题意可知正确,③由距离公式及|MP 1|可知正确. 三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 如图,四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形,C 是圆心,C 在MN 上,向量CM 与PN 的夹角为120°, 2=?QM QC (1)求⊙C 的方程; (2)求以M 、N 为焦点且过点P 、Q 的椭圆的方程. (1)以MN 所在直线为x 轴,C 在原点,建立直角坐标系xOy . ∵与的夹角为120°,故?=∠60QCM . 于是QCM ?为正三角形,?=∠60CQM . 又2=?,即 2cos ||=CQM QM QC ,于是2|==QC r ,故⊙C 的方程为.422? y x =+ (2)依题意||||2,42QM QN a ??c +==,而??ON ,3224||22=-= |QM|=2,于是 .32,13222?c a ?b ?a =-=+= ∴所求椭圆的方程为 13 23242 2=++y x 18.(本小题满分12分) 已知椭圆中心在原点,焦点在y 轴上,焦距为4. 离心率为3 2. (1)求椭圆方程; (2)设椭圆在y 轴正半轴上的焦点为M ,又点A 和点B 在椭圆上,且M 分有向线段 所成的比为2,求线段AB 所在直线的方程. (1)设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b x a y ,由2c=4得c=2,又.32?a c = 故222 3,5a b a c ==-=,∴所求的椭圆方程为.15 922?x y =+ (2)若k 不存在,则2≠MB ,若k 存在,则设直线AB 的方程为:2+=kx y ,又设 1221(,),(,)A y B x y x . 由?????=++=159 22 2x y kx y 得02520)59(2 2=-++kx x k , 2592021k k x x +-=+ ①,2 215925 k x x +-=? ② ∵点M 坐标为M(0,2),∴1122(,2)(,2)AM x y MB x y =--=- , 由 MB 22==得,∴1122(,2)2(,2) x y x y --=-,∴212x x -=代入①、②得2 59202k k x += ③,2 2 2 5925 2k x += ④. 由③、④得22 2592559202k k k +=?? ? ??+, ∴2 1,3k k == ∴线段AB 所在直线的方程为:.23 3 ?x y +± = 20.(本小题满分12分) 如图,已知椭圆)0(15106:2 2 2>=+m m y x C ,经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,M 为线段AB 的中点,设O 为椭圆的中心,射线OM 交椭圆于N 点. (1)是否存在k ,使对任意m >0,总有ON OB OA =+成立?若存在,求出所有k 的值; (2)若)4(2 1 3m m OB OA +-=?,求实数k 的取值范围. (1)椭圆22222 222 53:1,532222 x y m m C c m m m +==-=,即c =m . ∴F (m ,0),直线)(:m x y AB -=,???>=+-=) 0(15106) (2 22m m y x m x k y ,即 0151020)610(222222=-+-+m m k mx k x k ,设112(,),(,) A x y x y , 则2222 1212 22201015,106106k m k m m x x x x k k -+==++,设(,)m m M x y ,则 21222 106,()2106106 m m m x x k m km x y k x m k k +-====-=++. 若存在k ,使=+,M 为ON 的中点,∴2=+, ∴222 2012(2,2),106106m m k m km OA OB x y k k ?? +== ?++?? ,即N 点坐标为 222 2012,106106k m km k k ?? ?++?? , 由N 点在椭圆上,则22 22 22156101210610206m k km k m k =??? ??++??? ? ??+, 即03252 4=--k k ,∴5 3122-==k k 或(舍去), 故存在k =+±=使1. (2)))((212 212121m x m x k x x y y x x --+=+=? 6 10)15(6 10206 101510)1()()1(2222 22 22 2 2 222 22212212+-= ++? -+-? +=++-+=k k m m k k m k m k k m m k k m k x x m k x x k 由)4(21610)15(3222m m k k m +-=+-,得2)4(21 10)15(2 2-≤+-=-m m k k , 即2 2 2 1152012,,0.777 k k k k k ?-≤--≤∴-≤≤≠ 21.(本小题满分12分) (理)设抛物线)0(22 >=p px y 的焦点为F ,准线与x 轴交点为Q ,过Q 点的直线l 交抛物线于A 、B 两点. (1)直线l 的斜率为2 2 ,求证:0=?. (2)设直线F A 、FB 的斜率为FA k 、FB k 探究FB k 与FA k 之间的关系并说明理由. (1)∵,02p Q ?? - ??? ,∴直线l 的方程为:)2(22p x y +=, 由?? ???=+=px y p x y 2)2(22 2消去x 得:022 22=+-p py y , 解得:1),1)A p p B p p ?? ? ??? ???? ,而,02p F ?? ???. 故((1,(1),((11))FA p p FB p p == , ∴022 =+-=?p p . (2)0=+-=FB FA FB FA k k k k 或. 因直线l 与抛物线交于A 、B 两点,故直线l 方程:)0)(2 (≠+ =k p x k y , 由?? ? ? ? =+=px y p x k y 2)2(2消去x 得0222=+-kp py ky ,设1122(,),(,)A x y B x y , 则22 1p y y =,1212,,2 2 FA FB y y k k p p x x = = - - ∴ FB FA k p y p y p p y p y p p p y y p k -=-= -= -= 222 2)(2 22 22 2222212 22 22.(本小题满分12分) 如图,过抛物线y x C 4:2 =的对称轴上一点P (0,m )(m >0)作直线l 与抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,点Q 是P 关于原点的对称点,以P 、Q 为焦点的椭圆为C 2. (1)求证:x 1x 2=-4m ; (2)若l 的方程为x -2y +4=0,且C 1、C 2以及直线l 有公共点,求C 2的方程; (3)设P 分有向线段所成的比为λ,若)(μ-⊥,求证:μ=λ. (1)由题设m kx y l +=: (k 为该直线的斜率) , ∴???+==m kx y y x 42,消去y ,可得m kx x 442 +=,∴m x x 421-=, (2)由042=+-y x 得(0,2),(0,2)P Q -, 又由???=+-=0 4242y x y x 得(2,1),(4,4)A B - ∴|||||AP AQ BP BQ ==== ①当椭圆C 2过A 点时,135|||| 2+=+=AQ AP a , 2 2 224a b ===-=???? , 椭圆C 2的方程为165 1265922 2=+++x y ; ②当椭圆C 2过B 点时,13252||||2+=+=BQ BP a , 2 2 2 2 18414a b = =+= -=+ ∴此时椭圆C 2的方程为165 214652182 2=+++x y . (3)由题意得λ=, 1201x x λλ+=+,121y y m λλ+=+,即12 ,x x λ=- 又∵2112(0,),(,),(,)Q m QA x y m QB x y m -=+=+ , 1212(,(1)),QA QB x x y y m μμμμ-=--+- 又∵(0,2),()QP m QP QA QB μ=⊥- , ∴0])1([221=μ-+μ-m y y m ,从而0)1(4 422 21=μ-+μ-m x x , 即)(0)1(42221*=μ-+μ-m x x . 由(1)知0)1(212 221=μ--μ-x x x x , ∴0)1(212 21 =μ-μ--??? ? ??x x x x ,∴0)1(2=μ-λμ-+λ, ∴1-=λ或μ=λ,而由题目可知道0>λ,所以μ=λ. 平面向量在解析几何中的应用 -----高三专题复习课教学案例 福建省福州格致中学宋建辉 一、引言: 平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。正因为如此,在2004年3月25日在校教学公开周中开设了《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课,以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣,让学生树立并应用向量的意识。 二、背景: 向量知识在许多国家的中学数学教材中,早就成了一个基本的教学内容。在我国全面实施新课程后,向量虽然已进入中学,但仍处于起步的阶段。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题,学生应用向量的意识不强。鉴于这种情况,结合我校开展的构建“探究-合作”型教学模式研究的课题,开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课,通过问题的探究、合作解决,旨在进一步探索“探究-合作”型教学模式,使学生树立并增强应用向量的意识。 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。正因为如此,本节课这样设计: 1、教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习,使学生感到认识新事物的乐趣,体验克服困难的喜悦”;教育心理学认为:思维是从提出问题开始的;美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件,就是学生需掌握原理,形成类比,才能让迁移到具体的类似学习中”。因此首先通过两个旧问题的引入解决,让学生体会向量的工具性特点,体会向量解题的优越性。 2、通过例 3、例4两个问题的探究解决,由此让学生发现,用向量法的最大优点是思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。 三、问题: B A C D 一.选择题: 1. 在平面上,已知点A (2,1),B (0,2),C (-2,1),O (0,0).给出下面的结论: ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确..结论的个数是 ( )A .1个 B .2个 C .3个 D .0个 2. 下列命题正确的是 ( ) A .向量A B 的长度与向量BA 的长度相等 B .两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同 C .若非零向量AB 与C D 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线 D .若→ a → b → c ,则→ a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,-1), =(-1,2),则 等于( ) A.+ B. C. D.+ 4. 若 ,且与也互相垂直,则实数的值为( ) A . C. 5.已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为( ) A. B. C. D. 6. 己知 (2,-1) .(0,5) 且点P 在 的延长线上, , 则P 点坐标为( ) A.(-2,11) B.( C.( ,3) D.(2,-7) 7.设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线,则必有( ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b 8.已知D 点与ABC 三点构成平行四边形,且A (-2,1),B (-1,3),C (3,4),则D 点坐标为( ) A.(2,2) B.(4,6) C. (-6,0) D.(2,2)或(-6,0)或(4,6) 9.在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2 AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 10. 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 10.已知P ={a |a =(1,0)+m (0,1),m ∈R },Q ={b |b =(1,1)+n (-1,1),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q 等于 ( )A .{(1,1)} B .{(-1,1)} C .{(1,0)} D .{(0,1)} 二. 填空题:11.若向量a b , 的夹角为 60,1a b ==,则() a a b -= . 12.向量2411()(),, ,a =b =.若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是 . 13.向量a 、b a b =1,b 3-=3,则 b +3 = 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则平面向量在解析几何中的应用
平面向量综合试题(含答案)
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总