解析几何与平面向量综合

解析几何与平面向量综合
解析几何与平面向量综合

解析几何与平面向量

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.将椭圆x 2+6y 2-2x -12y -13=0按向量a 平移,使中心与原点重合,则a 的坐标是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-1,-1) D .(1,1) C 椭圆方程变形为20)1(6)

1(22

=-+-y x . 需按a =(-1,-1)平移,中心与原点重合

2.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OB OA OC βα+=,其中α、β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )

A .3x +2y -11=0

B .(x -1)2+(y -2)2=5

C .2x -y =0

D .x +2y -5=0

∵C 点满足β+α=且1=β+α,∴A 、B 、C 三点共线. ∴C 点的轨迹是直线AB

*3.已知曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线

的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )

A .(]2,1

B .()2,1

C .[)+∞,2

D .()+∞,2 C 过焦点F 且倾斜角为60°的直线l 为

)(3c x y -=,令

e=2时,双曲线

22

2

21(0,0)x y a b a b

-=>>渐近线是x y 3=,此时与直线l 平行,∴直线l 与双曲线的右支交于一个点,从而排除B 、D ;令e=4时,双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>即为115161622

22=-c y c x ,

∴??

???-==-)(3115161622

22c x y c

y c x ,∴0639619222=-?+c x c x , ∴两根之积0192

632

21<-=?c x x ,∴直线l 与双曲线的右支交于一个点,从而排除A.

4.已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆1

2

2

22=+b y a x (a >b >0)上一点,若021=?PF PF ,tan PF 1F 2=21,则椭圆的离心率为( )

A .

21 B .32 C .31 D .3

5

设c 为椭圆半焦距,∵12

0PF PP ?= ,∴21PF PF ⊥,又tan 2

1

21=F PF , ∴ 222

12122

1||||(2)||||2||1

||2

PF PF c PF PP a PF PF ?

?+=??+=???=??,解得:35,952===???

??a c e a c . 选D.

5.在△ABC 中,2=-=?||,则△ABC 的面积最大值为( )

A .

3 B .2

3

C .32

D .33 ∵||2AB AC -= ,∴4|2||2

2=+?-AC AB ,又∵2=?,∴

22||||8,||||cos 2AB AC AB AC AB AC A +=?=??=

. 故△ABC

的面积

AB A AC AB S |2

1

sin ||21=?=

=

3=≤=

(当且仅当AC AB ==2时取等号).∴△ABC 的面积的最大值是3,故选A.

*6.从坐标原点O 引圆(x-m )2+(y -2)2=m 2+1的切线y=kx ,当m 变化时,则切点P 的轨迹方程为( )

A .x 2-y 2=3

B .x 2+y 2=3

C .x 2+y 2=5

D .x +y =5 B 根据题意画出示意图,设圆心为C ,

切点P 的坐标为P(x ,y),则发现图中隐含

条件2

22||||||PC OC OP -=. ∵4||,||22222+=+=m OC y x OP ,

1||222+==m r PC

故点P 的轨迹方程为22 3.x y +=

*7.若直线l :ax+y +2=0与连结点A (-2,3)和点B (3,2)的线段有公共点,则a 的取值范围为( )

A .2534≤≤-

a B .2

5

34<<-a C .3425-≤≥a a 或 D .3425-<>a a 或

∵由方程02=++y ax 可知直线恒过定点C(0,-2),又∵A(-2,3),B(3,2),如图连结AC 、

BC ,则?k AC ,25

02)2(3-=----=

3403)2(2=---=BC k ,故直线l 的斜率a -应满足

3425≥--≤-a a 或,即2

5≥a 或.34

-≤a

8.已知直线y =(a +1)x -1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点,则实数a 的值为( )

A .a =0或-1

B .-1或54-

C .a =0或54-

D .a =0或-1或5

4- D 联立方程???=-+=ax

y x a y 2

1)1(,(1)当a=0时,此方程组恰有一组解???==01

y x . (2)当0≠a 时,

消去x 得

0112=--+y y a a ,①若01

=+a

a ,

即a=-1时,方程变为一元一次方程01=--y . 此时方程组恰有一组解?

??-=-=11y x ,②若01

≠+a a ,即1-≠a 时,令△0)1(41=++

=a a ,解之得5

4-=a . 此时直线与曲线相切,只有一个公共点. 综上所述,当4

0,1,5a =--时,直线

与曲线ax y =2

只有一个公共点.

9.已知向量=(2,0),=(2,2),=(2cos α,2sin α),则向量OA

与的夹角范围为( ) A .??????4,

0π B .??????125,4ππ C .??????2,125ππ D .???

???125,12ππ .D ∵(2,2),(2,0)OC OB ==

,∴B (2,0),C (2,2),

∵)CA αα=

, ∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心,2为半径的圆. 过原

点O 作此圆的切线,切点分别为M ,N ,连结CM 、CN (∠MOB<∠NOB ),则向量与的夹角范围是≤∠MOB 〈,OA OB

〉NOB ∠≤. ∵22||=OC ,∴

|21||OC CN CM ==知6

π

=∠=∠CON COM ,但4π=∠COB .

∴5,1212MOB NOB ππ∠=∠=,故≤π12

〈OB ??OA ,〉5.12π

10.(理)已知椭圆19

162

2=+y x ,则其内接三角形面积的最大值为( )

A .36

B .39

C .312

D .12

B 如图椭圆19

162

2=+y x 的长、短轴之比

为4∶3,将椭圆按AB

B

A 1143cos ==α投影到平面M ,

得到半径为R=3的圆O 1,圆内接正△C 1E 1F 1的面积

最大,此时最大面积为3427

)33(432==

'=S . ∴椭圆内接三角形最大面积为393

43427cos 3

427

=?=α=S .

11.M 是抛物线x y

=2

上一点,N 是圆1)3(22=+-y x 上的动点,则|MN |的最小值是( )

A .1211-

B .12

10- C .52+ D .23-

A 如图,设M 是x y =2

上一点,||||||MC NC MN ≥+,所以|MN|的最小值即为点M 到圆心C 的距离减去半径R. 设2

(,)M y y 是抛物线x y

=2

上一点,则

2

4

2

2

2

2

5)3(||y

y y y MC -=+-=4

11)25(922

+-=+y ,

∴2

10±=y 时,211||min =MC ,∴min || 1.2MN =-

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上.

13.已知双曲线的右准线为x =4,右焦点F (10,0),离心率e =2,则双曲线方程为 .

14816)2(2

2=--y x 设P(x ,y)为双曲线上任意一点,则双曲线的右准线为x=4,右焦点F(10,0),离心率e=2,∴由双曲线第二定义知2|4|)10(22=-+-x y x ,整理得148

16)2(22=--y x

14.已知向量a =(2cos α,2sin α),b =(3cos β,3sin β),其向量a 与b 的夹角为60°,则直线

0sin cos =?α-?αy x 与圆2

1

)sin ()cos (22=β++β-y x 的位置关系是 .

相交 向量a 与b 的夹角为60°,根据向量的夹角公式cos 〈a ,b 〉

=|

|||b a b a ??=21)cos(32|sin sin cos cos |6=β-α=?βα+βα,则圆心到直线的距离

r d =<=β-α=α

+αβα+βα=2221|)cos(|sin cos |sin sin cos cos |22,所以直线与圆的位置关系是相交

15.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是)200(22

≤≤=y y x . 在杯内放入一个玻

璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃的半径r 的范围为 .

10≤

2222

2,(),

x y x y r r ?=??+-=??得0)1(22=-+y r y ,由0)1(42

=-=?r ,得r=1 16.设)2,2(),2,2(21--P P ,M 是双曲线x

y 1=

上位于第一象限的点,对于命题①22||||12=-MP MP ;②以线段MP 1为直径的圆与圆22

2=+y x 相切;③存在常数b ,

使得M 到直线

b x y +-=的距离等于

||2

2

1MP . 其中所有正确命题的序号是 .

①②③ 由双曲线定义可知①正确,②画图并结合题意可知正确,③由距离公式及|MP 1|可知正确. 三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 如图,四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形,C 是圆心,C 在MN 上,向量CM 与PN 的夹角为120°,

2=?QM QC

(1)求⊙C 的方程;

(2)求以M 、N 为焦点且过点P 、Q 的椭圆的方程.

(1)以MN 所在直线为x 轴,C 在原点,建立直角坐标系xOy . ∵与的夹角为120°,故?=∠60QCM . 于是QCM ?为正三角形,?=∠60CQM . 又2=?,即

2cos ||=CQM QM QC ,于是2|==QC r ,故⊙C 的方程为.422?

y x =+ (2)依题意||||2,42QM QN a ??c +==,而??ON ,3224||22=-=

|QM|=2,于是

.32,13222?c a ?b ?a =-=+= ∴所求椭圆的方程为

13

23242

2=++y

x 18.(本小题满分12分)

已知椭圆中心在原点,焦点在y 轴上,焦距为4. 离心率为3

2. (1)求椭圆方程;

(2)设椭圆在y 轴正半轴上的焦点为M ,又点A 和点B 在椭圆上,且M 分有向线段 所成的比为2,求线段AB 所在直线的方程.

(1)设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

x a y ,由2c=4得c=2,又.32?a c = 故222

3,5a b a c ==-=,∴所求的椭圆方程为.15

922?x y =+

(2)若k 不存在,则2≠MB

,若k 存在,则设直线AB 的方程为:2+=kx y ,又设

1221(,),(,)A y B x y x . 由?????=++=159

22

2x y kx y 得02520)59(2

2=-++kx x k , 2592021k k x x +-=+ ①,2

215925

k x x +-=? ② ∵点M 坐标为M(0,2),∴1122(,2)(,2)AM x y MB x y =--=-

, 由

MB

22==得,∴1122(,2)2(,2)

x y x y --=-,∴212x x -=代入①、②得2

59202k

k x +=

③,2

2

2

5925

2k

x +=

④.

由③、④得22

2592559202k k k +=??

? ??+,

∴2

1,3k k ==

∴线段AB 所在直线的方程为:.23

3

?x y +±

= 20.(本小题满分12分)

如图,已知椭圆)0(15106:2

2

2>=+m m y x C ,经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,M 为线段AB 的中点,设O 为椭圆的中心,射线OM 交椭圆于N 点.

(1)是否存在k ,使对任意m >0,总有ON OB OA =+成立?若存在,求出所有k 的值; (2)若)4(2

1

3m m OB OA +-=?,求实数k 的取值范围.

(1)椭圆22222

222

53:1,532222

x y m m C c m m m +==-=,即c =m . ∴F (m ,0),直线)(:m x y AB -=,???>=+-=)

0(15106)

(2

22m m y x m x k y ,即

0151020)610(222222=-+-+m m k mx k x k ,设112(,),(,)

A x y x y ,

则2222

1212

22201015,106106k m k m m

x x x x k k -+==++,设(,)m m M x y ,则 21222

106,()2106106

m m m x x k m km x y k x m k k +-====-=++. 若存在k ,使=+,M 为ON 的中点,∴2=+,

∴222

2012(2,2),106106m m k m km OA OB x y k k ??

+== ?++??

,即N 点坐标为 222

2012,106106k m km k k ??

?++??

, 由N 点在椭圆上,则22

22

22156101210610206m k km k m k =??? ??++???

? ??+, 即03252

4=--k k ,∴5

3122-==k k 或(舍去),

故存在k =+±=使1.

(2)))((212

212121m x m x k x x y y x x --+=+=?

6

10)15(6

10206

101510)1()()1(2222

22

22

2

2

222

22212212+-=

++?

-+-?

+=++-+=k k m m k k m k m k k m m k k m k x x m k x x k

由)4(21610)15(3222m m k k m +-=+-,得2)4(21

10)15(2

2-≤+-=-m m k k ,

即2

2

2

1152012,,0.777

k k k k k ?-≤--≤∴-≤≤≠

21.(本小题满分12分)

(理)设抛物线)0(22

>=p px y 的焦点为F ,准线与x 轴交点为Q ,过Q 点的直线l 交抛物线于A 、B 两点.

(1)直线l 的斜率为2

2

,求证:0=?. (2)设直线F A 、FB 的斜率为FA k 、FB k 探究FB k 与FA k 之间的关系并说明理由.

(1)∵,02p Q ??

-

???

,∴直线l 的方程为:)2(22p x y +=,

由??

???=+=px y p

x y

2)2(22

2消去x

得:022

22=+-p py y , 解得:1),1)A p p B p p ??

?

???

????

,而,02p F ??

???. 故((1,(1),((11))FA p p FB p p ==

∴022

=+-=?p p

.

(2)0=+-=FB FA FB FA k k k k 或.

因直线l 与抛物线交于A 、B 两点,故直线l 方程:)0)(2

(≠+

=k p

x k y

, 由??

?

?

?

=+=px y p x k y 2)2(2消去x 得0222=+-kp py ky ,设1122(,),(,)A x y B x y , 则22

1p y y =,1212,,2

2

FA FB y y k k p p x x =

=

-

-

FB

FA k p

y p y p p

y p y p p p y y p k -=-=

-=

-=

222

2)(2

22

22

2222212

22

22.(本小题满分12分)

如图,过抛物线y x C 4:2

=的对称轴上一点P (0,m )(m >0)作直线l 与抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,点Q 是P 关于原点的对称点,以P 、Q 为焦点的椭圆为C 2. (1)求证:x 1x 2=-4m ;

(2)若l 的方程为x -2y +4=0,且C 1、C 2以及直线l 有公共点,求C 2的方程; (3)设P 分有向线段所成的比为λ,若)(μ-⊥,求证:μ=λ.

(1)由题设m kx y l +=:

(k 为该直线的斜率)

, ∴???+==m

kx y y x 42,消去y ,可得m kx x 442

+=,∴m x x 421-=, (2)由042=+-y x 得(0,2),(0,2)P Q -,

又由???=+-=0

4242y x y x 得(2,1),(4,4)A B -

∴|||||AP AQ BP BQ ==== ①当椭圆C 2过A 点时,135||||

2+=+=AQ AP a ,

2

2

224a b ===-=????

, 椭圆C 2的方程为165

1265922

2=+++x y ;

②当椭圆C 2过B 点时,13252||||2+=+=BQ BP a ,

2

2

2

2

18414a b =

=+=

-=+

∴此时椭圆C 2的方程为165

214652182

2=+++x y .

(3)由题意得λ=,

1201x x λλ+=+,121y y m λλ+=+,即12

,x

x λ=-

又∵2112(0,),(,),(,)Q m QA x y m QB x y m -=+=+

, 1212(,(1)),QA QB x x y y m μμμμ-=--+-

又∵(0,2),()QP m QP QA QB μ=⊥- ,

∴0])1([221=μ-+μ-m y y m ,从而0)1(4

422

21=μ-+μ-m x x ,

即)(0)1(42221*=μ-+μ-m x x . 由(1)知0)1(212

221=μ--μ-x x x x ,

∴0)1(212

21

=μ-μ--???

? ??x x x x ,∴0)1(2=μ-λμ-+λ, ∴1-=λ或μ=λ,而由题目可知道0>λ,所以μ=λ.

平面向量在解析几何中的应用

平面向量在解析几何中的应用 -----高三专题复习课教学案例 福建省福州格致中学宋建辉 一、引言: 平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。正因为如此,在2004年3月25日在校教学公开周中开设了《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课,以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣,让学生树立并应用向量的意识。 二、背景: 向量知识在许多国家的中学数学教材中,早就成了一个基本的教学内容。在我国全面实施新课程后,向量虽然已进入中学,但仍处于起步的阶段。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题,学生应用向量的意识不强。鉴于这种情况,结合我校开展的构建“探究-合作”型教学模式研究的课题,开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习公开课,通过问题的探究、合作解决,旨在进一步探索“探究-合作”型教学模式,使学生树立并增强应用向量的意识。 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。正因为如此,本节课这样设计: 1、教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习,使学生感到认识新事物的乐趣,体验克服困难的喜悦”;教育心理学认为:思维是从提出问题开始的;美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件,就是学生需掌握原理,形成类比,才能让迁移到具体的类似学习中”。因此首先通过两个旧问题的引入解决,让学生体会向量的工具性特点,体会向量解题的优越性。 2、通过例 3、例4两个问题的探究解决,由此让学生发现,用向量法的最大优点是思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。 三、问题:

平面向量综合试题(含答案)

B A C D 一.选择题: 1. 在平面上,已知点A (2,1),B (0,2),C (-2,1),O (0,0).给出下面的结论: ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确..结论的个数是 ( )A .1个 B .2个 C .3个 D .0个 2. 下列命题正确的是 ( ) A .向量A B 的长度与向量BA 的长度相等 B .两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同 C .若非零向量AB 与C D 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线 D .若→ a → b → c ,则→ a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,-1), =(-1,2),则 等于( ) A.+ B. C. D.+ 4. 若 ,且与也互相垂直,则实数的值为( ) A . C. 5.已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为( ) A. B. C. D. 6. 己知 (2,-1) .(0,5) 且点P 在 的延长线上, , 则P 点坐标为( ) A.(-2,11) B.( C.( ,3) D.(2,-7) 7.设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线,则必有( ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b 8.已知D 点与ABC 三点构成平行四边形,且A (-2,1),B (-1,3),C (3,4),则D 点坐标为( ) A.(2,2) B.(4,6) C. (-6,0) D.(2,2)或(-6,0)或(4,6) 9.在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2 AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 10. 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 10.已知P ={a |a =(1,0)+m (0,1),m ∈R },Q ={b |b =(1,1)+n (-1,1),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q 等于 ( )A .{(1,1)} B .{(-1,1)} C .{(1,0)} D .{(0,1)} 二. 填空题:11.若向量a b , 的夹角为 60,1a b ==,则() a a b -= . 12.向量2411()(),, ,a =b =.若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是 . 13.向量a 、b a b =1,b 3-=3,则 b +3 =

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则

????? x -12-y +12-1=0 y -1x +1=-1,解之得????? x =2y =-2, 特殊解法:当直线l :Ax +By +C =0的系数满足|A|=|B|=1时,点A(x0,y0)关于l 的对称 点B(x ,y)的坐标,x =-By0-C A ,y =-Ax0-C B . 4.(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中,矩形OABC ,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O 点落在线段BC 上,设折痕所在直线的斜率为k ,则k 的取值范围为( ) A .[0,1] B .[0,2] C .[-1,0] D .[-2,0] [答案] D [解析] 如图,要想使折叠后点O 落在线段BC 上,可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ,以l 为折痕可使O 与D 重合,故问题转化为在线段CB 上任取一点D ,求直线OD 的斜率的取值范围问题, ∵kOD≥kOB =12,∴k =-1kOD ≥-2,且k<0, 又当折叠后O 与C 重合时,k =0,∴-2≤k≤0. 5.(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x -ay +1=0的两侧,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,10) B .(10,+∞) C.??? ?-∞,43∪(10,+∞) D.??? ?43,10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边,所得两值异号,∴(9-a +1)(3-3a +1)<0,∴43

平面向量综合试题(含答案)

A C 平面向量 一.选择题: 1. 在平面上,已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论: ①= -②= +③2 - = 其中正确 ..结论的个数是() A.1个B.2个C.3个D.0个 2.下列命题正确的是() A.向量的长度与向量的长度相等B.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同C.若非零向量与CD是共线向量,则A、B、C、D四点共线D.若 → a → b → c,则 → a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,-1), =(-1,2),则等于( ) A.+ B. C. D.+ 4.若,且与也互相垂直,则实数的值为( ) A. B.6 C. D.3 5.已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为()A. B. C. D. 6.己知(2,-1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( ) A.(-2,11) B.( C.(,3) D.(2,-7) 7.设, a b是非零向量,若函数()()() f x x x =+- a b a b的图象是一条直线,则必有() A.⊥ a b B.∥ a b C.|||| = a b D.|||| ≠ a b 8.已知D点与ABC三点构成平行四边形,且A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),则D点坐标为() A.(2,2) B.(4,6) C. (-6,0) D.(2,2)或(-6,0)或(4,6) 9.在直角ABC ?中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是 (A) 2 AC AC AB =?(B)2 BC BA BC =? (C) 2 AB AC CD =?(D)2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ??? = 10.设两个向量22 (2,cos) aλλα =+-和(,sin), 2 m b mα =+其中,,m λα为实数.若2, a b =则 m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1] - B.[4,8] C.(,1] -∞ D.[1,6] - 10.已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于()A.{(1,1)} B.{(-1,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1)} 二. 填空题:11.若向量a b ,的夹角为 60,1 a b ==,则() a a b -=. 12.向量2411 ()() ,,, a=b=.若向量() λ ⊥ b a+b,则实数λ

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。 ()向量的模——有向线段的长度,2||a → ()单位向量,3100|||| a a a a →→ → → == ()零向量,4000→ → =|| ()相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数,使()0λλ (7)向量的加、减法如图: OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ (8)平面向量基本定理(向量的分解定理) e e a → → → 12,是平面内的两个不共线向量,为该平面任一向量,则存在唯一

实数对、,使得,、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 (9)向量的坐标表示 i j x y →→ ,是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数,,使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=,称,为向量的坐标,记作:,,即为向量的坐标() 表示。 ()()设,,,a x y b x y → → ==1122 ()()()则,,,a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111,, ()()若,,,A x y B x y 1122 ()则,AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212,、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 ()··叫做向量与的数量积(或内积)。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角,,a b → → ∈0

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题,每题5分,共60分) 1.已知直线l 过(1,2),(1,3),则直线l 的斜率() A. 等于0 B . 等于1 C . 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线,则x 的值是( ) A.1 B .-1 C .0 D.7 3. 已知A (x 1,y 1)、B(x2,y 2)两点的连线平行y 轴,则|AB |=( ) A、|x 1-x 2|B 、|y 1-y 2|C、 x 2-x1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >,且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限B.第一象限 C.第四象限D.第二象限 5. 经过两点(3,9)、(-1,1)的直线在x轴上的截距为() A.23- B .32- C .32 D .2 6.直线2x -y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7.满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是( ) (1)1l 的斜率为2,2l 过点(12)A ,,(48)B ,; (2)1l 经过点(33)P ,,(53)Q -,,2l 平行于x 轴,但不经过P ,Q 两点; (3)1l 经过点(10)M -,,(52)N --,,2l 经过点(43)R -,,(05)S ,. A.(1)(2)B .(2)(3) C.(1)(3)D.(1)(2)(3) 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) A 2 B -2 C.21 D .2 1- 9. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =-

平面向量及其应用综合练习题doc

一、多选题 1.若a →,b →,c → 是任意的非零向量,则下列叙述正确的是( ) A .若a b →→ =,则a b →→ = B .若a c b c →→→→?=?,则a b →→ = C .若//a b →→,//b c →→,则//a c →→ D .若a b a b → → → → +=-,则a b →→ ⊥ 2.下列说法中正确的是( ) A .对于向量,,a b c ,有()() a b c a b c ??=?? B .向量()11,2e =-,()25,7e =能作为所在平面内的一组基底 C .设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件 D .在ABC 中,设D 是BC 边上一点,且满足2CD DB =,CD AB AC λμ=+,则 0λμ+= 3.已知在平面直角坐标系中,点()10,1P ,()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时,点P 的坐标为( ) A .4,23?? ??? B .4,33?? ??? C .()2,3 D .8 ,33?? ??? 4.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A . 6 π B . 3 π C . 56 π D . 23 π 5.已知点()4,6A ,33,2B ??- ??? ,与向量AB 平行的向量的坐标可以是( ) A .14,33?? ??? B .97,2?? ??? C .14,33?? - - ??? D .(7,9) 6.在RtABC 中,BD 为斜边AC 上的高,下列结论中正确的是( )

平面向量及解析几何

六、平面向量 考试要求:1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题,掌握向量垂直的条件。6、掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用,掌握平移公式。 1、已知向量与不共线,且0||||≠=,则下列结论中正确的是 A .向量-+与垂直 B .向量-与垂直 C .向量b a +与a 垂直 D .向量b a b a -+与共线 2.已知在△ABC 中,?=?=?,则O 为△ABC 的 A .内心 B .外心 C .重心 D .垂心 3.在△ABC 中设a AB =,b AC =,点D 在线段BC 上,且3BD DC = ,则AD 用b a ,表 示为 。 4、已知21,e e 是两个不共线的向量,而→→→ →→ → +=-+=2121232)2 51(e e b e k e k a 与是两个共线 向量,则实数k = . 5、设→ i 、→ j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,且 →→+=j i 24,→ →+=j i 43,则△OAB 的面积等于 : A .15 B .10 C .7.5 D .5 6、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(,则向量OC 的坐标是 , 将向量按逆时针方向旋转90°得到向量,则向量的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==k ,则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是 A . 2 3 B .21- C .-5 D .31- 8、在锐角三角形ABC 中,已知ABC ?==,1||,4||的面积为3,则=∠BAC ,?的值为 . 9、已知四点A ( – 2,1)、B (1,2)、C ( – 1,0)、D (2,1),则向量与的位置关系是 A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法判断 10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围

平面向量综合试题(含答案)

A 平面向量 一.选择题: 1. 在平面上,已知点A (2,1),B (0,2),C (-2,1),O (0,0).给出下面的结论: ①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确..结论的个数是 ( )A .1个 B .2个 C .3个 D .0个 2. 下列命题正确的是 ( ) A .向量A B 的长度与向量BA 的长度相等 B .两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同 C .若非零向量AB 与C D 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线 D .若→ a → b → c ,则→ a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,-1), =(-1,2),则 等于( ) A.+ B. C. D.+ 4. 若 ,且与也互相垂直,则实数的值为( ) A . C. 5.已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为( )A. B. C. D. 6. 己知 (2,-1) . (0,5) 且点P 在 的延长线上, , 则P 点坐标为( ) A.(-2,11) B.( C.( ,3) D.(2,-7) 7.设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线,则必有( ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b 8.已知D 点与ABC 三点构成平行四边形,且A (-2,1),B (-1,3),C (3,4),则D 点坐标为( ) A.(2,2) B.(4,6) C. (-6,0) D.(2,2)或(-6,0)或(4,6) 9.在直角ABC ?中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是 (A )2AC AC AB =? (B ) 2 BC BA BC =? (C )2 AB AC CD =? (D ) 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 10. 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 10.已知P ={a |a =(1,0)+m (0,1),m ∈R },Q ={b |b =(1,1)+n (-1,1),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q 等于( )A .{(1,1)} B .{(-1,1)} C .{(1,0)} D .{(0,1)} 二. 填空题:11.若向量a b , 的夹角为 60,1a b ==,则() a a b -= .

《平面解析几何》复习试卷及答案解析

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1.已知椭圆C :16x 2+4y 2=1,则下列结论正确的是( ) A .长轴长为12 B .焦距为34 C .短轴长为14 D .离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2+4y 2=1化为标准方程可得 x 2116+y 214 =1,所以a =12,b =14,c =34 , 长轴2a =1,焦距2c =32,短轴2b =12, 离心率e =c a =32 .故选D. 2.双曲线x 23-y 2 9 =1的渐近线方程是( ) A .y =±3x B .y =±13x C .y =±3x D .y =±33 x 答案 C 解析 因为x 23-y 2 9 =1, 所以a =3,b =3,渐近线方程为y =±b a x , 即为y =±3x ,故选C. 3.已知双曲线my 2-x 2=1(m ∈R )与抛物线x 2=8y 有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( ) A .y =±3x B .y =±3x C .y =±13 x D .y =±33x 答案 A

解析 ∵抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2), ∴双曲线的一个焦点为(0,2),∴1m +1=4,∴m =13 , ∴双曲线的渐近线方程为y =±3x ,故选A. 4.(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l :x 4+y 3 =1,若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行,则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为-34,过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行,所以b c =34 , 又b 2+c 2=a 2?????34c 2+c 2=a 2?2516c 2=a 2, 所以e =c a =45 ,故选A. 5.(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2-y 2 b 2=1(b >0)的一条渐近线与圆x 2+(y -2)2=1至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( ) A .(1,2] B .[2,+∞) C .(1,3] D .[3,+∞) 答案 A 解析 双曲线x 2-y 2 b 2=1(b >0)的一条渐近线方程是bx -y =0,由题意圆x 2+(y -2)2=1的圆心(0,2)到bx -y =0的距离不小于1,即 2b 2+1≥1,则b 2≤3,那么离心率e ∈(1,2],故选A. 6.(2019·河北武邑中学调研)已知直线l :y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若|F A |=2|FB |,则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y =k (x +2),y 2=8x ,消去y 得 k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0, Δ=(4k 2-8)2-16k 4>0,又k >0,解得0

高考数学平面向量与解析几何

第18讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中,学生学习平面向量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题,不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰,过程简洁,有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过:学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,必然能引导学生拓展思路,减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合,形成知识交汇点。而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的地位,有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂,不妨运用向量作形与数的转化,则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、(2000年全国高考题)椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围是___。 解:F 1(-5,0)F 2(5,0),设P (3cos θ,2sin θ) 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?- ( =9cos 2θ-5+4sin 2θ=5 cos 2θ-1<0 解得:55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是(5 53,553-) 点评:解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0),P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求22 PA PB +的最大值和最小值。 分析:因为O 为AB 的中点,所以2,PA PB PO += 故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。 解:设已知圆的圆心为C ,由已知可得:{1,0},{1,0}OA OB =-=

三角函数、平面向量综合题六类型

三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】(2007年高考安徽卷)已知04 πα<<,β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期,(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ,求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值. 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期,故βπ=.因为a b m ?= , 又cos tan()24a b βαα?=?+- ,故cos tan()24 m βαα?+=+. 由于04 π α<< ,所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+. 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式,然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形,以期达到与题设条件或待求结论的相关式,找准时机代入 求值或化简。 题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 【例2】 (2006年高考浙江卷)如图,函数2sin(),y x x R π?=+∈(其中02 π ?≤≤) 的图像与y 轴交于点(0,1)。 (Ⅰ)求?的值; (Ⅱ)设P 是图像上的最高点,M 、N 是图像与x 轴的交点,求PM 与P N 的夹角。 【解答】(I )因为函数图像过点(0,1), 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ,所以6 π ?= . (II )由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像,得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=,故,P M P N <>= 15arccos 17 .

平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题 一.选择题(每小题5分共40分) 1. 下列四个命题中的真命题是( ) A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示; B.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程 (y -y 1)·(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示; C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示; D.经过定点A (0, b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0(x 0,y 0)与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y -y 0=k (x -x 0)表示,因为其斜率k 不存在;C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b (b ≠0)或x =a (a ≠0)不能用方程b y a x +=1表示;D 中过A (0, b )的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述:本题考查直线方程的知识,应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( ) A.k 1<k 2<k 3 B.k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1 D.k 1<k 3<k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角, 且α2>α3,所以k 2>k 3>0,因此k 2>k 3>k 1,故应选D. 3. 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( ) A. A 1A 2+B 1B 2=0 B.A 1A 2-B 1B 2=0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一:当两直线的斜率都存在时,- 11B A ·(2 2B A -)=-1,A 1A 2+B 1B 2=0. 当一直线的斜率不存在,一直线的斜率为0时,???==???==0 001221B A B A 或,

高一三角函数与平面向量综合题

讲座 三角形内的三角函数问题 ○知识梳理 1.内角和定理:三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记! 任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余. ,sin()sin ,sin cos 22 A B C A B C A B C π++=-+== 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角? 任意两边的平方和大于第三边的平方. A>B a>b sinA>sinB ??,60?o A,B,C 成等差数列B= 2.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为三角形外接圆的半径). 注意:①正弦定理的一些变式: ()sin sin sin i a b c A B C ::=::; ()sin ,sin ,sin 222a b c ii A B C R R R = == ; ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===; ②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. 3.余弦定理:2 2 2 2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-=等,常选用余弦定理鉴定 三角形的形状. 4.面积公式: 222111222 111sin sin sin 222sin sin sin sin sin sin 1112sin 2sin 2sin 1()2 ==========++=a b c S ah bh ch ab C bc A ca B B C C A A B a b a A B C r a b c (其中r 为三角形内切圆半径,2 a b c p ++=). 5.射影定理: a = b ·cos C + c ·cos B ,b =a ·cos C +c ·cos A ,c =a ·cos B +c ·cos A . 特别提醒:求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题,每题5分,共60分) 1.已知直线l 过(1,2),(1,3),则直线l 的斜率( ) A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线,则x 的值是( ) A .1 B .-1 C .0 D .7 3. 已知A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点的连线平行y 轴,则|AB|=( ) A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >,且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第二象限 5. 经过两点(3,9)、(-1,1)的直线在x 轴上的截距为( ) A .23 - B .32- C .32 D .2 6.直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7.满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是( ) (1)1l 的斜率为2,2l 过点(12)A ,,(48)B ,; (2)1l 经过点(33)P ,,(53)Q -,,2l 平行于x 轴,但不经过P ,Q 两点; (3)1l 经过点(10)M -,,(52)N --,,2l 经过点(43)R -,,(05)S ,. A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(1)(2)(3) 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) A 2 B -2 C .21 D .21 - 9. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-

平面向量与三角函数、解三角形的综合习题

三角函数与平面向量、解三角形综合题 题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角,且A +B +C =π.若向量→p =(2-2sinA ,cosA +sinA)与向量→q =(cosA -sinA ,1+sinA)是共线向量. (Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)求函数y =2sin 2B +cos C -3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a =(3sinα,cosα),→b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈(3π 2 ,2π),且→a ⊥→b . (Ⅰ)求tanα的值;(Ⅱ)求cos(α2+π 3)的值. 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a =(cosα,sinα),→b =(cosβ,sinβ),|→a -→b |=2 5 5.(Ⅰ)求cos(α-β)的值;(Ⅱ) 若-π2<β<0<α<π 2,且sinβ=-513,求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例3】 设函数f(x)=→a ·→b .其中向量→a =(m ,cosx),→b =(1+sinx ,1),x ∈R ,且f(π2)=2.(Ⅰ)求实数m 的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值. 题型五:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】(山东卷)在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan 37C =. (1)求cos C ;(2)若5 2 CB CA ?=u u u r u u u r ,且9a b +=,求c . 题型六:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =?r r ,其中向量(,cos 2)a m x =r ,(1sin 2,1)b x =+r ,x R ∈, 且函数()y f x =的图象经过点( ,2)4 π . (Ⅰ)求实数m 的值; (Ⅱ)求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

平面解析几何测试题带答案

1.(本小题满分12分)已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0. (1)当a为何值时,直线l与圆C相切; (2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=22时,求直线l的方程. 2.设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜 率为 2 2 ,求椭圆的方程. 3.(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2),且与定直线l:y=-2相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q, 证明:AQ⊥BQ . 4.已知圆(x-2)2+(y-1)2=20 3 ,椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ,若圆与椭圆相交于A、B, 且线段AB是圆的直径,求椭圆的方程.

5.已知m 是非零实数,抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. (I )若m=2,求抛物线C 的方程 (II )设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,F AA 1?,F BB 1?的重心分别为G,H. 求证:对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6. (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点,点A 、B 分别在x 轴,y 轴上运动,且|AB | =8,动点P 满足AP u u u r =35 PB u u u r ,设点P 的轨迹为曲线C ,定点为M (4,0),直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程; (2)求△OPQ 面积的最大值. 7.(文)有一个装有进出水管的容器,每单位时间进出的水量各自都是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y 与x 的函数关系.

完整版平面向量综合试题含答案

第1页共4页 2.下列命题正确的是 5.已知&=(2,3) , h =(-4 ,7),则药在必上的正射影的数量为( 平面向量 一.选择题:1.在平面上,已知点 A(2, 1), B(0, 2), C(-2, ① A B C A BC 其中正确结论的个数是 1), 0(0, 0).给出下面的结论: ②OA ( OC OB )A . 1 个 ③ AC OB B . 2个 2OA C . 3个 D . 0个 1 3 1 3 1 3 1 飞厉+ 2 b B . 牯2b C a 2 b D 2 王+ 2 £ A. uur 2 umr uuu uuu 2 uur uu (A) AC AC AB (B ) BC BA BC uiu r uuu uur uur (C ) uuu AB 2 uuu r uuu CD (D ) uui r 2 (AC Al B) uju (BA BC) 2 AB 设两个向量 r a (2, 2 2 cos )和 r 口 b (m, m sin ),其中,m, 为实数.若a 2b,则一的取值范 2 m 围是 ()A. [6,1] B. [4,8] C .( ,1] D.[ 1,6] 10. D. (2,2)或(—6,0)或(4,6) 则下列 等式不成立的是 B. (4,6) C. (- 6,0) ABC 中,CD 是斜边AB 上的高, A .向量AB 的长度与向量 BA 的长度相等 C .若非零向量AB 与C D 是共线向量,则 B .两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同 B 、C 、D 四点共线 D .若a P b P c ,则 a P c 3.若向量 * = (1,1), =(1, - 1), =(-1,2),则 I"等于( 4. 皿丄且加十%与品-牴 也互相垂直,则实数 F3| B.6 的值为( D.3 6. 己知* (2, - 1) £(0,5)且点P 在舟垃的延长线上 ,|片尸|二引/^|, 则P 点坐标为 A.( — 2,11) B.( C.( ,3) D.(2, - 7) 7.设a , b 是非零向量,若函数 f (x) (xa b)g(a xb)的图象是一条直线,则必有( B . a // b C . |a| |b| D . |a| |b| &已知D 点与ABC 三点构成平行四边形,且 A (- 2,1), B (- 1,3) , C ( 3,4),贝U D 点坐标为( A. (2,2) 9.在直角 10. 于( 已知 P = {a|a = (1,0) + m(0,1), m € R}, Q = {b|b = (1,1) + n(- 1,1), n € R}是两个向量集合,则 P n Q 等 )A . {(1,1)} B . {( - 1,1)} C . {(1,0)} D . {(0,1)} 12. 填空题:11.若向量a,b 的夹角为60 , 1,则 ag 向量a= 2,4, b= 1,.若向量b (a+ b),则实数 的值是 B D

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