第七章多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学
第七章多元函数的微分学

第七章 多元函数的微分学

本章知识结构导图

§7.1 数学家的故事:笛卡尔

勒奈·笛卡尔(Rene Descartes ),1596年3月31日生于法国都兰城.笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家,解析几何的创始人,是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一,黑格尔称他为“现代哲学之父”.笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一,被誉为“近代科学的始祖”.

笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析

几何学.在笛卡儿时代,代数还是一个比较新的学科,几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位.笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究,于1637年,在创立了坐标系后,成功地创立了解析几何学.他的这一成就为微积分的创立奠定了基础.解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一.笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法,还指明了其发展方向.他在《几何学》中,将逻辑,几何,代数方法结合起来,通过讨论作图问题,勾勒出解析几何的新方法,从此,数和形就走到了一起,数轴是数和形的第一次接触.解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折.而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的基础.直角坐标系的创建,在代数和几何上架起了一座桥梁,它使几何概念可以用代数形式来表示,几何图形也可以用代数形式来表示,于是代数和几何就这样合为一家人了.

轶事:蜘蛛织网和平面直角坐标系的创立

据说有一天,笛卡尔生病卧床,病情很重,尽管如此他还反复思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程是比较抽象的,能不能把几何图形和代数方程结合起来,也就是说能不能用几何图形来表示方程呢?要想达到此目的,关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩,他苦苦思索,拼命琢磨,通过什么样的方法,才能把“点”和“数”联系起来.突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来.一会功夫,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗.他想,可以把蜘蛛看作一个点.他在屋子里可以上,下,左,右运动,能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数.反过来,任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应,同样道理,x y可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组两个有顺序用一组数(,)

的数来表示,这就是坐标系的雏形.

§7.2 空间直角坐标系与向量的概念

一、空间直角坐标系

1.坐标系和坐标

坐标系:以O 为公共原点,作三条互相垂直的数轴Ox 轴(横轴),Oy 轴(纵轴),Oz 轴(竖轴),其中三条数轴符合右手规则.我们把点O 叫做坐标原点,数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴. xOy ,yOz ,zOx 三个坐标面.三个坐标面将空间分成八个部分,每一部分称为一个卦限(如图7-2-1)

点的坐标:设M 为空间中一点,过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴,它们与x 轴,y 轴,z 轴的交点依次为P ,Q ,R (图7-2-2),设P ,Q ,R 三点在三个坐标轴的坐标依次为x ,y ,z . 空间一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ,称为M 的直角坐标,x 、y 、z 分别称为点M 的横坐标,纵坐标和竖坐标,记为

(,,)M x y z . 2. 两点间的距离

设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间两点,可以证明:这两点间的距离为

12M M =特别地,点),,(z y x M 与原点)0,0,0(O 的距离为

222z y x OM ++=.

不难看出,上述两个公式是平面直角坐标系中两点间距离公式的推广.

图7.1

)

,z (3x

图7.2

二、向量的基本概念及坐标表示

1. 向量的概念

在日常生活中,我们经常会遇到两类不同的量,一类像距离、温度、体积、质量等,这一类量的共性是给出大小便可确定,我们称这种量为数量;而另一类如力、位移、速度、加速度等,这类量不仅要给出大小,还要给出它们的方向,才能确定下来,这种具有大小和方向的量称为向量.

向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量(或称矢量).

向量的表示:我们用有向线段来表示一个向量,其中,线段的方向表示向量的方向;线段的长度表示向量的大小.若向量起点为A ,终点为B ,则记为AB .也可以用黑体字母表示向量,如a 、b 等.向量的大小又叫做向量的模,向量AB 的模用AB 来表示,而向量a 的模为a .

模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量,记作0.0的方向是任意的. 与向量a 的模相等、方向相反的向量叫做a 的反向量(负向量),记作-a .如果两个向量长度相等且方向也相同,就说这两个向量相等.于是一向量平行移动后仍与原向量相等. 注意,两个向量不能比较大小.

在坐标系中,以坐标原点O 为起点,向已知点M 引向量OM ,称之为点M 对于点O 的向径.

2.向量的坐标表示

取坐标轴,,Ox Oy Oz 上以O 为起点的三个单位向量,分别记为,,i j k ,叫做基本单位向量.设向量OM 的起点是坐标原点,而终点M 的坐标为(,,)x y z ,则OM x y z =++i j k ,

,,x y z 是OM 在坐标轴上的投影.一般地,如果向量a 在x 轴,y 轴,z 轴上的投影依次为,,x y z ,则其在x 轴,y 轴,z 轴上的分向量为,,x y z i j k ,故有 x y z =++a i j k ,,,x y z

叫做a 的坐标,记为{},,x y z =a .此时要注意向量与点的坐标区别.

习题7.2

1.在空间直角坐标系中,指出下列各点所在的卦限

(1,1,2)- (1,1,2)-- (1,1,2)- (1,1,2)- (1,1,2)-- 2.求两点1(2,1,3)M -和2(3,2,1)M -之间的距离.

§7.3 多元函数的概念

函数()y f x =,是因变量与一个自变量之间的关系,即因变量的值只依赖于一个自变量,称为一元函数.

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系,即因变量的值依赖于几个自变量.

例如,某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关,而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关,即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.要全面研究这类问题,就需要引入多元函数的概念.

一、二元函数的概念

【定义1】设D 是平面上的一个非空点集,如果对于每个点D y x ∈),( ,变量z 按照一定的法则f 总有唯一确定的值与之对应,则称z 是变量y x ,的二元函数,记为

(,)z f x y =,

其中变量y x ,称为自变量,z 称为因变量,集合D 称为函数),(y x f 的定义域,对应函数值的集合}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.

类似地,可以定义三元函数(,,)u f x y z =以及三元以上的函数. 二元以及二元以上的函数统称为多元函数.

与一元函数一样,定义域和对应法则是二元函数的两个要素.

一元函数的自变量只有一个,因而函数的定义域比较简单,是一个或几个区间.二元函数有两个自变量,定义域通常是由平面上一条或几条光滑曲线所围成的具有连通性的部分平面.即二元函数的定义域在几何上通常为一个或几个平面区域.

【例1】 求下列二元函数的定义域,并绘出定义域的图形.

(1)

z =ln()z x y =+

(3)1

ln()

z x y =

+ (4)ln(1)z xy =-

【解】 (1)

要使函数z =必须有2210x y --≥,即有221x y +≤.

故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图7.3.

(2)要使函数ln()z x y =+有意义,必须有0x y +>.故所有函数的定义域为

{}(,)|0D x y x y =+>,图形为图7.4.

(3)要使函数1

ln()

z x y =

+有意义,必须有ln()0x y +≠,即0x y +>且1x y +≠.

故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠,,图形为图7.5.

(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义,必须有10xy ->.故该函数的定义域为

{(,)|1}D x y xy =>,图形为图

7.6.

图7.3 图7.4

图7.5 图7.6

设函数),(y x f z =的定义域为D ,对于任意取定的D y x P ∈),( ,对应的函数值为

),(y x f z = ,

这样,以x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点),,(z y x M ,当),(y x P 取遍D 上一切点时,得一个空间点集}),(),,(|),,{(D y x y x f z z y x ∈= ,这个点集称为二元函数),(y x f z =的图形. 如图7.7,二元函数的图形通常为空间中的一张曲面.

图7.7

具体地,如函数sin z xy =的图形为图7.8;函数2222x y z a ++=的图形为一个球面,如图7.9.

图7.8 图7.9

x

y

z

o

二、二元函数的极限与连续

在一元函数中,我们研究了当自变量趋于某一数值时函数的极限,而这时动点趋于定点的各种方式总是沿着坐标轴进行的.对于二元函数),(y x f z =,同样可以讨论当自变量x 与

y 趋向于0x 和0y 时,函数z 的变化状态.也就是说,研究当点),(y x 趋向),(00y x 时,函数

),(y x f z =的变化趋势.但是,二元函数的情况要比一元函数复杂得多.因为在坐标平面

xOy 上,),(y x 趋向),(00y x 的方式是多种多样的.

首先介绍领域的概念,邻域:设),(000y x P 是xOy 平面上的一个点,δ是某一正数,与

点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体,称为点0P 的δ邻域,记为),(0δP U ,

),(0δP U {}δ<=||0PP P {}

.)()(|),(2

020δ<-+-=y y x x y x

【定义2】设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义(0P ),(00y x 点可除外),如果当点),(y x P 沿任何路径无限趋于),(000y x P 时,对应的函数值),(y x f z =都无限趋近于一个常数A ,则称当点),(y x P 趋向于),(000y x P 时,函数),(y x f z =以A 为极限.记为

()()

()00

,,,lim x y

x y f x y A →=

二元函数极限也叫二重极限,可记为

lim (,)x x y y f x y →→.

在极限的计算中不是先0x x →,再0y y →,而是),(y x P 以任意方式趋于),(000y x P ,比一元函数的极限要复杂很多.

【定义3】设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一邻域内有定义,并且

),(),(lim 000

0y x f y x f y y x x =→→

则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 处连续.否则称函数),(y x f z =在点),(000y x P 间断,点),(000y x P 称为该函数的间断点.

如果),(y x f 在平面区域D 内的每一点都连续,则称该函数在区域D 内连续. 二元函数的连续性的概念与一元函数是类似的,并且具有类似的性质:在区域D 内连续的二元函数的图形是空间中的一个连续曲面;二元连续函数经过有限次的四则运算后仍为

二元连续函数;定义在有界闭区域D 上的连续函数()y x f ,一定可以在D 上取得最大值和最小值.

习题7.3

1.求下列函数的表达式:

(1)已知2(,)f x y x y =,求(,)f x y x y +-. (2)已知22

(,)xy f x y x y =

+,求(,)x y

f y x .

2.求下列函数的定义域,并绘出定义域的图形: (1)1422-+=y x z (2)xy z ln =

(3)y

x y

x z -+

+=1

1 (4)z =

§7.4 多元函数的偏导数与全微分

在研究一元函数的变化率时曾引入导数的概念,对于多元函数同样需要研究函数关于自变量的变化率问题.但多元函数的自变量不只一个,函数关系也比较复杂,通常的方法是只让一个变量变化,固定其他的变量(即视为常数),研究函数关于这个变量的变化率.我们把这种变化率称为偏导数.

一、多元函数的偏导数

1.偏导数的定义

【定义4】设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义,当y 固定在0y ,而x 在0x 处有增量x ?时,相应地函数),(y x f 有增量),(),(0000y x f y x x f -?+,如果

x

y x f y x x f x ?-?+→?)

,(),(lim

00000

存在,则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数,记为

y y x x x

z ==',),(00y x f x ',

0y y x x x

f ==??或

0y y x x x

z ==??.

类似地,当x 固定在0x ,而y 在0y 有增量y ?,如果极限

y

y x f y y x f y ?-?+→?)

,(),(lim

00000

存在,则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数,记为

0y y x x y

z ==',),(00y x f y ',

0y y x x y

f ==??或

0y y x x y

z ==??.

如果函数),(y x f z =在平面区域D 内任一点),(y x 处都存在对x (或y )的偏导数,则称函数),(y x f z =在D 内存在对x (或y )的偏导函数,简称函数),(y x f 在D 内有偏导数,记为

x z ',),(y x f x ',

x f ??或x

z

??, y z ',),(y x f y ',

y f ??或y

z

??. 从偏导数的定义中可以看出,偏导数的实质就是把一个变量固定,而将二元函数

),(y x f z =看成另一个变量的一元函数的导数.因此求二元函数的偏导数,不需要引进新的

方法,只须用一元函数的微分法,把一个自变量暂时视为常量,而对另一个自变量进行求导即可. 即求

x z ??时,把y 视为常数而对x 求导数;即求y

z

??时,把x 视为常数而对y 求导数. ),(y x f 在点),(00y x 处的偏导数),(00y x f x '、),(00y x f y ',就是偏导函数),(y x f x ',

),(y x f y '在),(00y x 处的函数值.

【例2】设32423z x x y y =-+,求

z x ??,z y ??,()1,1z

x ??和()

1,1z y

-??

【解】对x 求偏导数,就是把y 看作常量对x 求导数,

234z

x xy x

?=-?; 对y 求偏导数,就是把x 看作常量对y 求导数,

23212z

x y y

?=-+?; ()1,1z

x ??=211

341x y x xy ==-=-;

()231

1

1,121214x y z x y y ==--?=-+=-?.

【例3】设y

x z =,求

x z ??,y

z ??. 【解】

x z ??=1-y yx , y

z ??=x x y

ln . 【例4】设二元函数xy z ln =,求

x z ??,y

z

??. 【解】

x z ??=x y xy xy xy x 11)'(1=?=?, y z ??=y x xy xy xy

y 11)'(1=?=? 【例5】sin x z e xy =, 求

,u u

x y

????. 【解】

sin cos (sin cos )x x x z

e xy e xy y e xy y xy x

?=+?=+?, cos x z

e xy x y

?=??, 【例6】 设)1ln()1(),(22y x xy y x f y +++=,求)0,1(/x f .

【解】 如果先求偏导数),(y x f x ',再求)0,1(x f '显然比较繁杂,可以先求一元函数

)0,(x f ,再求导数)0,(x f x '.

因)1ln()0,(2x x f +=,所以2

12)0,(x x

x f x +='. 故1)0,1(='x f .

2. 偏导数的几何意义

设)),(,,(00000y x f y x M 是曲面),(y x f z =上一点,过0M 作平面0y y =,与曲面相截得一条曲线(如图7.10),其方程为

?

?

?==),(00

y x f z y y . 偏导数),(00y x f x ',就是导数

)

,(0x x y x f dx d

=

在几何上,它是该曲线在点0M 处的切线

0x M T 对x 轴的斜率.

图7.10

同样,偏导数),(00y x f y '表示曲面),(y x f z =被平面0x x =所截得的曲线

??

?==)

,(00

y x f z x x 在点0M 处的切线0y M T 对y 轴的斜率.

二、高阶偏导数

由上面的例子可以看出:函数),(y x f z =对于x 、y 的偏导数

x z ??、y

z ??仍是x 、y 的二元函数,自然地可以考虑

x z ??和y

z ??能不能再求偏导数.如果x z ??、y z ??对自变量x 、y 的

偏导数也存在,则他们的偏导数称为()y x f ,的二阶偏导数

按照对变量求导次序有下列四种二阶偏导数.

xx xx z y x f x

z

x z x ''=''=??=??? ??????),(22;

xy xy z y x f y

x z

x z y ''=''=???=??? ??????),(2;

yx yx z y x f x

y z

y z x ''=''=???=???? ??????),(2; yy yy z y x f y

z

y z y ''=''=??=???? ??????),(22. 其中),(y x f xy

'',),(y x f yx ''称为二阶混合偏导数.类似地,有三阶、四阶和更高阶的偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

【例7】求函数133

2

3

+--=xy xy y x z 的二阶偏导数. 【解】 因为函数的一阶偏导数为

x z ??,33322y y y x --=y

z

??3229x y xy x =--, 所以所求二阶偏导数为

222322(33)6z z x y y y xy x x x x

????

??==--= ???????,

222322(33)691z z x y y y x y y x y y x y

????

??==--=-- ????????,

23222(29)691z z x y xy x x y y y x x y x

??????

==--=-- ????????, 2323

2(29)218z z x y xy x x xy y y y y

??????==--=- ???????. 此例中的两个二阶混合偏导数相等,但这个结论并非对于任意可求二阶偏导数的二元函数都成立,我们不加证明地指出下列定理.

【定理1】 若函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数在点),(y x 处连续,则在该点处有

=

???y x z 2x

y z

???2. 对于三元以上的函数也可以类似地定义高阶偏导数,而且在偏导数连续时,混合偏导数也与求偏导的次序无关.

三、全微分

在一元函数微分学中,函数)(x f y =的微分dx x f dy )('=,并且当自变量x 的改变量

0→?x 时,函数相应的改变量y ?与dy 的差是比x ?高阶的无穷小量.这一结论可以推广

到二元函数的情形.

【定义5】如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?可以表示为

)(ρo y B x A z +?+?=?,

其中B A ,不依赖于y x ??,而仅与y x ,有关,22)()(y x ?+?=

ρ,则称函数),(y x f z =在

点),(y x 可微分,y B x A ?+?称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分,记为dz ,即

dz =y B x A ?+?.

几点说明:

(1)当函数可微分时,z A x ?=

?、z

B y

?=?,又x dx ?=、y dy ?=,从而二元函数的全

微分通常写为

=dz dy y x f dx y x f y x ),(),('+'

=

dz z z dx dy x y

??+?? z dx x ??,z

dy y

??分别称为函数关于x ,y 的偏微分,全微分是偏微分之和. (2)二元函数),(y x f z =在点),(y x 处有全微分,又称为),(y x f 在点),(y x 处可微. 函数若在某区域D 内处处可微,则称这函数在D 内可微.

(3)由定义可知),(y x f 在点),(y x 处可微,则),(y x f 在点),(y x 处有偏导数和连续.

(4)多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在, 若偏导数

x z ??、y

z

??在点),(y x 连续,则该函数在点),(y x 可微.

(5)如果),(y x f 在点),(y x 处可微,那么)(ρο+=?dz z (22)()(y x ?+?=ρ).

利用它可求二元函数的近似函数值和二元函数全增量的近似值

()()dy y

z dx x z y x f y y x x f z ??+??≈-?+?+=?,, ()()dy y

z dx x z y x f y y x x f ??+??+

≈?+?+,,

【例8】 求函数2sin()z x y =+的全微分. 【解】 因为

2cos()z x y x ?=+?,22cos()z

y x y y

?=+?, 所以 22cos()2cos()z z

dz dx dy x y dx y x y dy x y

??=

+=+++??. 【例9】计算函数xy

e z =在点)1,2(处的全微分. 【解】 由于

,xy ye x z =?? ,xy xe y z =?? ,2)

1,2(e x z

=??

,22)1,2(e y z =??

因此 .222dy e dx e dz +=

【例10】求函数)2cos(y x y z -=,当4

π

=

x ,π=y ,4

π

=

dx ,π=dy 时的全微分. 【解】

),2sin(y x y x z --=?? ),2sin(2)2cos(y x y y x y

z -+-=?? 故 dy y z dx x z dz ),4

(),4

(),4

(ππππππ??+??=

).74(8

2

ππ-=

习题7.4

1.求下列函数的偏导数:

(1)225sin 2y x xy z +-= (2)y

x xy

z +=

(3)xz yz xy u ++= (4)2

yz

x u =

2.求下列各函数在指定点处的偏导数: (1))2sin(),(y x y x f +=,)0,2

(

π

(2))1ln(),(2

2

y x y x f ++=,(1,2) (3)y xy e

y x f y

x 3)cos(),(+=+,

(0,1) (4))tan(),(2

xy y x f =,(0,1) 3.求下列函数的二阶偏导数:

(1)y

e x z 8

= (2))sin (cos y x y e z x

+=

4.求下列函数的全微分:

(1)xy y x z 22+= (2)y

x e z xy

+=

5.设x

y

z =

,当2.0,1.0,1,2-=?=?==y x y x 时,求dz z ,?. 6.利用全微分计算99

.2)01.1(的近似值.

§7.5 多元函数的复合函数的偏导数

在一元函数中,复合函数的求导法则是求导的灵魂,起到了非常重要的作用,对于多元函数也是如此.本节讨论多元复合函数求导法则.

一、中间变量是一元函数的情况

【定理2】 如果函数)(t u ?=及)(t v ψ=都在点t 可导,函数),(v u f z =在对应点

),(v u 具有连续偏导数,则复合函数)](),([t t f z ψ?=在点t 可导,且有:

dt

dv v z dt du u z dt dz ??+??=. ------ 全导数 证明:有条件知,当0→?t 时,0→?u ,0→?v ,dt du t u →??,dt

dv t v →??. 由于函数),(v u f z =在点),(v u 有连续偏导数,有

,21v u v v

z

u u z z ?+?+???+???=

?αα t

v t u t v v z t u u z t z ??+??+?????+?????=??21αα 当0→?u ,0→?v 时,01→α,02→α,

.lim 0dt

dv

v z dt du u z t z dt dz t ???+???=??=→? 全导数的公式可用图7.11清楚地表示出来.

(,)z f u v =,z 有两个直接变量u 和v ,画两个

箭头,u 和v 都有变量t ,画两个箭头.箭头表示

求偏导数,两个箭头连起来是相乘关系,z 关于t 图7.11 的导数就是的两条路径之和.

【例11】 设z uv =,而t

e u =,t v cos =,求全导数dt

dz . 【解】:

sin t dz z du z dv ve u t dt u dt v dt

??=+=-??cos sin t t e t e t =- 对两个以上中间变量的全导数类似可求, 例如有三个中间变量,

(,,)z f u v w =,,,u v w 都是t 的函数,则

dz z du z dv z dw

dt u dt v dt w dt

???=++??? 图7.12

z

u v w

t

z

u v

t

二、中间变量是多元函数的情况

【定理3】 设),(y x u ?=、),(y x v ψ=都在点),(y x 有偏导数,而),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数,则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=在对应点),(y x 的两个偏导数均存在,且有

x

v v z x u u z x z ????+????=??, y

v

v z y u u z y z ????+

????=??. 图7.13 z x ??,z y

??这两个计算公式可由图7.13可以清楚的表示出来. 【例12】 设v e z u

sin =,而xy u =,y x v +=,求

x z ??和y

z ??. 【解】

x

v v z x u u z x z ????+????=??1cos sin ?+?=v e y v e u u ),cos sin (v v y e u += y

v

v z y u u z y z ????+

????=??1cos sin ?+?=v e x v e u u ).cos sin (v v x e u += 【例13】 设2ln z u v =,期中 x

u y

=

,2v x y =-,求 z x ??和z y ??.

【解】212ln 2z z u z v u u v x u x v x y v ?????=+=?+??????=2

22

22ln (2)(2)

x x x y y y x y -+-, z z u z v y u y v y ?????=+?????=222ln ()(1)x u u v y v ?-+?-=22322ln (2)(2)

x x x y y y x y ----.

两个以上中间变量情况有类似的公式和图形表示, 例如三个中间变量

x

w

w z x v v z x u u z x z ????+????+????=??, y

w w z y v v z y u u z y z ????+????+????=??. 图7.14

多元复合函数的复合关系是多种多样的,不可能把所有的公式都写出来,也没有必要这样做,只要我们把握住函数间的复合关系就可以了,并且牢记:复合函数对某自变量的偏导数

z

u v

x

y

z

u v w

x

y

等于通向这个自变量的各条路径上函数对中间变量的导数与中间变量对这个自变量导数乘积之和.

【例14】 设2

22

),,(z y x

e z y x

f u ++==,y x z sin 2=,求

x

u ??和

y

u ??. 【解】224222sin 222sin 2(12sin )x y x y

u u u z xu zu x y x x y e x x z x

++????=+=+?=+????, y x y x e y y x y y x zu yu y

z

z u y u y u 2422sin 42)cos sin (2cos 22+++=?+=?????+??=??.

【例15】 设(,)w f x yz xyz =+,求

x w ??和w y

??. 【解】 令u x yz =+,xyz v =, 则(,)w f u v =,于是

=??x w x v v f x u u f ?????+?????f f

yz u v

??=+???, w y ?=?f u f v u y v y ?????+?

????f

f z xz u

v ??=?+???.

习题7.5

1.求下列复合函数的偏导数和导数: (1)设y x v xy u v u z 23,,ln 2

-===,求

y

z

x z ????,. (2)设t z t y t x e

u z y x sin ,2,3,322====+-,求

dt

du . (3)设,)(ln xy

x z =求

y

z x z ????,. (4)设),(2

2xy

e y x

f z -=,求

y

z x z ????,. 2.设)(x

y

x xy z ?+=,其中)(u ?是可微函数,证明xy z y

z y x z x +=??+??.

§7.6 多元函数的极值

在一元函数中,我们利用函数的导数求得函数的极值,进一步解决了有关实际问题的最优化问题.但在工程技术、管理技术、经济分析等实际问题中,往往涉及到多元函数的极值和最值问题.本节就来重点讨论二元函数的极值问题,进而可以类推到更多元函数的极值问题.

一、多元函数的极值

实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖x 元,外地牌子的每瓶卖y 元,则每天可卖出y x 4570+-瓶本地牌子的果汁,y x 7680-+瓶外地牌子的果汁问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?

每天收益的目标函数为)7680)(2.1()4570)(1(),(y x y y x x y x f -+-++--=. 求最大收益问题就是求此二元函数的最大值问题.要解决此问题,必须首先来讨论二元函数的极值问题.

【定义6】 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域内有定义,对于该邻域内的任意异于),(000y x P 的点),(y x P ,都有不等式

),(),(00y x f y x f <

则称函数在),(000y x P 有极大值),(00y x f ;如果都有不等式

),(),(00y x f y x f >

则称函数在),(000y x P 有极小值),(00y x f .

极大值、极小值统称为极值,使函数取得极值的点统称为极值点. 【例16】 讨论下列函数在原点(0,0)处是否取得极值.

(1)2243y x z += (2)2

2y x z +-= (3)xy z =

【解】 (1)从函数2

243y x z +=的特点看出:在(0,0)的去心邻域内,函数值均大于0,即)0,0(),(f y x f >.故在(0,0)处此函数取得极小值0)0,0(=f .

(2)从函数2

2y x z +-=的特点看出:在(0,0)的去心邻域内,函数值均小于0,

即)0,0(),(f y x f <.故在(0,0)处此函数取得极大值0)0,0(=f .

(3)函数xy z =在(0,0)的去心邻域内,显然,有大于0)0,0(=f 的函数值,也有小于0)0,0(=f 的函数值.故0)0,0(=f 不是函数的极值.

求极值关键在于求出极值点,类似于一元函数的极值我们有下列定理.

【定理4】(极值存在的必要条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零.即

0),(,0),(0000='='y x f y x f y x .

【证明】 因为点),(00y x 是函数),(y x f 的极值点,若固定),(y x f 中的变量0y y =,则),(0y x f z =是一个一元函数,且在点0x x =处取得极值.

由一元函数极值的必要条件知0),(00'=y x f ,即0),(00='y x f x ,同理可得

0),(00='y x f y .

使0),(,0),(='='y x f y x f y x 同时成立的点),(y x ,称为函数),(y x f z =的驻点. 【定理5】 (极值存在的充分条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内具有连续的二阶偏导数,且点),(00y x 是函数的驻点,即0),(00='y x f x ,0),(00='y x f y .若记

A y x f xx

=''),(00,B y x f xy =''),(00,C y x f yy =''),(00,则 (1)当02

<-AC B 时,点),(00y x 是极值点,且若0A ,点),(00y x 是极小值点.

(2)当02

>-AC B 时,点),(00y x 是非极值点.

(3)当02

=-AC B 时,不能确定点),(00y x 是否为极值点,需另作讨论. 【例17】 求函数 x y x y x y x f 933),(2

233-++-=的极值.

【解】 令 2

2

3690

360 x y

f x x f y y ?=+-=??=-+=??,得驻点: )0,1(,)2,1(,)0,3(-,)2,3(-. 66+==x f A xx ,0==xy f B ,66+-==y f C yy ,得236(1)(1)B AC x y -=+-.

列表如下:

故在点(1,0)处函数取得极小值5)0,1(-=f ;在点(-3,2)处函数取得极大值

31)2,3(=-f .

第七章 多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件, 了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件, 了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值, 会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念,多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值,求简单多元函数的最大值和最小值,解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值,求简单多元函数的最大值和最小值,解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1.求多元函数极限的方法 (1)利用初等多元函数的连续性,即若是初等函数,在的定义域中,则 注:所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. (2)利用多元函数极限的四则运算。 (3)转化为一元函数的极限,利用一元函数的极限来计算. (4)对于证明或求时,感觉极限可能时零, 而直接又不容易证明或计算,这时可用夹逼定理,即而 由夹逼定理知从而 2.判断多元函数极限不存在的方法 (1)选取两条特殊的路径,而函数值的极限存在,但不相等,则不存在。

注意: 与的区别,前面两个本质是两次求一元函数的极限, 我们称为求累次极限,而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在,但是 由于,因此. 由例1知两个累次极限存在,但二重极限不存在,由例2知两个累次极限不存在, 但二重极限存在,但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在,则三者相等。 (2)推论。若存在且不相等,则不存在。 3.求多元函数的偏导数

第十七章多元函数微分学习题课

第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义: 1)0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+,0 () lim 0o ρρρ →=; 2)00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=; 3), y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =. 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结: 答 1)利用定义求(主要适用于分段函数的分段点处的偏导数): 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?, 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2)转化为一元函数的导数: ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==,() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如,2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3)先求偏导函数,在代值,即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =,0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =(初等函数不含分段点)的偏导函数方法小结: 答 1)求 z x ??,把y 当常数,对x 求导,求z y ??,把x 当常数,对y 求导. 2)运用轮换性,若在(,)z f x y =中,把x 换成y , y 换成x ,(,)z f x y =不变,则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??,只要在z x ??把x 换成y , y 换成x ,

高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限: A (2,1,-6), B (0,2,0), C (-3,0,5), D (1,-1,-7). 解:A 在V 卦限,B 在y 轴上,C 在xOz 平面上,D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1,2,3),求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解:设所求对称点的坐标为(x ,y ,z ),则 (1) 由x -1=0,y +2=0,z +3=0,得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为:(1,-2,-3). (2) 由x =-1,y +2=0,z +3=0,得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为:(-1,-2,-3). 同理可得:点M 关于y 轴的对称点的坐标为:(1, 2,-3);关于z 轴的对称点的坐标为:(1,-2,3). (3)由x =-1,y =2,z +3=0,得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为:(-1, 2,-3). 同理,M 关于yOz 面的对称点的坐标为:(1, 2,3);M 关于zOx 面的对称点的坐标为:(-1,-2,3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4,1,7)和B (3,5,-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0,0,z ),依题意有|MA |2=|MB |2,即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11,故所求的点为M (0,0, 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1),M 2(7,1,2),M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解:由两点距离公式可得2 12 14M M =,2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1),M 2(7,1,2),M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =-3,c =5,求这个平面的方程. 解:所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,-3,-1)的平面方程. 解:因所求平面经过x 轴,故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,-3,-1)在平面上,所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0),M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解:因所求平面平行于y 轴,故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上,于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式:A =C =-D ,代入方程得:-Dx -Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z -1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y =0表示怎样的曲面? 解:表示以点(1,-2,0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形? (1) x -2y =1; (2) x 2+y 2=1; (3) 2x 2+3y 2=1; (4) y =x 2. 解:(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道:多元函数的一些基本概念(n 维空间,n 元函数,二重极限,连续等);理解:偏导数;全微分. 2、重要定理 (1)二元函数中,可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 (2)(二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一) 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算(计算),(00y x f x ') (1)先代后求法 ),(00y x f x '=0),(0x x y x f dx d = (2)先求后代法(),(00y x f x '=00),(y y x x x y x f ==') (3)定义法(),(00y x f x '=x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000)(分段函数在分段点处的偏导数) 2、偏导函数的计算(计算(,)x f x y ') (1) 简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法:(地位平等)直接法:方程两边同时对或求导(地位不平等) 注:若求隐函数的二阶导数,在一阶导数的基础上,用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示,以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、 叠加原理

第7章 多元函数微分学

§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系; 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式; 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式; 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程: 一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的建立 过空间定点0,作三条互相垂直的数轴,他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴,y 轴, z 轴,统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,z 轴 z 在铅垂方向,他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地,点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1.曲面方程 在空间解析几何中,任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ,如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ,不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程,则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程,而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等,求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为

多元函数微分学习题

6 .函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全 第五部分 多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3.设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定,则当 u y u 2 v 2 4.设 f (x, y)是一二元函数, (x 0,y 0) 是其定义域的一点, 则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续,则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在,则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在,则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微,则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。 答:D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答:A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 .设有直线 及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36,中等题 37—87,难题 88— 99。 。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ,则直线 L ( ) (A) 平行于 。 (B) 在上 答:C (D) 与 斜交。 (A) 连续,偏导数存在 (B) (C) 不连续,偏导数存在 (D) 答:C 连续,偏导数不存在 不连续,偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答:B y uv 2.二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5.函数 f(x,y,z) x ( )

第五章-多元函数微分学习题参考答案

第五章多元函数微分学习题 练习5.1 1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(422 2 椭圆抛物面z y x =+ (2) 圆锥面)(4222z y x =+ (3) 椭球面)(19 164222=++z y x (4) 圆柱面)(12 2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --= 解:?? ?≥-≥0 y x y 即?? ? ??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{ }y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),( (2) z =解:0≥-y x {}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为 3. ()y x f ,对于函数= y x y x +-,证明不存在),(lim 0y x f x → 分析:由二元函数极限定义,我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时,所 得极限值不同即可。 证明: ①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时, (,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→=== ②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于(,)时, 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k k f x y f x y k x kx k k →→---= ==≠≠+++

综合①②可知函数极限不存在,证毕。 练习5.2 1.求下列函数的偏导数 ①;,,33y z x z xy y x z ????-=求 解: 23323,3xy x y z y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(y z x z xy z ????=求 解:[]1 211ln() 2z xy y x xy -?=??=? []1 211ln() 2z xy x y xy - ?=??=? ③222ln(),,z z z x x y x x y ??=+???求 解: 1ln()z x y x x x y ?=++??+ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++= +-+++=+++??=????=?? 222 1()(ln())()()z z x x y x y x y y x y x y x y x y x y ????==++=-=?????++++ ④;,3z y x u e u xyz ????=求 解;2 2,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y ??==+=+??? 3222()(())(12)()xyz xyz xyz u u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z ????==+=+++???????

最新多元函数微分法及其应用习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1.填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2,x y z ???2 ,则在D 上, x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2.求下列函数的定义域 (1)y x z -=;(2)2 2 arccos y x z u += 3.求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→; (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ; (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4.设()xy x z ln =,求y x z ???23及2 3y x z ???。 5.求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =;(2)()xy z ln =;(3)32z xy e u =。 6.设u t uv z cos 2+=,t e u =,t v ln =,求全导数 dt dz 。 7.设()z y e u x -=,t x =,t y sin =,t z cos =,求dt du 。 8.曲线?? ???=+= 4422y y x z ,在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少? 9.求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10.设y x ye z x 2sin 2+=,求所有二阶偏导数。

数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 教学目的:1.理解多元函数微分学的概念,特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系;2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点:本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用;难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数:18学时 § 1 可微性 一.可微性与全微分: 1.可微性:由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2.全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.

3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,

不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证

多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

习题课:多元函数求偏导,多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续,二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微,且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性:设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===,均为连续可微, 则将z 看成y x ,的函数,有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,,代人, dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ,求y z x z ????,。

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)

`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理,熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,掌握二元函数极值存在的充分条件,并会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 (1)基本概念

①二元函数极限的定义:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ,对于?0ε>,总?0δ>,使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时,都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立,则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点,且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=,则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 (2)关于二元函数极限的解题思路 注意:在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中,0P P →方式任意,正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态,在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在:若0P P 以两种不同的方式趋于时,()f P 的极 限不同,则0 lim ()P P f P →一定不存在(见例1)。 ②求二元函数的极限:可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限,比如:极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等(见例2) 例1证明:2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0()的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点,可考虑选择路径 2x ky =。 证明: 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++, k ∴不同,极限值就不同,故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

第七章多元函数微分高等数学

第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 (一) 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数,一方 面充实微分学,另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上,在一元函数微分学基础上,通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法,并注意比较它们的异同。 (二) 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念,引入二元函数由点函数再过渡到多元函数,并引入多元函数极限,讲清它的概念,并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同,可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法,如换元化为一元函数两边夹准则,运用连续性等。在理解极限概念之基础上,不难得到求一个二元函数极限不存在之方法,最后可介绍累次极限与重极限之关系。 (三) 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念,类比一元函数,引入偏导数,通过例题说明,偏导与连续之关系,在偏导数的计算中,注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例,类比一元函数的微分,引入全微分的定义,并指出用定义判断),(y x f z =可微,即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件,重点指出可微与偏导之关系,让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义,最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 (四) 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式,画出函数关系图,通过关系图中“分线相加,连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =,)(x u ?=,)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。

第7讲多元函数微分学及其应用II

四 应用 1 几何应用 例42(大连理工)求曲线3 2 ,,t z t y t x =-==上与平面42=++z y x 平行的切线方程。 解 曲线上任意一点切线的切向量为)3,2,1(2 t t -,平面的法向量为)1,2,1(,由题设得 0)1,2,1()3,2,1(2=?-t t , 解之得1=t ,或3 1 = t 。 当1=t 时,切点为)1,1,1(-,切向量为)3,2,1(-,所以切线方程为 1 1 2111-= -+=-z y x 。 当31=t 时,切点为)271,91,31(-,切向量为)3 1 ,32,1(-,所以切线方程为 3 127132911 31-=-+=-z y x , 即9 127619313-= -+=-z y x 。 例43(北京科技大学2001)求曲线 ?????=++=++, 1, 22 222y xy x ze y x z 在点)0,1,1(-P 处的切线与法平面方程。 解 记1),,(,2),,(2 2 2 2 -++=-++=y xy x z y x G ze y x z y x F z ,则 10 22) ,() ,(=++= ??P z z P y x ze e y z y G F , 同理可得 0) ,(),(, 1) ,(),(=??=??P P y x G F x z G F , 因此,曲线在点)0,1,1(-的切线方程和法平面方程分别为 ??? ??=+=-, 0,11 1 1z y x 和0=+y x 。 思考题12(北京科技大学1999)求曲线 ?? ?=++=++, 0, 6222z y x z y x 在点)1,2,1(-P 处的切线与法平面方程。 思考题13(四川大学2000)求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面方程。

多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= (提示:令22 y k x =) ( B ) (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ,则极限lim (,)x y f x y →→0 = ( C ) (提示:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小) (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ,则(,)f x y ( A ) (提示:①在220x y +≠,(,)f x y 处处连续;②在0,0x y →→ ,令y kx =, 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ,故在220x y +=,函数亦连续.所以, (,)f x y 在整个定义域内处处连续.) (A) 处处连续 (B) 处处有极限,但不连续 (C) 仅在(0,0)点连续 (D) 除(0,0)点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( A ) (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ,则??u x = ( B ) (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =,则f x '(,)21= ( A ) (A )- 14 (B )14 (C )-12 (D )1 2

多元函数微分学习题

第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为: 平面方程:0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程: 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程:()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程:2 22R y x =+ 椭球面方程:()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>, 椭圆抛物面方程:22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程:22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程:122 2222=-+c z b y a x (a ,b ,c >0) 双叶双曲面方程:222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程:222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义:在某一过程中,若对变化范围D 的每一对值(,)x y ,在变域M 中存在z 值,按一定对应法则f 进行对应,有唯一确定的值,则称f 为集合D 上的二元函数, 记为 ,x y 称为自变量,D 称为定义域,z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ,称为函数 值,函数值的集合称为值域。 多元函数的极限:设函数(,)f x y 在开区间(或闭区间)D 内有定义,000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ,总存在正数d ,使得对于适合不等式 的一切点(,)P x y D ?,都有

多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学复习题 及答案 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = ( B ) (A)等于0; (B)不存在; (C)等于 12; (D)存在且不等于0或12 (提示:令22y k x =) 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????110 00,则极限lim (,)x y f x y →→0 = ( C ) (A)不存在; (B)等于1; (C)等于0; (D)等于2 (提示:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小) 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000,则(,)f x y ( A ) (A) 处处连续; (B) 处处有极限,但不连续; (C) 仅在(0,0)点连续; (D) 除(0,0)点外处处连续 (提示:①在220x y +≠,(,)f x y 处处连续;②在0,0x y →→ ,令y kx = , 2000(0,0)x x y f →→→=== ,故在220x y +=,函数亦连续。所以, (,)f x y 在整个定义域内处处连续。) 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( A ) (A)必要而非充分条件; (B)充分而非必要条件; (C)充分必要条件; (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ,则??u x = ( B ) (A) x x y 22+; (B) -+y x y 22; (C) y x y 22+ ; (D) -+x x y 22

多元函数微分学及其应用归纳总结

第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集,平面点集的内点、外点、边界点、聚点,多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=(或0 lim (,)P P f x y A →=)的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法: (1)令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ,若极限值与k 有关,则可断言 函数极限不存在; (2)找两种不同趋近方式,若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在,但两者不相等, 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则(包括和差积商,连续函数的和差积商, 等价无穷小替换,夹逼法则等)与一元类似: 例1.用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2(03年期末考试 三、1,5分)当0,0→→x y 时,函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在?证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ,讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在? 例4(07年期末考试 一、2,3分)设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ,讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在?

例5.求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的,定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1. 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在(0,0)处的连续性。 例2. (06年期末考试 十一,4分)试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数。 例3.求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 .(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质:有界性,最值定理,介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义) 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在,则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? (相当于把y 看成常数!所以求偏导数本质是求一元函数的导数。)

(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 教学目的: 1.理解多元函数微分学的概念,特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系; 2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点:本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用;难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数:18 学时 § 1 可微性 一.可微性与全微分: 1.可微性:由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2 .全微分: 例 1 考查函数在点处的可微性. P107 例 1 二. 偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17 —1.

3.求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109 —110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例7 . 求偏导数, 并求. 例8 . 求和. =. 例9 证明函数在点连续, 并求和. . 在点连续.

三. 可微条件 : 1. 必要条件 : Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微 和 存在 , 且 . ( 证 ) 由于 , 微分记为 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法 例 10 考查函数 2. 充分条件 : 不存在 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . 在原点的可微性 [1]P110 例 5 .

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 点处连续. 则函数在点可微. (证) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 则函数在点可微. . 即在点可微. 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件. 验证函数在点可微, 但和在点处不连续. (简证, 留为作业) 证

多元函数微分学习题

第五部分 多元函数微分学(1) [选择题] 容易题1—36,中等题37—87,难题88—99。 1.设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π,则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答:C 2.二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 答:C 3.设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定,则当v u ≠时,=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答:B 4.设),(y x f 是一二元函数,),(00y x 是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续,则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答:D 5.函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答:A

《数学分析》第十七章 多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一. 可微性与全微分: 1. 可微性:由一元函数引入. ))()((22y x ?+?ο亦可写为y x ?+?βα, →??) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (. 2. 全微分: 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1 二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1. 3. 求偏导数: 例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 . 例5 设 . 0 , 0, 0 ,),(222222 2 3? ????=+≠+++=y x y x y x y x y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f . 证 ρ θθρρρθ ρθρ) sin cos (lim ),(lim 2320sin ,cos ) 0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)sin cos (lim 2 30 f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 2 00y y y y f y f y y →→=-= 不存在 . Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼,2 — 4 . 三. 可微条件:

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