高三数学一轮复习平面向量的数量积_5

高三数学一轮复习 平面向量的数量积

【复习指导】

本讲复习时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决平面向量的数量积的有关运算,利用数量积求解平面向量的夹角、模,以及两向量的垂直关系. 【教学目标】

1.掌握平面向量的数量积及其性质和运算率

2.掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用. 【教学重点】

1.平面向量的数量积及其几何意义,向量垂直的充要条件。 2.利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。 【教学难点】

灵活运用平面向量数量积的重要性质及其运算律解决问题.

【教学过程】

一、复习引入:我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移S ,力F 所做的功W 可用下式计算: W=|F||S|cos θ(θ是F 与S 的夹角)

从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。

二、基础知识梳理 1.两个向量的夹角

已知两个非零向量和 (如图),作OA →=,OB →=,则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角,记作:<, > ,

当θ=0°时,与同向;当θ=180°时,与反向;如果与的夹角是90°,

我们说与垂直,记作⊥。

2.两个向量的数量积的定义

已知两个非零向量与,它们的夹角为θ,则数量||||cos θ叫做与的数量积(或内积),记作·,即·=||||cos θ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·=0. 注:①·这是一个整体,中间的“ ·”不能省略,也不能写成“×” ②非零向量·=0当且仅当⊥(一个条件:垂直的充要条件)

③向量的数量积是一个实数,可正可负可为零,符号由cos θ的符号决定。

两个探究

(1)若a ·b >0,能否说明a 与b 的夹角为锐角? (2)若·<0,能否说明与的夹角为钝角? 3.向量数量积的几何意义

数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积,或b 的长度|b |与a 在b 的方向上的投影||cos θ的乘积。

(射影为正) (射影为负) (射影为0)

4.向量数量积的运算律

A O

B O

B 1O a b

θ O B O 1O a b θ O O B O (B 1)O a b θ

(1) ·=________;(交换律)

(2)λ·=________=________;(数乘结合律)

(3)( +)·c

=________________(分配律 ) 三个防范

(1) 数量积运算不适合消去律,对向量,,c

若满足·=·c (≠0),则不一定有=c ,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量。

(2)数量积运算不适合结合律,即(·)c ≠ (·c ),这是由于(·)c 表示一个与c

共线的

向量, (·c )表示一个与共线的向量,而与c 不一定共线,因此(·)c 与 (·c

)不一定相等.

(3) 对实数a ≠0,若a · b=0,则b=0,但对向量≠0时,若 ·=0 , 不能推出是零向量. 而是

a ⊥

b 。

5.向量数量积的性质

设a 、b 都是非零向量,θ为a 与b 的夹角.则 (1)当与同向时,·=||·||;

当与反向时,·=-||||

特别的,a ·a =|a |2或|a |=________;(将求模运算转化为数量积运算)

(2) ⊥?________;(证垂直)

(3)cos θ=________;(求夹角) (4)| ·|≤________;(求范围)

思考:如何利用向量的数量积证明∥?

考向一 利用平面向量数量积的代数形式求夹角与模

【例1】已知||=4,||=3,(2-3)·(2+)=61. (1)求与的夹角θ; (2)求|a +b |和|a -b |.

[审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得·的值,再求其夹角的余弦值,从而得其夹角. 解(1)(2-3)·(2+)=61,解得·=-6.

∴cos θ=a ·b |a ||b |=-64×3=-12,又0≤θ≤π,∴θ=2π

3.

(2)| +|2=2+2·+2=13,

∴|a +b | |-|22·+2=37. ∴|-|=37.

在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对|a |=a ·a 要引起足

够重视,是求距离常用的公式.

【训练1】 已知a 与b 是两个非零向量,且|a |=|b |=|a -b |,求a 与a +b 的夹角. 解 设与+的夹角为θ,由||=||得||2=||2. 又由||2=|-|2=||2-2·+||2.

∴a ·b =1

2

|a |2,

而|+|2

=||2

+2·+||2

=3||2

, ∴|a +b |=3|a |. ∴cos θ=

a · a +

b |a ||a +b |=|a |2+12

|a |2

|a |·3|a |=3

2

.

∵0°≤θ≤180°,∴θ=30°,即与+的夹角为30°.

思考:本题还有其它的解法吗?(可从加减法的几何意义考虑)

能力提升题:设两向量e 1,e 2满足|e

1|=2,|e 2|=1,e 1,e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与向量e

1

+t e

2的夹角为直角,求实数t 的值.

变式: 当夹角为钝角或锐角时,实数t 的取值范围如何?

7、课堂小结:

(1)一个条件 (2)两个探究 (3)三个防范 (4)四条性质

8、课后反馈: 完成活页练P 261-262

9、板书设计:

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