高中数学 模块综合测试卷4 必修2

高中数学必修二模块综合测试卷(四)

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．设全集R ，}1|{},22|{<=≤≤-=x x N x x M ，则=N M C R )( （ ）

A ．}2|{-

B ．}12|{<<-x x

C ．}1|{

D ．}12|{<≤-x x

2．给出命题：（设βα、表示平面，l 表示直线，C B A 、、表示点）

⑴若ααα?∈∈∈∈l l B B A l A 则,,,,； ⑵AB B B A A =∈∈∈∈βαβαβα 则,,,,； ⑶若αα?∈?A l A l 则,,；

⑷若 重合与，则不共线、、，且、、，、、βαβαC B A C B A C B A ∈∈。 则上述命题中，真命题个数是（ ）．

A ． 1

B ． 2

C ． 3

D ． 4

3．已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱

A B 的距离为4，那么tan θ的值等于

A ．

3

4

B ．

35

C

7

D 7

4．已知圆(x-3)2+(y+4)2=4和直线y kx =相交于P,Q 两点,则|OP|·|OQ|的值是( ) A ．

2

121k

+ B ．1+k 2 C ．4 D ．21

5．已知0ab ≠,点(,)M a b 是圆x 2+y 2=r 2内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是2

ax by r +=,则下列结论正确的是（ ）

A.m//l ，且l 与圆相交

B.l ⊥m,且l 与圆相切

C.m//l ，且l 与圆相离

D.l ⊥m,且l 与圆相离 6．如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60o

角 ④DM 与BN 是异面直线 以上四个命题中，正确命题的序号是 ( )

正视图

侧视图

俯视图

A.①②③

B.②④

C.③④

D.②③④

7．两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线0x y c ++=上，则m c

+的值为（ ）．

A.0

B.2

C.3

D.－1

8．一几何体的三视图如下，则它的体积是（ ）

A.

3

33

a π+ B.

3

712

a π C.

3

31612

a π+ D.

3

73

a π

9．过点（1，2）且与原点的距离最大的直线方程是（ ）．

A.2x+y-4=0

B. x+2y-5=0

C.x+3y-7=0

D.3x+y-5=0 10．已知函数()f x ＝2lg(21)ax x ++的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）

A.1a >

B.1a ≥

C.01a <≤

D.01a ≤≤ 11．若实数,x y 满足2

4,012222--=+--+x y y x y x 则

的取值范围为（ ）．

A.]3

4,0[ B.),3

4[+∞ C.]3

4,(--∞ D.)0,3

4[-

12．若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234=-y x 的距离为1，则半径

r 的取值范围是（ ）

A.)6,4（

B.)6,4[

C.]6,4(

D.]

6,4[ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答案卷上． 13．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．

14．空间坐标系中，给定两点A )1,2,1(-、B )2,2,2(，满足条件|PA|=|PB|的动点P 的轨迹方程是 ．（即P 点的坐标x 、y 、z 间的关系式）

15．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ．

16．光线从点（―1，3）射向x 轴，经过x 轴反射后过点（4，6），则反射光线所在直线方程的一般式是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）求经过两条直线0243:1=-+y x l 与022:2=++y x l 的交点P ，且垂直于直线012:3=--y x l 的直线l 的方程.

18．（本小题满分12分）若02,x ≤≤求函数12

4325x x

y -=-?+的最大值和最小值。

19．（本小题满分12分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．

求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE ；

（Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE ．

20．（本小题满分12分）已知直线l 过点P （1，1），并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求： （Ⅰ）直线l 的方程

（Ⅱ）以坐标原点O 为圆心且被l 截得的弦长为

5

58的圆的方程．

21．（本小题满分12分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线50ax y -+=与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得过点(2, 4)P -的直线l 垂直平分弦A B ？ 若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，AB ＝2，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点C 1的最短路线与棱1AA 的交点记为M ，求： （Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长. （Ⅱ）该最短路线的长及

AM

M A 1的值.

（Ⅲ）平面MB C 1与平面ABC 所成二面角（锐角）

B

C

1A 1

B A

1

C M

高中数学必修二模块综合测试卷(四)参考答案

一、 选择：( 本大题共12小题，每小题5分，共60分.) 13.30 20x y x y +-=-=或 14.430x y z ++-= 15.

56

16. 9560x y --=

三、解答题：( 本大题共6小题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分10分） 解：依题意，由34202 2220

x y P x y +-=??-?

++=?（，） …………4分

直线l 垂直于直线3l ，3:210l x y --=，∴直线l 的斜率为2-……6分 又直线l 过2 2P -（，），直线l 的方程为22(2)y x -=-+，…………8分

即l ：220x y ++= ………………………10分 18.（本小题满分12分）

解：令2(02)x t x =≤≤，则14t ≤≤ ………………2分

2

2

11135(3)2

2

2

y t t t =

-+=-+

， 又对称轴为3[1,4]t =∈……………5分

函数2

1352

y t t =-+在[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数………7分

当3,t =即2log 3x =时，12

y =最小

当1,t =即0x =时，52

y =

最大 ………………11分

综上知，当 0x =时，函数的最大值是52

，当2log 3x =时，函数的最小值是

12

(12)

19.（本小题满分12分）

证明:（Ⅰ）∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，

∴OE∥AP， ………………………2分

∴平面PAC ⊥平面BDE ． ………………12分 20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --，则

???=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m ， ?

?

?=+=-0n m 23

n m ，解得1m -=，2n =． ………………4分

即)2,1(A -，又l 过点P )1,1(，易得AB 方程为03y 2x =-+． ………………6分

（Ⅱ）设圆的半径为R ，则2

22)5

54(d R +=，其中d 为弦心距，5

3d =

，可得5R 2=，

故所求圆的方程为5y x 22=+．……………………12分 21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设圆心为(, 0)M m （m ∈Z ）．

由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5，所以，429

55

m -=，

即42925m -=．

因为m 为整数，故1m =． ……………………3分 故所求的圆的方程是22(1)25x y -+=． …………………4分 （Ⅱ）直线50ax y -+=即5y ax =+．代入圆的方程，消去y 整理，得

2

2

(1)2(51)10a x a x ++-+=． …………………5分

由于直线50ax y -+=交圆于,A B 两点，故22

4(51)4(1)0a a ?=--+>，

即2

1250a a ->，解得 0a <，或512

a >

．

所以实数a 的取值范围是5(, 0)(

, )12

-∞+∞ ．……………8分

（Ⅲ）设符合条件的实数a 存在，由（2）得0a ≠，则直线l 的斜率为1a

-

，

l 的方程为1(2)4y x a

=-

++，即240x ay a ++-=．…………9分

由于l 垂直平分弦A B ，故圆心(1, 0)M 必在l 上． 所以10240a ++-=，解得34

a =

．

由于

35(

, )4

12

∈+∞，

故存在实数34

a =，使得过点(2, 4)P -的直线l 垂直平分弦A B ．………………12分

22.（本小题满分12分）

解：6，宽为2的矩形，其对角线长为

………2分

点B 运动到点D 的位置，

于M B 沿棱柱侧面经过棱1AA 到顶点C 1的最短路线，其长为

……………………4分

DMA ? ≌11MA C ?，

……………………6分

（Ⅲ）连接DB

DB

ABC 的交线

603090DBC CBA ABD CB DB ∠=∠+∠=+=∴⊥

…………8分

∴CC 1⊥DB ∴DB ⊥面BCC 1

ABC 所成二面角的平面角（锐

角） …………………10分

1D

ABC 2

分