基于余能原理计算简单剪切变形
第8卷 第16期 2008年8月1671-1819(2008)16-4445-05
科 学 技 术 与 工 程
Science T echno logy and Eng i neering
V o.
l 8 N o .16 A ug .2008Z 2008 Sc.i T ech .Engng.
力 学
基于余能原理计算简单剪切变形
范志会 金 明 尚新春
(北京科技大学土木工程学院,北京100083;北京交通大学工程力学所,北京100044)
摘 要 以高玉臣提出的基于基面力的弹性大变形余能原理为基础,利用L agrange 乘子,放松平衡条件和力边界条件对余能泛函的约束,给出了基于基面力的广义余能泛函。利用极分解定理,将表示单位质量的余应变能分为刚性转动和纯变形两部分,考虑相邻单元间边界面力的平衡条件,推导出了平面四边形单元的有限元公式,并利用其进行了简单剪切变形的计算。数值计算结果与理论结果的对比表明,当剪切角不超过35b 时,二者是非常接近的。关键词 余能原理 有限元 简单剪切变形中图法分类号 O 34; 文献标志码
A
2008年4月23日收到
高等学校博士学科点专项科研基金
项目(20030004003)资助
简单剪切变形作为一种简单的普适变形,许多学者从理论上进行了研究
[1,2]
,只要给出势函数,就
可以确定应力分布。然而,到目前为止,还未发现用余能原理研究该变形的有关文献。本文首先利用线弹性本构关系给出了可压缩弹性体应力的理论解,接下来以高玉臣提出的基于基面力的弹性大变形余能原理为基础,利用Lagrange 乘子放松约束条件对余能泛函的约束,给出了广义的余能泛函及相应的有限元公式,最后将简单剪切变形简化为平面应变问题,应用本文给出的平面四边形单元进行了有限元计算,并与理论解进行了对比。
1 简单剪切变形的理论解
根据文献[1,2],可压缩弹性体的本构方程为R =
2J 525I 1
C +
I *
2
525I *2+I *3525I *
3
I -I *3525I *2C -1
(1)
(1)式中I 1,I *
2,I *
3是Cauchy 变形张量C 的不变量,2是弹性势,它是不变量I 1,I *
2
,I *3
的函数。不变量
的定义如下:I 1=tr (C ),I 2*
=
12
[
I 12-tr (C 2)],I *
3=det (C )(2)
取初始的Lagrange 坐标系与空间坐标系为相同的直角坐标系,令长方体初始构型的各面分别和直角坐标系的坐标面平行,如图1所示,e 1,e 2,e 3分别为x,y ,z 方向的单位矢量。
图1 简单剪切变形
根据图1,可知式(1)的分量形式为
R
11
=2525I 1+2525I 2+525I *
3
(3)
R22=2(1+K2)52
5I1+(2+K 2)52
5I*2
+
52
5I*3
(4)
R33=252
5I1+(2+K 2)52
5I*2
+
52
5I*3
(5)
R12=2K52
5I1+52
5I*2
(6)
R23=R31=0(7)式中K=tan C。根据以上各式,给定2的形式,就能完全确定弹性体的应力状态。
对各向同性体,仅保留应变分量的二次幂项,其线弹性本构关系[3]可以用不变量表示为
2=1
8K+2G I12-3
4
K+2
3
G I1-
G
2
I2*+
9
8
K+2
3
G(8)
(8)式中K为拉梅系数,G为剪切模量。那么,应力与变形的关系为
R11=K2K
2
+G(9)
R22=K2(1+K2)K
2
+(2+K2)G(10)
R33=K
2
K2(11)
R12=K K
2
K2+(1+K2)G(12)从以上各式可以看出,应力的各分量值除了与弹性常数K和G有关,还与表示变形的K有关,而与点的位置无关,故对简单剪切变形来说,它的变形是均匀的,所有各点的应力状态是完全相同的。并且,正应力分量是K的偶函数,而剪应力分量是K 的奇函数。
2基于广义余能原理的有限元模型
本节使用E i n ste i n求和约定。
根据高玉臣[4]提出的弹性大变形余能原理,利用Lagrange乘子,放松平衡条件和力边界条件对余能泛函的约束,可得到广义的余能泛函
P c(T i,u)=
Q V
Q0W c
udV0-Q S0u t0 u dS0-Q S0R(t0- t0)udS0(13)
(13)式中T i为基面力[5],u为位移,W c为单位质量
的余应变能,x i(i=1,2,3)为随体坐标,V P为初
始的物质坐标系下由协变基矢量组成的平行六面
体的体积,Q0,t0分别为弹性体变形前的密度及单
位面积上的边界面力, t0为变形前的力边界上给定
单位面积的面力,dV0,dS0分别是初始的物质坐标
系下弹性体的体元和边界面元。
对任意的多面体单元,假定作用在各面的应力
矢量是均匀分布的,那么单元应力写为[6]
R=1
V e
T Aar A(14)
(14)式中V e是该单元的体积,指标A表示单元体的
边界面,T A是该面上的力矢量,r A是当前构形上原
点到该面几何中心的位置矢量。
利用极分解定理,将余应变能分为表示纯变形和
刚性转动的两部分[5]。根据各向同性材料的线弹性
本构关系及散度定理,可写出单元的余能表达式
(W c)e=
1+M
2EV e
(T A T B)r AB-
M
1+M
(T A r A)2+T A u A
r
(15)
(15)式中u A
r
为刚性转动在T A作用处引起的位移,
E为杨氏模量,M为泊松比,并且r AB=r A r B。
不考虑体积力的作用,利用单元的平衡条件,
弹性体总的广义余能泛函为
P c(T A,u A,u0,u A
r
)=E e1+M
2E V e
(T A T B)r A r B-
M
1+M
(T A r A)2+T A u A
r
+E A T A u0-
Q S u
e
u t0d S0-Q S R e(t0- t0)u d S0(16)
(16)式中T A,u A分别是单元体A面上的力矢量及其
作用处的位移矢量,u0是该单元几何中心的位移。
上述泛函将单元的平衡条件和力边界条件进
行了放松,此外,在相邻单元间的边界上还应满足
边界面力的平衡条件,当所有单元间的公共边界都
被考虑时,弹性体的广义余能泛函可写为
P c(T A,u A,u0,u A
r
)
4446科学技术与工程8卷
M 1+M
(T A r A )2
+T A
u A r +
E
A
T A
u 0-T A
u A + T A
u A
(17)
(17)式中 T A
为单元的力边界上给定的力矢量,若A 面不是给定的力边界,则 T A
=0。假设发生的纯变形为小变形,则变形后的位置矢量r A 可近似看作是变形前的位置矢量经过刚性转动得到的,那么有r A r B =常数。泛函P c 取驻值时,得
E
e
(C A B #T B
+u A r
+u 0-u A )=0
(18)E
e
(T
?A
- T A
)
S
R
=0
(19)
各个单元还应满足
E A T
A
=0(20)T A
#D u A r
=0
(21)
(18)式中C AB 为单元内任意两点之间的柔度矩阵
[6]
C A B =
1+M
E V e r A B I -M 1+M
r A ar B
(22)
(22)式中I 为单位二阶张量。
3 平面四边形单元
本节取消脚标的求和约定。
对平面问题,取初始的Lag range 坐标系和平面坐标系为相同的直角坐标系,e 1,e 2分别为x ,y 方向的单位向量。
假设作用在各边界上的应力是均匀分布的,则可认为各边上的力矢量均作用在其中点位置,将其取为节点进行编号,其单元节点编号顺序如图2所示。节点在初始时刻的坐标用(x 0
A ,y 0
A )(A =i ,j ,k,l )表示,当单元绕e =e 3逆时针刚性转过H 后,相应的位置坐标变为(x A ,y A ),那么,该单元上各边中点在初始时刻和刚性转动后的位置矢量分别为
r A 0
=x A 0
e 1+y A 0
e 2(23)r
A =x A e 1+y A e 2=R r A
(24)
式中
R 为转动张量,在二维情况下
图2 平面四边形单元
R =
co s H si n H
-sin H co s H
(25)
根据以上各式,显然有
x A =x A 0
cos H +y A 0
sin H (26)y A =-x A 0
sin H +y A 0
cos H (27)r A #r B =r A 0
#r B 0
=x A 0
x B 0
+y A 0
y B 0
(28)r A ar B =x A x B e 1ae 1+x A y B e 1ae 2+
y A x B e 2ae 1+y A y B e 2ae 2
(29)
根据式(22),还可得到该单元任意两点之间的柔度
矩阵C A B
C A B =1+M EA (x 0A x 0B +y 0A y 0
B )1 00 1-M 1+M x A x B x A y B
y A x B y A y B
(30)
(30)式的每一个分量都是位置坐标和转角H 的函数,式中A 为平面四边形单元的面积。
由刚性转动在各边中点引起的位移为u A r
=r A -r A 0
=[x A 0
(co s H -1)+y A 0
si n H ]e 1+
[-x A 0sin H +y A 0
(cos H -1)]e 2
(31)
显然,在转轴已知的情况下,对给定的物质点,u A r
只是刚性转角H 的函数。
若作用在节点上的力分别用它在x
,y 方向的分量X A 和Y A 表示,根据图2所示,显然有
T A
=p A X A e 1+p A Y A e 2
(32)
(32)式中
p A =
1,A =j ,k -1,
A =i ,l
(33)
那么,根据式(31))(32)可进一步得到
444716期范志会,等:基于余能方法计算简单剪切变形
T A
D u A r
=
E
A
[p A X A (-x A 0sin H +y A 0
cos H )+
p A X A (-x A 0
cos H -y A 0
sin H )]D H
(34)(34)式即为单元在刚性转动后位置的力矩表达式。令
u 0=u 01e 1+u 02e 2(35)u A =u A 1e 1+u A 2e 2
(36)
根据式(18))式(21),可以得到该平面四边形单元的有限元公式
C ii (1,1)p i X i +C ii (1,2)p i Y i +C ij (1,1)p j X j +C ij (1,2)p j Y j +C ik (1,1)p k X k +C ik (1,2)p k Y k +C il (1,1)p l X l +C il (1,2)p l Y l +x i 0
(cos H -1)+
y i 0
si n H +u 01-u i 1]=0
(37)
C ii (2,1)p i X i +C ii (2,2)p i Y i +C ij (2,1)p j X j +C ij (2,2)p j Y j +C ik (2,1)p k X k +C ik (2,2)p k Y k +
C il (2,1)p l X l +C il (2,2)p l Y l -x i 0
sin H +
y i 0
(co s H -1)+u 02-u i 2]=0
(38)s
-X i +X j +X k -X l =0(39)-Y i +Y j +Y k -Y l =0
(40)
E
A =i ,j ,k,l
[p A X A (-x A 0sin H +y A 0
co s H )+
p A Y A (-x A 0
cos H -y A 0
sin H )]=0
(41)
对弹性体而言,式(37)和式(38)需要考虑全部单元进行整合,式(39))式(41)反映的是单元的平衡方程,每一单元均需分别给出。显然,上述各式是关于T A
,u A ,u 0和H 的非线性方程组。
若将X A 和Y A 看作是由于载荷增量引起的内力增量,令
$T
A 1=p A ?X A ,$T
A 2
=p A Y A (A =i ,j ,k,l )
(42)
将其代入式(18))式(21),就可以得到形如式(37))式(41)的平面四边形单元增量形式的有限元公式。
4 基于广义余能原理的简单剪切变形有限元计算
如图3所示横截面为矩形的结构,其右端为固
定铰链支座,左端为滑动铰链支座,令其发生简单剪切变形。
根据结构特点,将该问题简化为平面应变问题。由于其变形是均匀的,故只取一个单元进行研究,其节点的总体编号如图3所示。表1给出了单
元编号与总体编号之间的关系。
图3 横截面为矩形的结构表1 单元编号与总体编号的关系
单元编号
节点i 节点j 节点k 节点l 总体编号
1
3
4
2
采用增量法,利用式(14)确定应力增量。取结构的长为1m,宽为0.5m,E =210M Pa ,M =0.3,当K 取不同数值时,所得各应力分量的值与理论值的对比见图4。
图4 简单剪切变形的结果对比
图中各点是应用广义余能原理计算所得的数值结果,各条线是根据式(9),式(10)和式(12)画出的理论曲线,其中实线、短划线和点线分别是R 11,R 22和R 12的理论曲线。
从图4可以看出,当K 达到0.7时,此时剪切角为35b ,各应力分量的计算结果能够与理论曲线较
4448科 学 技 术 与 工 程
8卷
好的吻合。当剪切角继续增大,数值计算结果与理论曲线之间就会逐渐产生偏差,这可能是由以下几个方面的原因造成的:
(1)在推导增量形式的有限元公式时做了近似处理,即有限元公式本身存在误差。其中任意两点间的柔度矩阵是在刚性转动后的构形上给出的,而实际应在变形后的构形上进行计算。
(2)若给定外载荷,通常认为在实际加载过程中载荷的大小和方向不变,但是构件发生简单剪切变形时,其各面上不仅有正应力的存在,还有剪应力,这些应力分量随着构件的变形,其大小和方向是不断发生变化的,故加载过程存在误差。若给定位移条件,则不能保证构件精确满足简单剪切变形的位移模式,同样也存在误差。
(3)数值计算过程中存在误差。
5 结论
根据高玉臣提出的基于基面力的弹性大变形余能原理,推导出了无条件的广义余能原理。利用
极分解定理,把表示单位质量的余应变能分为刚性转动和纯变形两部分,得到了基于广义余能原理的有限元公式。利用平面四边形单元进行了简单剪切变形的数值计算,结果表明,该有限元模型简单,计算简便,当剪切角不超过35b 时,数值结果与理论解是非常接近的,故应用余能方法进行该变形的计算是可行的。
致谢 北京交通大学工程力学所高玉臣院士生前对作者给予了悉心指导和大力帮助,在此深表感谢。
参 考 文 献
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Calculation of Sim ple Shear D eformati on Based on the
Co mplem entary Energy Pri nci ple
FAN Zh-i hu,i JIN M i n g 1
,S HANG X i n -chun
(Un ivers i ty of S ci en ce and Technol ogy Beiji ng ,C i vil&Env i ronm en t Engi n eeri ng Schoo,l Beijing 100083,P 1R 1Ch i na ;
Instit u t e of Eng i neeri ng M echan ics ,B eiji ng Jiaotong Un i versity 1,Be iji ng 100044,P 1R 1Ch i na)
[Abstract] U si n g t h e co mp le m entary energy pri n ciple for large elastic ity proposed by G ao Yuchen based on t h e base forces and Lagrange mu lti p liers ,the genera lized co mp le m entary ener gy f u nctional based on base forces w as ob -tained by re leasi n g constraint cond iti o ns o f equ ili b ri u m equations and force boundary cond itions .According to po lar deco m position,the co mp le m entary energy o f un itm ass could be deco m posed i n to t w o parts :ri g id rotation and pure defor m ation parts .The finite ele m en t for m u l a e for plane quadrilatera l e le m entw ere ga i n ed w ith the consi d eration of equ ilibri u m conditions bet w een adjacent ele m ents ,w hich w as used to the co m putation for si m ple shear defor m a ti o n .Co m parison sho w s t h at the num erical resu lts are very closed to theoretical solutions when the shear ang le is not ex -ceed 35b .
[Key words] co mp le m entary energy pr i n ci p le finite e le m ent si m p le shear defo r m ation
444916期范志会,等:基于余能方法计算简单剪切变形
单元5 剪切与扭转变形时的承载力计算
单元5 剪切与扭转变形时的承载力计算 【学习目标】 1.能深入理解剪切和挤压的概念； 2.能进行剪应力和压应力的计算和校核； 3.能灵活运用剪切虎克定律公式和剪应力互等定理； 4.能深入理解圆轴的扭矩的概念和公式； 5.能进行圆轴圆轴扭转强度计算，最大剪应力； 5.1 剪切与挤压变形实例 5.1.1剪切的概念 它是指杆件受到一对垂直于杆轴方向的大小相等、方向相反、作用线相距很近的外力作用所引起的变形，如铆钉连接中的铆钉及销轴连接中的销等都是心剪切变形为主要变形的构件。 图5.1 如图所示。此时，截面cd相对于动将发生相对ab错动，即剪切变形。若变形过大，杆件将在两个外力作用面之间的某一截面m—m处被剪断，被剪断的截面称为剪切面，如图5.1所示。 5.1.2挤压的概念 构件在受剪切的同时，在两构件的接触面上，因互相压紧会产生局部受压,称为挤压。 图5.2
如图5.2所示的铆钉连接中，作用在钢板上的拉力F，通过钢板与铆钉的接触面传递给铆钉，接触面上就产生了挤压。两构件的接触面称为挤压面，作用于接触面的压力称挤压力，挤压面上的压应力称挤压应力，当挤压力过大时，孔壁边缘将受压起“皱”，铆钉局部压“扁”，使圆孔变成椭圆，连接松动，这就是挤压破坏。因此，连接件除剪切强度需计算外，还要进行挤压强度计算。 图5.3 5.2 铆接或螺栓连接实用计算（剪切与挤压的实用计算） 5.2.1剪切的实用计算 剪切面上的内力可用截面法求得。 图5.4 假想将铆钉沿剪切面截开分为上下两部分，任取其中一部分为研究对象，由平衡条件可知，剪切面上的内力Ｑ必然与外力方向相反，大小由∑Ｘ＝０，Ｆ－Ｑ＝０，得：Ｑ＝Ｆ这种平行于截面的内力Ｑ称为剪力。 与剪力Ｑ相应，在剪切面上有剪应力η存在。剪应力在剪切面上的分布情况十分复杂，工程上通常采用一种以试验及经验为基础的实用计算方法来计算，假定剪切面上的剪应力η是均匀分布的。因此：Ｑη＝―Ａ式中Ａ——剪切面面积； Ｑ——剪切面上的剪力。 为保证构件不发生剪切破坏，就要求剪切面上的平均剪应力不超过材料的许用剪应力，即剪切时的强度条件为：Ｑ η＝―≤［η］（ 5.1 ） Ａ 式中［η］——许用剪应力，许用剪应力由剪切试验测定。
弯曲变形剪切变形
很常见的四个概念，但是一定要小心~ 弯曲变形、剪切变形，弯曲型变形、剪切型变形。注意，一个字之差，意思却大不相同。弯曲变形、剪切变形：这两个是材料力学和结构力学中的概念，分别指构件中的某一个截面的弯矩、剪力产生的变形，可以由弯矩和抗弯刚度EI、剪力和抗剪刚度GA计算得到。框架结构,剪力墙结构和框剪结构在侧向力作用下的水平位移曲线的特点：1、框:抗侧刚度较小，其位移由两部分组成：梁和柱的弯曲变形产生的位移,侧移曲线呈剪切型,自下而上层间位移减小;柱的轴向变形产生的侧移,侧移曲线呈弯曲型,自下而上层间位移增大.第一部分是主要的,第二部分很小可以忽略，所以框架结构在侧向力作用下的侧移曲线以剪切型为主，故称为剪切型变形. 2、剪:抗侧刚度较大，剪力墙的剪切变形产生位移，侧向位移呈弯曲型,即层间位移由下至上逐渐增大，相当于一个悬臂梁; 3、框剪:位移曲线包括剪切型和弯曲型,由于楼板的作用,框架和墙的侧向位移必须协调.在结构的底部,框架的侧移减小;在结构的上部,剪力墙的侧移减小,侧移曲线呈弯剪型,层间位移沿建筑物的高度比较均匀,改善了框架结构及剪力墙结构的抗震性能,也有利于减少小震作用下非结构构件的破坏 框架结构抗侧刚度小,在水平力作用下产生较大侧向位移该位移变形包括1、由柱子的拉压变形产生水平位移而引起的整体弯曲，该部份所占比例小而被忽略了２、梁柱杆件发生弯曲变形后产生的水平位移而引起的剪切变形。底部的剪力大剪切变形就大，楼层增高该变形逐渐减小． 而剪力墙结构就是２楼说的它是一根下部嵌固的悬臂深梁 剪力墙结构的侧向刚度较大,在水平力作用下其结构类似于一根竖向悬臂构件, 可以把地球理解成这根竖向悬臂构件的支座,地面就是它的固定端, 它的变形当然是离固定端近的就比较小了,好象挑梁一样. 弯曲变形对应弯曲破坏，是延性破坏，剪力墙刚度大，对应的是弯曲变形， 给一个单位力施加在结构上，所产生的位移对应是柔度， 框架结构变形较剪力墙变形大，是相对其剪力墙较柔，刚度较差。 剪切变形对应剪切破坏，是脆性破坏，结构中尽量避免，延迟。 有些概念，只是概念，结构中很多是试验得到的，有时太深入，反而把自己搞晕了。 2#楼的好像说的也不是很清楚。 我试着说说。根据结构力学我们知道结构在荷载作用下的位移包括三部分：弯矩引起的、剪力引起、轴力引起。一般多层框架结构的变形主要是由梁柱的弯曲变形产生的，层间剪力除以层抗侧刚度，高层的话轴力变形也是不容忽略的。这种变形的形状和悬臂梁在剪力作用下的相似，所以叫剪切变形。 而剪力墙结构的变形主要由弯曲和剪切变形，变形的形状和悬臂梁的弯曲变形相似，所以称为弯曲变形。 为什么都是和悬臂梁的变形做比较，每个建筑从整体上看都是坐落在大地上的悬臂梁。老庄结构总提的老子的思想，一生二，从悬臂梁转化简支梁、固端梁等等。
剪切变形过程及切边质量判定标准
剪切变形过程及切边质量判定标准 1前言 为保证切边质量，对圆盘剪的横向间隙、重叠量等工艺参数重要性有更深入的认识， 2 剪切变形过程及切边质量判定标准 2.1剪切变形的过程
2.2 切边质量判定标准 切断层部分由于发生了塑性变形而产生了加工硬化，使切断层部分抵抗变形的能力增强和塑性能力的恶化。而撕断层部分由于直接撕裂的作用，其内部的金属没有发生大的强化作用，因而变形抗力相对较弱。 切断层金属由于变形抗力的增加和塑性能力的恶化，是造成分切后边部（单边）出现缺陷的重要原因。钢带双边质量一致性是切边质量的判定标准，作为指导生产和调节圆盘剪参数的依据。 判定标准为：切断面约占带钢厚度的1/3；切断面与断裂面分界线连续、平直；整个剪切面平整光滑、无缺口、无大的毛刺。 3剪刃间隙调整和切边质量的关系 重叠量和间隙的设定问题对剪切缺陷有很大的影响。一般保证撕裂区和剪切区的比例为2:1左右，有时候可能需要加大一些重叠量。间隙太小，剪刃瓢曲都易产生毛刺。一般可以通过断面颜色及粗燥判断间隙是否合适： 断面光滑发亮间隙太小 断面铅灰色略小 断面白色略带铅灰合适 断面白色，塌肩，断面呈颗粒状粗燥太大 断面情况周期变化，剪刃瓢曲 瓢曲包括剪刃本身瓢曲或装配不当造成间隙周期变化。 3.1 侧隙和切边质量的关系 剪刃的侧向间隙是影响带钢剪切质量的最重要因素，实践表明，侧隙大小对剪切质量的影响比重叠量的影响要敏感得多，因而设定出合理的侧隙值是圆盘剪间隙调整的关键。 从带钢的剪切断面来看
3.2 重叠量和切边质量的关系 剪刃重叠量应根据带钢厚度及剪切情况进行调整，一般来说重叠量太小时，会造成剪切力太大，边部弯曲产生扣头现象，严重者会造成剪切下的带边在溜槽内卡钢；重叠量过大时则可能会造成带钢无法剪切。 重叠量主要通过影响带钢的咬入角进而影响剪切力，关系式如下： D s h+ - =1 cosα ， 其中h为带钢厚度；D为圆盘剪刀片直径，400 mm；s为重叠量。可以验证，若带钢为3.0 mm，当重叠量从1 mm减小到0时，咬入角仅减小了0.69°。
弹塑性力学-第3章 应变状态
第三章 应变状态理论 在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化， 即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。 位移与线元长度、方向的变化 坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即 ?? ? ?? +=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ 上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式是单值的，所以式可看成是坐标的一个变换。 如果在中，假设00,y y x x ==，则由式可得如下三个方程
经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系_马连生
第23卷 第3期应用力学学报Vo l.23 No.3 2006年9月CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Sep.2006 文章编号:1000-4939(2006)03-0447-04 经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系* 马连生欧志英 (兰州理工大学 兰州 730050) 摘要:利用Euler-Bernoulli梁理论(EBT)和Timoshenko梁理论(一阶理论,TBT)之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,研究了不同梁理论之间特征值的关系。将特征值问题的求解转化为一个代数方程的求解,并导出了不同梁理论之间梁的特征值之间的精确解析关系。因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),便很容易从这些关系中获得一阶梁理论下的相应结果。这些解析结果清楚地显示了横向剪切变形对经典结果影响的本质特点。另外,从这些关系中获得的含有剪切变形影响的结果,可以用于检验一阶理论下梁特征值数值结果的有效性、收敛性以及精确性等问题。 关键词:Euler-Bernoulli梁理论;Timo shenko梁理论;解析关系;特征值 中图分类号:TB330.1 文献标识码: A 1 引 言 由于在高阶剪切变形梁(板)理论和经典理论之间,梁(板)弯曲、屈曲和振动的控制方程都存在数学上的相似性,这种相似性可以用经典结果来表示相应的高阶理论下的解。有关高阶剪切变形理论和经典理论之间梁或板弯曲解的精确关系方面的研究工作已经有很多报道。Wang和Lee[1]、Wang和Red-dy[2]、Wang等人[3]以及本文作者[4]分别研究了各种理论之间板屈曲和固有振动解的精确解析关系。关于不同梁理论下梁特征值的解析关系,尚无相应的研究结果报道。另外,从文[5]对功能梯度结构的研究结果可知,高于一阶的理论对于研究诸如临界载荷或者固有频率这样的整体响应,在计算精度上提高不大。 本文将梁的临界载荷和固有频率这样的特征值问题统一处理,利用经典梁理论(EBT)和一阶剪切变形梁理论(TBT)之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,研究不同梁理论之间梁特征值的解析关系。最后将特征值问题的求解转化为求解一个代数方程,导出了不同梁理论之间梁特征值显式表达的精确解析关系。因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),不需要经过较复杂的数学运算,便很容易从这些关系中获得一阶梁理论下的相应结果。 2 基本方程 考虑一个厚度为h、长度为l、横截面积为A的等截面梁。x轴在中面内,并沿轴线方向;z和y分别沿梁的高度和宽度方向。一阶梁理论下的位移场[6] U x(x,z,t)=z(x,t), U z(x,z,t)=w(x,t)(1)式中w表示梁中面上点的挠度,为梁横截面在变形后的转动。根据该位移场,几何方程如下 εx=z,x, γxz=+w,x(2) 设在梁端部作用有轴向压力p。根据H amilton 原理,可得运动方程 M x,x-Q x-I1,tt=0, Q x,x-pw,xx-I0w,tt=0(3) *基金项目:国家自然科学基金资助项目(10472039);甘肃省自然科学基金资助项目(ZS041-A25-007)来稿日期:2005-07-05 修回日期:2005-12-12 第一作者简介:马连生,男,1963年生,兰州理工大学理学院教授;研究方向:功能梯度材料结构的力学行为.E-mail:lsma@https://www.360docs.net/doc/e05208324.html,
工程力学习题库-弯曲变形
第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max
3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =- 梁的转角方程：1 ()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12( )Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。 查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。 A ．A B 段是纯弯曲，B C 段是剪切弯曲
煤矿开采影响地表横向剪切变形论文中英文资料对照外文翻译文献综述
中英文资料对照外文翻译文献综述 翻译部分 英语原文 O N M INING-I NDUCED H ORIZONTAL S HEAR DEFORMATIONS OF THE GROUND SURFACE Gang Li1, Robert Paquet1, Ray Ramage1 and Phil Steuart1 ABSTRACT:Horizontal shear deformations have not been commonly considered in subsidence engineering and risk management practices. This situation is quite different from many other engineering disciplines. This article presents the authors’ initial findings of case studies from a number of collieries across all NSW Coalfields. The objective of this article is to highlight the significance of a ground deformation mode, that is, horizontal shear, and its implications to subsidence engineering and risk management. A Shear Index is suggested to facilitate studies of mining-induced shear deformations of the ground surface. INTRODUCTION This article presents an argument that conventional subsidence parameters specifying horizontal deformations, in particular, horizontal strains (i.e. change in length), are inadequate for subsidence engineering and risk management. The above-mentioned inadequacy can become practically important in areas where only low magnitude of conventionally defined horizontal strains is detectable due to deep cover depths (or relatively low “extraction width-to-cover depth” ratios). Through the preliminary investigation of a number of coals in NSW, the study found there is clear evidence to suggest that the above-mentioned inadequacy is related to a lack of understanding of mining-induced horizontal deformations of the ground surface, in particular, horizontal shear deformations. Despite theoretical definitions found in limited literature on mine subsidence (e.g. 1992), horizontal shear deformations have not been commonly considered in subsidence engineering and risk management practices. This situation is quite different from many other engineering disciplines.
船舶振动学复习
自由振动——系统对初始激励的响应通常称为自由振动。 强迫振动——系统对外部作用力的响应称为强迫振动。 粘性阻尼力——系统与外界的粘性流体接触时，在速度不高的情况下所产生的阻尼力。它与接触的材料无关，而与运动体的大小、形状及流体的粘性有关，其方向与运动方向相反，与振动体的运动速度成正比，又称线性粘性阻力。 流体动力阻尼力——系统与外界的粘性流体接触，且速度较高，并在粘性较小的流体中运动时，即发生与速度平方成正比的阻力，称为流体动力阻力或高次阻力，其方向与运动方向相反，又称为非线性粘性阻力。 材料内阻尼力——是由于实际的材料并不是完全弹性而引起的，所以又称为材料的非弹性阻尼力。 结构内阻尼力——由于系统本身结构装配或连接而引起的，比前者大得多以上两者属于内阻尼力，是由于系统内部的原因引起的 均匀直梁弯曲自由振动的特性 a.均匀直梁是具有分布质量及抗弯刚度的无限自由度系统 b.固有频率和固有振型是结构的固有特性不仅与材料的性质、结构的刚度等因数有关 而且还和边界条件有关 c.当梁做任一主振动时类似于单自由度系统的振动 d.在所讨论的线性振动范围内均匀直梁弯曲自由振动是无限多个主振动的线性叠加 梁中任一点的运动则是各主振动所引起运动的总和。 e.固有振型具有正交性即各固有振型之间是相互独立的。 转动惯量和剪切变形对梁的横向振动的影响 转动惯量使系统的有效质量增加，剪切的作用使系统的刚度下降，均使系统的固有频率降低，其中剪切变形的影响大于转动惯量的影响，对于细而长的梁或梁的高阶振动必须计及剪切和转动惯量的影响。 船体总振动及分类 整个船体的振动称为总振动，这时将船体视为一根两端自由支持的变截面空心梁。包括：1垂向振动，在船体的纵中剖面内的垂向弯曲振动； 2水平振动，在船体的水线面内的弯曲振动； 3扭转振动，船体横剖面绕纵向轴线的振动； 4纵向振动，船体横剖面沿其纵向轴线作纵向抗压的往复振动。 计算船体总振动的力学模型 一维梁模型：船体梁总振动的梁模型，是有一排船体梁单元（一般在10-20个单元）通过结点相互联接而形成的，每一单元质量和刚度性质均有船舶实际情况简化而成，船体梁的质量应包括附连水质量。 二维平面模型：是将空间的船体结构向中纵压缩后构成的平面。 三维立体模型：把船体视为一根漂浮在水中、两端完全自由、质量及剖面惯性矩沿船长变化的变截面梁。 混合模型：船尾采用三维有限元模型，而船体的前部采用船体梁，两者通过适当的处理予以连接而形成的一种杂交的三维模型。 船体局部振动——船体局部结构如板架、梁、板等对于整个船体所作的附加振动称为局部振动。 船体梁振动的外阻尼和外阻尼——外阻尼主要是指船体振动时水产生的阻尼（空气阻尼一般可忽略）.内阻尼是指船体构件之间的摩擦引起的阻尼，材料的非弹性引起的迟滞阻尼和船舶所装货物之间的摩擦及货物与船体之间的摩擦产生的阻尼。
最新第七章 剪切和扭转讲课讲稿
第七章 剪切和扭转 § 7-1 剪切的概念 在工程实际中，有许多起连接作用的部件，如图17-所示各种常见连接中的螺栓、铆 钉、销轴、键，这些起连接作用的部件，称为连接件，它们都是剪切变形的工程实例。 图7—2（a ）所示的铆钉连接中，钢板受力后，通过钢板与铆钉的接触面，将力传递到铆钉上，使铆钉受力如图（b ）所示。此时，铆钉受到一对垂直于杆轴线、大小相等、方向相反、作用线相距很近而不重合的平行外力的作用。 随着力的逐渐增大，铆钉的上、下两部分将会分别沿着外力的方向移动，从而发生沿着两作用力之间的截面相对错动的变形，这种变形即为剪切变形。当外力足够大时，铆钉可能会沿着mm 截面被剪断，如图7—2（c ）所示。 在剪切变形中，发生相对错动的面，称为剪切面。剪切面平行于作用力的方向，介于使连接件产生剪切变形的二力之间。 § 7-2 连接接头的强度计算 工程上通常采用实用计算方法来分析连接件的强度计算 一、剪切的实用计算 二、挤压实用计算 连接件在受剪切的同时，往往伴随着挤压，如图7—4所示。作用于挤压面上的力，称为挤压力，用C F 表示。挤压面积用C A 表示。挤压力在挤压面上的分布集度称为挤压应力，用C σ表示。挤压应力的实际分布很复杂。在实用计算中，假定挤压应力在挤压面上是均匀分布的。 【例7—1】 如图7—5所示铆接钢板的厚度10=δmm ，铆钉直径17=d mm ，铆钉的许用剪 应力 []τ=140MPa ，许用挤压应力[]320 =C σMPa ，=P 24kN ，试作强度校核。 解：（1）剪切强度校核 24 = ==d P A Q πτ[]MPa 8.105=<=τ（2）挤压强度校核 [MPa d P A F C C C 2.141<===δσ满足挤压强度条件
第7章_梁的弯曲变形分析
第7章 梁的弯曲变形与刚度 7.1 梁弯曲变形的基本概念 7.1.1 挠度 在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。 梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。 挠曲线的曲线方程： )(x w w = （7-1） 称为挠曲线方程或挠度函数。实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。 必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。 7.1.2 转角 梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。 转角随梁轴线变化的函数： )(x θθ= （7-2） 称为转角方程或转角函数。 由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。所以有：x x w d ) (d tan = θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有： 图7-2 梁的挠曲线 图7-3 梁的转角 ) (x
x x w x d ) (d )(= θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。 需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。 7.1.3 梁的变形 材料力学中梁的变形通常指的就是梁的挠度和转角。但实际上梁的挠度和转角并不是梁的变形，它们和梁的变形之间有联系也有本质的差别。 如图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁，在图示载荷作用下，悬臂梁和中间铰梁的右半部分中无任何内力，在第二章曾强调过：杆件的内力和杆件的变形是一一对应的，即有什么样的内力就有与之相应的变形，有轴力则杆件将产生拉伸或压缩变形，有扭矩则杆件将产生扭转变形，有剪力则杆件将产生剪切变形，有弯矩则杆件将产生弯曲变形。若无某种内力，则杆件也没有与之相应的变形。因此，图示悬臂梁和中间铰梁的右半部分没有变形，它们将始终保持直线状态，但是，悬臂梁和中间铰梁的右半部分却存在挠度和转角！ 事实上，材料力学中所说的梁的变形，即梁的挠度和转角实质上是梁的横向线位移以及梁截面的角位移，也就是说，挠度和转角是梁的位移而不是梁的变形。回想拉压杆以及圆轴扭转的变形，拉压杆的变形是杆件的伸长l ?，圆轴扭转变形是截面间的转角?，它们实质上也是杆件的位移，l ?是拉压杆一端相对于另一端的线位移，而?是扭转圆轴一端相对于另一端的角位移，但拉压杆以及圆轴扭转的这种位移总是和其变形共存的，即只要有位移则杆件一定产生了变形，反之只要有变形就一定存在这种位移（至少某段杆件存在这种位移）。但梁的变形与梁的挠度和转角之间就不一定是共存的，这一结论可以从上面对图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁的分析得到。 图7-4 梁的挠度和转角的符号 x x (a) 正的挠度和转角 (b) 负的挠度和转角 (a) 悬臂梁的变形 (b)中间铰梁的变形 图7-5 挠度和转角实质上是梁的位移 无变形
剪切变形下的钢筋混凝土动态分析
剪切变形下的钢筋混凝土动态分析 发表时间：2019-09-21T23:21:28.470Z 来源：《基层建设》2019年第19期作者：高日升1,2 [导读] 摘要：现有建筑物的加固或者重建需要对他们的抗横向负荷能力进行一种评估，这种能力可能被他们关键区域的强度和粘结能力所限制。 1.北京博鼎诚工程设计有限公司广州分公司广东广州 510000； 2.广东寰球广业工程有限公司广东广州 510665 摘要：现有建筑物的加固或者重建需要对他们的抗横向负荷能力进行一种评估，这种能力可能被他们关键区域的强度和粘结能力所限制。从评估中可制定重建或者加固的方法。在现有的钢筋混凝土框架中，梁柱节点缺少充分的约束和抗剪钢筋可能是在地震中引起脆性破坏的原因。大部分的非线性动力分析程序忽视了加固细节，而是把混凝土框架中梁柱节点假定为无线刚性节点。为了正确的分析现有的结构，需要考虑非弹性剪切变形和钢筋粘结的滑移。这种情况下当承受动态荷载时所出现的反应同带有刚性节点的框架所出现的反应进行对比。结果显示，含有非弹性剪切变形节点的模型对于地震响应中滑移和损害中效果显著。事实上刚性节点的假定是不合适的。 关键词：剪切变形；钢筋混凝土；框架；分析；损坏 引言 在钢筋混凝土抗弯矩构架抗震分析，通常假定节点是刚接的。这种节点表明即使在杆件已经发生了严重的剪切变形，但是仍然保持直角。在新的抗震规范颁布之前，所建造的现有的非延性钢筋混凝土框架，可能节点的钢筋和细部构造有所不足，这就可能在其他抗弯杆达到屈服时节点处导致剪切变形和局部剪切破坏。在对这些结构的地震危险评估中，节点区域的扭曲可能对结构的层间位移和整体偏转有显著的影响。因此，研究在节点中的剪切变形和在梁柱界面中的钢筋粘结滑移中是非常重要的。 节点变形是由两种因素引起的：(a),由于剪切应力传递引起的节点核心区剪切变形。（b），由于粘结破坏引起通过节点核心区的钢筋发生了滑移。节点的剪切变形产生的节点侧面发生扭转。这些扭转量是节点核心区的变形角度与节点尺寸的的函数。当梁的钢筋在具有良好的粘结条件下，高的剪切力就转移到了需要充分用箍筋加固的节点上。由于钢筋粘结的破坏导致了梁柱截面的开裂。这些裂缝引起在节点中的梁框架杆端发生旋转。低粘结状态沿着梁中的钢筋或者不充分的锚固长度引起了及节点发生旋转作为一个刚体来适应钢筋的过度滑移。在这种情况下，节点的剪切力变小并且相对于层间位移的钢筋滑移作用伴随着节点变形引起的位移而减小。 研究的目的是为了表达一个简单而准确的节点宏观模型，模型在反复的循环荷载和钢筋粘结滑移下，明确的指明了剪切变形特性。 1、节点模型的描述 用两个串联转动的弹簧表示一个节点，一个代表节点的剪切变形，另一个代表钢筋的粘结滑移。两个弹簧的节点之间的相对转动代表模型的自由度。杆件传递的弯矩就是梁传到柱的传递弯矩值。杆件的变形代表的节点剪切变形（在连接的梁柱之间的角度改变）或额外由于粘结梁的纵向钢筋滑移引起的节点扭转。在这个杆件中，两端所受约束的杆件产生的水平位移是相同的。 2、框架的分析描述 用九层的非延性混凝土结构用来分析剪切变形的节点效应。这样的结构在许多建筑中可以找到。这种建筑物在竖直方向是30m，跨度为6m（三跨到五跨）。层高为3.6m。柱子采用C40混凝土500x500mm，钢筋用HPB400M. 主梁按照1/10跨度计算，次梁按照15/1计算。在设计中考虑了水平荷载、风荷载和重力荷载，但是风荷载引起的柱子的偏心值小于规范限定的最小偏心值。钢筋的搭接长度以及。小的剪力要求最小的剪切钢筋。对于剪切变形钢筋采用10mm直径的间隔。楼面和屋面的厚度是150mm。 3、框架修复体系 希望恢复现有的建筑来满足当前的规范条例，那么升级所有的结构杆件是必要的。这种替代是不现实的，而且也是极其昂贵的。一个有缺陷的结构体系可以通过修复部分结构杆件来防止早期的非延性破坏模式。修复一个给定结构的特定杆件主要关注的是限定未加固杆件的破坏。两个框架是通过柱和节点的夹套来进行修复。夹套增加了强度并且提高了延性通过阻止节点剪力的脆性破坏。为了修复梁底部钢筋的不连续性，外部的角钢和背带用地脚螺栓来连接梁底部两侧的节点。这样的修复体系提供了约束和充分的节点剪切里。这种修复的节点使用带有相同剪切能力、剪切变形、根据实验数据得到的梁纵向钢筋的粘结阻力值的三线模型来进行建模。 4、计算模型 在动态分析中，使用了一个钢筋混凝土框架地震分析计算程序。程序是适用于计算二维钢筋混凝土框架结构的非线性静态和动态响应。该程序是一个模拟钢筋混凝土杆件刚度和强度的退化后的改造模型，允许分析的间断，使用切向刚度和位移控制分析的选项来计算模态振型和固有频率。该程序被修改用来计入发达节点的杆件模拟节点处的剪切变形和在梁柱接口处的钢筋粘结滑移。 在动态分析模型中，把板看做是平面内固定的隔板。建筑被理想化为一系列在楼层平面连接的平面框架。这种理想化的结果每层只有一个侧面水平自由度。在建模后框架的梁柱中，使用梁柱杆件的一维性。忽略了梁的剪切变形。用二线性和三线性的弹簧分别表示剪切节点和粘结的滑移。 框架承受的重力荷载包括横在和活载。重力荷载是运用在梁的在梁端分析中具体的固定端力来建模的。附加的楼板面积、墙台和分区的质量都假设集中在梁端节点处。之后输入地震进行动态分析。 5、模型观测 （1）破坏模式 在框架的中间楼层，由于产生节点的横向钢筋发生屈服，损害预计在节点处。如果有的话，或发生关节剪切破坏。连接元件的故障被归类为拉伸破坏或压缩破坏。当在混凝土中的压应力达到混凝土的最大强度会发生压缩破坏。由于裂缝的存在混凝土的抗压强度就会降低，它是比较合适的通过在混凝土中的最大应变以限定压缩破坏。 在框架的低楼层处，破坏发生在梁上由于钢筋的拔出或者/和铰接的弯曲。在低层楼板中，柱子的抗弯能力是梁的好几倍。另外，节点的尺寸和很高的轴向荷载增加了节点的剪切能力。在负弯矩处，梁的整个弯矩被修改。在正弯矩处，钢筋的拉出减少了在节点的力，否则的话就被实施正弯矩。然而，由实验观察可得，嵌入钢筋的拉拔可能影响关节混凝土的完整性，而这可能会降低联合剪切能力。 （2）基本周期随时间的变化 一些杆件刚度的降低会导致整个框架的刚度降低，并增加了它的基本周期。经分析，最终周期的确定是困难的，因为它随着与每个时间间隔变化而变化。
基于偶应力理论和表面弹性理论的梁理论
第39卷第1期辽宁工业大学学报(自然科学版)V ol.39, No.1 2019年2月Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)Feb. 2019 收稿日期：2018-10-12 基金项目：机械结构力学及控制国家重点实验室开放基金(MCMS-0217G02) 作者简介：王伟涛(1994-)，男，浙江台州人，硕士生。 卿 海(1979-)，男，江苏南京人，教授，博士。 优先出版地址：https://www.360docs.net/doc/e05208324.html,/kcms/detail/21.1567.T.20181212.1551.004.html DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2019.01.015 基于偶应力理论和表面弹性理论的梁理论 王伟涛，卿 海 （南京航空航天大学，机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏南京210016） 摘 要：随着微结构的特征尺寸减小力学性能将会随着尺寸的改变而改变。使用修正后的偶应力理论以及表面弹性理论提出了一种新的正弦剪切变形梁模型。控制方程、初始条件以及边界条件可以通过汉密尔顿准则推导得到。首先用Navier方法求出两端简支微梁在静力弯曲下的解析解。然后用微分求积法求出两端简支微梁在静力弯曲下的数值解。将两者相比较以验证微分求积法的准确性。再用微分求积法来研究不同边界条件对尺度效应的影响。结果表明微尺度梁表现出与宏观梁完全相反的材料特性，具有尺度效应。梁的尺寸大小以及表面层的厚度决定了尺度效应的程度。 关键词：表面能；汉密尔顿准则；修正后偶应力理论；微分求积法 中图分类号：O343 文献标识码：A文章编号：1674-3261(2019)01-0063-05 Modified Beam Theory Based on Couple Stress and Surface Elasticity Theories W ANG Wei-tao, QING Hai （Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, State Key Laboratory of Mechanical Structure Mechanics and Control, Nanjing 210026, China）Abstract:As the feature size of the microstructure decreases, the mechanical properties will change as the size changes. In this paper, a new sinusoidal beam model incorporating both microstructure theory and the surface energy effects is developed by using a modified couple stress theory and the surface elasticity theory. Governing equations, initial conditions and boundary conditions are derived by using Hamilton’s principle. The static bending problem of a simply supported micro scale beam is solved by analytical solution called Navier solution. The differential quadrature element method is used to numerically solve the static bending problems of a simply supported micro scale beam. Then the results of Navier method are compared with differential quadrature element method to verify the validity of differential quadrature element method. The differential element quadrature element method is used to numerically solve the static bending problems of a micro scale beam in different boundary conditions.The results show that the micro-scale beam exhibits completely opposite material properties to the macro-beam and has a scale effect.The size of the beam and the thickness of the surface layer determine how the scale effect behaves. Key words:surface energy; Hamilton’s principle; modified couple stress theory; differential quadrature element method 小型结构单元比如梁，板和壳通常用作微米和纳米尺寸机电系统（MEMS和NEMS），传感器，执行器和原子力显微镜的组件。实验表明这种微尺度结构在力学行为上存在尺度效应。由于对微尺度
第三章材料力学的基本概念第六节杆件变形的基本形式
第三章材料力学的基本概念 第六节杆件变形的基本形式 有下列说法，________是错误的。 A．杆件的几何特征是长度远大于横截面的尺寸 B．杆件的轴线是各横截面形心的连线 C．杆件的轴线必是直线 D．A+B+C 下列说法________是正确的。 A．与杆件轴线相正交的截面称为横截面 B．对于同一杆件，各横截面的形状必定相同 C．对于同一杆件，各横截面的尺寸必定相同 D．对于同一杆件，各横截面必相互平行 下列说法________是正确的。 A．与杆件轴线相平行的截面称为横截面 B．对于同一杆件，各横截面的形状必定相同 C．对于同一杆件，各横截面的尺寸不一定相同 D．对同一杆件，各横截面必相互平行 不管构件变形怎样复杂，它们常常是由________种基本变形形式所组成。 A．3 B．4 C．5 D．6 不管构件变形怎样复杂，它们常常是轴向拉压、________、扭转和弯曲等基本变形形式所组成。 A．位移 B．错位 C．膨胀 D．剪切 不管构件变形怎样复杂，它们常常是轴向拉压、剪切、________和________等基本变形形式所组成。 A．错位/膨胀 B．膨胀/弯曲 C．弯曲/扭转 D．扭转/位移 在一对大小相等、方向相反的沿杆件轴线的外力作用下使杆件产生伸长变化的变形，称为________。 A．弯曲变形 B．扭转变形
C．轴向拉伸变形 D．剪切变形 在一对大小相等、方向相反的沿杆件轴线的外力作用下使杆件产生缩短变化的变形，称为________。 A．弯曲变形 B．扭转变形 C．轴向压缩变形 D．剪切变形 受拉压变形的杆件，各截面上的内力为________。 A．剪力 B．扭矩 C．弯矩 D．轴力 轴力的单位是________。 A．牛顿 B．牛顿/米 C．牛顿·米 D．牛顿/米2 关于轴力，下列说法中________是正确的。 ①轴力是轴向拉压杆横截面上唯一的内力；②轴力必垂直于杆件的横截面；③非轴向拉压的杆件，横截面上不可能有轴向力；④轴力作用线不一定通过杆件横截面的形心。 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 受拉压变形的杆件，各截面上的应力为________。 A．正应力 B．扭应力 C．剪应力 D．弯应力 受拉压变形的杆件，各截面上的内力为________。 A．正应力 B．剪应力 C．拉压应力 D．轴力 受拉压变形的杆件，各截面上的应力为________。
壳– 具有明显剪切变形的板弯曲
SAP2000 PROGRAM NAME: REVISION NO.: 算例 2-012 壳–具有明显剪切变形的板弯曲 问题描述 本算例是参考文献Roark and Young 1975中376页的例子。这是一个环形 板，内径1.4 in，外径2 in，厚度0.5 in。板在内边简支，在半径1.8 in处 施加一圆形线荷载。自由外边缘的变形与文献中的结果进行了比较。 文献中给出了弯曲和剪切对边缘变形的贡献。为这个算例创建三个模型。 第一个模型(Example 2-012a-thin)使用壳单元薄板选项。因为薄板公式不包 括剪切变形效果，薄板模型结果与文献中的弯曲变形比较。 第二个模型(Example 2-012a-thick)使用厚板选项。因为厚板变形包括剪切变 形影响，厚板模型结果与文献中弯曲和剪切变形的和进行比较。 第三个模型(Example 2-012b-thick)使用厚板选项但包含了面对象剪切刚度修 正v13 = 1,000 和 v23 = 1,000。修正系数使壳单元在剪切上刚 1,000 倍，因此 剪切变形可忽略不计。带剪切刚度修正的厚板模型结果与文献中变形比 较。 环形板用6x96网格剖分(径向乘切向). 圆形线荷载作为分布荷载施加到虚框架单元上。对虚框架单元所有的属性 修改设为零。因此虚框架单元没有刚度。
PROGRAM NAME: SAP2000 REVISION NO.: 几何，属性与荷载 , ,
PROGRAM NAME: SAP2000 REVISION NO.: SAP2000测试的技术特性 ?壳单元的板弯曲分析，剪切变形明显。 ?面对象刚度修正 ?框架分布荷载 结果比较 手算解在参考文献Roark and Young 1975中376页。文献中弯曲变形为- 0.00521 in，剪切变形为-0.00521 in，弯曲和剪切共同作用变形为-0.00534 in。 模型输出参数SAP2000 手算解百分误差 A 薄板外边缘 U z 弯曲变形 in -0.00522 -0.00521 +0.2% A 厚板 外边缘 U z 弯曲加剪切变 形 in -0.00534 -0.00534 0% B 带剪切刚度修正的厚板外边缘 U z 弯曲变形 in -0.00521 -0.00521 0%