高考数学必考难点:圆锥曲线的知识点梳理(共10页)
高考数学必考难点:圆锥曲线知识点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:若曲线C 的方程是f(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0;点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点:若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1,C 2的交点?{0
),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n
个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。 二、圆:
1、定义:点集{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径.
2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是(x-a)2
+(y-b)2
=r 2
圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2
+y 2
=r 2
(2)一般方程:①当D 2
+E 2
-4F >0时,一元二次方程x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为)2
,2(E
D --
半径是2
422F E D -+。配方,将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+
2
D )2
+(y+
2
E )2
=4
4F -E D 2
2+
②当D 2
+E 2
-4F=0时,方程表示一个点(-2
D ,-
2
E );
③当D 2
+E 2
-4F <0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则|MC |<r ?点M 在圆C 内,|MC |=r ?点M 在圆C 上,|MC |>r ?点M 在圆C 内,其中|MC |=2
020b)-(y a)-(x +。
(4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交?有两个公共点;直线与圆相切?有
一个公共点;直线与圆相离?没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
与半径r 的大
小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l 称为准线,正常数e 称为离心率。当0<e <1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e >1时,轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1.到两定点F 1,F 2的距离之和为
定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.(0 1.到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨 迹 2.与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离相等的点的 轨迹. 轨迹条件点集:({M||MF1+|MF2| =2a,|F 1F2|<2a= 点集:{M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}. 点集{M||MF|=点M到直线l 的距离}. 图形 方程 标准 方程 1 2 2 2 2 = + b y a x (b a>>0) 1 2 2 2 2 = - b y a x (a>0,b>0) px y2 2= 参数 方程为离心角) 参数θ θ θ ( sin cos ? ? ? = = b y a x 为离心角) 参数θ θ θ ( tan sec ? ? ? = = b y a x ? ? ? = = pt y pt x 2 22 (t为参数) 范围─a≤x≤a,─b≤y≤b |x| ≥ a,y∈R x≥0 中心原点O(0,0)原点O(0,0) 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x轴,y轴; 长轴长2a,短轴长2b x轴,y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x轴 焦点F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) )0, 2 ( p F 准线 x=± c a2 准线垂直于长轴,且在椭圆外. x=± c a2 准线垂直于实轴,且在两顶点的内 侧. x=- 2 p 准线与焦点位于顶点两侧,且到 顶点的距离相等. 焦距2c (c=2 2b a-)2c (c=2 2b a+) 离心率)1 0(< < =e a c e)1 (> =e a c e e=1 【备注1】双曲线: ⑶等轴双曲线:双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为x y ±=,离心率2=e . ⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22 22b y a x 与λ -=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 02 22 2=- b y a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程: )0(2 22 2≠=- λλb y a x 的渐近线方程为02 22 2=-b y a x 如果双曲线的渐近线为 0=±b y a x 时,它的双曲线方程可设为 )0(2 22 2≠=- λλb y a x . 【备注2】抛物线: (1)抛物线 2y =2px(p>0)的焦点坐标是( 2 p ,0),准线方程x=- 2 p ,开口向右;抛物线 2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(- 2 p ,0), 准线方程x= 2 p ,开口向左;抛物线2 x =2py(p>0)的焦点坐标是(0, 2 p ),准线方程y=- 2 p ,开口向上; 抛物线2 x =-2py (p>0)的焦点坐标是(0,- 2 p ),准线方程y= 2 p ,开口向下. (2)抛物线 2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离2 0p x MF + =;抛物线2 y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离 02 x p MF -= (3)设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 2 p ,顶点到准线的距离 2 p ,焦点到准线的距离为 p. (4)已知过抛物线 2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,则线段AB 称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 AB =21x x ++p 或 α 2sin 2p AB = (α为直线AB 的倾斜角),2 21p y y -=,2 ,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径). 五、坐标的变换: (1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。 (3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M ,它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y),在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是),('' y x . 设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k),则 k y y h x x +=+=''或 k y y h x x -=-='' 叫做平移(或移轴)公式. (4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表: 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 椭圆 2 2h)-(x a +2 2 k)-(y b =1 (±c+h,k) x=± c a 2 +h x=h y=k 2 2h)-(x b +22 k)-(y a =1 (h,±c+k) y=± c a 2+k x=h y=k 双曲线 22h)-(x a -2 2 k)-(y b =1 (±c+h,k) x=± c a 2+k x=h y=k 2 2k)-(y a -2 2h)-(x b =1 (h,±c+h) y=± c a 2+k x=h y=k 抛物线 (y-k)2 =2p(x-h) ( 2 p +h,k) x=- 2 p +h y=k (y-k)2 =-2p(x-h) (- 2 p +h,k) x= 2 p +h y=k (x-h)2 =2p(y-k) (h, 2 p +k) y=- 2 p +k x=h (x-h)2 =-2p(y-k) (h,- 2 p +k) y= 2 p +k x=h 六、椭圆的常用结论: 1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000 (,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000 (,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=外,则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1 、P 2 ,则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1 ,F 2 ,点P 为椭圆上任意一点12 F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积 为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、 N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2 OM AB b k k a ?=-,即0 2 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+; 【推论】: 1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b += +。椭圆22 221x y a b +=(a >b >o )的两个顶点为 1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2 时A 1P 1 与A 2P 2 交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 2、过椭圆22 221x y a b += (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且 20 20 BC b x k a y =(常数). 3、若P 为椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1 , F 2 是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则 tan t 22 a c co a c αβ-=+. 4、设椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的两个焦点为F 1 、F 2 ,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF 1F 2 中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有 sin sin sin c e a αβγ==+. 5、若椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ,左准线为L ,则当0<e ≤21-时,可在椭圆上求一点P ,使 得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6、P 为椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)上任一点,F 1 ,F 2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+, 当且仅当 2,,A F P 三点共线时,等号成立. 7、椭圆22 0022 ()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8、已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.(1) 22221111 ||||OP OQ a b +=+; (2)|OP|2 +|OQ|2 的最大值为22 2 2 4a b a b +;(3)OPQ S ?的最小值是22 2 2 a b a b +. 9、过椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则||||2PF e MN =. 10、已知椭圆22 221x y a b +=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则 2222 0a b a b x a a ---<< . 11、设P 点是椭圆22 221x y a b +=( a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1 、F 2 为其焦点记12F PF θ∠=,则 (1)2122||||1cos b PF PF θ = +.(2) 12 2tan 2 PF F S b γ ?=. 12、设A 、B 是椭圆22 221x y a b +=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ ∠=, c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22 222|cos | ||s ab PA a c co αγ =-.(2) 2 tan tan 1e αβ=-.(3) 2222 2cot PAB a b S b a γ?=-. 13、已知椭圆22 221x y a b +=( a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在 右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论: 1、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5、若000(,)P x y 在双曲线22 22 1x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6、若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1 、P 2 ,则切点弦P 1 P 2 的直线方 程是 00221x x y y a b -=. 7、双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1 ,F 2 ,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形 的面积为1 2 2t 2 F PF S b co γ ?=. 8、双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c )当00(,)M x y 在右支上时, 10||MF ex a =+,20||MF ex a =-;当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--。 9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11、AB 是双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则02 02y a x b K K AB OM =?,即 2 2y a x b K AB =。 12、若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-. 13、若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是2200222 2x x y y x y a b a b -=-. 【推论】: 1、双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2 时A 1P 1与A 2P 2交 点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 2、过双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定 向且20 20 BC b x k a y =-(常数). 3、若P 为双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1 , F 2 是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=, 则 tan t 22 c a co c a αβ -=+(或 tan t 22 c a co c a βα -=+). 4、设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1 、F 2 ,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2 中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有 sin (sin sin )c e a αγβ==±-. 5、若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ,左准线为L ,则当1<e ≤21+时,可在双曲线上求一点 P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6、P 为双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上任一点,F 1 ,F 2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当 且仅当 2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立. 7、双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222 A a B b C -≤. 8、已知双曲线22 221x y a b -=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥. (1)2222 1111 ||||OP OQ a b +=- ;(2)|OP|2 +|OQ|2 的最小值为22224a b b a -;(3)OPQ S ?的最小值是22 22 a b b a -. 9、过双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则 ||||2 PF e MN =. 10、已知双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则 22 0a b x a +≥ 或22 0a b x a +≤- . 11、设P 点是双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F 1 、F 2 为其焦点记12F PF θ∠=,则 (1)2122||||1cos b PF PF θ = -.(2) 12 2cot 2 PF F S b γ ?=. 12、设A 、B 是双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=, c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos | |||s | ab PA a c co αγ=-. (2) 2 tan tan 1e αβ =-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ?=+. 13、已知双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点, 点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点. 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论: ①x c by ay =++2 顶点)244(2a b a b ac --. ②)0(22≠=p px y 则焦点半径2 P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2 P y PF +=. ③通径为2p ,这是过焦点的所有弦中最短的. ④px y 22 =(或py x 22 =)的参数方程为???==pt y pt x 222(或???==2 22pt y pt x )(t 为参数). px y 22= px y 22-= py x 22= py x 22-= 图形 ▲ y x O ▲ y x O ▲ y x O ▲ y x O 焦点 )0,2 ( p F )0,2 (p F - )2 , 0(p F )2 ,0(p F - 准线 2 p x -= 2p x = 2 p y -= 2p y = 范围 R y x ∈≥,0 R y x ∈≤,0 0,≥∈y R x 0,≤∈y R x 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 (0,0) 离心率 1=e 焦点 12 x p PF += 12 x p PF += 12 y p PF += 12 y p PF += 圆锥曲线的性质对比 圆锥曲线椭圆双曲线抛物线 标准方程(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 y^2=2px p>0 范围x∈[-a,a] y∈[-b,b] x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R x∈[0,+∞) y∈R 对称性关于x轴,y轴,原点对称关于x轴,y轴,原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点(c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】(c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 (p/2,0) 准线x=±(a^2)/c x=±(a^2)/c x=-p/2 渐近线——————————y=±(b/a)x—————离心率e=c/a,e∈(0,1)e=c/a,e∈(1,+∞)e=1 焦半径∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a ∣ ∣PF∣=x+p/2焦准距p=(b^2)/c p=(b^2)/c p 通径(2b^2)/a (2b^2)/a 2p 参数方程x=a·cosθy=b·sinθ,θ为参 数x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 x=2pt^2 y=2pt,t 为参数 过圆锥曲线上一点(x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切线方程 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1y0·y=p(x+x0) 斜率为k 的切线方 程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2]y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k 2020高考虽然延期,但是每天练习一定要跟上,加油! 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2, -1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. (4 1,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a <2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C .(0, 2 D .,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A B .3 C D .92 7.(全国二9)设1a >,则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是( B ) A . B . C .(25), D .(2 8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ,焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一:如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中,除了直线、圆外,还有三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 (1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:? ?????>=0e ,e d |PF ||P ,其中 F 为定点,d 为P 到定直线的距离,如图。 因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 【高考数学中最具震撼力的一个解答题!】注:【求解完第一问以后,】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问题(5)对称问题(6)向量问题(7)切线问题(8)面积问题(9)最值问题(10)焦点三角形问题。中的2-----4类;分门别类按套路求解; 1.高考最重要考:直线与椭圆,抛物线的位置关系。第一问最高频考(总与三个问题有关):(1)———————;(2)——————————;(3)—————————; 2.圆锥曲线题,直线代入圆锥曲线的“固定3步走”:---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————; 3.圆锥曲线题固定步骤前9步:-------------------;---------------------------------------------;————————————;—————————;——————————;—————————————————;———————————;——————————————; 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长:(1)圆的弦长问题;(2)中点弦长问题(3)焦点弦长问题;→(1)圆的弦长问题:(2法)首选方法:垂径定理+勾 股定理:图示:--------------------------------;公式为:-------------------------;其中求“点线距”的方法:———————;次选:弦长公式;→(2) 中点弦长问题:(2法)首选方法:“点差法” 椭圆:(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;副产品:两直线永远不可能垂直!原因:___________;【两直线夹角的求法:(夹角公式)___________;】双曲线(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式:(公式一)-------------------;(公式二)---------------------;附:“点差法”步骤:抛物线;形式一___________;:“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式:(公式一)---------------------;(公式二)--------------------;附:“点差法”步骤: 圆锥曲线 一、填空题 1、(2015年江苏高考)在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、(2013年江苏高考)双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆 C 的离心率为 。 4、( 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线C : y x 42=的焦点为F ,定点)0, 22(A ,若射线FA 及抛物线C 相交于点M ,及抛物线C 的准线相交于点N ,则FM :MN= 5、(苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二))已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为 ▲ 6、(泰州市 高三第二次模拟考试)已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ,则m = ▲ 7、(盐城市 高三第三次模拟考试)若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合,则n 的值为 ▲ 8、( 江苏南京高三9月调研)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近 线方程 为y =±3x ,则该双曲线的离心率为 ▲ 9、( 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、(南京市、盐城市 高三)若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合,则a = ▲ . 11、(南通市 高三)在平面直角坐标系xOy 中,以直线2y x =±为渐近线,且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、(苏州市 高三上期末)以抛物线24y x =的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双曲线标准方程为 13、(泰州市 高三上期末)双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率e = ▲ 14、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为(5,0),则实数 m = ▲ 15、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))在平面直角坐 标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线及抛物线y 2=4x Y 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0; 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1,C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义:点集:{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程: (1)标准方程 圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F >0时,一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为(-2D ,-2 E ),半径是 2 4F -E D 22+.配方,将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时,方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则 |MC |<r ?点M 在圆C 内,|MC |=r ?点M 在圆C 上,|MC |>r ?点M 在圆C 内, 其中|MC |=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 高考二轮复习专项:圆锥曲线 1. 如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P ,连结AP 交椭圆C1于点M ,连结PB 并延长交椭圆C1于点N ,若=. 求证:.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A ,B 两点.设AB 中点为M ,直线AB 与OM 的夹角为αa. (1)用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; (2)若2 圆锥曲线知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为:22221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或1 22 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b a c =-; ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置, 只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n + =(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±, y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点 (,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -,2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b ,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中,2||OB b =, 2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a b =-; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c e a = 叫椭圆的离心率。∵0a c >>,∴01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23 = e ,已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C ) (A (B )2 (C (D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直 线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A B .2 C .13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数是离心 率用集合表示为: ; (2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 (3)参数方程:(θ为参数); 3、双曲线: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为: ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为: (2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 : (2)标准方程和性质: ①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像; 二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构: 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用; 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义:懂得一元二 次方程的图像是直线; 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系(方向向量、法向量); 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点; 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程; 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题; 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线(与椭圆相交的直线)BD与椭圆交于C、D两点 (1)确定直线BD斜率的取值范围 (2)若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO ,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l :22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B ,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 (1)求证:直线AB 的斜率为定值 (2)当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - (1)求点P (x, y )的轨迹C 的方程 (2)直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D (0,-1)为圆 心的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += (1)求点M (x, y )的轨迹方程 (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线, 交点是A ,点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧),且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点, M 在l i 上的射影点 是 N ,且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系,求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 2,已知 点P(0,3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R); G E G F 2G H ; G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 , 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率; (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证:MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 64. 熟记下列公式了吗? [)()直线的倾斜角,,,102 212112l απααπ∈==--≠≠?? ???k y y x x x x tan ()()()P x y P x y a k 1112221,,,是上两点,直线的方向向量,l l → = (2)直线方程: ()点斜式:(存在)y y k x x k -=-00 斜截式:y kx b =+ 截距式:x a y b +=1 一般式:(、不同时为零)Ax By C A B ++=0 ()()点,到直线:的距离30000022P x y Ax By C d Ax By C A B l ++==+++ ()到的到角公式:41122112 l l t a n θ=--k k k k l l 122112 1与的夹角公式:tan θ=--k k k k 65. 如何判断两直线平行、垂直? A B A B A C A C 1221122112=≠??? ?l l ∥ k k l 1212=?l ∥(反之不一定成立) A A B B 1212120+=?l l ⊥ k k 12121·⊥=-?l l 66. 怎样判断直线l 与圆C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置? 联立方程组关于(或)的一元二次方程“” 相交;相切;相离??>?=? 第一定义椭圆,双曲线,抛物线?+=>=?-=<=?=???????PF PF a a c F F PF PF a a c F F PF PK 12121212222222 第二定义:e PF PK c a == 0111<>?=?e e e 椭圆;双曲线;抛物线 y b O F 1 F 2 a x x a c =2 ()x a y b a b 222 210+=>> () a b c 222=+ ()x a y b a b 222 2100-=>>, ()c a b 222=+ 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率23 = e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若MP AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2 高考数学试题圆锥曲线 一. 选择题: 1.又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 41 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C . D . 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的离心率e= 3 2,a+b=3. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值. ★★如图,椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)经过点P(1, 3 2),离心率e= 1 2,直 线l的方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3若存在,求λ的值;若不存在,说明理由. ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,离心率为 3 2,过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只 有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明 1 kk1+ 1 kk2 为定值,并求出这个定值. - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 +y2 b2=1( a>b>0)的离心率为 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且A D⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积的最大值. - 3 - 圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-< 二、双曲线 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于 12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210,0x y a b a b -=>> ()22 2 210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥,y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称,关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 三、抛物线 2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一) 1.设F 1,F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点,动点P 的坐标为(-1,m ),过点F 2的直线与 椭圆交于A ,B 两点. (1)求F 1,F 2的坐标; (2)若直线P A ,PF 2,PB 的斜率之和为0,求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=,P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆于另一点A ,设点A 关于原点的对称点为B . (1)求△P AB 面积的最大值; (2)设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ,若点N 在椭圆内部,求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5,定点()2,0M ,椭圆短轴的端点是 1B ,2B ,且21MB MB ⊥. (1)求椭圆C 的方程; (2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点,试问x 轴上是否存在定点P ,使PM 平分APB ∠?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由. 4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=,点(0,1)E . (1)经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,求||AB . (2)问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =,若存在,求出直线p 斜率的取值范围;若不存在说明理由. 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点,焦点分别在x 轴与y 轴上,它们有相同的离心率2 e =,并且2C 的短轴为1C 的长轴,1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程; (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点,P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ,B 的连线PA ,PB 分别与椭圆1C 交于E ,F 点. (i)求证:直线PA ,PB 斜率之积为常数; (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数?若是,求出该值;若不是,说明理由.2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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