高中数学人教B版选修2-1练习：第三章 空间向量与立体几何
阶段水平测试(三)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．在空间直角坐标系Oxyz 中，P 点的坐标(x ，y ，z )，P 点关于坐标平面yOz 对称的对称点的坐标为( )
A. (－x ，y ，z )
B. (－x ，－y ，z )
C. (x ，－y ，－z )
D. (－x ，－y ，－z )
解析：由对称的特点易知(x ，y ，z )关于yOz 对称的坐标y ，z 不变，x 变为相反数．
答案：A
2. 若平面α、β的法向量分别为u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3,1，－4)，则( )
A. α∥β
B. α⊥β
C. α、β相交但不垂直
D. 以上均不正确
解析：因为－32≠1－3≠－4
5，且u ·v ≠0，所以α、β相交但不垂
直．
答案：C
3．[2014·桂林高二检测]已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则M G →－A B →＋A D →
等于( )
A.32D B →
B. 3M G →
C. 3GM →
D. 2M G →
解析：M G →－A B →＋A D →
＝M G →－(A B →－A D →)＝M G →－D B →
＝M G →＋B D →＝M G →＋2 M G → ＝3 M G →. 答案：B
4. 已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →
，则a ＋b 为( )
A. (5，－9,2)
B. (－5,9，－2)
C. (5,9，－2)
D. (5，－9，－2)
解析：∵a ＝CA →
＝(－1,0，－2)，
b ＝CB →
＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)． 答案：B
5. 若BC 在平面α内，斜线AB 与平面α所成的角γ，∠ABC ＝θ，AA ′⊥平面α，垂足为A ′，∠A ′BC ＝β，那么( )
A ．cos θ＝cos γ·cos β
B ．sin θ＝sin γ·sin β
C ．cos γ＝cos θ·cos β
D ．cos β＝cos γ·cos θ 解析：利用公式cos θ＝cos θ1cos θ2求解． 答案：A
6. 若m ⊥a ，m ⊥b ，n ＝λa ＋t b (λ，t ∈R ，且λ，t ≠0)，则( ) A. m ∥n B. m ⊥n
C. m 与n 不平行也不垂直
D. m 与n 的关系以上三种都有可能 解析：m ·n ＝m ·(λa ＋t b )＝λm ·a ＋t m ·b . ∵m ⊥a ，∴m ·a ＝0.∵m ⊥b ，∴m ·b ＝0.
∴m ·n ＝0，∴m ⊥n . 答案：B
7．[2014·安徽省合肥一中月考]已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )
A. a 2
B. 12a 2
C. 14a 2
D. 34a 2
解析：如图，AE →＝12(AB →＋AC →)，AF →＝12AD →，AE →·AF →＝14(AB →·AD →
＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2
cos60°)＝14a 2.
答案：C
8．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；
③对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝2OA →
－2OB →－OC →
，则P 、A 、B 、C 四点共面；
④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；
⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解析：①错应为充分不必要条件；②错，应强调b ≠0；③错，∵2－2－1≠1；⑤错，根据数量积公式．
答案：C
9．空间四边形ABCD 的各边及对角线长均为1，E 是BC 的中点，则( )
A.AE →·BC → B.AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →>AE →·CD → D.AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小 解析：如右图 ，易证AE ⊥BC ，故AE →·BC →＝0，取BD 中点F ，连接EF ，AF ，则EF ∥CD .在△AEF 中，AE ＝AF ＝32，EF ＝1 2，得∠AEF 是锐角，所以〈AE →，EF →〉是钝角，即〈AE →，CD →〉是钝角，所以AE →·CD → <0，故选C. 答案：C 10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任取一点M ，平面ABCD 的一个法向量为n ，且|n |＝2，则n ·AM →≥1的概率P ＝( ) A. 3 4 B. 12 C. 14 D. 18 解析：本题考查空间向量与几何概型的概率．以点A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设M (x ，y ，z )，x ，y ，z ∈[0,2]．因为AA 1⊥平面ABCD ，且|AA 1|＝2，所以n ＝(0,0,2)，因为n ·AM →≥1，所以2z ≥1，所以1 2≤z ≤2，所以n ·AM →≥1的概率P ＝2－1 2 2＝3 4，故选A. 答案：A 11．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 解析：令BA →＝a ，BC →＝b ，BB 1→ ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |. ∵BC 1→＝b ＋c ，EF →＝12(c －a )，再令|a |＝2.则|BC 1→|＝22，|EF →|＝ 2.又BC 1→·EF →＝12(b ＋c )·(c －a )＝12(b ·c －b ·a ＋|c |2 －c ·a )＝12(0－0＋4－0)＝2， ∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝222·2＝1 2， ∴EF 与BC 1所成的角为60°. 答案：B 12. [2014·大庆高二检测]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，B 1C 的中点，则EF 和平面ABCD 所成角的正切值为( ) A. 2 B. 2 2 C. 12 D. 2 解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，F (12，1，1 2)，E (1，12，0)，EF →＝(－12，12，1 2) DD 1→ ＝(0,0,1)为底面的一个法向量， cos 〈EF →，DD 1→〉＝EF →·DD 1→ |EF →||DD 1→|＝13 ＝33， 所以EF 和平面ABCD 所成角θ的正弦值为 sin θ＝33，∴tan θ＝sin θcos θ＝2 2.故选B. 答案：B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知过O 点模为1,2,3的三个向量分别为a ，b ，c ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，则|a ＋b ＋c |的值为________． 解析：|a ＋b ＋c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝1＋4＋9＝14，∴|a ＋b ＋c |＝14. 答案：14 14．若平面α的一个法向量为n ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为________． 解析：由cos 〈n ，b 〉＝(3，3，0)·(1，1，1)32＋32 1＋1＋1＝6 3，知l 与α所成角的余弦值为 1－69＝3 3. 答案：33 15．[2014·郑州高二检测]已知三棱锥S －ABC 的三条侧棱长都等于a ，且两两垂直，则二面角S －BC －A 的正切值为________． 解析：取BC 的中点D ，连接SD 、AD ，易证∠SDA 为S －BC －A 的平面角，在Rt △SDA 中有tan ∠SDA ＝SA SD ＝a 22a ＝ 2 答案： 2 16．[2014·合肥高二调研]已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是________． 解析：如图建立空间直角坐标系Dxyz ， 则A 1(2,0,4)，A (2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)， AD 1→＝(－2,0,4)，AB 1→＝(0,2,4)，AA 1→ ＝(0,0,4)， 设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·AD 1→＝0，n ·AB 1→＝0， 即????? －2x ＋4z ＝0， 2y ＋4z ＝0， 解得x ＝2z 且y ＝－2z ， 不妨设n ＝(2，－2,1)， 设点A 1到平面AB 1D 1的距离为d . 则d ＝|AA 1→ ·n ||n |＝43. 答案：43 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (10分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1,2)，B (1,2 －1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)． 求证：四边形ABCD 是一个梯形． 证明：因为AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD → ＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为－24＝3－6＝－3 6，所以AB →和CD →共线，即AB ∥CD . 又因为AD → ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC → ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， 因为0 －2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行， 所以四边形ABCD 为梯形． 18．(12分)[2014·陕西高二检测]如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°. (1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ； (2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB → 夹角的余弦值． 解：(1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB . 又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC .∵AD ?平面ABD ，∴平面ADB ⊥平面BDC . (2)由∠BDC ＝90°及(1)，知DA ，DB ，DC 两两垂直．不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，分别以DB ，DC ，DA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E (12，3 2，0)， ∴AE →＝(12，32，－3)，DB → ＝(1,0,0)， ∴AE →与DB →夹角的余弦值为cos 〈AE →，DB →〉＝AE →·DB → |AE →||DB →|＝ 121×22 4 ＝22 22. 19．(12分)如右图 ，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD . (1)求证：AQ ∥平面CEP ； (2)求证：平面AEQ ⊥平面DEP . 证明：(1)∵EP ⊥矩形ABCD 所在的平面，且P 、Q 均为AB ，DC 的中点， ∴PQ ⊥AB ，故以P 为坐标原点，以P A ，PQ ，PE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建系如图． 令AB ＝2，PE ＝a ，则 A (1,0,0)，Q (0,1,0)，E (0,0，a )，C (－1,1,0)． ∴AQ →＝(－1,1,0)，PC → ＝(－1,1,0)， ∴AQ →＝PC →， ∴AQ →∥PC → ，∴AQ ∥PC . ∵AQ ?平面EPC ，PC ?平面EPC ， ∴AQ ∥平面EPC . (2)∵D (1,1,0)，∴PD →＝(1,1,0)，PE → ＝(0,0，a )， ∴AQ →·PD →＝(－1,1,0)·(1,1,0)＝－1＋1＝0， AQ →·PE →＝(－1,1,0)·(0,0，a )＝0. ∴AQ →⊥PD →，AQ →⊥PE → ，即AQ ⊥PD ，AQ ⊥PE ， 又∵PD ∩PE ＝P . ∴AQ ⊥平面EPD ，AQ ?平面AEQ ， ∴平面AEQ ⊥平面DEP . 20．(12分)在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在棱CC 1上，且CC 1＝4CP . (1)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值． (2)求点P 到平面ABD 1的距离． 解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，∵棱长为4， ∴A (4,0,0)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D (0,0,4)，P (0,4,1)，∴AP → ＝(－4,4,1)，显然DC → ＝(0,4,0)为平面BCC 1B 1的一个法向量， ∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ的正弦值sin θ＝|cos 〈AP → ，DC → 〉|＝ 1642＋42＋1·4 2＝433 33. (2)设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y,1)， ∵AB →＝(0,4,0)，AD 1→ ＝(－4,0,4)， 由n ⊥AB →，n ⊥AD 1→，得????? y ＝0，－4x ＋4＝0， ∴n ＝(1,0,1)， ∴点P 到平面ABD 1的距离d ＝|AP → ·n ||n | ＝32 2. 21．(12分)[2014·山东聊城检测]正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B . (1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E －DF －C 的余弦值； (3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC 的值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF ∥AB ，又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF →＝(1，3，0)，DE →＝(0，3，1) ，DA →＝(0,0,2)． 平面CDF 的法向量为DA → ＝(0,0,2)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? DF →·n ＝0，DE →·n ＝0， 即????? x ＋3y ＝0， 3y ＋z ＝0， 取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA →，n 〉＝DA → ·n |DA →||n |＝21 7， 所以二面角E －DF －C 的余弦值为21 7. (3)存在．设P (s ，t,0)，则AP →·DE → ＝3t －2＝0， ∴t ＝233， 又BP →＝(s －2，t,0)，PC → ＝(－s,23－t,0)， ∵BP →∥PC → ，∴(s －2)(23－t )＝－st ， ∴3s ＋t ＝2 3. 把t ＝233代入上式得s ＝4 3，∴BP →＝13BC →，∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时，BP BC ＝13. 22. (12分)[2014·课标全国卷Ⅱ]如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)证明：PB ∥平面AEC ； (2)设二面角D －AE －C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E －ACD 的体积． 解：(1)连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC ，所以PB ∥平面AEC . (2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP → |为单位长，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E (0，32，12)，AE → ＝(0，32，1 2)． 设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC → ＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则????? n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0， 即??? mx ＋3y ＝0， 32y ＋1 2z ＝0， 可取n 1＝(3 m ，－1，3)． 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量，由题设知 |cos 〈n 1，n 2〉|＝1 2，即 33＋4m 2＝12 ，解得m ＝3 2. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E －ACD 的高为1 2.三棱锥E －ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝3 8. 1 / 10 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0, 第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点 ()()()11, 1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性 、、、四点共面， ，，， 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，, ,都叫做基向量. 一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111 ()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ） Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ） Ａ．51122--，， Ｂ．51122 -，， Ｃ．51122 --，， Ｄ．51122 ，， 答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-， ，b 的夹角的余弦值为8 9，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412??- ???，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ 二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055?? - ??? ，， 高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标： 2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F 课时作业(二十) [学业水平层次] 一、选择题 1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均不对 【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且 异面直线所成角的围为? ????0，π2.应选A. 【答案】 A 2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.52266 B ．－52266 C.52222 D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266， ∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为52266 . 【答案】 A 3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD → ＝(0,1,0)． 取PD 中点为E ， 则E ? ????0，12，12， ∴AE → ＝? ????0，12，12， 易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴ cos AD →，AE →＝22 ， ∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B 4．(2014·师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( ) 高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线 高中数学-空间向量的基本定理练习 课后导练 基础达标 1.若对任意一点O ，且OP =y x +,则x+y=1是P 、A 、B 三点共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 2.已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM OM=x + 31+31,则x 的值为…( ) A.1 B.0 C.3 D. 3 1 答案：D 3.在以下命题中,不正确的个数是（ ） ①已知A,B,C,D 是空间任意四点,则DA CD BC AB +++=0 ②|a |+|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件 ③若a 与b 共线,则a 与b 所在的直线的平行 ④对空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若z y x ++=,(其中x,y,z∈R ),则P,A,B,C 四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 4.设命题p:a ,b ,c 是三个非零向量;命题q:{a ,b ,c }为空间的一个基底,则命题p 是命题q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 5.下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OM --= B.MC MB MA ++=0 C.3 13131++++ D.OC OB OA OM +-=2 答案：B 6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为矩形ABC Ｄ的对角线的交点，设A 1=a,11B A =b,11D A =c,则E A 1=____________. 答案：a +21b +21c 7.设O 为空间任意一点,a,b 为不共线向量,OA =a,OB =b,OC =ma+nb,(m,n∈k)若A,B,C 三点共线,则m,n 满足____________. 答案：m+n=1. 8.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、C 一定共面？ (1)OP =52OA +51OB +5 2OC ； (2)OP=2OA-2OB-OC. 解：(1)OP = 52OA +51OB +52OC . ∵1525152=++,∴P 与A 、B 、C 共面. (2)OP =OC OB OA --22. ∵2-2-1=-1,∴P 与A 、B 、C 不共面. 9.如右图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =3 2CD . 求证：四边形EFGH 是梯形． 证明：∵E、H 分别是AB 、AD 的中点, ∴= 21,=2 1， EH =-=21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD =2 1(CB CD -) =21(23CG -23CF )=43(-)=4 3. ∴EH ∥FG 且|EH |=43|FG |≠|FG |. ∴四边形EFGH 是梯形. 综合运用 10.如右图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，11A A =c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是（ ） 高二数学 空间向量与立体几何测试题 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．// B ．⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65 7 5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ） A.+-a b c B. -+a b c C. -++a b c D. -+-a b c 6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 7．若a 、b 均为非零向量，则||||?=a b a b 是a 与b 共线的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知则35,2,23+-=-+= （ ） A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－1 高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（） A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4， 高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题 一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC u u u u r 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r Ｂ．111AB DD D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｃ．111AD CC D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｄ．11111()2 AB CD AC ++u u u u r u u u u r u u u u r 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=u u u r u u u r u u u r ，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-u u u r u u u r u u u r ， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 (2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F 空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． 1.若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的____________条件． 解析：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |?cos 〈a ，b 〉＝1?〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不成立． 答案：充分不必要 2.对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)． ①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0； ③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c . 解析：①中若a ⊥b ，则有a ·b ＝0，不一定有a ＝0或b ＝0. ③中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b . ④中当a ＝0时，a ·b ＝a ·c ，不一定有b ＝c . 答案：② 3.已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________． 解析：因为a 与2b －a 互相垂直，所以a ·(2b －a )＝0. 即2a ·b －a 2＝0.所以2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|a |2＝0， 所以cos 〈a ，b 〉＝22 ，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45° 4.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________． 解析：|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝13. 答案：13 [A 级 基础达标] 1.(2011·高考重庆卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝__________． 解析：|2e 1－e 2|2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，∴|2e 1－e 2|＝ 3. 答案： 3 2.若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·a a ·b )b ，则向量a 与c 的夹角为__________． 解析：a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·a a ·b )b ·a ＝a ·a －a ·a ＝0，∴a ⊥c . 答案：90° 3.已知三点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则三角形ABC 的形状是__________． 解析：AB →＝(3，4，－8)，BC →＝(2，－3，1)，AC →＝(5，1，－7)． ∴|AB →|＝89，|BC →|＝14，|AC →|＝75， ∴|AB →|2＝|BC →|2＋|AC →|2， 高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一 空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》 空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的 . 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，． 《空间向量与立体几何》习题 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ， 11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 A .－ 21a +21b +c B .21a +21b +c C .2 1a － 21b +c D .－21a －2 1 b + c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.OC OB OA OM --=23 B.OC OB OA OM 51 3121++= C.0=+++OC OB OA OM D.0=++MC MB MA 3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ?等于 A.41 B.4 1 - C.43 D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1 5.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A. 213 B.253 C.453 D.4 53 6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A .9π B .10π C .11π D .12π 8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BD C .AC 1⊥平面CB 1 D 1 D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A . 6 B .552 C .15 D .10 10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为 A.5 B.41 C.4 D.52 二、填空题（每小题5分，共20分） 11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy . 12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥， 1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2,6AB PA ==，则1B 到平面P AD 的距离为 . 三、解答题（共80分） 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2高二数学-空间向量与立体几何测试题
平面向量及空间向量高考数学专题训练
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义
高中数学空间向量与立体几何测试题及答案
高中数学-空间向量及向量的应用
空间向量与空间角练习题
高中数学的空间向量知识
高中数学-空间向量的基本定理练习
高二数学空间向量与立体几何测试题
(完整版)高中数学空间向量训练题
高中数学空间向量与立体几何测试题及答案
高中数学-空间向量及向量的应用
空间向量高中数学教案课程
苏教版数学选修2-1：3.1 空间向量及其运算3.1.5
高中数学典型例题解析平面向量与空间向量
高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习
高中数学 空间向量及其运算 教案
空间向量及立体几何练习试题和答案解析
高中数学空间向量与立体几何单元练习题