第一章 静力学的基本概念 受力图

教案

讲稿

绪论

一．理论力学的研究对象和内容

理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学。所谓的机械运动是指物体的位置随时间而变化。

理论力学的研究对象：刚体和质点

理论力学研究内容：共分为三部分，即静力学、运动学和动力学，静力学研究物体的受力分析，力系的简化和物体的平衡条件；运动学只从几何角度分析物体的运动；动力学研究物体受力和物体运动的关系。

二．研究方法

物理模型(刚体，质点)→数学模型(方程)→求解

三．学习目的

是一门专业基础课；掌握一些科学的研究方法

静力学

静力学：研究物体在力系作用下的平衡条件的科学。

刚体：指物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。这是一个理想化的力学模型。事实上，任何物体受力后或多或少都会发生变形，因此，实际上并不存在绝对的刚体。但是，对那些在运动中变形极小，或虽有变形但不影响其整体运动的物体，忽略变形，对问题的研究结果不仅没有显著影响，而且可以使问题得以简化。这时，该物体可抽象为刚体。

由于静力学中所研究的物体只限于刚体，所以又称为刚体静力学。

力：指物体间相互的机械作用。这种作用使物体的机械运动状态发生变化或形状发生变化。前者称为运动效应（又称外效应），后者称为形变效应（又称内效应）。力对物体的效应取决于力的大小、方向和作用点三个要素，因此，力应以矢量表示，在本书中用黑色字体F 表示力矢量。在工程力学中采用国际单位制（SI），力的单位是牛顿，用N表示，或千牛顿，用kN表示。

力系：指同时作用在物体上的一群力。作用线在同一平面内的力系叫平面力系；作用线不在同一平面内的力系叫空间力系；作用线汇交于一点的力系叫汇交力系；作用线相互平行的力系叫平行力系；作用线既不汇交于一点，又不相互平行的力系叫一般力系。

平衡：指物体相对于惯性参考系(地面)处于静止或作匀速直线运动的状态。它是机械运动的特殊形式。在工程实际中，通常把固连于地球的参考系作为惯性参考系，用此参考系来研究物体相对于地球的平衡问题，所得结果能很好地与实际情况相符合。

在静力学中，我们将研究以下三个问题：

1）物体的受力分析分析某个物体或物体系统共受几个力，以及每个力的作用位置和方向。

2）力系的等效与简化 将作用在物体上的一个力系用另一个与其等效的力系来代替，这两个力系互为等效力系。如果用一个简单力系等效地替换一个复杂力系，则称为力系的简化。如果某力系与一个力等效，则此力称为该力系的合力，而力系中各力称为此力的分力。

3）力系的平衡条件 研究作用在物体上的各种力系所需满足的条件。使物体处于平衡状态的力系称为平衡力系。

第一章 静力学公理和物体的受力分析

§1-1 静力学的公理

公理是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。

公理1 力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。如图a 所示。或者说，合力矢等于这两个力矢的几何和，即F R ＝F 1+F 2

力的平行四边形也可演变成为力三角形，由它能更简便地确定合力的大小和方向，如图b 、c 所示，而合力作用点仍在汇交点A 。

这个公理表明了最简单力系的简化规律，它是复杂力系简化的基础。

公理2 二力平衡条件

作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要与充分条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且在同—直线上，如图所示，即F 1＝―F 2

这个公理揭示了作用于物体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件。对刚体来说这个条件既是必要的，又是充分的；但对于变形体，它只是平衡的必

R F

2F 1F

O

R

2F

1F

R F

O

2

工程上，把只受两个力作用而处于平衡的物体， 称为二力构件(又称二力杆)。根据二力平衡条件可知， 二力构件不论形状如何，其所受的两个力的作用线， 必沿这两个力作用点的连线。这一性质在对物体进行 受力分析时极为有用。

公理3 加减平衡力系原理

在作用于刚体上的已知力系中加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

这个公理是研究力系等效替换的重要理论依据。但必须注意，此公理也只适用于刚体而不适用于变形体。

由上述公理可以导出如下重要推论： 推论1 力的可传性

作用在刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。

如图(a )所示的刚体，在A 点受力F 作用，若在力F 的作用线上任一点B 加上一平衡力系'F 、''F ，且使'''F F F -==(图b )，则F 与'F 又构成一平衡力系，将此力系去掉后，可得到作用于B 点的力''F (图c )。于是，原作用于A 点的力F 可以沿其作用线移到B 点。

根据力的可传性，力对刚体的效应与力的作用点无关。因此，对于刚体来说，力的三要素是力的大小、方向和作用线。在这种情况下，力矢可沿其作用线任意滑动，成为滑动矢量。

推论2 三力平衡汇交定理

作用于刚体上的三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

设有三个互相平衡的力F 1、F 2、F 3分别作用于刚体上 的A 、B 、C 三个点。已知F 1和F 2的作用线交于O 点，根 据力的可传性，将力F 1和F 2移到汇交点O ，并用力的平行 四边形规则，求得其合力F 12。则F 3应与F 12平衡。由于两力

'

''

(a )

(b )

(c )

2

平衡必需共线，所以，力F3必定与力

F1和F2共面，且通过力F l和F2的汇交点O。

三力平衡汇交定理说明了不平行的三个力平衡的必要条件，有时用此来确定第三个力的作用线的方位。

公理4作用和反作用定律

作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等，方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。作用与反作用力一般用('

,

N

N

F

F)表示。

用力和反作用力总是成对出现的。由于作用力和反作用

力分别作用在两个物体上，因此，不能视为平衡力系。

公理5刚化原理

变形体在某一力系作用下处于平衡时，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

这个公理提供了把变形体抽象为刚体模型的条件。刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。

静力学全部理论都可以由上述五个公理推证而得到。这既能保证理论体系的完整和严密性，又可以培养读者的逻辑思维能力。

§1-2 约束和约束反力

一．基本概念

自由体和非自由体：位移不受限制的物体为自由体，如空中飞行的炮弹，而位移受到限制的物体为非自由体，如公路上行驶的汽车等。

约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。

约束反力：约束对被约束刚体的反作用力称为约束反力。常见约束类型有：光滑接触表面约束、柔索约束、光滑铰链约束(包括固定铰链支座约束、可动铰链支座约束以及链杆约束等)和其它约束等。约束反力的方向应与约束所能阻碍的位移方向相反。

1．光滑接触表面的约束

N

光滑接触表面的约束反力：作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，指向被约束的物体。 2．柔软绳索、链条、皮带的约束

绳索等对物体的约束反力，作用在接触点，方向沿着绳索，背离物体，恒为拉力。 3．光滑铰链的约束

4．其它约束 (1) 滚动支座

(2) 球铰链(圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束称为球铰链)

2T

'2T

N F

A

N F

(3) 止推轴承

§1-3 物体的受力分析和受力图

一．物体的受力分析

在工程实际中，为了求出未知的约束反力，需要根据已知力，应用平衡条件求解。为此，首先要确定构件受了几个力，每个力的作用位置和作用方向，这种分析过程称为物体的受力分析。

作用在物体上的力可分为两类：一类是主动力，例如，物体的重力、风力、气体压力等，一般是已知的；另一类是约束对于物体的约束反力，为未知的被动力。 二．受力图

为了清晰地表示物体的受力情况，我们把需要研究的物体（称为受力体）从与其相联系的周围的物体（称为施力体）中分离出来，单独画出它的简图，这个步骤叫做取研究对象或取分离体。然后把施力体作用于研究对象上的主动力和约束反力全部画在简图上，这种表示物体受力情况的简明图形称为受力图。画物体的受力图是解决静力学问题，乃至动力学问题的一个重要步骤。画受力图的步骤为：

1)．根据题意及已知条件确定研究对象，取分离体，单独画出其简单图形； 2)．分析分离体上所受到的力的情况，即主动力和约束反力； 3)．在分离体上画出其所受到的全部力，即主动力和约束反力。

例1．如图所示的碾子，重为P 。在压路面时受到一石块的阻碍，不计摩擦，画出碾子的受力图。

(1)取研究对象 将碾子从周围物体的联系中分离出来，单独画出其轮廓简图。 (2)画主动力 碾子受主动力P 作用F 作用，作用点在碾子的重心上。

(3)根据约束的性质，画出约束反力 使碾子成为分离体时，需要在A 、B 两处分别解除墙壁、地面的约束，因此，必须在这两处加上相应的约束反力来代替。根据A 、B 两处均为

(b )

(a )

光滑面约束的特点，墙面、地面作用于梯子的约束反力F NA 、F NB ，分别沿各自接触面公法线方向指向梯子。梯子的受力图如图(b )所示。

例2 重量为P 的梯子AB ，搁在水平面和铅垂墙壁上。在D 点用水平绳索DE 与墙面相连，如图所示。不计摩擦，试画出梯子AB 的受力图。

解 (1)取研究对象 将梯子AB 从周围物体的联系中分离出来，单独画出其轮廓简图。 (2)画主动力 梯子受主动力P 作用，作用点在梯子的重心上，方向铅垂向下。 (3) 根据约束的性质，画出约束反力 使梯子成为分离体时，需要在B 、C 、D 三处分别解除地面、墙壁、绳索的约束，因此，必须在这三处加上相应的约束反力来代替。根据A 、D 两处均为光滑面约束的特点，地面、墙面作用于梯子的约束反力F B 、F C ，分别沿各自接触面公法线方向指向梯子。绳索作用于梯子的拉力F D 沿着DE 方向背离梯子。

梯子的受力图如图(b )所示。

例3 水平梁AB 用斜杆CD 支承，A 、C 、D 三处均为光滑铰链连接，如图(a )所示。均质梁AB 重P 1，其上放置一重为P 2的电动机。不计斜杆CD 的自重，试分别画出斜杆CD 和梁AB (包括电动机)的受力图。

解 (1)斜杆CD 的受力图 取CD 为研究对象，由于斜杆CD 自重不计，且只在C 、D 两处受铰链约束，因此斜杆CD 为受压二力杆。由此可确定C 、D 两处的约束反力F C 和F D 的作用线沿铰链中心C 与D 的连线，且F C ＝―F D ，方向如图(b )所示。

(2) 取梁AB (包括电动机)为研究对象，梁AB 受主动力P 1和P 2的作用。在铰链D 处受

斜杆CD 给它的约束反力D

F '的作用，根据作用和反作用定律知，D D F F -='。A 处受固定铰支座给它的约束反力的作用，由于方向未知，可用两个正交分力F Ax ，F Ay 表示。

(a ) B

F (b )

C F

B

梁AB 的受力图如图(c )所示。

例4 水平梁AB 受垂直力F 的作用，试画出梁AB 的受力图。

解 (1) 取研究对象 取AB 梁为研究对象。将AB 梁从周围物体的联系中分离出来，单独画出其轮廓简图。

(2)

画主动力 AB 梁受主动力F 作用，作用点在点C 上，方向铅垂向下。

(3) 画约束反力 在铰链B 处受活动铰支座的约束，其约束反力垂直于钭面，在A 处受固定铰支座给它的约束反力的作用，由三力平衡汇交原理可确定其方向，梁AB 的受力图如图(b )所示。

例5 如图所示的球C 放在钭杆AB 和墙之间，其重量分别为P 1和P 2。试画出钭杆AB 和球C 的受力图。

解：(1)斜杆AB 的受力图 取AB 为研究对象，斜杆AB 自重为P 1，在A 、B 、D 三处分别受铰链约束，由于不计摩擦，故B 、D 处的约束反力分别垂直于AB 杆，其约束反力分别用B F 和D F 表示，而A 处为固定铰支座的约束，由于方向未知，可用两个正交分力F Ax ，F Ay 表示。其受力图如图(b )所示。

(2) 取球C 为研究对象，球C 受主动力P 2的作用。在点D 和点E 处分别受到杆和墙面

的约束反力D

F 和E F 的作用。球C 的受力图如图(c )所示。

例6 图(a )所示的三铰拱，由左、右两拱铰接而成，在拱AC 上作用有载荷F 。若各拱自重不计，试分别画出拱AC 和CB 的受力图。 (b )

(a )

'D F

(a )

(c )

'

'

C

解 (1)拱BC 的受力图 取拱BC 为研究对象，由于不计拱BC 自重，且在B 、C 两处为铰链约束，因此拱BC 为二力构件，在铰链中心B 、C 处分别受F B 、F C 两力的作用，且F B ＝―F C ，这两力的方向如图(c )所示。

(2)拱AB 的受力图 取拱AC 为研究对象，拱AC 所受的主动力为F 。拱BC 通过铰链C

对拱AC 的作用力为C

F '，根据作用和反作用定律，C C F F -='。拱在A 处受固定铰支座给它的约束反力F A 的作用，由于方向未定，可用两个正交分力F Ax 、F Ay 代替。拱AC 的受力图如图(b )所示。

另外，由于拱在F P 、C

F '、F A 三个力作用下处于平衡，因此，可根据三力平衡汇交定理，确定铰链A 处的约束反力F A 的方向。点D 为力F P 、C

F '作用线的交点，当拱AC 平衡时，反力F A 的作用线必通过点D ，拱AC 的受力图也可画成图(d )。至于F A 的指向，暂且假定如图(d )所示，以后可由平衡条件确定。

例7 如图a 所示，梯子的两部分AB 和AC 在点A 铰接，又在D ，E 两点用水平绳连接。梯子放在光滑水平面上，若不计自重，但在AB 的中点H 处作用一铅直载荷F 。试分别画出绳子DE 和梯子的AB 、AC 部分以及整体的受力图。

解 (1)绳子DE 的受力图 绳子两端D ，E 分别受到梯子对它的拉力F D ，F E 的作用。它们是一对平衡力。绳子DE 的受力图如图(b )所示。

(2)梯子AB 部分的受力图 它在H 处受到载荷F 的作用，在铰链A 处受到AC 部分给

它的约束反力F Ax 和F Ay 。在点D 受绳子对它的拉力D

F '，D F '是D F 的反作用力。在点B 受光滑地面对它的法向约束反力F B 。梯子AB 部分的受力图如图(c )所示。

(3)梯子AC 部分的受力图 在铰链A 处受到AB 部分给它的约束反力F 'Ax 和F 'Ay 。F 'Ax

(a )

D F

E F

F

C

C

B F

C C

和F 'Ay 分别是F Ax 和F Ay 的反作用力。在点E 受绳子对它的拉力E

F '，E F '是E F 的反作用力。在点C 受光滑地面对它的法向约束反力F C 。梯子AC 部分的受力图如图(d )所示。

(4)整个系统的受力图 由于铰链A 处所受的力互为作用力与反作用力，这些力都成对地作用在整个系统内，称为内力。内力是指系统内部各物体之间的相互作用力。内力对整个系统的作用效应相互抵消，并不影响整个系统的平衡，故在受力图上不必画出。在受力图上只需画出系统以外的物体给系统的作用力，这种力称为外力。这里，在H 处受载荷F ，在点B 、C 受光滑地面对它的法向约束反力F B 、F C ，它们都是作用于整个系统的外力。整个梁的受力图如图(e )所示。

应该指出，内力与外力的区分不是绝对的，在一定的条件下，内力与外力可以相互转化。例如，当我们把梯子的AC 部分作为研究对象时，F 'Ax 、F 'Ay 和E

F '均属于外力，但取整体为研究对象时，它们又属于系统内力。可见，内力与外力的区分，只有相对于某一确定的研究对象才有意义。 注意的问题：

1．五个公理和两个推论集中反映了力的基本性质，它是对物体进行受力分析及解决静力学计算问题的基础，必须深入理解，并能应用它们分析实际问题。

2．画出物体的受力图，是解决静力学问题的第一步，必须充分认识其重要性。 3．画受力图，关键的问题是正确地画出约束反力。虽然约束反力的大小和方向都依赖于主动力，但我们只能按照约束的性质来分析约束反力，不能由主动力的情况来臆定约束反力，这样做容易出错。应能熟练地掌握几种常见约束类型及其约束反力的表示方法。

4．在对多刚体进行受力分析时，应注意当解除约束时，约束反力将成对出现，它们分别作用在不同的刚体上。若其中一个的指向已知，则另一个应按作用与反作用定律来确定。当不解除约束时，约束反力应该是内力，不能画出。

5．应领会受力图的“受”字。我们只能把分离体上受到的力画在受力图上，不能把分离体作用在别的刚体上的力，画在自己的受力图上。画受力图时还应注意保持系统的相对位置，图形与标注要整洁准确。