2015高考数学模拟题及解析_2015年辽宁高考数学模拟题及解析

注意事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,5}A =，{3,4}B =，则 U A B =eI A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2} 2．在复平面内，复数

323i

i

-对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出2份作业，则每个学生拿的都不是自己作业的概率是

A ．

16 B ．1

3

C ．14

D ．23 4．已知双曲线22

221(0)x y b a a b

-=>>的两条渐近线的夹角为60?，则双曲线的离心率为

A ．3

B ．2

C ．4

3

D ．233

5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ①(||)y f x =；②()y f x =-；③()y xf x =；④()y f x x =+．[来源:学.科.网]

A ．①③

B ．②③

C ．①④

D ．②④ 6．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项 等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那 么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是 A ．,10b c i =≤ B ．,10c a i =≤ C ．,9b c i =≤ D ．,9c a i =≤ 7．已知抛物线C ：2

8y x =焦点为F ，点P 是C 上一点，若△POF 的面积为2，则||PF =

0,1,3

a b i ===S a b =+S S c

=+c a b =+a b

=1

i i =+否是输出 S 结束

开始

A ．

52 B ．3 C ．7

2

D ．4 8．一个体积为25

3

的四棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该棱锥

的左视图的面积为

A ．

252 B ．25

3 C ．25

4 D ．256

9．已知向量(1,2)a =-r ，(3,6)b =-r

，若向量c r 满足c r 与b r 的夹角为

120?，(4)5c a b ?+=r r r

，则c =r

A ．1

B ．5

C ．2

D ．25 10．已知4log 2a =，6log 3b =，lg5a =，则

A ．a b c <<

B ．c a b <<

C ．c b a <<

D ．b c a << 11．如图是函数π

()sin(2) (0,||)2

f x A x A ??=+>≤图象的一部分，对不 同的12,[,]x x a b ∈，若12()()f x f x =，有12()3f x x +=，则?的值为 A ．

π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3

12．已知数列{}n a 满足(1)

2

1(1)n n n n a a n +++=-，n S 是其前n 项和，若20151007S =-，则1a =

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。

13．不等式组02201x y x y x -≤??

-+≥??≥-?

表示的平面区域是面积为 ．

14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若945S =，则5a = ．

15．A 、B 、C 三点在同一球面上，135BAC ∠=?，BC =2，且球心O 到平面ABC 的距离为1，则此

球O 的体积为 ．

俯视图

1

1主视图

16.设函数{}

()min 2,|2|f x x x =-其中,min{,},a a b

a b b b a ≤?=?≤?

，若动直线y m =与函数()y f x =的图

像有三个交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ++的范围为 ． 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin sin cos sin cos C B a B

B b A

-=

． （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若3a =，sin 2sin C B =，求b 、c 的值．

（18）(本小题满分12分)

在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面A BCD ，PD ⊥PB ，PA PD =． （Ⅰ）求证： PD ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）设E 是棱AB 的中点，90PEC ∠=?，2AB =， 求四棱锥P ABCD -的体积．

E

D C

B

A

P

（19 ）(本小题满分12分)

为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克），将他们的体重数据整

理后得到如下频率分布直方图.已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第二小组的频数为12．

（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n ；

（Ⅱ）已知A 、a 是该校报考体育专业的两名学生，A 的体重小于55千克， a 的体重不小于70

千克．现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取小于55千克和不小于70千克的学生共6名，然后在从这6人中抽取体重小于55千克的学生2人，体重不小于70千克的学生1人组成3人训练组，求A 在训练组且a 不在训练组的概率.

（20）(本小题满分12分)

已知椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为2，A 是E 的右顶点，P 、Q 是E 上关于

原点对称的两点，且直线PA 的斜率与直线QA 的斜率之积为3

4

-．

（Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）过E 的右焦点作直线l 与E 交于M 、N 两点，直线MA 、NA 与直线3x =分别交

于C 、D 两点，记△ACD 与△AMN 的面积分别为1S 、2S ，且1218

7

S S ?=，求直线l 的方程．

（21）(本小题满分12分)

设函数2()e x f x ax =-（e 为自然对数的底），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为

(e 1)y x b =-+．

（Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）设0x ≥，求证：2

1()222

f x x x ≥+-．

请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C 、D 两点，交圆O 于E 、F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于点H ． （Ⅰ）求证：B 、D 、H 、F 四点共圆； （Ⅱ）若2,22AC AF ==，求△BDF 外接圆的半径．

（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴

重合．点A 、B 的极坐标分别为(2,π)、π

(,)4a （a ∈R ），曲线C 的参数方程为12cos (2sin x y θθθ=+??=?

为

参数)．

（Ⅰ）若22a =，求AOB ?的面积；

（Ⅱ）设P 为C 上任意一点，且点P 到直线AB 的最小值距离为1，求a 的值．

来源学科网

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数()|||2|f x x x a =+-．

（Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x ≤；

（Ⅱ）若不等式2()f x a ≥对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．

E

D

C

B

A

P

赣州市2015年高三模底考试文科数学参考答案

三、解答题

17．（1）由正弦定理得

2sin sin cos sin cos sinB cos sin cos C B a B A B

b A B A

-==…………………………2分

所以2sin cos sin()sin C A A B C =+=……………………………………………………4分 因为sin 0C ≠，故1

cos 2

A =………………………………………………………………5分 所以π

3

A =

……………………………………………………………………………………6分 （2）由sin 2sin C B =，得2c b =…………………………………………………………7分

由条件3,a =，π

3

A =，

所以由余弦定理得2

2

2

2

2

2

2cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=………………………9分 解得3,23b c ==………………………………………………………………………12分 18．（1）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，AB AD ⊥ 所以AB ⊥平面PAD ………………………………………………………………………2分 又PD ?平面PAD ，所以PD ⊥AB ………………………………………………………3分 又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PAB …………………………………………………………5分 （2）设2AD a =，则2PA PD a ==……………………………………………………6分

在Rt △PAE 中，22221PE PA AE a =+=+………………7分 在Rt △BEC 中，22241CE BC BE a =+=+………………8分

来源:Z,xx,https://www.360docs.net/doc/e67792025.html,]

在Rt △BEC 中，22224PC PD DC a =+=+……………9分 由90PEC ∠=?得222PE CE PC +=，即222214124a a a +++=+，解得2

2

a =……10分 所以四棱锥P ABCD -的高1222

h AD =

=………………………………………………11分

故四棱锥P ABCD -的体积1122

223323

ABCD V hS ==?

??=…………………………12分 19．解：（1）由图知第四组的频率为0.037550.1875?=，

第五组的频率为.0.012550.0625?= ………………………………………………………3分

又有条件知前三组的频率分别为0.125,0.25,0.375，所以12

480.25

n =

=…………………5分 （2）易知按分层抽样抽取6名体重小于55千克和不小于70千克的学生中，体重小于55千克的学生4人，记为,,,A B C D

体重不小于70千克的学生2人，记为,a b …………………………………………………6分 从中抽取满足条件的所有结果有：(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)A B a A B b A C a A C b A D a ，来源学科网

(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)A D b B C a B C b B D a B D b C D a C D b 共12种…………………10分

所求事件的概率为31

124

P =

=………………………………………………………………12分 20．（1）设0000(,),(,)P x y Q x y --，则2222

00

2()b y a x a

=-……………………………………1分 2

200022

2000PA QA

y y y b k k x a x a x a a

?=?==--+-，依题意有2234b a = 又1c =，所以解得224,3a b ==

故E 的方程为22

143

x y +=……………………………………………………………………5分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，代入E 的方程得22(34)690m y my ++-=……6分 设1122(,),(,)M x y M x y ，则1212

2269

,3434

m y y y y m m +=-=-++…………………………7分 直线MA 的方程为1

1(2)2

y y x x =

--，把3x =代入， 得111121C y y y x my =

=--，同理2

21

D y y my =-…………………………………………………8分 所以2122

1212||

||||31()1

C D y y CD y y m m y y m y y -=-=

=+-++ 所以2113||122

S CD m =

=+…………………………………………………………………9分 22122161

||||234m S AF y y m +=?-=+…………………………………………………………10分

21229(1)34m S S m +?=+，所以

229(1)18347

m m +=+，解得1m =±…………………………………11分 故直线l 的方程为10x y +-=或10x y -+=……………………………………………12分

21．（1）()e 2x f x ax '=-，所以()e 2f x a '=-…………………………………………1分

依题意知e 2e 1a -=-，解得1

2

a =

………………………………………………………2分 把点1(1,e )2-代入切线方程得1e e 12b -=-+，所以1

2

b =……………………………4分

（2）欲证21

()222

f x x x ≥+-，只需证2e 220x x x --+>……………………………5分

记2()e 22x g x x x =--+，则()e 22x g x x '=--，记()e 22x u x x =--………………6分 则()e 2x u x '=-，由此可知()u x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增…7分 因为(1)(2)0u u ?<，(1)(0)0u u -?<

故()0g x '=在(0,)+∞只有一个零点11(12)x x <<，且11e 22x x =+……………………9分 所以()g x 在1(0,)x 递减，在1(,)x +∞递增…………………………………………………10分 所以当0x ≥时，1221111()()e 2240x g x g x x x x ≥=--+=->……………………………11分 所以2e 220x x x --+> 故2

1()222

f x x x ≥

+-………………………………………………………………………12分 选做题[来源:学+科+网]

22．（1）因为AB 为圆O 的一条直径，所以BF FH ⊥…………………………………2分

又DH BD ⊥，所以,,,B D H F 四点共圆…………………………………………………4分 (2)因为AH 与圆B 相切于点F ，

由切割线定理得2

AF AC AD =?，代入解得AD =4………………………………………5分

所以1

()1,12

BD AD AC BF BD =

-===…………………………………………………6分 又△AFB ∽△ADH ，所以DH AD

BF AF

=………………………………………………………7分 由此得2AD BF

DH AF

?=

=………………………………………………………………8分 连接BH ，由（1）知，BH 为△BDF 外接圆的直径，223BH BD DH =+=……9分

故△BDF 的外接圆半径为

3

2

………………………………………………………………10分 23．（1）1

222sin13522

AOB S ?=

????=…………………………………………………4分 （2）依题意知圆心到直线AB 的距离为3…………………………………………………5分 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为2x =-，

12

O

y

x

12

1

显然，符合题意，此时22a =-……………………………………………………………6分 当直线AB 存在斜率时，设直线AB 的方程为(2)y k x =+………………………………7分

则圆心到直线AB 的距离2

|3|1k d k

=

+………………………………………………………8分

依题意有

2

|3|31k k

=+，无解…………………………………………………………………9分

故22a =-…………………………………………………………………………………10分 24