第六章实数教案
2013-2014学年第一学期数学初一备课组
第六章实数主备人：于川东单元（章）教学计划
1、地位与作用：
本章<实数>是人教版八年级数学上册第三十章内容。学习算术平方根，平方根，立方根之后，为学习实数打下基础；由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善。因此，本章是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。
2、目标与要求：
知识与技能
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；会用计算器求算术平方根；使学生理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。学会平方根的表示法和求非负数的平方根；进一步认识实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯过程与方法
通过了解平方与开平方的关系，培养学生逆向思维能力；能对具体情景中的数学信息作出合理的解释和推断、解决问题，能由实际问题抽象成数学问题，让学生讨论、类比提出自己的见解，并在探索的同时较好的获得新知；经历在具体例子中抽象出概念的过程，培养学习的主动性，提高数学运算能力。
情感态度与价值观
通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。
3、重点与难点：
重点：算术平方根、平方根、立方根的概念和运算；实数的认识。
难点：算术平方根与平方根联系与区别；有理数与无理数的区别。
4、教法与学法：
教师启发引导，学生自主探究，分类比较法，统一归纳法，自学讨论法，小组互动法等教学方法.
5、活动步骤：
一、创设导入；二、探索归纳；三、应用；四、练习；
五、课堂总结；六、布置作业；
6、时间安排：
6.1平方根 3课时
6.2立方根 2课时
6.3实数 2课时
复习与小结 2课时
6.1.1平方根
第一课时
【教学目标】
知识与技能：
通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；
过程与方法：
通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。
情感态度与价值观：
通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。
教学重点：算术平方根的概念和求法。
教学难点：算术平方根的求法。
教具准备:三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。
教学方法:自主探究、启发引导、小组合作
【教学过程】
一、情境引入：
问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出
25dm的正方形画布，画上自己得意的作品参加比一块面积为2
赛，这块正方形画布的边长应取多少？
二、探索归纳：
1.探索：
学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm
5。
接下来教师可以再深入地引导此问题：
如果正方形的面积分别是1、9、16、36、25
4
，那么正方形的边长分别是多少呢？
学生会求出边长分别是1、3、4、6、5
2
，接下来教师可以
引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。
2.归纳：
⑴算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
⑵算术平方根的表示方法：
a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。
三、应用：
例1、 求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵
6449 ⑶9
7
1 ⑷0001.0 ⑸0 解：⑴因为,100102=所以100的算术平方根是10，即
10100=；
⑵因为6449)87(2=，所以6449的算术平方根是8
7
，即
8
7
6449=； ⑶因为916)34(,9169712==，所以9
71的算术平方根是34
，即
3
4
916971
==；
⑷因为0001.001.02=，所以0001.0的算术平方根是01.0，即01.00001.0=；
⑸因为002=，所以0的算术平方根是0，即00=。 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；
②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；
③0的算术平方根是0。
由此例题教师可以引导学生思考如下问题：
你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？
归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。
即：只有非负数有算术平方根，如果a x =有意义，那么
0,0≥≥x a 。
注：0≥a 且0≥a 这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。
例2、 求下列各式的值： （1）4 （2）
81
49
（3）2)11(- （4）26 分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。 解：（1）24= （2）9
7
8149=
（3）1111)11(22==- （4）662=
例3、 求下列各数的算术平方根：
⑴23 ⑵34 ⑶2)10(- ⑷
610
1
解：(1)因为932=，所以3932==； ⑵因为238644==，所以86443==；
⑶因为2210100)10(==-，所以10100)10(2==-； ⑷因为
63101101=，所以3
610
1101=。 根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结： 1、由332=，662=，可得)0(2≥=a a a
2、由11)11(2=-，10)10(2=-，可得)0(2≤-=a a a 教师需强调0=a 时对两种情况都成立。 四、随堂练习：
1、算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿。
2、求下列各式的值：
1，
25
9
， 25， 2)7(- 3、求下列各数的算术平方根：
0025.0， 121， 24， 2)21(-，16
9
1
4、已知,011=-++b a 求b a 2+的值。 五、课堂小结
1、这节课学习了什么呢？
2、算术平方根的具体意义是怎么样的？
3、怎样求一个正数的算术平方根？ 六、布置作业
课本第75页习题13.1第1、2题
教学反思
6.1.2平方根
第2课时
【教学目标】
知识与技能：
会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题。
过程与方法：
通过折纸认识第一个无理数2，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。
情感态度与价值观：
通过探究2的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点：
①认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。
②会用算术平方根的知识解决实际问题。
教学难点：
认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 教学过程：
一、通过实验引入：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？
设大正方形的边长为x ，则22=x ，由算术平方根的意义可知2=x ，
所以大正方形的边长为2。 二、讨论2的大小：
由上面的实验我们认识了2，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论2的大小。
因为,42,1122==21＜2＜22，所以1＜2＜2. 因为96.14.12=，25.25.12=，所以4.1＜2＜5.1。 因为9881.141.12=，0164.242.12=，所以41.1＜2＜42.1 因为999396.1414.12=，002225.2415.12=，所以414.1＜
2＜415.1
……
如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。
2=41421356.1……
注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。2=41421356.1……，是个无限不循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如7,5,3等，圆周率π也是一个无限不循环小数。
三、用计算器求算术平方根： 大多数计算器都有“”键，用它可以求出一个有理数的
算术平方根或近似值。
例1、 用计算器求下列各式的值：
3136)1(； 2)2(（精确到)001
.0
解：（1）依次按键=3136，显示：56.所以563136=
（2）依次按键2=，显示：414213562.1，这是一个近似
值。所以.414.12≈
注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。 四、探索规律：
（1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
(2)用计算器计算3（结果保留4个有效数字），并利用你发现的规律写出03.0，300 ，30000的近似值。
你能根据3的值求出30的值吗？
学生通过计算器可求出（1）的答案，依次是：
250,1.79,25,91.7,5.2,791.0,25.0。从运算结果可以发现，被开方
数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根就扩大或缩小10倍。
由732.13≈可得
2.17330000,32.17300,1732.00
3.0≈=≈，由3的值不能求出30的值，因为规律是被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根才扩大或缩小10倍，而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出。
此题学生可独立完成。 五、实际应用：
例1、小丽想用一块面积为2400cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为2300cm
的长方形纸片，使它的长与宽之比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲解纠正这种错误的认识。
解：设长方形纸片的长为xcm 3，宽为xcm 2。
根据边长与面积的关系可得：30023=?x x ，30062=x ，
502=x ，50=x
∴长方形纸片的长为cm 503。因为50﹥49，所以50﹥
7，从而503﹥21
即长方形纸片的长应该大于cm 21，而已知正方形纸片的边长只有cm 20，这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。
答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
六、随堂练习：
1.用计算器求下列各式的值：
（1）1369 （2）2036.101 （3）5 （精确到01.0） 2、估计大小：
（1）140与12 （2）
2
1
5-与5.0 3、已知414.12≈，求02.0，0002.0，200，20000的值。
七、课堂小结
1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；
2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；
3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
4、怎样的数是无限不循环小数？ 八、布置作业
课本第75页习题13.1第3、5题 教学反思：
6.1.3平方根 第三课时
【教学目标】 知识与技能
了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根
过程与方法
通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。
情感、态度与价值观
通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。
教学重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。
教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 教学过程 一、情境导入
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
讨论：这样的数有两个，它们是3和－3.注意()932
=-中
括号的作用．
又如：25
4
2=
x ，则x 等于多少呢？ 二、探索归纳：
1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：如果2x =a ，那么x 叫做a 的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算．
2、观察：课本P73的图14.1-2.
图14.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．并根据这个关系说出1,4,9的平方根．
例4 求下列各数的平方根。 （1） 100 （2）
16
9
（3） 0.25 3、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题： 正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数a 的算术平方根可用a 表示；正数a 的负的平方根可用-a 表示．
例5 求下列各式的值。
（1）144， （2）－81.0， （3）196
121±
（4）256，
()2
56
归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
三、练习
课本P75 小练习1、2、3
四、小结：
1、什么叫做一个数的平方根？
2、正数、0、负数的平方根有什么规律？
3、怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？
五、作业
P75-76习题13.1第4、7、8题。
教学反思
6.2 立方根1
【教学目标】 知识与技能：
① 了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根；
② 会用计算器求一个数的立方根。 过程与方法：
从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。
情感态度与价值观：
通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。
教学重点：立方根的概念和求法 教学难点：立方根的求法。 教学过程： 一、情景引入：
要制作一种容积为327m 的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 二、探索归纳：
1.探索：设这种包装箱的边长为xm ，则273=x ， 这就是要求一个数，使它的立方等于27.
因为 2733=，所以 3=x ，即这种包装箱的边长应为m 3。
2.归纳：
① 立方根的概念：
一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
② 立方根的表示方法：
如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根。记作3a x =，3a 读作三次根号a 。
其中a 是被开方数，3是根指数，3a 中的根指数3不能省略。
③ 开立方的概念：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。
3、探索立方根的特点：
根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？
（1）因为823= ，所以8的立方根是（ ）； （2）因为( 125.0)3=，所以125.0的立方根是（ ） ；
（3）因为( 0)3=，所以0的立方根是（ ）； （4）因为( 8)3-=，所以8- 的立方根是（ ）；
（5）因为( 278)3-=，所以27
8
-的立方根是（ ）。
学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。
归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：
填空：因为=-38＿＿＿，=-38＿＿＿，所以38-＿＿＿38-；
因为=-327＿＿＿，=-327＿＿＿，所以327-＿＿＿327-
由上面两个例子可归纳出：一般地，33a a -=-。 注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的
绝对值的立方根，然后再确它的相反数。 三、应用：
例1、 求下列各式的值：
（1）364 （2）3125- （3）364
27- 分析：根据立方根的意义求解。
解：（1）4643= （2）51253-=- （3）4
364273-=- 例2、 求下列各式中x 的值： （1）008.03=x （2）8
3
33=
-x （3）8)1(3-=-x 分析：此题的本质还是求立方根。
解：（1）∵008.03=x ∴3008.0=x ∴2.0=x （2）∵8333=
-x ∴8273=x ∴2
3
=x （3）∵8)1(3-=-x ∴21=-x ∴3=x
四、随堂练习： 1、
立方根等于本身的数是＿＿＿，如果,
113a a -=-则=a ＿＿＿。
2、64-的立方根是＿＿＿＿，3)4(-的立方根是＿＿＿＿。
3、已知163+x 的立方根是4，求42+x 的算术平方根。
4、已知43=+x ，求33)10(-x 的值。
5、比较大小：（1）32.1＿＿31.2，（2）3
32-＿＿34
3
-，（3）3＿＿37
五、课堂小结
1.立方根和开立方的定义．
2.正数、0、负数的立方根的特征．
3.立方根与平方根的异同． 六、布置作业
课本第172页习题10.2第1、3、5、6题； 教学反思：
立方根（2）
【教学目标】
知识与技能：
③了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根；
④会用计算器求一个数的立方根。
过程与方法：
从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。
情感态度与价值观：
通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。
教学重点：立方根的概念和求法
教学难点：立方根的求法。
一、引入
1. 立方根及开立方的概念
2. 平方根与立方根有什么不同？
3、(1) 64的平方根是________立方根是________.
(2) 的立方根是________. (3) 3
7-是_______的
立方根.
(4) 若 ,则 x=_______, 若 ,则
x=________.
(5) 若 , 则x 的取值范围是__________
二、自主探究
1、完成教科书78页探究，总结规律
求负数的立方根，可以先求出这个负数的 的立方根，再取其 ，即 思考:立方根是它本身的数是 ，平方根是它本身的数是
2、一些计算机设有 键，用它可以求出一个立方根（或其近似值）。有些计算器需要用 键求一个数的立方根。 三、精讲精练
例1、 求下列各式的值：
（1）3125-； （2）311
102- （3）
3
1000
1
-
； 例2、求满足下列各式的未知数x ： 364x 1250+= 例3、用计算器计算3310，3610，3910，3310-，3610-的值，你发现了什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知62163=，则=3000216.0＿＿＿＿，=3216000＿＿＿＿。
分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：3
、被开立方
的数字、=，
这样即可显示出计算结果
解：101033=，2361010=，3391010=，1331010--=，
23
61010--=
由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大
3
27()92
=-x ()93
=-x x
x -=2
(完整)新人教版七年级下册第六章实数全章教案
6.1.1平方根（第一课时）】 知识与技能：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示； 过程与方法：通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。 情感态度与价值观：通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。 教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。 一、情境引入： 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为225dm 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1.探索： 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm 5。 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是1、9、16、36、25 4，那么正方形的边长分别是多少呢？学生会求出边长分别是1、3、4、6、5 2，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2.归纳： ⑴算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。⑵算术平方根的表示方法：a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。 三、应用： 例1、 求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵6449 ⑶9 71 ⑷0001.0 ⑸0 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；③0的算术平方根是0。由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？
人教版初一数学下册第六章实数复习教案
第六章实数复习课教案 魏邱乡初级中学中学赵凤杰 一、内容和内容解析 1．内容 平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念、运算． 2．内容解析 本章的内容是从典型的实际问题出发，首先介绍了算术平方根的概念和它的符号表示．然后学习了平方根和立方根的概念及符号表示，并通过开平方、开立方运算认识了不同于有理数的数-----无理数，使数的范围由有理数扩充到实数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，并能在实数范围内进行简单运算． 本章的重点内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．算术平方根是学习平方根的基础，类比平方根的探究思路和方法，对立方根进行了探究；通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，体会类比的研究方法和作用．实数与数轴上的点是一一对应的，可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，体验数形结合的数学思想． 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：复习平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，构建本章知识结构． 二、目标和目标解析 1．学习目标： 1.知识与技能 了解平方根与算术平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义掌握平方根的定义，会求一个数的平方根。 了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根. 2.过程与方法 经历有关归纳过程，归纳有关平方根，立方根的结论. 3.情感态度与价值观 敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题.
2．目标解析 达成目标（1）的标志是：通过复习本章的主要内容，进一步理解平方根、立方根、实数及有关概念，能建立这些概念之间的联系；明确算术平方根和平方根之间的区别和联系，平方根和立方根的之间的区别和联系，有理数和无理数之间的区别． 达成目标（2）的标志是：学生能够运用乘方与开方是互逆运算及实数的运算律和运算性质进行实数的简单运算；能求实数的相反数与绝对值；能用有理数估计无理数的大致范围，会进行实数的大小比较． 三、教学问题诊断分析 学生对正数开平方会有两个结果感到不习惯，容易将算术平方根和平方根混淆．对于负数没有平方根，学生接受起来也有一定的难度．平方根和立方根虽都是开方运算，但它们的表示方法和性质及运用是学生在练习中经常出错的地方；无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其定义比较抽象，学生没有任何感性认识，真正理解这个概念也有一定的困难．学生在复习课中既要对所学的知识能够重新回忆出来，又要在原有的基础上进行知识的建构，建立起不同知识之间的内在联系，从而建立起本章的知识结构，形成知识体系．基于以上分析，本课的教学难点是：本章知识点间的内在联系，知识体系的建构． 四、教学过程设计 (一) 热身游戏 明七暗七 设计意图：用问题引导学生回忆平方根与立方根的概念及它们之间的联系，梳理知识，构建体系． 头脑风暴 议一议思考：平方根和立方根之间的联系与区别： 师生活动：学生独立解答后，小组交流、全班展示.教师关注：学生对平方根及立方根
完整版七年级数学实数单元教学设计
初中七年级数学“实数”单元教学设计 课题：第六章“实数”单元教学设计 教材版本：人教版数学教科书 教学年级：七年级（下册） 一．教材分析 本章内容包括算术平方根、平方根和立方根，并通过开平方和开立方运算认识 一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数。 随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展。在实数范围内，不仅能进行加、 减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行 开立方运算。 在平方根、立方根、算术平方根、实数的概念的基础上，建立了完整的实数体 系。本章教材在初中数学中具有重要的地位，是进行其他内容学习的理论基础和运 算基础（如一元二次方程、解直角三角形、函数、
二次根式等）。同时，在理论的 运算中也常用开方运算，故务必要学好。 二．学情分析 本章包括平方根、算术平方根、立方根、用计算器求算术平方根、无理数、实 数等内容。在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算，学习了有理数 的概念，具备了学习数的开方和学习无理数的条件，大部分学生对后继知识的学习 有较强的欲望，但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透，对无理数的学习信 心不足，产生畏难和厌学情绪，教学中要注意及时引导。 三．教学目标 （一）知识与技能 1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、 平方根、立方根； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立 方运算求某些数的立方根，会用计算器求算术平方根和立方根；
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，了解数 的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化，并会进 行简单的实数运算。． 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。（二）过程与方法 通过学习算术平方根、平方根、立方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象 思维。用类比的方法探寻出平方根与立方根的运算及表示方法，并能自己总结出算 术平方根与平方根，平方根与立方根的异同。用数形结合的方法理解实数与数轴上 的点的一一对应关系，实数的绝对值，相反数的意义。 （三）情感与态度 1.通过解决实际生活中的问题，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。 2.通过对平方根的学习，培养学生从多方面、多角度分析问题，解决问题的思 想意识，养成全面分析问题的习惯。 3.通过探究活动培养学生动手能力，锻炼学生克服
新人教版第六章实数知识点归纳教学提纲
实数知识点总结 一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 （1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 （2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的 平方根。 （3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做 a的立方根。 2、运算名称 （1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根，记作“a”。 （2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。 （3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 ，a的算术平方根a；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正（1）若a≥0，则a的平方根是a 的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。 实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。 （3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 二、小数点移动规律 平方根（如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位）立方根（开立方的小数点移动规律：被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位） 三、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总 【知识点一】实数的分类 1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数. 【知识点二】实数的相关概念 1.相反数 (1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0. (2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值|a|≥0． 3.倒数（1）0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数. ▲▲平方根【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0 有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩 小）倍，例如. 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 n n50 2500 ,5 25= =
第六章实数复习课教案(1)
第六章实数复习课教案 枣阳市新市镇钱岗中学莘义成 一、内容和内容解析 1．内容 平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念、运算． 2．内容解析 本章的内容是从典型的实际问题出发，首先介绍了算术平方根的概念和它的符号表示．然后学习了平方根和立方根的概念及符号表示，并通过开平方、开立方运算认识了不同于有理数的数-----无理数，使数的范围由有理数扩充到实数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，并能在实数范围内进行简单运算． 本章的重点内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．算术平方根是学习平方根的基础，类比平方根的探究思路和方法，对立方根进行了探究；通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，体会类比的研究方法和作用．实数与数轴上的点是一一对应的，可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，体验数形结合的数学思想． 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：复习平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，构建本章知识结构． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的联系，形成知识体系； （2）巩固开平方和开立方运算． 2．目标解析 达成目标（1）的标志是：通过复习本章的主要内容，进一步理解平方根、立方根、实数及有关概念，能建立这些概念之间的联系；明确算术平方根和平方根之间的区别和联系，平方根和立方根的之间的区别和联系，有理数和无理数之间的区别． 达成目标（2）的标志是：学生能够运用乘方与开方是互逆运算及实数的运算律和运算性质进行实数的简单运算；能求实数的相反数与绝对值；能用有理数估计无理数的大致范围，
新人教版八年级数学第13章实数教案(全章)
第1课时 平方根（1） 教 学 目 标 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 教学重点 算术平方根的概念。 教学难点 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、创设情境 导入新课 【问题1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252 dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm ？若面积是1、9、16、36、 25 4 时，边长又是多少呢？ 从现实生活中提出数学问题，使学生积极主动地投入到数学活动中去，同时为学习算术平方根提供背景和生活素材． 二、合作交流 解读探究 学生独立思考回答问题． 教师倾听学生的解题过程，并对学生的回答总结如下： 因为52=25，所以正方形画布的边长是5 dm ． 在此基础上，学生独立求出面积为1、9、16、36、25 4 的正方形的边长为1、3、4、6、5 2． 这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？ 【问题2】已知一个数的平方，怎样求出这个数呢？ 【知识储备】 1、什么样的运算是平方运算？ 2、你还记得1～20之间整数的平方吗？ 【自主探究】学生清理思路，阐述观点． 教师对学生的回答做出总结：已知一个正数的平方，求这个正数的思想方法是平方运算的逆运算．在此基础上教师给出算术平方根的有关概念及规定． 【总结】一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根 号a ”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0. 【思考】卓玛认为，因为(－4)2 ＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？ a 表示的是正数、负数、非正数还是非负数？ 在求正方形边长的活动中，从学生已有求一个数平方的经验出发，求平方数的算术 平方根．根据平方与 开方互逆运算的关 系，建立新旧知识之间的联系，为引入一种新的运算作好铺 垫． 在会求一个平方数算 术平方根的基础上， 给出算术平方根的定义，有利于学生对概念的理解和把握． 让学生用自己的语言 有条理地、清晰地阐 述自己求算术平方根 的方法，提高语言表 达能力． 让学生知道a 是一种非负数的常见的表现形式。 根号被开方数a
新人教版七年级下册第六章实数全章教案24562
第六章实数 6.1.1平方根 第一课时 【教学目标】 知识与技能： 通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并 会用符号表示； 过程与方法： 通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。 情感态度与价值观： 通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。 教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。 教具准备：三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。 教学方法：自主探究、启发引导、小组合作 【教学过程】 一、情境引入： 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1. 探索： 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm。 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是1、9、16、36、—，那么正方形的边长分别是多 25 少呢?
学生会求出边长分别是1、3、4、6、2 ，接下来教师可以引导性地提问： 5 上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不 出来，教师需加以引导。 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2. 归纳： ⑴算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a 那么这个正数x 叫做a 的算 术平方根。 ⑵算术平方根的表示方法： a 的算术平方根记为、a ，读作“根号a ”或“二次很号a ”，a 叫做被开方数。 三、应用： 例1、 求下列各数的算术平方根： 49 7 ⑴100 ⑵4 - ⑶1 7 ⑷0.0001 ⑸0 64 9 解：⑴因为102 100,所以100的算术平方根是10，即? 100 10 ； ⑵因为(7)2 49 ，所以49的算术平方根是-，即..49 -； 8 64 64 8 V 64 8 ⑶因为1 ,() ，所以1—的算术平方根是一，即：1 9 9 3 9 9 3 V 9 V 9 3 ⑷因为0.012 0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即?. 0.0001 0.01 ； ⑸因为02 0，所以0的算术平方根是0 ,即0 0。 注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ② 求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求 解； ③ 0的算术平方根是0。 由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出一1, - 36, - 100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根
实数全章教案汇编
实数全章教案 12．1实数的概念 教学目标 知识与技能：了解数系从整数到有理数、再到实数的扩展过程，理解实数系统的结构，体会分类思想. 过程与方法：通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数. 情感态度价值观：通过动手操作经历发现无理数的过程，了解无理数是客观存在的数，了解无理数的发现是人类理性思维的胜利. 教学重点及难点 理解无理数是无限不循环小数，会辨别一个数是否是无理数. 教学用具准备 各种大小的正方形纸片若干、小剪刀若干、多媒体设备. 教学过程设计 一、 复习引入 教师设问： (1)我们已经学习了有理数，你能举出几个有理数吗？ (2)有理数都可以表示为哪种统一的形式？ (3)是不是所有的数都能表示为分数)0,(≠q q p q p 都是整数，且的形式？ 答：不是，无限不循环小数（如：π）就不能表示为该形式. [说明]前两个问题带领学生复习已有的相关知识；第三个问题设置疑问，引发学生的思考，带着这样的困惑和好奇学习新知. 二、 学习新知 1． 操作剪拼正方形，引出2. 要求：能否将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形？怎样剪拼？它的面积是多少？边长如何用代数符号表示？ 师：如果设该正方形的边长为x ，那么22=x ，即x 是这样一个数，它的平方等于2.这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度.由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示. 追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 类似的，分别用3（读作“根号3”）、5（读作“根号5”）来表示. 2． 尝试说明2是一个无限不循环小数. 要求学生尝试完成以下填空： 假设2是一个有理数，设)0,(2≠=q q p q p 表示整数且互素，同时，
新人教版七年级数学下册第六章实数单元测试卷及答案
第八早 实数单元同步测试卷 一、选择题(每小题 3分, 共30分) 1.下列语句中正确的是 ( ) A.49的算术平方根是 7 B.49 的平方根是-7 C.-49的平方根是7 D.49 的算术平方根是_7 7 — …_ : 3 2.下列实数3二，,0, . 2,- 3.15^, 9, 中，无理数有 8 3 3. -8的立方根与4的算术平方根的和是 5.下列各组数中互为相反数的是 b 6 _c _1 8. 若一个数的平方根是它本身，则这个数是 A 1 B 、-1 C 、0 D 、1 或 0 9. 一个数的算术平方根是 x ,则比这个数大2的数的算术平方根是 10.若3 x ' 3 y =0，则x 和y 的关系是 A. x 二y = 0 B. x 和 y 互为相反数 C. A. x 2 2 B 、 x 2 C. X 2 -2 D. X 2 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 A. 0 B. C. _2 D. _4 4.下列说法中: (1)无理数就是开方开不尽的数; (2)无理数是无限小数; (3)无理数包括正无理数、 零、负无理数; (4)无理数可以用数轴上的点来表示 个是正确的. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A . -2 与、(-2)2 -2 与 3 -8 C . -2 与一 1 D . -2 与2 6.圆的面积增加为原来的 n 倍, 则它的半径是原来的 A. n 倍； B. n _倍 2 C. n 倍 D. 2n 倍. 7.实数在数轴上的位置如图 6 —C —1，那么化简a -b - ；a 2的结果: A. 2a -b B. C. -b D. -2a b x 和y 相等 D. 不能确定
第六章实数全章教案
6 .1平方根（第1课时） 一、教学目标 1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念. 2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示. 二、重点和难点 1.重点：算术平方根的概念. 2.难点：算术平方根的概念. （本节课需要的各种图表要提前画好） 三、合作探究 请看下面的例子. 学校要举行美术作品比赛，扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？ （师演示一张面积为25平方分米的纸） （一）谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？ 答：因为52＝25（板书：因为52＝25），所以这个正方形画布的边长应取5分米（板书：所以边长＝5分米）. 这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念. 正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根. 正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根. 说说6和36这两个数？ ……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正） 说说1和1这两个数？ 同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说） 说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？还是先在小组里讨论讨论，说说自己的看法. （三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根 请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读） （师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.生
人教版初中数学七年级下册第六章实数题型归类
实数的典型题 1（1）若2m—4与3m—1是同一个数的平方根，求m的值 （2）已知2a—3与5—a是一个数的两个平方根，求a的值 （3）一个正数的两个平方根是a＋1和2a—22，求a的值 2（1）若正数的平方根为x＋1和x—3，求m的值 （2）已知2a—1与—a＋2是m的平方根，求m的值 （3）若某数的平方根是3a—5和21＋a，求这个数 3（1）已知2m＋2的平方根是±4，3m＋n＋1的平方根是±5，求m＋2n的值 （2）已知2a—1的平方根是±3，3a＋b—1的算术平方根是4，求a＋2b的平方根 （3）已知3x＋16的立方根是4，求2x＋4的平方根 （4）x＋3的平方根是±3，2x＋y—12的立方根是2，求＋的算术平方根 （5）2x＋1的平方根是±4，4x—8y＋2的立方根是—2，求—10（x＋y）的立方根 （6）已知2a—1的立方根是3，3a＋b＋5的平方根是7，c是的整数部分，求a＋2b＋的立方根 4（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，求＋＋的值
（2）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，求—＋＋1 的值 （3）x、y互为相反数，a、b互为倒数，c的绝对值等于5，—3是z的一个平方根，求（＋）＋ab—的值 （4）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，求— ＋ ＋的值 5（1） —＋（＋）＝0 求—的值 （2）|x—1|+ —）+ —＝0 求x＋y＋z的值 （3）|a—2|+ —＋ —）＝0 求＋—＋2c的值（4） —＋|—3y—13|＝0 求x＋y的值 （5） —＋）＋ —＝0且＝4 求＋＋的值（6）＋）＋ —）＝0 求＋的值 （7）|a＋b＋1|与＋＋互为相反数，求＋）的值（8）＋—（y—1） —＝0 求—的值
第六章实数复习课教案
第六章《实数》复习 七（ ）班 姓名________座号：______ 第____小组 一、自学范围：（P40-62) 二、自学目标： 1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根； 2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算； 3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，掌握实数的相反数和绝对值的意义； 4．理解实数与数轴上的点一一对应，理解有理数的运算律适用于实数范围． 教学重难点： 1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义； 2．算术平方根的意义及实数的性质． 三、基础知识回顾： 1、有理数 (1) 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 (2) 无限循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。例如： 0.333 …， 5.32727 …等等。 2、无理数 （1）无理数：无限不循环小数叫做无理数。 （2）无理数的特征： 1)无理数的小数部分位数不限； 2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。 3、实数 （1）实数的分类： （2）实数的性质：在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义，和在有理数范围内是一样的。数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示；反过来，每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点。（实数与数轴上的点一一对应。） （3）实数大小比较的方法： 1）有理数大小的比较法则在实数范围内同样适用，即： ???? ?????????????负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数0
法则1：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 法则2：正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小。 2）平方比较法。 3）作差比较法。 （4）运算：有理数的运算法则，运算顺序，运算性质在实数中同样适用。 四、典型习题 （一）、选择题 1、下面几个数：-1.732 ，1.010010001…， ，3π，，其中，无理数的个数有（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、4的平方根是( ) A.2 B.-2 C.±2 D.±2 3、下列说法中正确的是（ ） A 、 的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数 4、如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ） A 、211 B 、1.4 C 、 D 、 5、设 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6.下列各式中,无意义的是( ) A.-3 B.3- C.2(3)- D.310- 7、下列各组数中,互为相反数的一组是( ) A.-2与2(2)- B.-2与38- C.-2与-12 D.│-2│与2 8、 下列说法正确的是 ( ) A 、的算术平方根是-3； B 、的平方根是±15.
人教版七年级下册数学第六章《实数》复习参考教案
第六章实数小结与复习 教学过程 （一）引导学生复习知识要点： 1、平方根和开平方： （1）如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根．a的平方根记作±a.若x≥0，则x叫a的算术平方根 （2）求一个数平方根的运算叫开平方. 开平方互逆平方 （3）一个正数有两个平方根,它们互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根 注：a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数，即a≥0. 练习1： （1）求下列各数的算术平方根： ①900；②1；③49 ;④14. 64 （2）求下列各数的平方根： ①11②49 121 ③0.0004④(-25)2 （3）25的算术平方根是；3的平方根是；16的平方根是.（4）-27的立方根与16的平方根之和是. （5）化简: ① 1.44- 1.21;②8+32-2; 2、立方根和开立方： （1）如果x3=a，那么x叫做a的立方根．a的立方根记作3a.
3 9 3 （2）求一个数平方根的运算叫开平方. 互逆 开立方 立方 （3）正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0 的立方根为 0 练习 2： （1）．求下列各数的立方根： ① -27； ② 8 ; ③ 0.126; ④ -5. 125 （2）求下列各式的值： ① 3 - 8; ② 3 0.064; ③ - 3 8 125 ； ④ ( ) . 3、实数： （1）实数定义及分类： ①按定义分类 ② 按正负分类 （2）数从有理数扩充到实数后，有理数的相反数、倒数、绝对值、大小比较、 运算律、运算顺序、运算法则对实数同样适用. （3）两个一一对应： 实数 数轴上的点 有序实数对 坐标平面上的点 练习 3： （1）下列说法正确的是( ) A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无限不循环小数是无理数 D. π 是无理数, 故无理数也可能是有限小数 （2） 2 的相反数是 ， 3 5 的倒数是 ， 3 ，0，—π 的绝对值分别是 ，3—π 的绝对值是 . （3）判断下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数.
新人教版七年级数学下册第六章实数易错题
七年级数学《实数》测试卷 一、选择题（每小题3分，共21分） 1、 641的立方根是（ ） A.21± B.41± C.41 D.2 1 2、数8.032032032是（ ） A.有限小数 B.有理数 C.无理数 D.不能确定 3、.在下列各数：0.51525354…，100 49，0.2，π1，7，11131，327，中，无理数的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4、 下列说法正确的是（ ） A ． 0.25是0.5 的一个平方根 B ．.正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C ． 7 2 的平方根是7 D ． 负数有一个平方根 5、已知351.1 =1.147，31.15 =2.472，3151.0 =0.532 5，则31510的值是（ ） A.24.72 B.53.25 C.11.47 D.114.7 6、满足－3＜x ＜5的整数是（ ） A .－2，－1，0，1，2，3 B .－1，0，1，2，3 C .－2，－1，0，1，2， D .－1，0，1，2 7、.若033=+y x ，则y x 和的关系是 （ ） A.0==y x B. y x 和互为相反数 C. y x 和相等 D. 不能确定 二、填空题（每小题3分，共33分） 1、 2)4(-的平方根是_______，-343的立方根是 。 23±，则317-a = ；=-33)6( 。 3、一正方形的边长变为原来的m 倍，则面积变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n 倍，则棱长变为原来的 倍. 4、实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a -+ += . 5、当 时，33 45223+-+++-x x x 有意义。 6、不超过380-的最大整数是 .
人教版实数教案
人教版实数教案 【篇一：新人教版七年级下册第六章实数全章教案】 第六章实数 6.1.1平方根 第一课时 【教学目标】 知识与技能： 通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术 平方根并会用符号表示； 过程与方法： 通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的 算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。 情感态度与价值观： 通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的 数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。 教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。 教具准备: 三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 【教学过程】 一、情境引入： 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积 为25dm2的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？ 二、探索归纳： 1.探索： 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm。 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是1、9、16、36、4，那么正方形的边长分 别是多25 学生会求出边长分别是1、3、4、6、2，接下来教师可以引导性地 提问：5
上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生 可能总结不出来，教师需加以引导。 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2.归纳： ⑴算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。 ⑵算术平方根的表示方法： a的算术平方根记为a，读作“根号a”或“二次很号a”，a叫做被开 方数。 三、应用： 例1、求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵497 ⑶1 ⑷0.0001 ⑸0 649 解：⑴因为102=100,所以100的算术平方根是10，即=10；749497497⑵因为()2=，所以的算术平方根是，即=； 864648648 7164167474⑶因为1=,()2=，所以1的算术平方根是，即= =；993939993 ⑷因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即 0.0001=0.01；⑸因为02=0，所以0的算术平方根是0，即0=0。注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据 定义去求解； ③0的算术平方根是0。 由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平 方根 归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没 有算术平方根。即：只有非负数有算术平方根，如果x=a有意义， 那么a≥0,x≥0。注：a≥0且a≥0这一点对于初学者不太容易理解， 教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。 例2、求下列各式的值： （1）4（2）49 81（3）(-11)2 （4）62 分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。 解：（1=2（2497 81=9（3(-11)2=2=11
七年级数学下册第六章实数6.3实数教案新版新人教版
6.3 实数（第1课时） 教学目标1.了解无理数和实数的概念. 2.知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应. 3.了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化. 教学重点 实数的运算. 教学难点 实数的运算 教学内容 一、导入新课 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3，－53，847，119，911，9 5.二、新课教学 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即3＝3.0；－53＝－0.6；847＝5.875；119＝0.81；911＝1.2；9 5＝0.5.归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.无限不循环小数又叫无理数，π=3.1415926…也是无理数；有理数和无理数统称为实数.
由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也有正负之分，所以实数还可以按大小分类如下： 探究： 如下图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′对应的数是多少？ 从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′的对应数是π.这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来. 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. 数a的相反数是－a，这里a表示任意一个实数.一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 三、课堂练习 四、课堂小结 1.什么叫做无理数？ 2.什么叫做有理数？ 3.有理数和数轴上的点一一对应吗？ 4.无理数和数轴上的点一一对应吗？ 5.实数和数轴上的点一一对应吗？
人教版七年级数学下册第六章实数单元练习题
-7C．- 16 93D． 第六章实数 一、单选题 1．64的平方根是（） A．4B．±4C．8D．±8 2．圆的面积增加为原来的m倍，则它的半径是原来的（） A．m倍B．2m倍C．m倍D．m2倍3．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是() A．0B．正整数C．0或1D．1 4．下列计算正确的是() A．38=±2B．-3-7=3=- 442 =± 93 2 5．下列四个数：,3.14,39,0.1010010001中，无理数是（） 7 A．2 7 B．3.14C．39D．0.1010010001 6．实数15的值在（） A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为16时，输出的y是() A．2B．4C．4D．8 8．关于8的叙述正确的是（）
A．8=3+5B．在数轴上不存在表示8的点 C．8=±22D．与8最接近的整数是3 9．给出四个数0，3，π，﹣1，其中最小的是（） A．0B．3C．πD．﹣1 10．填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为() A．180B．182C．184D．186 二、填空题 11．已知|a+2|+(b-1)2=0，则a+b的值为________. 12．2-5的绝对值是_______， 1 16的算术平方根是_______，364的倒数是_______．13．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则bc_____a（填“＞”“＜”或“＝”） 14．用※定义新运算,对任意实数a,b,都有a※b=b2+1则当M为实数时M※(M※ 2)=____________． 三、解答题 15．求下列各式中x的值
第二章 实数全章教案-
第二章实数 1．数怎么又不够用了 第一课时 数怎么又不够用了（1） 教学目标 1．通过拼图活动，让学生感觉无理数产生的实际背景和学习它的必要性。 2．进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在实际生活中大量存在，并对无理数产生感性认识。 重点：对无理数的感识 难点：对无理数的认识 教学过程 一、复习 1．什么叫有理数，举出例子。 2．勾股定理的内容？若Rt △ABC 的两个直角边分别是5、12，求它的斜边。 二、创设问题情境，引导学生思考，引入课题 出示投影（一）P25页首图文1 教师指出：随着人类的认识不断发展，人们发现，现实生活中确实存在不同于有理数的数，本章我们将学习元理数、实数、平方根、立方根的概念，学习利用估算或借助计算器求出一个无理数的近似值，并解决有关的实际问题。 出示课题：数怎么不够用了. 三、师生共同参与教学活动，获得生活中大量存在的不是有理数的认识 1．拼图活动 （1）让学生把准备好的两块边长相同的正方形，通过剪一剪、拼一拼，拼成一个大的正方形。 （2）鼓励学生充分思考，交流并给予引导。（3）教师把学生的几种做法在全班展示。 2．对拼图的结果作进一步分析 （1）设大正方形的边长为a ，a 满足什么条件？（2）a 可能是整数吗？说说你的理由。 （3）a 可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为分母的分数吗？说说你的理由。 （4）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。 教师鼓励学生充分进行思考、交流，给予适时引导。 学生的回答可能是。“l 2 ＝1，22 ＝4，32 ＝9……越来越大，所以a 不可能是整数。”“（ 2 1）2 ＝ 4 1，（ 3 2） 2 ＝9 4……结果都是分数，所以a 不可能是分数。”“两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以a 不可
新人教版 第六章 实数 压轴题集锦
新人教版第六章实数压轴题集锦 姓名___________班级__________学号__________分数___________ 一、选择题 ※1．如下图，数轴上表示1、2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数是（） A．2－1；B．1－2；C．2－2；D．2－2； B ※2．若︱x＋2︱＝－x－2，则x的取值范围是（） A．x≥－2；B．x＝－2；C．x≤－2；D．x＝0； ※3．若实数－1＜x＜0且y＝3x，则() A．x＞y；B．x＜y；C．x≤y；D．x与y的大小不确定； ※4．若a、b均为正整数，且a>b 组成的集合称为集合A 与集合B 的和，记为A ＋B ．若A ＝{－2，0，1，5，7}，B ＝{－3，0，1，3，5}，则A ＋B ＝____________． ※9．一个数的平方根是a 2＋b 2和4a －6b ＋13，那么这个数是 ． ※10．使︱x ︱≤2＋ 3 的正整数x 的所有可能的值是 ． ※11．如果7 的整数部分是a ，而1a 的小数部分是b ，则b ＝ ． ※12．规定用符号[x ]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]＝3．＝1，按此规定，－1]＝____________． ※13．任何实数a ，可用[a ]表示不超过a 的最大整数，如[4]＝4， ＝1．现对72进行如下操作： 72 第一次 ]＝8 第二次 ＝2 第三次 ＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行____________此操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是____________． ※14．已知a 是小于3＋ 5 的整数且︱2－a ︱＝a －2，则a 的所有可能值是 ． ※15．比较大小： 6 ＋ 2 ＋ 3 ． ※16．下面是一个某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第n (n 是整数，且n ≥3)行从左到右数第n －2个数是____________(用含n 的代数式表示) ※17．计算下列各式的值： ． ＝____________． ※18．已知︱6－3m ︱＋(n －5)2＝3m －6m －n ＝____________． 三、作图题 四、解答题 ※1．用作图的方法在数轴上找出表示3＋1的点A ．