高等代数复习提纲(上)

高等代数复习提纲(上期)

第一章多项式

1.1.数域

1.1.1.数域的定义.1.1.

2.一些常见的数域：有理数域、实数域、复数域、?(√2)、?(√3)、?(√π)、?(√e )、...

1.2.一元多项式的定义及运算

1.2.1.一元多项式的基本概念：定义、项、系数、次数、首项以及首项系数、首一多项式、两个多项式的相等.

1.2.2.零次多项式与零多项式的区别.

1.2.3.多项式的运算以及运算性质.如果f (x ),g (x )是非零多项式，那么?(f (x )+g (x ))≤max (?(f (x )),?(g (x )));?(f (x )g (x ))=?(f (x ))+?(g (x )).

1.3.多项式的整除

1.3.1.带余除法1.3.

2.整除的定义及基本性质.在什么情况下可以写f (x )g (x )，

这个商表示什么？1.4.最大公因式

1.4.1.两个多项式的公因式、最大公因式的定义.

1.4.

2.用辗转相除法求两个多项式的最大公因式并将最大公因式表示为这两个多项式的组合.

1.4.3.(f (x ),g (x ))表示什么？

1.4.4.两个多项式互素的定义及互素的充要条件.

1.4.5.多项式互素与整除的关系.

1.4.6.多个多项式的最大公因式以及互素的定义.

1.5.重因式、重根

1.5.1.单因式(单根)、重因式(重根)的定义.

1.5.

2.多项式的形式微商(高阶微商)的定义.

1.5.3.重因式定理(如果不可约多项式p (x )是f (x )的k 重因式(k ≥1)，那么它是微商f ′(x )的k ?1重因式.)及推论.

注：重因式定理的逆命题不对，试举一反例.

1.5.4.怎样判别一个多项式是否有重因式(f (x )有重因式?(f (x ),f ′(x ))=1.

1.6.多项式函数

1.6.1.多项式作为形式表达式与多项式函数的关系.这里定义的多项式函数与数学分析中的多项式函数有什么不同？多项式作为形式表达式相等的意义是什么？多项式作为函数相等的意义是什么？

1.6.

2.余数定理

1.6.3.什么是一个多项式的根？余数定理与多项式的根有何关系？

1.6.4.P[x]中n(≥0)次多项式在数域中的根的个数(重根按重数计算)≤n.由此推出两个次数都不超过n的多项式对n+1个不同的数有相同的值，则这两个多项式相等. 1.7.因式分解

1.7.1.不可约多项式的定义.

1.7.

2.因式分解及唯一性定理.

1.7.3.代数基本定理：每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一个根.

1.7.4.复系数多项式因式分解定理：每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，每个次数≥1的复系数多项式不可约的充分必要条件是该多项式的次数等于1.

1.7.5.实系数多项式因式分解定理：每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.因此，实数域上的次数>2的多项式一定可约.怎样判别一个实习数二次多项式在实数域上是否可约？

1.7.6.如果α是实系数多项式因式f(x)的根，则ˉα也是.因此，实系数多项式的虚根成对出现.

1.8.有理系数多项式

1.8.1.本原多项式的定义.任一个有理系数多项式都可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积，表示唯一性的意义.

1.8.

2.怎样将有理系数多项式的因式分解的问题化为整系数多项式的因式分解的问题.

1.8.3.整系数多项式的有理根的判别法.求整系数多项式的有理根.

1.8.4.整系数多项式在有理数域上不可约的Eisenstein判别法.

注：(1)该判别法的逆命题不成立.(2)在应用该判别法时，可以将所给的多项式作适当的变形.

1.8.5.在有理数域上存在任意次数的不可约多项式(如x n+2).

1.9.单位根的意义及应用.

第二章行列式

2.1.n级排列

2.1.1.n级排列的定义.

2.1.2.n级排列的逆序数的定义及求法.

2.1.

3.排列的奇偶性的定义.

2.1.4.对换改变排列的奇偶性.

2.1.5.n!个n级排列奇偶各半.

2.2.行列式的定义

2.2.1.n级行列式的定义.

2.2.2.n级行列式的项a1j1a2j2...a nj n的符号的判定.

2.2.

3.n级行列式的项a i1j1a i2j2...a i n j n的符号的判定.

2.2.4.上(下)三角形行列式、对角形行列式的计算.

2.2.5.什么是行列式的转置？

2.3.行列式的性质与计算

2.3.1.行列式的性质.

2.3.2.行列式的某个元素的余子式、代数余子式的定义.

2.3.3.行列式按行(列)展开的定理：若D=∣a ij∣n1，则

n

∑j=1a ij A sj=δis D,

n

∑

i=1

a ij A it=δjt D.

2.3.4.级数一定的数字行列式的计算.

2.3.5.级数任意但是元素分布有规律的行列式的计算.主要方法：(1)化三角形；(2)利用行列式的乘法规则；(3)表为行列式之和；(4)递推关系式法.

2.4.拉普拉斯定理

2.4.1.拉普拉斯定理的内容.

2.4.2.利用拉普拉斯定理计算某些特殊的行列式.

2.5.Vandermonde行列式

2.5.1.什么是Vandermonde行列式？它等于什么？

2.5.2.当a1,a2,...a n是互不相同时，Vandermonde行列式V(a1,a2,...a n)=0.

2.6.克莱姆法则

2.6.1.克莱姆法则的内容.

2.6.2.利用克莱姆法则解线性方程组.

2.6.

3.利用克莱姆法则判别方程个数与未知量个数相同的线性方程组有解，并且解是唯一的.特别地，如果方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解.

第三章线性方程组

3.1.向量

3.1.1.n维向量的定义.

3.1.2.向量的运算：加法、数乘.

3.1.3.什么是一组向量的线性组合？什么叫做一个向量由一组向量线性表出？

3.1.

4.向量α可以由向量组β1,β2,...,βs线性表出的充要条件是线性方程组

x1β1+x2β2+...+x sβs=α

有解，该方程组的解就是α由β1,β2,...,βs线性表示的系数.

3.1.5.什么是一组向量线性相关？什么是一组向量线性无关？向量组线性相关的两个等价定义及证明.

3.1.6.一组向量α1,α2,...,αs线性相(无)关的充要条件是齐次线性方程组

x1α1+x2α2+???+x sαs=0

有非零解(只有零解).

3.1.7.一个向量α构成的向量组线性相(无)关的充要条件是α=0(α=0).

3.1.8.什么是n维单位向量？n个n维单位向量线性无关.

3.1.9.一个向量组由另一个向量组线性表出的定义；两个向量组等价的定义;线性表出的传递性.

3.1.10.向量组的极大线性无关组的定义；用矩阵的初等变换求一个向量组的极大线性无关组.

3.1.11.向量组的秩的定义；用矩阵的初等变换求一个向量组的秩.

3.1.12.n维向量空间的定义.

3.1.13.向量线性关系的性质与定理:

(1)如果向量组的某个部分组线性相关，则整个向量组线性相关.特别地含有零向量的向量组必定线性相关.如果整个向量组线性无关，则任一个部分组线性无关.特别地线性无关的向量组必定不包含零向量.

(2)将一个线性相关的n维向量组的每一个向量的相同位置的r个分量去掉，得到的n?r维向量组仍线性相关.将一个线性无关的n维向量组的每一个向量添加r个分量于相同位置，得到的n+r维向量组仍线性无关.

(3)如果向量组α1,α2,...,αs线性无关，而α1,α2,...,αs,β线性相关，则β可由α1,α2,...,αs线性表示且表示法唯一.

(4)如果向量组β1,β2,...,βt可由向量组α1,α2,...,αs，并且t>s，则β1,β2,...,βt线性相关.

如果向量组β1,β2,...,βt可由向量组α1,α2,...,αs线性表示，并且向量组β1,β2,...,βt线性无关，则t≤s.

(5)如果向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组线性相关.

(6)如果向量组(I)可由向量组(II)线性表示，则(I)的秩≤(II)的秩.

(7)等价的向量组有相同的秩.(注意：有相同秩的向量组不必等价！)

(8)一个秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量构成一个极大线性无关组.

(9)一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一极大线性无关组. 3.2.矩阵的秩

3.2.1.矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=最高级非零子式的级数.

3.2.2.利用矩阵的初等变换求矩阵的秩.

3.3.线性方程组有解的判别定理

3.3.1.线性方程组有解的充要条件是其系数矩阵的秩=增广矩阵的秩.

3.3.2.对于方程个数等于未知量个数的齐次线性方程组AX=0，我们有

AX=0有非零解??∣A∣=0

??A的秩<未知量的个数

??A的行(列)向量组的秩<未知量的个数

??A的行(列)向量组线性相关

(AX=0只有零解的充要条件是什么？)

3.3.2.齐次线性方程组总有解(零解).齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是A的秩r<未知量的个数n.如果有非零解，那么通解中含有n?r个自由未知量.

3.3.3.非齐次线性方程组AX=β的未知量的个数是n，那么

(1)如果秩(A)<增广矩阵的秩，则方程组无解；

(2)如果秩(A)=增广矩阵的秩，则方程组有解.在有解时,

(2-i)如果秩(A)=n，则方程组有唯一解；

(2-ii)如果秩(A)

3.4.线性方程组解的结构

3.4.1.齐次线性方程组的解的性质.

3.4.2.齐次线性方程组的基础解系的定义.怎样用基础解系表示通解？

3.4.3.齐次线性方程组AX=0的

一个基础解系所含解向量的个数=未知量的个数?秩(A).

3.4.4.什么是非齐次线性方程组的导出组？非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的关系怎样？怎样用非齐次线性方程组的一个特解与导出组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解？

3.5线性方程组的解法

3.5.1.利用矩阵的初等变换求线性方程组的解，如果有无穷多解，用自由未知量表示通解.

3.5.2.利用矩阵的初等变换求齐次线性方程组的基础解系，用基础解系表示通解.

3.5.3.利用矩阵的初等变换求非齐次线性方程组的一个特解与导出组的基础解系，用这个特解与导出组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解.

第四章矩阵

4.1.矩阵的概念

4.1.1.矩阵的定义.

4.1.2.矩阵与行列式的区别.怎样的两个矩阵定义为相等？怎样的两个行列式是相等的？

4.1.3.什么是方阵？什么是方阵的行列式？

4.2.矩阵的运算

4.2.1.矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的幂.特别弄清楚矩阵乘法的定义.在什么情况下方阵乘方的幂指数可以取负整数？

4.2.2.矩阵运算的性质.

4.2.3.方阵乘积的行列式.

4.2.4.下列性质对于矩阵成立吗？不对的话举反例否定之.

AB=BA;(AB)k=A k B k;(AB)T=A T B T;(AB)?1=A?1B?1;

A=0,B=0=?AB=0;A2=A=?A=0或者A=E;

A2=0=?A=0.

4.3.几种特殊的矩阵的定义与性质：

(1)对角矩阵；(2)上(下)三角矩阵；(3)数量矩阵；(4)对称矩阵；(5)反对称矩阵.

4.4.矩阵的逆与伴随矩阵

4.4.1.什么样的矩阵叫作可逆矩阵？什么是一个可逆矩阵的逆矩阵？

4.4.2.矩阵可逆的充要条件：A 可逆??∣A ∣=0.

4.4.3.伴随矩阵的定义.

4.4.4.伴随矩阵的性质：

(1)A ?A =AA ?=∣A ∣E.

(2)如果A 是n (n ≥2)级矩阵，那么∣A ?∣=∣A ∣n ?1.

(3)如果A 是n (n ≥2)级矩阵，那么

秩(A ?)=? ? ?n if 秩(A )=n ;

1if 秩(A )=n ?1;0if 秩(A )

(4)如果A 是n (n ≥2)级矩阵，那么(A ?)?=∣A ∣n ?2A .

4.4.

5.逆矩阵的求法：(1)A ?1=1∣A ∣A ?.特别地，如果A =(a b c d

)的行列式∣A ∣=ad ?bc =0，那么A ?1=1ad ?bc (d ?b ?c a ).

(2)利用矩阵的初等变换.

4.5.分块矩阵

4.5.1.分块矩阵的意义.

4.5.2.分块矩阵的运算，特别弄清楚分块矩阵的乘法.

4.5.3.准三角(三角分块)矩阵、准对角(对角分块)矩阵的定义与运算.

4.6.初等矩阵

4.6.1.初等矩阵的定义.

4.6.2.初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.

4.6.3.初等分块矩阵与分块矩阵的初等变换的关系.

4.7.矩阵的等价与矩阵在等价意义下的标准形

4.7.1.两个矩阵等价的定义.4.7.2.任一个m ×n 矩阵A 都等价于形如(E r 000

)的矩阵，该矩阵叫做矩阵A 的标准形，其中r =秩(A ).特别地，任一个m ×n 行满秩矩阵A 的标准形是(E m 0)；任一个m ×n 列满秩矩阵A 的标准形是(E n 0

)；

任一个n ×n 满秩矩阵A 的标准形是E n .

4.7.3.关于矩阵等价的一些等价条件：

A 与

B 等价??A →B

??A =P BQ ,其中P,Q 是满秩方阵

??A 与B 有相同的标准形

??A 与B 的行列数一致并且有相同的秩

4.8.关于矩阵的秩的等式与不等式

(1)秩(A )=A 的最高级非零子式的级数=A 的行(列)向量组的秩.

(2)秩(A ′)=秩(A ).

(3)秩(kA )=秩(A )，其中k 是不等于零的数.

(4)秩(AB )≤min [秩(A ),秩(B )].

(5)秩(P A )=秩(AQ )=秩(A )，其中P,Q 是满秩方阵.

(6)秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ).

(7)秩(AB )≥秩(A )+秩(B )?n .特别地，若AB =0，

则秩(A )+秩(B )≤n .(8)秩(A B 0C )≥秩(A )+秩(C );秩(A 00C

)=秩(A )+秩(C ).4.9.矩阵证明问题中常用的方法

4.9.1.矩阵单位的性质及应用(1)A =(a ij )s ×n =∑s i =1∑n j =1a ij E ij .(2)如果∑s i =1∑n j =1a ij E ij =0，

那么a ij =0,i =1,2,...,s ;j =1,2,...,n .(3)E ij E kl =δjk E il .

4.9.2.向量组的线性关系的性质的应用.

4.9.3.齐次线性方程组的解的结构理论的应用.

4.9.4.矩阵在等价意义下的标准形的应用.

4.9.

5.分块矩阵以及初等分块矩阵的应用.