整数与整除

第一讲整数与整除

整数的起源

在春秋战国时期，因为商业的发展，需要一种比较先进方便的计数方法，于是我们的祖先发明了筹算。就是用横线或者竖线做标记，从当时的标记中没有10可以看出，我们古人已经运用了十进制，比世界上其他国家领先了将近1000年。然后筹算中士没有0，一般横线竖线都不放用空位表示0，后来为了怕忘记，会放一枚铜钱表示0。

公元6世纪，印度人率先一个黑点表示0，对整数的发展做出了巨大贡献。

在罗马数字中是没有0的，因为罗马教皇非常守旧古板，在0传入了罗马之后，他不允许任何人使用0。有一个学者在笔记中写了关于使用0的好处，被教皇得知之后，收到了残酷的刑罚使他再也不能握笔写字。不过即便如此，0的出现是任何人也阻拦不了的，并且它成为了含义非常丰富的一个数字。0既可以表示没有，也可以表示有。比如气温0°时，不是说没有气温。0是正负数之间一个非常特殊的存在。

随着社会的发展，人们发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降等，为了表示这样相对的数量，人们又发明了负数，于是整数家族终于凑齐了。而其中0和正整数统称为自然数。

除尽与整除的异同

整除的定义：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

a ÷b=c (a.b.c 都是整数且

b 不等于0 ) 6÷3=2 6能被3整除，3能整除6 6÷5=1.2 6不能被5整除，5不能整除6

共同点：余数都是0

不同点：整除时的商是整数，而除尽时的商不一定是整数。也就是说，能整除一定能除尽，但能除尽不一定能整除。

例1.把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、

、2005、-19.6、9 正整数负整数整数

例2.

有多少个整数呢？又有多少个自然数呢？是否存在最小的自然数？是否有最大的自然数呢？是否有最小的整数？是否存在最大的整数？是否存在最大的负整数？是否存在最小的正整数？

例3.

下列哪一个算式的被除数能被除数整除？

10÷3

48÷8

6÷4

例4.

2.6÷1.3=2，能不能说2.6能被1.3整除？

课堂练习

一：判断

1.自然数的个数是有限的（）

2. 2.5能被5整除（）

3.0既不是正整数也不是负整数（）

4.a÷b=11 则b一定能整除a ( )

5.最小的整数是1 ( )

二．填空

算式3÷5=0.6表示3能被5________

三有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？

因数和倍数

因数和倍数的概念必须建立在整除的条件下。

如果ａ×ｂ＝ｃ（ａ、ｂ、ｃ都是不为０的整数）我们就说ａ和ｂ都是ｃ的因数ｃ是ａ的倍数也是ｂ的倍数。倍数和因数是相互依存的。

一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。

例5.

24的因数有哪几个？25呢？

例6.

写出4个4的倍数，再写出5个10的倍数

能被2、5、3、9整除的数的特征

1.个位上是０、２、４、６、８的数，都能被２整除，能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数。简单来说，个位数是偶数的数就能被2整除。

2.个位上是0或者5的数，都能被5整除。

3.所有个位数之和是3或9的倍数的整数就一定能被3或9整除。

例7.

能被3整除的最小的三位数是？

例8.

既是2的倍数，又是3的倍数，最小的一位数是（），最大的三位数是（）。

例9.在括号里填上适当的数字，是得到的数符合所给的条件

2的倍数：（)2

有因数2、3、5：（）5（）

能被72整除：（）895（）

拓展内容：

能被4、8、7、11整除的数的特征

若一个数的末两位数字能被4整除，那么这个数一定能被4整除。

若一个数的末三位数字能被8整除，那么这个数一定能被8整除。

7和11的话比较复杂：

11采用的是“奇偶位差法”，也就是奇数位的数字和与偶数位的数字和相减，如果差能被11整除，则该数能被11整除。

7采用的是“割尾法”，将一个数的末尾截去，然后再减去所截去的数字的两倍，得到的数如果是7的倍数，则该数一定能被7整除（此方法可重复使用）。

例10.

判断583是不是11的倍数？133是不是7的倍数？6139是不是7的倍数？

综合练习

一、单项选择题

1.下列算式中表示整除的算式是（）

（A）0.6÷0.3＝2；（B）22÷7＝3……1；

（C）2÷1＝2；（D）8÷16＝0.5.

2.在数6、15、37、46、374中，能被2整除的数共有（）

（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个．

3.下列自然数中，能被6整除的是（）

（A）10 （B）20 （C）30 （D）40

4.下列说法中正确的是（）

（A）任何正整数的因数至少有两个；（B）1是所有正整数的因数；

（C）一个整数的倍数总比它的因数大；（D）一个整数的因数总是比它本身小.

5.下列说法中错误的是（）

（A）能被3整除的数一定是奇数; （B）2能整除4；

（C）能被2整除的数一定是偶数；（D）能被10整除的数一定能被5整除.

二、填空题

6. 最小的正整数是.

7. 18的所有因数是.

8. 三位数能同时被2、3可以是.

三、解答题

9.用5、6、0这三个数字按要求组成没有重复数字的三位数.

(1) 使它既能被2整除又能被5整除.

(2) 使它能被2整除，但不能被5整除.

(3)使它能被5整除，但不能被2整除.

10.张阿姨是公交车售票员，她在票夹上有5角、1元、1元5角三种车票，又一次她数了自己收到的硬币，是36枚1角，她就说自己出了差错，请问为什么？