数学模型第四版11.5效益的合理分配

11.5效益的合理分配

在经济或社会活动中若干实体（如个人、公司、党派、国家等）相互合作结成联盟或集团，常能比他们单独行动获得更多的经济或社会效益。确定合理地分配这些效益的方案是促成合作的前提。先看一个简单例子。

甲乙丙三人经商。若单干，每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲丙合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作则可获利11元。问三人合作是怎样合理地分配11元的收入。

人们自然会想到的一种分配方法是：设甲乙丙三人各得321,,x x x 元，满足 11321=++x x x （1）

1,,321≥x x x ，457323121≥+≥+≥+x x x x x x ，， （2）

（2）式表示这种分配必须不小于单干或二人合作时的收入，但是容易看出（1），（2）有许多组解，如（321,,x x x ）=(5，3，3)，(4，4，3)，(4，3.5，3.5)等。于是应该寻求一种圆满的分配方法。

上例提出的这类问题称为n 人合作对策（Cooperative n -person Game ）。L.S.Shapley1953年给出了解决该问题的一种方法，称Shapley 值。

n 人合作对策和Shapley 值 n 个人从事某项经济活动，对于他们之中若干人组合的每一种合作（特别，单人也视为一种合作）。都会得到一定的效益，当人们之间的利益是非对抗性时，合作中人数的增加不会引起效益的减少。这样，全体n 个人的合作将带来最大效益。n 个人的集合及各种合作的效益就构成n 人合作对策，Shapley 值是分配这个最大效益的一种方案。正式的定义如下。

设集合},,2,1{n I =，如果对于I 的任一子集s 都对应一个实值函数)(s v ，满足

0)(=φv （3） φ=+≥212121),()()(s s s v s v s s v （4） 称[ I,v]为n 人合作对策，v 为对策的特征函数。

在上面所述经济活动中，I 定义为n 人集合，s 为n 人集合中的人一种合作，)(s v 为合作s 的效益。

用i x 表示I 的成员i 从合作的最大效益)(I v 中应得到的一份收入。

),,,(21n x x x x =叫做合作对策的分配（Imputation ），满足

)(1I v x

n

i i =∑= （5）

n i i v x i ,,2,1),( =≥ （6）

请读者解释（6）式的含义。显然，（3），（4）定义的n 人合作对策[ I,v]通常有无穷多个分配。

Shapley 值由特征函数v 确定，记作()()()()()v v v v n ???,,,21 =Φ。对于任意的子集s ，记()∑∈=n i i x

s x s ，即s 中各成员的分配。对一切I ?s ，满足()()s v s ≥x 的x 组成的集合称[ I,v]

的核心（Core ）。当核心存在时，及所有s 的分配都不小于s 的效益，可以将Shapley 值作为一种特定的分配，即()i i x v =?。

Shapley 首先提出看来毫无疑义的几条公理，然后用逻辑推理的方法证明，存在唯一的满足这些公理的分配()v Φ，并把它构造出来，这里只给出()v Φ的结果，Shapley 公理可参看[11,83]。

Shapley 值()()()()()v v v v n ???,,,21 =Φ为

()n i i s v s v s w i

S s i ,,2,1)],\()()[(v =-=∑∈? （7）

!)!

1()!()(n s s n s w --= （8）

其中i s 是I 中包含i 的所有子集，s 是子集s 中的元素数目（人数），)(s w 是加权因子，i s \表示s 去掉i 后的集合。

我们用这组公式计算本节开始给出的三人经商问题的分配，一次解释公式的用法和意义。

甲乙丙三人记为I={1,2,3}，经商获利定义为I 上的特征函数，即()()()()()()()()11,43,2,53,1,72,1,1321,0========I v v v v v v v v φ。容易验证v 满足

（3），（4）。为计算()v 1?首先找出I 中包含1的所有子集1S ：{1}，{1,2}，{1,3}，I ，然后令s 跑遍1S ，将计算结果计入表1.然后将表中末行相加得()3/131=v ?。同法可计算出()6/17,6/23)(32==v v ??。它们可作为按照Shapley 值方法计算的甲乙丙三人应得的分配。

让我们通过此例对（7）式做些解释。对表1中的s ，比如{1,2}，()s v 是有甲（即{1}）

参加时合作s 的获利，)1\(s v 是无甲参加合作s （只剩下乙）的获利，所以)1\()(s v s v -可视为甲对这一合作的“贡献”。用Shapley 值计算的甲的分配()v 1?是，甲对他所参加的所有合作（1S ）的贡献的加权平均值，加权因子)(s w 取决于这个合作s 的人数。通俗地说就是按照贡献取得报酬。

表1 三人经商中甲的分配()v 1?的计算

Shapley 值方法可以有效地处理经济和社会合作活动中的利益分配问题。请看下面的例子。

污水处理费用的合理分担 沿河有三城镇1,2和3，地理位置如图1所示。污水需处理后才能排入河中。三城镇既可以单独建立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道将污水集中处理（污水应由河流的上游城镇向下游城镇输送）。用Q 表示污水量（单位：t/s ），L 表示管道长度（单位：km ），按照经验公式已知三城镇污水量为5,3,5Q 321===Q Q ，L 的数值如图1所示。试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案。如果联合建厂，各城镇如何分担费用。

三城镇污水处理共有以下5种方案，计算出投资费用以作比较。

1） 分别建厂。投资分别为

230)3(,160)2(,230573)1(712.0===?=C C C ，

总投资620)3()2()1(1=++=C C C D

2)1,2合作，在城2建厂，投资为

35020566.0)35(73)2,1(51.0712.0=??++?=C ，

总投资580)3()2,1(2=+=C C D

3）2,3合作，在城3建厂，投资为

36538366.0)53(73)3,2(51.0712.0=??++?=C ，

总投资595)3,2()1(3=+=C C D

4）1,3合作，在城3建厂，投资为

46358566.0)55(73)3,1(51.0712.0=??++?=C ，

这个费用超过了1,3分别建厂的费用460)3()1(=+C C ，合作没有效益，不可能实现。

5）三城合作，在城3建厂，总投资为55638)35(66.020566.0)535(73)3,2,1(51.051.0712.05=?++??+++?==C D 。 比较结果以5565=D 千元最小，所以应选择联合建厂方案。下面的问题是如何分担费用5D 。

总费用5D 中有3部分：联合建厂费()

45353573712.01=++?=d ；城1至2的管道费3020566.051.02=??=d ；城2至3的管道费()73383566.0d 51.03=?+?=。城3提出，1d 由三城按污水量比例5:3:5分担，32,d d 是为城1,2铺设的管道费，应由他们担负；城2同意，并提出3d 由城1,2按污水量之比5:3分担，2d 则应由城1自己担负；城1提不出反对意见，但他们计算了一下按上述办法各城应分担的费用：

城3分担费用为17413

5d 1=?

； 城2分担费用为1328

3d 13331=?+?d ； 城1分担费用为25085135d 231=+?+?d d ； 结果表明城2,3分担的费用均比他们单独建厂费用C （2），C （3）小，而城1 分担的费用却比C （1）大。显然，城1不能同意这种分担总费用的方法。

为了促成三城联合建厂以节约总投资，应该寻求合理分担总费用的方案。三城的合作节约了投资，产生了效益，是一个n 人合作对策问题，可以用Shapley 值方法圆满地分配这个效益。

把分担费用转换为分配效益，就不会出现城1联合建厂分担的总费用反比单独建厂费用高的情况。将三城镇记为()3,2,1=I ，联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数。于是有

0)3()2()1(,0)(====v v v v φ

40350160230)2,1()2()1()21(=-+=-+=C C C v ，

64

556230160230)3,2,1()3()2()1()(0)31(25

365230160)3,2()3()2()32(=-++=-++===-+=-+=C C C C I v v C C C v ，

，

三城联合建厂的效益为64千元，用Shapley 值作为这个效益的分配，城1应分得的份额()v 1?的计算结果列入表2，得到()7.191=v ?。类似地算出()1.322=v ?，()2.123=v ?。 可以验证。()()()()I v v v v ==++64321???。看来。城2从总效益64千元中分配的份额最大，你能从城2的地理位置与合作对策的角度解释这个结果吗。

表2 污水处理问题中()v 1?的计算

最后，在联合建厂方案总投资额556千元中各城的分担费用为：城1是()()3.2107.1923011=-=-v C ?；城

2是()()9.12722=-v C ?；城3是

()()8.21733=-v C ?。 Shapley 值方法的缺点及其他解决办法 Shapley 值方法以严格的公理为基础，在处理合作对策的分配问题时具有公正、合理等优点，但是它需要知道所有合作的获利，即要定义{}n I ， ,2,1=的所有子集（共n 2个）的特征函数，这在实际上常常做不到，如n 个单位合作治理污染，第i 方单独治理的投资i y 和n 方合作治理的投资Y 通常是已知的。为了度量第i 方在合作中的“贡献”，还通常设法知道第i 方不参加合作时其余n -1方所需的投资i z 。特征函数应定义为合作的获利，即节约的投资，有,)(),,,2,1(0)(1Y y

I v n i i v n i i -===∑=

i i

j j z y i I v -=∑≠)\(，显然除此之外还有许多()s v 不知道，无法利用Shapley 值方法求解。

下面仍以本节开始提出的三人经商问题为例，介绍几种其他解决办法。

我们只知道全体合作的获利，记作()B I v =，及无i 参加时其余n -1方合作的获利，记

作()()n i b I v i ,,2,1i \ ==，且记),,(21n b b b b =。试确定各方对全体合作获利的分配，

记作),,,(21n x x x x =。在三人经商问题中),,(),7,5,4(11321x x x x b B ===求，

。 1. 协商解

分配按以下两步进行，先从n 个n -1方合作的获利得出各方分配的下限),,,(21n x x x x =，即求解

???????=-∑=-∑==n n n i i n i b x x b x x i 1

111 （9） 得到

i i i i b b n x -∑-==n

1

11，n i ,,2,1 = （10） 再计算按下限x 分配后集体合作获利的剩余为i n

i x B 1=∑-，它通常是较小的部分，经协商将其平均分配，于是最终的分配结果为

i i n

i i n i i i b b n n B x B n x x -∑+=∑-+===1

11)(1 （11） 剩余01≥∑-=i n i x B ，它等价于i n

i b n B 1

11=∑-≥，请读者考察这个假定的含义。 对三人江上问题，)1,3,4(=x ，()2,4,5=x 。

2. 均衡解

设各方能够接受的现状点为),,(21n d d d d =，可看做谈判时的威慑点，在此基础上均衡的分配全体合作的获利B 。根据n 个数的和一定，当他们相等时乘积最大的原理，该模型为

()x ma n

1i i i d x -∏= i i i i d x B x ≥=∑=，n

1

s.t. ()n i ,,2,1 = （12） 得到 )i n i i i d B n d x 1(1=∑-+= （13） 0=d 时，相当于各方平均分配B ；x d =时，均衡解等价于协商解。

3. 最小距离解 设存在一个各方理想的分配上限，记作),,,(21n x x x x =，追求分配结果与这个上限的距离最小，模型为

()2

1n mi i i n i x x -∑= （14）

i i i n

x x B x ≤=∑=,s.t.1i ()n i ,,2,1 = 得到 ??

? ??-∑-==B x n x x i i i i n 11 （15） i 方的理想上限若取为i i b B x -=,看作i 方对全体合作的“贡献”或i 方的边际效益，

将其代入（15）式可得i i n

i i b b n n B x -∑+==1

1，与（11）式相同，及最小距离解等价于协商解，对三人经商问题)4,6,7(=x ，()2,4,5=x 。

4. 满意解

i 方分配的满意度定义为i

i i i i d e d x u --=

，其中i d 是现状点，i e 是理想点。为追求各方的满意度都高，用最小最大模型

)n mi (x ma i i u

B x i n

i =∑=1s.t. （16） 得到 )(*i i i i d e u d x -+= i n i i n i i

n i d e d B u 111*===∑-∑∑-= （17）

可以验证，当i i i i x e x d ==,时，满意解等价于协商解，当i i i x e d ==,0时，B x x x i n i i

i 1=∑=，即按照各方理想上限的比例进行分配。

5. Raiffa 解

Howard Raiffa 提出的解决办法按以下步骤进行：

1）按照n 个n -1方合作的获利得到各方分配的下限，即协商解中x （见（10）式），作为分配的基础；

2）当j 方加入（原来无j 的）n -1方合作时计算获利的增加，即j 方的边际效益，是最小距离解中的上限j j b B x -=；

3）按两部分配j x ：先由j 方和无j 的n -1方平分，然后n -1方再等分，即

j i n i n x x x x x j

i i j

j ≠=-+==,,,2,1,)1(2,2 （18）

其中n -1方是在x 的基础上分配；

4）j 取1,2，…n ，重复第3步，然后求和、平均，得到最终分配为

∑≠-++-=i

j j i i i x n x n x n n x ])1(212[11 n i ,,2,1 = （19） 将x ，x 代入，（19）式又可表为

()??

????-∑--+==i i n i i b b n n n n B x 111232，n i ,,2,1 = （20） 对三人经商问题，)4,6,7(),1,3,4(==x x ，)12

52,12113,324（=x 。 几种方法的比较 上面介绍的方法中，协商解、均衡解、最小距离解和满意解比较简单、容易理解，并且在许多情况下是等价的，不妨并为一类，这样，连同Shapley 值方法我们讨论了3类方法：Shapley 值方法；协商解等；Raiffa 解。下面结合一个较为极端的例子说明它们的特点。

例 有一资方（甲）和二资方（乙、丙），当且仅当资方与至少一劳防合作时才获利10元，应如何分配该获利？

解 甲、乙、丙三方记作1,2,3，

1）Shapley 值方法 特征函数定义为获利，则子集{1,2}，{1,3}，{1,2,3}的特征函数为10，其余均为0，容易算出Shapley 值，将其作为一种分配，即得()3/5,3/5,3/20=x 。

2）协商解等 由()10,10,0,10==b B 得到x =x =()0,0,10，于是()0,0,10=x 。

3）Raiffa 解 将x =x =()0,0,10代入（19）式，即得()6/5,6/5,3/25=x 。

3种方法得到的结果不同，协商解等显然对劳防不公平，）Raiffa 解在一定程度上照顾了劳方的利益。

一般地，这3类方法有以下特点：

Shapley 值方法公正、合理，但是需要的信息太多，n 较大的实际问题难以提供。协商解等计算简单，便于理解，但通常偏袒强者，可用于各方实力相差不大的情况，Raiffa 解考虑了分配的上下限，又吸收了Shapley 的思想，在一定程度上保护弱者。