三招搞定高考题含参不等式恒成立问题

三招搞定高考题含参不等式恒成立问题

已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。

一分离参数，转化为求函数的最值

对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。

例1（2010年全国卷1理）已知函数()(1)ln 1

f x x x x =+-+（Ⅰ）若'2

()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围

（Ⅱ）证明:(1)()0x f x -≥解析：（Ⅰ）'

11()ln 1ln x f x x x x x +=+-=+ (0)x >'()ln 1xf x x x ∴=+，由'2()1xf x x ax ≤++得ln a x x ≥-，令()ln g x x x =-，于是，问题化为求函数()g x 的最大值。'1()1g x x =- ，当01x <<时，'()0g x >；当1x >时，'

()0g x <。∴当1x =时，()g x 有最大值，max ()(1)1g x g ==-1

a ∴≥-（Ⅱ）略。

评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f x g a <恒成立?max ()()f x g a <；（2）()()f x g a ≤恒成立?max ()()f x g a ≤；（3）

()()f x g a >恒成立?min ()()f x g a >。

（4）()()f x g a ≥恒成立?min ()()f x g a ≥。二分离参数，转化为求函数的确界

如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：

函数()y f x =()x D ∈的上确界为min{(),}M f x M x D ≤∈，记作M 上；函数()y f x =()x D ∈的下确界为max{(),}M f x M x D ≥∈，记作M 下。于是，有如下结论：（1）若()f x 无最大值，而有上确界，这时要使()()f x g a <恒成立，只需M 上()g a ≤。（2）若()f x 无最小值，而有下确界M 下，这时要使()()f x g a >恒成立，只需M 下()g a ≥。

例2（2010年湖南卷理）已知函数2()f x x bx c =++，(,)b c R ∈对任意的x R ∈，恒有'()()f x f x ≤（Ⅰ）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22

()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值。

解析：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）由'()()f x f x ≤即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，得2

(2)4()0b c b ---≤

从而2114b c b ≥+≥=，等号当且仅当214b =，即2b =±时成立（1）当c b >时，22()()2f c f b c b M c b b c -+≥

=-+，令b t c =，则11t -<<，则2121c b b c t +=-++因为函数1()21g t t =-+（11t -<<）的最大值不存在，但易知其上确界为3232M ∴≥（2）当c b =2=时，()()8f c f b -=-或0，220c b -=，从而223()()()2f c f b c b -≤-恒成立综合（1）（2）得M 的最小值为32例3（2010年全国卷Ⅱ理）设函数2

()1x f x e x ax

=---（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间。

（Ⅱ）若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围。

解析：（Ⅱ）由()0f x ≥对所有的0x ≥成立，可得

（1）当0x =时，a R ∈；（2）当0x >时，21x e x a x --≤，设2

1()x e x g x x --=，问题转化为求()g x 的最小值或下确界。22'

422()x x x e xe x x g x x -++=，令22()22x x h x x e xe x x =-++，因为'2()222x x h x x e e x =-++，0x >，又()h x 的二阶导数"2()222x x x h x xe x e e =+-+，()h x 的三阶导数(3)2()(4)0x h x e x x =+>，所以"()h x 是增函数，故""()(0)0h x h >=，所以'()h x 增函数，故''

()(0)0h x h >=，所以()h x 是增函数，故()(0)0h x h >=，从而'()0g x >，于是()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()g x 无最小值，此时，由于(0)g 无意义，但运用极限知识可得0()lim ()x g x g x +→>。由洛必达法则可得：20000111lim ()lim lim lim 222x x x x x x x e x e e g x x x ++++→→→→---====故0x >时，1()2g x >。因而12

a ≤，综合（1）（2）知a 取值范围为1,2?

?-∞ ???

。评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用洛必达法则求0lim ()x g x →+超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们应该探求这类问题的另一种

更为一般地思考途径。

三从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值

对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例3，我们可以把含参不等式整理成(,)0f x a >或(,)0f x a ≥的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解题过程中常常要用到如下结论：

（1）如果(,)f x a 有最小值()g a ，则(,)0f x a >恒成立?()0g a >，(,)0f x a ≥恒成立?()0g a ≥；

（2）如果(,)f x a 有最大值()g a ，则(,)0f x a <恒成立?()0g a <，(,)0f x a ≤恒成立?()0g a ≤。

例4（2010年天津文）已知函数323()12

f x ax x =-+()x R ∈其中0a >（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(2(2))f 处的切线方程，（Ⅱ）若在区间11[,]22-

上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围解析：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）'2()33f x ax x =- ，令'()0f x =，解得0x =或1x a =

（1）若02a <≤，则112a ≥，于是当102x <<时，'()0f x >；当102

x <<时，'()0f x <。所以当0x =时，()f x 有极大值。于是11[,22x ∈-时，()0f x >等价于1(021()02

f f ?->????>??解得02a <<（2）若2a >，则

112a <，于是当102x -<<时，'()0f x >；当10x a <<时，'()0f x <，当112x a <<时，'()0f x >。所以，当0x =时，()f x 有最大值，当1x a =时，()f x 有最小值。于是11[,22x ∈-时，()0f x >等价于1(021(0f f a

?->????>??

解得52a <<

或2a <-，因此，25a <<综合（1）（2）得05

a <<例5：内容同例3

解析：（Ⅰ）略

（Ⅱ）'()12x f x e ax =--，由方程'

()0f x =不能求出极值点。显然，用例4的解法是行不通的，但我们注意到(0)0f =，故问题转化为()(0)f x f ≥在0x ≥时恒成立，即函数()f x 在[)0,+∞为不减函

数，于是可通过求导判断()f x 的单调性，再求出使()(0)f x f ≥成立的条件。

由（Ⅰ）有1x e x ≥+，当且仅当0x =时成立，故'()122(12)x

f x e ax x ax a x =--≥-=-，而当120a -≥，即12a ≤时()0f x ≥(0)

x ≥()f x ∴是[)0,+∞上的不减函数，()(0)0

f x f ∴≥=当12a >时，由1x e x >+0x ≠可得1x e x

->-'()12(1)(1)(2)

x x x x x f x e a e e e e a --∴<-+-=--故当(0,ln 2)x a ∈时，'

()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时()0f x <综合得1

2

a ≤评析：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住(0)0f =这一重要的解题信息，将问题转化为()(0)f x f ≥在0x ≥时恒成立，通过研究函数()f x 在[0,)+∞上是不减函数应满足的条件，进而求出a 的范围。隐含条件(0)0f =对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用。

从以上高考题的解法可知：以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数的单调性、最值（极值）等问题入手，将含参不等式恒成立问题转化为研究函数的性质问题，是确定恒不等式中参数取值范围问题的重要思考方法。对这类问题的处理，需要考生具备过硬的导数、不等式知识，并能灵活运用这些知识研究函数的性质等问题。在高三复习课教学中，有意识地给学生这方面的训练，对培养他们的数学综合素质是大有好处的。