几何回顾教案

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第29章几何的回顾

29.1 几何问题的处理方法

29.1.1 用推理方法研究三角形

29.1.2用推理方法研究四边形(1)

29.1.3用推理方法研究四边形(2)

29.1.4用推理方法研究四边形(3)

29.1.5用推理方法研究四边形(4)

29.2 反证法

29.2.1 证明的再认识(1)

29.2.2 证明的再认识(2)

第29章几何的回顾

29.1 几何问题的处理方法

29.1.1 用推理方法研究三角形

教学目标

知识技能目标

1.掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理;

2.利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题.

过程性目标

在证明等腰三角形的有关定理的过程中,进一步体会证明的必要性,掌握证明的书写格式,提高演绎推理能力.

教学重点

1.掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理;

2.利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题.

教学难点

在证明等腰三角形的有关定理的过程中,进一步体会证明的必要性,掌握证明的书写格式,提高演绎推理能力.

一、情境导入

请同学们按以下步骤画△ABC.

1.任意画线段BC;

2.以B、C为顶点,在BC的同侧作锐角∠B=∠C,角的两边交于点A.这个△ABC是一个什么三角形?怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢?大家可以用度量或沿AD对折的方法,得到AB=AC,这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法:等角对等边.同学们是否想过,为什么当△ABC沿AD对折时,AB与AC完全重合?现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题.

二、探究归纳

1.求证:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.

已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.

分析要证明AB=AC,可设法构造两个全等三角形,使AB,AC分别是这两个全等三角形的对应边,因此可画∠BAC的平分线AD.

等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”

说明

(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形.

(2)推理形式:因为在△ABC中,∠B=∠C.(已知)

所以AB=AC.(等角对等边)

2.同学们回忆一下,我们学过的等腰三角形具有哪些性质?(1)等边对等角;(2)等腰三角形的“三线合一”.以前,我们也用折叠的方法(可演示一下)来认识了这两个性质,现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质.先试着画出图形,写出已知,求证.

求证:等腰三角形的两个底角相等.

已知:△ABC中,AB=AC.

求证:∠B=∠C.

分析仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形.

等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等.(简称为“等边对等角”)

推理形式:因为△ABC中,AB=AC.(已知)

所以∠B=∠C.(等边对等角)

说明

(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD;

(2)由△BAD≌△CAD,可进一步推得BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°,因此AD也是中线,是BC边上的高线.

等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合.(简写成“等腰三角形的三线合一”)

在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.沿着射线OC对折,发现PD和PE完全重合,即PD=PE,由此,我们得到了角平

分线的性质.请同学们来叙述这一性质:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质.

1.同学们按上述性质画出图形,写出已知、求证,老师及时补充.

已知:OC是∠AOB平分线,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,点D、E为垂足.求证:PD=PE.

分析只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。

角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

2.反过来,如果一个点到一个角两边的距离相等,这个点是否就在这个角的平分线上呢?画出图形,我们通过证明来解答这个问题.

已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足,QD=QE.

求证:点Q在∠AOB的平分线上.

分析要证点Q在∠AOB的平分线上,即QO是∠AOB的平分线,画射线OQ,只要证∠AOQ=∠BOQ,利用H.L.证明△DOQ≌△EOQ,得∠AOQ=∠BOQ.

角平分线判定定理:到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理,如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等,这些定理都是命题.再如:“两直线平行,内错角相等”;“内错角相等,两直线平行”也是命题.观察这些命题的题设与结论,你发现了什么?

1.命题“两直线平行,内错角相等”的题设是_______,结论是_______;

命题“内错角相等,两直线平行”的题设是_______,结论是_______.

在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.所以上述两个命题叫做互逆命题,如“两直线平行,内错角相等”为原命题,则“内错角相等,两直线平行”为逆命题,反之也可以.

2.每一个命题都有逆命题,只要将原命题的题设与结论互换,便可得到原命题的逆命题.但是,原命题正确,它的逆命题未必正确,也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系.比如“对顶角相等”是真命题,但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题.3.我们知道定理是命题,所以定理一定有逆命题.我们还知道定理是真命题,但定理的逆命题却不一定是真命题,如果是真命题,则定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.比如我们刚才所讲的命题“两直线平行,内错角相等”;“内错角相等,两直线平行”都是定理,因此它们就是互逆定理.再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理,同学们能否再举一些互逆定理?

例题:

例1如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上一点,∠A=2∠EBC.

求证:BE⊥AC.

分析由已知条件∠A=2∠EBC,联想到作∠A的平分线AD,则∠CAD=∠EBC,且AD⊥BC,所以∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°,即BE⊥AC.

例2 如图,已知BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别是E、D,BE、CD相交于点O,且∠1=∠2.求证:OB=OC.

分析要证明OB=OC,只要证明△OBD≌△OCE,可利用角平分线及垂线的条件得OD=OE.例3写出下列命题的逆命题,判断原命题与逆命题的真假.

(1)全等三角形的面积相等;

(2)同角的余角相等;

(3)如果|a|=|b|,那么a=b;

(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;

(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.

例4写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题,并证明逆命题是真命题.

已知:△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a2+b2=c2.

求证:△ABC是直角三角形.

分析首先构造一个直角三角形ABC,使得∠C′=90°,B′C′=a,C′A′=b,然后可以证明△ABC≌△A′B′C′,从而可知△ABC是直角三角形.

勾股定理的逆定理:如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.

例5 如图,四边形ABCD是边长a为的正方形,M为AB中点,E为AD上一点,且AE=AD.求证:△EMC是直角三角形.

作业:1、如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE 的平分线上.

2.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∠BAC的平分线交BC于点D.求证:AB =CD+AC.

3.给定一个三角形的两边长分别是5、12,当第三条边为多长时,这个三角形是直角三角形?

29.1.2用推理方法研究四边形(1)

教学目标

知识技能目标

1.掌握平行四边形的性质,会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形;

2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算.

过程性目标

1.掌握证明的一般步骤;

2.会运用公理、定理、定义通过逻辑推理来证明以前通过实验操作得到的几何命题.

教学重点:知识技能目标1、2

教学难点:过程性目标2

教学过程:

(一)情境导入

在第20章中,我们已学过平行四边形的性质与判定,回忆有哪些性质与判定,你能用逻辑推理的方法来证明它们吗?

(二)实践与探索1

根据学生的回忆选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗?来证明知识回顾:要证明一个命题须分三步来完成:①画图;②结合图形写出已知、求证;③证明.

已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.

求证:四边形ABCD是平行四边形.

分析要证明四边行ABCD是平行四边形,目前只能用平行四边形的定义来证明,即只要证明另一组对边平行即可,因此可以连结其中一条对角线,利用全等三角形对应角相等来证明内错角相等.

于是得:

平行四边形判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边.

利用全等三角形的性质,同样可以证明下列平行四边形判定定理.

平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

平行四边形判定定理3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

平行四边形判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形

同样,我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质.

平行四边形性质定理1 平行四边形的对边相等.

已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.

求证:AB=CD,BC=DA.

分析要证明平行四边形的对边相等,可以连结其中一条对角线,把平行四边形分成两个三角形,然后利用全等三角形对应边相等于是可得:

平行四边形性质定理2 平行四边形的对角相等.

同样,我们也可证明:

平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分.

例如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,且AE=CF.求证:BF∥DE.

分析要证BF∥DE,只要证四边形EBFD是平行四边形即可

变式应用:如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是对角线AC上的两点,且AE=CF,那么BF∥DE成立吗?

(四)小结与作业

1.学习平行四边形的性质与判定,可按边的关系,角的关系以及对角线的关系进行分类记忆;

2.在证明有关平行四边形问题时,要根据已知条件的特征,正确合理地使用平行四边形的性质与判定;

3.可以用有关平行四边形知识证明的问题,不要倒退到利用三角行的全等来证明.

作业:如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E、F分别是边AB、DC的中点.求证:EF =BC

29.1.3用推理方法研究四边形(2)

教学目标:

知识技能目标

1.掌握矩形的性质,会用推理的方法证明一个四边形是矩形;

2.能运用矩形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算.

过程性目标

经历探索矩形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

教学重点:知识技能目标1、2

教学难点:经历探索矩形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

(一)情境导入

“一个活动的平行四边形木框”,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上.拉教师出示教具:

动一对不相邻的顶点A、C,立即改变平行四边形的形状.

学生思考如下问题:

(1)无论∠1如何变化,四边形ABCD还是平行四边形吗?

(2)随着∠1的变化,两条对角线长度有没有变化?

(3)当∠1为什么角时,这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形?这时两条对角线长度有没有关系?

(二)实践与探索1

我们知道矩形是特殊的平行四边形,因此它具有平行四边形的性质,而且还具有一些特殊的性质.根据矩形的定义,矩形是平行四边形,且有一个角是直角,从而可得:定理矩形的四个角都是直角.

由问题(3)我们还知道定理“矩形的对角线相等”.你会用推理的方法证明吗?

已知:如图,四边形ABCD是矩形.

求证:AC=BD.

分析由于AC、BD分别是△ABC、△DCB的边,因此要证AC=BD,只要证△ABC≌△DCB.那么要判定一个四边形是不是矩形,除了利用矩形的定义直接判定外,还有如下的判定定理:定理有三个角是直角的四边形是矩形.

思考根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形呢?再看上面一个活动的平行四边形木框,保持边的大小不变,仅改变内角大小,观察对角线的变化,当对角线具有什么性质时,平行四边形变为矩形.

定理对角线相等的平行四边形是矩形.

上述两条定理是矩行的判定定理

(三)实践与探索2

例求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.

求证:CD =AB.

分析:要证CD =AB,可以延长CD到E,使DE = CD,此时只要证CE = AB.

本题的关键在于证明四边形AEBC是一个矩形.

即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

以后把这条作为直角三角行的性质定理.

(四)小结与作业

1.矩形的性质:

(1)矩形具有平行四边形的一切性质;

(2)矩形的四个内角都是直角;

(3)矩形的对角线相等且互相平分.

2.矩形的判定:

(1)有三个角是直角的四边形是矩形;

(2)有一个内角是直角的平行四边形是矩形;

(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形.

作业:1.已知:平行四边形ABCD的四个内角的平分线交于E、F、G、H.求证:EG=HF.

2.如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,点E是AC的中点.

求证:EB=ED.

29.1.4用推理方法研究四边形(3)

教学目标:

知识技能目标

1.掌握菱形的性质,会用推理的方法证明一个四边形是菱形;

2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算.

过程性目标

经历探索菱形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

教学重点:知识技能目标1、2

教学难点:经历探索菱形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

教学过程:

(一)情境导入

“一个活动的平行四边形木框”,用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上.平教师出示教具:

行移动另一对相邻的顶点B、C,立即改变平行四边形的形状.学生思考如下问题:

(1)无论BC平行移到什么位置,四边形ABCD还是平行四边形吗?

(2)当BC移动什么位置时,这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形?这时两条对角线有什么位置关系?

(二)实践与探索1

我们知道菱形是特殊的平行四边形,因此它具有平行四边形的性质,而且还具有一些特殊的性质.

根据菱形的定义,菱形是平行四边形,且有一组邻边相等,从而可得:定理菱形的四条边都相等.

由问题(2)我们还知道

定理菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.会用推理的方法证明吗?已知:如图,四边形ABCD是菱形.分析要证AC⊥BD,AC平分∠DAB,只要证明△DAB是等腰三角形,且AC平分BD.

要判定一个四边形是不是菱形,除了利用菱形的定义直接判定外,还有如下的判定定理:定理四条边相等的四边形是菱形

思考根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢?再看上面一个活动的平行四边形木框,保持内角大小不变,仅改变边的大小,观察对角线的变化,当对角线具有什么性质时,平行四边形变为菱形?

定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形

已知:如图,四边形ABCD是菱形.

求证:AC⊥BD;AC平分∠DAB,CA平分∠BCD,BD平分∠ABC,

DB平分∠CDA.

分析要证AC⊥BD,AC平分∠DAB,只要证明△DAB是等腰三角形,

且AC平分BD.

要判定一个四边形是不是菱形,除了利用菱形的定义直接判定外,

还有如下的判定定理:

定理四条边相等的四边形是菱形

思考有哪些方法可以判断一个四边形是菱形?

(三)实践与探索2

例2 如图,在菱形ABCD中,M是AB的中点,且DM⊥AB,则ΔABD是什么三角形?

例3 如图,AD是ΔABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DE∥BA交AC于F.猜想AD与EF 是什么关系?

(四)小结与反思

1.菱形的性质:

(1)菱形具有平行四边形的一切性质;

(2)菱形的四条边都相等;

(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.

2.菱形的判定:

(1)四条边相等的四边形是菱形;

(2)有一组邻边相等平行四边形是菱形;

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

29.1.5用推理方法研究四边形(4)

教学目标

知识技能目标

1.掌握正方形的性质,会用推理的方法证明一个四边形是正方形;

2.能运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算.

过程性目标

经历探索正方形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

教学重点:知识技能目标1、2

教学难点:经历探索正方形有关性质与判定条件的过程,在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯.

教学过程:

(一)情境导入

1.展开活动的衣帽架(如图).

图(1)的α在不断的地变化过程中.这个图形始终是怎样的图形?生答:菱形.老师继续问当α=90°时,这个图形还是菱形吗?如上图(2).有的生答:不是,是正方形.有的生答:是,还是菱形,是一个特殊的菱形.最后老师进行评判,并指出:当α=90°时,这个四边形还是菱形.因为它是邻边相等的平行四边形.但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.

2.展开一边固定对边活动的矩形.

将活动的矩形架的CD边左右移动时,问:图中CD在移动时,这个图形始终是怎样的图形?(CD在活动的过程中始终保持与AB平行)生答:矩形.当CD移动到C′D′位置,且AC′=AB 时,此时的图形还是矩形吗?这时生回答:是,是矩形,但它是特殊的矩形,也是正方形.

(二) 实践与探索1

我们已经知道正方形既是矩形,又是菱形,因此,正方形具有矩形和菱形的所有性质.定理正方形的四个角都是直角,四条边都相等.正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.

反之,如果一个四边形既是矩形,又是菱形,那么这个四边形一定是正方形.于是可得:定理有一个角是直角的菱形是正方形.

定理有一组邻边相等的矩形是正方形.

(三)实践与探索2

例求证:依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形.

已知:如图27.3.7,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是正方形.

变式应用如图,已知点A′B′C′D′分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′,求证:四边形A′B′C′D′是正方形.

(四)小结

1.正方形具有平行四边形的一切性质:两组对边平行且相等,两组对角相等,对角线互相平分;

2.正方形具有矩形的一切性质:四个角都是直角,对角线相等;

3.正方形具有菱形的一切性质:四条边相等,对角线垂直;

4.有一个角是直角的菱形是正方形;

5.有一组邻边相等的矩形是正方形.

29.2 反证法

29.2.1 证明的再认识(1)

教学目标

知识技能目标

1.进一步探索几何图形的性质,掌握研究几何图形的方法;

2.进一步了解证明的含义,理解证明的必要性,掌握证明的书写格式;

3.能证明三角形内角和定理及推论.

过程性目标

通过三角形内角和定理及推论的证明,体会证明的必要性,注意证明的格式,知道每一步推理都必须有依据,证明的表述必须条理清晰.

教学重点

进一步探索几何图形的性质,掌握研究几何图形的方法

能证明三角形内角和定理及推论.

教学难点

掌握证明的书写格式

教学过程

(一)情境导入

1.任意画一个四边形,分别用度量和剪拼的方法,求出该四边形的内角和的大小.你能说说理由吗?

2.下列图中的线段和线段的长度是否相等?用尺度量结果是否与你感觉一样?

(二)归纳总结

1.探索几何图形的性质时,常常采用看一看,画一画,比一比,量一量,算一算,想一想,猜一猜等方法得出结论,并在实验操作中对结论作出解释,这是研究几何图形性质的一种基本方法.但有时视觉上的错觉会误导我们,凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确,所以我们要学习用逻辑推理的方法(既证明)去探索图形的性质.

2.逻辑推理需要依据,依据包括公理,等式与不等式的有关性质以及等量代换,定理.公理:(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;

(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别对应相等,那么这两个三角形全等;

(4)全等三角形的对应边、对应角相等.

定理:在公理与依据的基础上,用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题,并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理.我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面.

(三)实践与探索

例1 用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度.

已知:△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°.

分析回忆以前将三个内角拼在一起,发现三角形的三个内角的和等于180°,因此要设法将三个内角移在一个平角上,任作一个三角形ABC,延长AB到D,得平角ABD,过点B作BE∥AC,由平行线的性质把三个内角拼到点B处得:三角形内角和定理:三角形的内角和等于180度.说明 (1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线,辅助线常画成虚线;

(2)该定理的推理形式:因为△ABC,所以∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理);

(3)该定理可以作为进一步推理的依据.利用三角形内角和定理,请同学们用逻辑推理的方法来说明(a)四边形内角和等于360°.(b)n边形的内角和等于(n-2)180°.小结:(1)探索几何图形性质的两种方法不是孤立的,实践为我们作出猜想提供了材料,推理证明为猜想的真实性提供保证;(2)逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等;

(3)注意证明的格式,每一步推理都必须有依据,证明的表述必须条理清晰.

29.2.2 证明的再认识(2)

教学目标

知识技能目标

1.掌握推理证明的方法与步骤,培养言之有据的思维习惯;

2.用所学过的公理,定理,定义进行逻辑推理.

过程性目标

在推理过程中体会公理与定理,定理与定理之间的逻辑关系,熟练掌握证明的书写格式教学重点

通过画图得出二次函数特点

教学难点

识图能力的培养

教学过程

(一)情境导入

我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于180度,同学们能否以这个定理为依据,来证明三角形的外角性质?哪位同学来说说三角形的外角具有什么性质?

求证:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

已知:如图,∠CBD是△ABC的一个外角.

求证:∠CBD=∠A+∠C.

(二)探究归纳

我们已经学习了许多图形的性质,有些就是逻辑推理的最原始的依据——公理,还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的,如:全等三角形的判定公理:边角边、角边角、边边边.除这些方法以外,同学们还有什么方法判断三角形全等?(角角边)我们一起来证明命题:有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.

已知:△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,BC=B′C′.

求证:△ABC≌△A′B′C′.

(三)实践与探索

(四)交流反思

1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的,但仅仅通过观察和实验是不够的,必须要通过证明得到;

2.在推理过程中,不能只根据问题的某种相似性,生搬硬套,要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题.

人教A版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积教案新

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 (1)让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状。 (2)让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点:台体体积公式的推导 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物几何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:实物几何体,投影仪 四、教学设想 1、创设情境 (1)教师提出问题:在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积?引导学生回忆,互相交流,教师归类。 (2)教师设疑:几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体,台体的侧面展开图是怎样的?你能否计算?引入本节内容。 2、探究新知 (1)利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图 (2)组织学生分组讨论:这三个图形的表面由哪些平面图形构成?表面积如何求? (3)教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 (1)教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的计算公式: )''22rl l r r r S +++=(圆台表面积π r 1 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 (2)组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

七年级数学上几何图形初步教案

(五)达标检测:见学案 (六)总结提高: 1.我学会了 2.我还有什么不懂 三、布置作业:见学案 课题4.1.1几何图形(2) 【教学目标】: 1.经历从不同方向观察物体的活动过程,初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不一样 的结果,了解为什么要从不同方向看; 2.能画出从不同方向看一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及它们的简单组合得到的平面图形。 【教学重点】 识别一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及它们的简单组合得到的平面图形 【教学难点】: 画出从正面、左面、上面看正方体及简单组合体的平面图形 一、导入课题 多媒体演示庐山景观,请学生背诵苏东坡《题西林壁》并说说诗中意境。 横看成岭侧成峰,远近高低各不同。 不识庐山真面目,只缘身在此山中。 从数学的角度来理解是什么意思呢? 二、挑战知识 (一)自主学习 自学教材117页探究前内容。独立完成“探究” (二)合作交流 1.交流自主学习中的“探究” 2.解答下列各题 ⑴分别从正面、左面、上面观察下图中的正方体与圆柱,各能得到什么平面图形,请画出来。 ⑵画一画:分别从正面、左面、上面观察下列立体图形,各能得到什么图形?试着画一 画。 (1)(2)(3) ⑶如图是由七个相同的小正方体堆成的物体,从上面看这个物体的图是()

A.B.C.D. ⑷如图一个水管接头,下面哪一个是它从左面看的平面图() A B C D ⑸如图是由六块积木搭成,这几块积木都是相同的正方体, 请你画出这个立体图形从不同方向(正面,左面和上面)看到的平面图形. 第5题图 ⑹指出图中右面的三个图形,分别是左面这个立体图形的哪个视图。 ()()()(三)展示点评: (四)拓展质疑: 1.从正面看到的图形,称为正视图,又叫主视图;从上面看到的图形,称为俯视图;从侧面看到的图形,称为侧视图,依观看方向不同,有左视图、右视图。通常将正视图、俯视图与左视图称作一个物体的三视图。 2.讲评“合作交流”中的问题⑴⑶⑸⑹ (五)达标检测:见学案 (六)总结提高: 1.我学会了 2.我还有什么不懂 三、布置作业:121页4题 课题4.1.1几何图形(3) 【教学目标】: 1.能直观认识立体图形和展开图,了解研究立体图形方法。 2.通过观察和动手操作,经历和体验平面图形和立体图形相互转换的过程,培养动手操作能力,初步建立空间观念,发展几何直觉。

《高等几何》教学大纲最新

《高等几何》教学大纲 一、课程名称 《高等几何》(Projective Geometry) 二、课程性质 数学与应用数学专业限选课。它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系;它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用,从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识,学习了解变换群观点,进而达到训练理性思维的能力,提高数学修养的目的。本课程包括了许多著名的定理,奇妙的图形。通过本课程的学习,可以有效地提高数学审美意识。 本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用,以解析法为主。前修课程包括:初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。 三、课程教学目的 通过本课程的学习,使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法,同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系,以及在初等几何和解析几何中的应用,并为学习数学的其他分支打好基础。尤其是对无穷远元素的认识和理解,以开拓同学们的思维方式和视野,使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。 四、课程教学原则和方法 1、理论与实践相结合的原则; 2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则; 3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则; 4、在课堂教学中使用传统的讲解法,并适当采用教具演示的方法相结合的原则; 5、讲解法与自学相结合的原则。 五、课程总学时 72学时,习题课占1/5。

六、教学内容要点及建议学时分配 课程教学内容要点及建议学时分配 第一章仿射坐标与仿射变换(计划学时6) 一、本章教学目标:通过本章的学习,掌握透视仿射对应(变换),仿射对应(变换)以及其代数表达式等。 二、本章主要内容: 第一节透视仿射对应 1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。 2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。 第二节仿射对应与仿射变换 1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。 2、掌握仿射对应与仿射变换的性质。 第三节仿射坐标

第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。 教学重点:1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点:1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容: 一、向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。 2. 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3. 向量相等b a =:如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全重合的向量)。 4. 量的模:向量的大小,记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5. 量平行b a //:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6. 负向量:大小相等但方向相反的向量,记为a - 二、向量的线性运算 1.加减法c b a =+: 加法运算规律:平行四边形法则(有时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图7-4

2.c b a =- 即c b a =-+)( 3.向量与数的乘法a λ:设λ是一个数,向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时,a λ与a 同向,||||a a λλ= 0)2(=λ时,0a =λ 0)3(<λ时,a λ与a 反向,||||||a a λλ= 其满足的运算规律有:结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量,那么 a a a 0= 定理1:设向量a ≠0,那么,向量b 平行于a 的充分必要条件是:存在唯一的实数λ, 使b =a λ 例1:在平行四边形ABCD 中,设a =AB ,b =AD ,试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ,这里M 是平行 四边形对角线的交点。(见图7-5) 图7-4 解:→→==+AM AC 2b a ,于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC , 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ,于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB , 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则。即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向。

立体图形表面积和体积教案

教学内容: 教科书第98页例4及做一做。 教学目标: 1.学生在整理、复习的过程中,进一步熟悉立体图形的表面积和体积的内涵,能灵活地计算它们的表面积和体积,加强知识之间的内在联系,将所学知识进一步条理化和系统化。 2.在学生对立体图形的认识和理解的基础上,进一步培养空间观念。 3.让学生在解决实际问题的过程中,感受数学与生活的联系,体会数学的价值,进一步培养学生的合作意识和创新精神 重点、难点: 1.灵活运用立体图形的表面积和体积的计算方法解决实际问题。 2.沟通立体图形体积计算方法之间的联系。 教学准备: 课件 教学过程 一、回忆旧知,揭示课题一 1、谈话揭示课题。 师:昨天我们对立体图形的认识进行了整理和复习,今天我们来走入立体图形的表面积和体积的整理与复习。(板书:立体图形表面积和体积的整理与复习) 2、看到课题,你准备从哪些方面去进行整理和复习。(板书:意义、计算方法) 二、回顾整理、建构网络 1、立体图形的表面积和体积的意义。 (1)提问:什么是立体图形的表面积?你能举例说明吗? (2)提问:什么是立体图形的体积?你能举例说明吗? (3)教师小结:立体图形的表面积就是指一个立体图形所有的面的面积总和,立体图形的体积就是指一个立体图形所占空间的大小。 2、小组合作,系统整理――立体图形的表面积和体积的计算方法。 (1)独立整理。 刚才我们已经对立体图形的表面积和体积的意义进行了整理。下面,请同学们用

自己喜欢的方式,将对立体图形的计算方法进行整理。 (2)整理好的同学请在小组中说一说你是怎样进行整理的? 3、汇报展示,交流评价 哪一个同学自愿上讲台展示、汇报你的整理情况。其余的同学要注意认真地看,仔细地听,待会对他整理情况说说你的看法或者有什么好的建议。(注意计算公式与学生的评价) 4、归纳总结,升华提高 (1)公式推导。 刚才,我们已经对立体图形表面积和体积的计算公式进行了整理。那么,这些计算公式是怎样推导出来的?请同学们选择1-2种自己喜欢的图形,自己说一说。(2)反馈:谁自愿来说一说自己喜欢图形表面积或者体积公式的推导过程。 根据学生的回答,教师随机用课件演示每种立体图形的体积计算公式的推导过程。还有没有不同的? (3)教师小结:从立体图形的表面积和体积计算公式的推导过程中,我们不难发现有一个共同的特点:就是把新问题转化成已学过的知识,从而解决新问题,这种转化的方法、转化的思想,是我们数学学习中一种很常见、很重要的方法。(4)整理知识间的内在联系 ①同学们。我们已经对立体图形的表面积和体积计算公式进行了整理,并且也知道了这些公式的推导过程。那么,这些立体图形的表面积计算公式之间有什么内在联系?体积计算公式之间又有什么内在联系?对照自己整理的公式,想一想,然后把你想的法说给同桌听听。 ②反馈学生交流情况,明确其内在联系: a、立体图形的表面积计算公式的内在联系:长方体和圆柱体的表面积都可以用侧面积加两个底面积; b、立体图形的体积计算公式的内在联系:长方体体积计算公式推导出了正方体和圆柱的体积计算公式,也就是说正方体、圆柱的体积计算公式都是在长方体体积计算公式的基础上推导出来的;长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算;等底等高的圆柱体的体积是圆锥的3倍,等体积等高的圆柱体的底面积是圆锥的,等体积等底的圆柱体的高是圆锥的。

向量代数与空间解析几何练习题讲课教案

向量代数与空间解析几何练习题

第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1.将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) (A )直线; (B ) 线段; (C ) 圆; (D ) 球. 2.下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) (A )a 与b 的内积等于零; (B )a 与b 的外积等于零; (C )对任意向量c 有混合积0)(=abc ; (D )a 与b 的坐标对应成比例. 3.设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) (A )向量a 的终点坐标为),,(z y x ; (B )若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为 ),,(z y x ; (C )向量a 的模长为222z y x ++;(D ) 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行. 4.行列式2 131323 21的值为( ) (A ) 0 ; (B ) 1 ; (C ) 18 ; (D ) 18-. 5.对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) (A )||||a a -=; (B )||||||b a b a +>+; (C ) ||||||b a b a ?≥?; (D ) ||||||b a b a ?≥?. 二、填空题 1.设在平行四边形ABCD 中,边BC 和CD 的中点分别为M 和N ,且p AM =, q =,则BC =_______________,CD =__________________.

2.已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0,0,2),B(8,0,0),C(0,8,6),则边BC上的中线长为______________________. 3.空间中一动点移动时与点)0,0,2(A和点)0,0,8(B的距离相等, 则该点的轨迹方程是 _______________________________________. 4.设力k + 2+ =, 则F将一个质点从)3,1,0(A移到)1,6,3(, B所做的功为 F5 j i 3 ____________________________. ?_____________________; 5.已知)2,5,3(A, )4,7,1(B, )0,8,2( C, 则= ?____________________;ABC = ?的面积为_________________. 三、计算题与证明题 1.已知1 | |= c, 并且0 |= b, 5 | a, 4 |= | a? b + + ?. b ? +c + c b = c a.计算a 2.已知3 ?b || a?. |= |b a, 求| | |= ?b a, 4 | 3.设力k - =作用在点)1,6,3(A, 求力F对点)2 ,7,1(,- + B的力矩的大小. i j F5 3 2+

空间几何体的表面积与体积教学设计教案

空间几何体的表面积与体积教学设计教案 1、教学目标 1、知识与技能(1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。(2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。(3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法(1)让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状。(2)让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 2、教学重点/难点重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点:台体体积公式的推导 3、教学用具投影仪等、 4、标签数学,立体几何教学过程 1、创设情境(1)教师提出问题:在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积?引导学生回忆,互相交流,教师归类。(2)教师设疑:几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体,台体的侧面展开图是怎样的?你能否计算?引入本节内容。

2、探究新知(1)利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图(2)组织学生分组讨论:这三个图形的表面由哪些平面图形构成?表面积如何求?(3)教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维(1)教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的计算公式:(2)组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。(3)教师引导学生探究:如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥?由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图: (4)教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式之间存在的关系。(s’,s分别我上下底面面积,h为台柱高) 4、例题分析讲解(课本)例 1、例 2、例 35、巩固深化、反馈矫正教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直径为。 (答案:) 2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80c㎡,截得这个棱台的棱锥的高为35cm,求这个棱台的体积。 (答案:2352cm3)

小学信息技术教案-第9课画几何图形”教学设计

第9课画几何图形”教学设计 【教学目标】 ?能综合应用直线、矩形、椭圆、多边形、橡皮工具创作几何图形 ?激发学生的创作意识和自学意识 【教学内容】 ―椭圆工具和直线工具 ?类型框 ?矩形工具 ?多变形工具 【教学重难点】 重点:多边形工具的应用 难点:各类工具的综合使用 【教材分析与教学建议】 教材以画“几何图形”为切入点,以逐层深入、循序渐进的方式展开教学内容。教材以图示和操作步骤两种方式给出了操作方法,如果前面的学习较为顺利,那么教师稍作讲解,学生对照教材,一般都能很快完成本课的操作要求。 工具箱上的工具较多,建议学习新内容之前,组织学生复习前一节课的重要内容。

多让学生“试一试”,多让学生“想一想”,让学生通 过亲自探究实践加深印象,激发兴趣。 【教学方法和手段】 综合运用自主创作和实践练习的方法,让学生熟悉基本 工具的操作方法,同时鼓励学生积极创作。 【教学过程】 一、复习椭圆工具和直线工具 师:上一节课,我们已经认识了“画图”窗口里的工具 箱和颜料盒。现在,请大家运用上节课我们学习到的知识,动手试一试,画出这三副画! (出示教材71页中的太阳图、76页的气球图和荷叶图) (学生练习,教师巡视指导,最后展示优秀作品) 师(总结强调):第一,选择“椭圆”工具后,在画布 上拖动鼠标的同时按住键盘上的shift上档键,可以画出个圆。第二,选择不同的工具,比如选择直线工具和椭圆工具,在类型框里会出现不同的选项。 师:现在请同学们保存自己的作品。注意:要给自己的 作品起一个有意义的文件名。 二、复习矩形工具 师:刚刚同学们主要用椭圆和直线工具画了太阳、气球 和荷叶。那么如果用矩形工具能画什么呢? (教师指定举手学生回答)

向量代数与空间解析几何教案.doc

第八章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。教学重点: 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点: 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容: 一、向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向 量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。 2.量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3.向量相等a b :如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全 重合的向量)。 4.量的模:向量的大小,记为 a 、OM。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5.量平行a // b:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6.负向量:大小相等但方向相反的向量,记为 a 二、向量的线性运算 b c 1.加减法a b c:加法运算规律:平行四边形法则(有 时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a -4

2.a b c 即 a ( b) c 3.向量与数的乘法 a :设是一个数,向量 a 与的乘积a规定为 (1) 0 时, a 与a 同向, | a | | a | (2) 0 时, a 0 (3) 0 时, a 与a反向,| a | | || a | 其满足的运算规律有:结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量,那么 a 0a a 定理 1:设向量,那么,向量 b 平行于 a 的充分必要条件是:存在唯一的实数 λ , a≠ 0 使b=a 例 1:在平行四边形ABCD中,设AB a ,AD b ,试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ,这里M是平行四边形对角线的交点。(见图7-5)图 7- 4 解: a b AC 2 AM ,于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ,于是 MC 1 b) (a 2 1 (b a) 又由于 a b BD 2 MD ,于是 MD 1 (b 2 由于 MB MD ,于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维) 如图 7- 1,其符合右手规则。即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2 转向正向 y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向。 2.间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:x轴、y轴、z轴,坐标面分别 为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7-2 所示。 图 图 7-1 右手规则演示 7- 2 空间直角坐标系图图7-3空间两点 M 1 M 2的距离图3.空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意:特殊点的表示

空间几何体的表面积和体积(教案)

41中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积 一.命题走向 由于本讲公式多反映在考题上,预测008年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题; 二.要点精讲 1.多面体的面积和体积公式 表中S 表示面积,c ′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h ′表示斜高,l 表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。 四.典例解析 题型1:柱体的体积和表面积 例1.一个长方体全面积是20cm 2,所有棱长的和是24cm ,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得:?? ?=++=++24 )(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由(2)2得:x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16 所以l =4(cm)。

P A D O 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。 例2.如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若E 、F 分别为AB 、AC 的中点,平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分,那么V 1∶V 2= ____ _。 解:设三棱柱的高为h ,上下底的面积为S ,体积为V ,则V=V 1+V 2=Sh 。 ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点, ∴S △AEF = 4 1S, V 1= 31h(S+4 1S+41?S )=127 Sh V 2=Sh-V 1= 12 5 Sh , ∴V 1∶V 2=7∶5。 点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型2:锥体的体积和表面积 例3.(2006上海,19)在四棱锥P -ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠DAB =60 ,对角线AC 与BD 相交于点O ,PO ⊥平面ABCD ,PB 与平面ABCD 所成的角为60 ,求四棱锥P -ABCD 的体积? 解:(1)在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角,∠PBO=60°。 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO , 于是PO=BOtan60°=3,而底面菱形的面积为23。 ∴四棱锥P -ABCD 的体积V= 3 1 ×23×3=2。 点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。 例4.(2006江西理,12)如图,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O ,且与BC , DC 分别截于E 、F ,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积分别是S 1,S 2,则必有( ) A .S 1S 2 C .S 1=S 2 D .S 1,S 2的大小关系不能确定 C

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[高中美术教案]石膏几何体画法教案 一﹑了解画石膏几何体画法的意义常见的石膏几何体画法教材有:锥体﹑球体﹑六棱柱体﹑圆柱体和方体等。1﹑为什么石膏几何体画法是初学绘画的必修课?石膏几何体画法因为几何体在结构上单纯,也是一切复杂形体最基本的组成和表现形式,只有先进行石膏几何体的绘画训练,能让大家比较容易的掌握最基本的素描造型方法,和初步的掌握素描五大调子﹑形体结构以及透视的变化。石膏几何体画法2﹑石膏几何体画法一般采用石膏做材料,在质地上比较单纯,也暂时不用考虑固有色对形体明暗的干扰,有利于初学者集中精力学习光对形体的影响,掌握色调的基本规则。石膏几何体画法二﹑几何体的透视原理(高中美术教案)透视的种类:平行透视﹑成角透视﹑散点透视。1﹑平行透视:平行透视也叫一点透视,即物体向视平在线某一点消失。 2﹑成角透视:成角透视也叫二点透视,即物体向视平在线某二点消失。二﹑透视在绘画的特性石膏几何体画法1﹑近大远小:近大远小是视觉自然现象,正确利用这种性质有利于表现物体的纵深感和体积感,从而在二维的画面上来表现出三维的体积空间。2﹑近实远虚:由于视觉的原因,近处的物体感觉会更清晰,而远处的物体感觉会有些模糊,这一现象在绘画中也经常用来表现物体的纵深感。事实上,在绘画过程中,往往会对近实远虚更加以强调。(另外应注意的是:并非在所有的绘画过程中都遵守“近实远虚”这一规则,在一幅作品中主与次的关系往往更为重要,主体物的实和次体物的虚是

更好的视觉导向,这也是艺术优于现实的取舍和区别,)二﹑做示范1﹑球体:a﹑构图:画球体第一步要先画出一个正方形(用直线在画纸上定出最高点和最低点,以及等量长度的宽,注意构图的位置重心应在纸张的中心偏上。)然后用直线依次逐步削去其角,逐步使其趋于圆形。(注意:画圆一定要用直线来画,不能直接以弧线来圈一个圈,更不能运用圆规,这样做意在锻炼眼力和塑造形体的能力。)b ﹑找出明暗交接线:在球体上明暗交接线是一个弧形,同样用短直线相衔接来表现这一弧形明暗交接线。(注意:明暗交接线在球体上的表现并非是截然的明暗分界,而是一个较模糊的,并且受反光影响,明暗交接线在色度上也并非一成不变,在表现上就更应注意观察,避免画死和概念化。)c﹑施加明暗:在施加明暗时,最好把处于暗部的包括明暗交接线﹑暗面﹑反光和投影一块儿统一起来画。先统一为一体,然后再在"明暗交接线"等地方逐步加以强调,使之在统一中寻找变化﹑对比和关系。在亮面靠近明暗交接线的地方是亮灰面,它的表现应由靠近明暗交接线到高光方向依次减弱﹐并始终使其明度高于暗面,高光的地方留白。(在画的过程中为了突出球的体积效果,可以强调明暗的对比,特别是明暗交接线的表现,事实上往往画得比看到的调子要重些。这是因为铅笔的表现力度远远达不到光照的效果那么丰富。)d﹑调整:调整在整个绘画过程中是很重要的一步。在前面局部的刻画中,难免会出现和整个调子不和谐的地方,或者是刻画不足或者是刻画太过,甚至是某些局部的形不够准确,都会影响到整体效果,在调整过程中,就是针对这些进行修改,使其在形体上准确,

《几何图形初步》复习参考教案.doc

学习必备欢迎下载 第四章《几何图形初步》复习教案 教学目标 1.使学生理解本章的知识结构,并通过本章的知识结构掌握本章的全部知识;2.对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识;3.掌握本章的全部定理和公理; 4.理解本章的数学思想方法; 5.了解本章的题目类型. 教学重点和难点 重点是理解本章的知识结构,掌握本章的全部定理和公理; 难点是理解本章的数学思想方法. 教学手段 引导——活动——讨论 教学方法 启发式教学 教学过程 一、引导学生画出本章的知识结构框图

二、具体知识点梳理 (一)几何图形 立体图形:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 1、几何图形 平面图形:三角形、四边形、圆等。 主视图 -------- 从正面看 2、几何体的三视图左视图--------从左边看 俯视图 -------- 从上面看 (1)会判断简单物体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图。 (2)能根据三视图描述基本几何体或实物原型。 3、立体图形的平面展开图 (1)同一个立体图形按不同的方式展开,得到的平现图形不一样的。 (2)了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型。 4、点、线、面、体 (1)几何图形的组成 点:线和线相交的地方是点,它是几何图形最基本的图形。 线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。 面:包围着体的是面,分为平面和曲面。 体:几何体也简称体。 (2)点动成线,线动成面,面动成体。 (二)直线、射线、线段 1、基本概念 直线射线线段图形 端点个数无一个两个 表示法 直线 a 射线 AB 线段 a 直线 AB(BA )线段 AB (BA ) 作法叙述作直线 AB ;作射线 AB 作线段 a;

高等几何教学大纲.

《高等几何》课程教学大纲 课程编码: 课程性质:选修 学时数:54 学分数:3 适用专业:数学与应用数学 【课程性质、目的和要求】 高等几何的主要内容是具有悠久历史,至今仍富生命力的射影几何。它不仅在提高学生空间几何直观想象能力方面有独特的作用,而且在论证方法、思维方式方面还具有不同于初等几何、解析几何、高等代数的巧妙灵活的特点。 通过高等几何(或射影几何)的学习,可以使学生从较高的观点处理初等几何、解析几何的一些问题,以便更深入地理解中学几何教材,并掌握近代几何知识与方法,这对学生在几何方面观点的提高、思维的灵活、方法的多样性的培养都起着特别重要的作用,从而有助于学生数学素质的提高和科研能力的培养。 本课程在研究方法上利用代数法和综合法,目的之一是便于学生进一步学习高维空间上的射影几何,目的之二是加强直观性,以便开发智力,启迪思维。在内容编排上应做到由浅入深,由易到难,循序渐进,要特别注意理论基础的系统性与严密性,尽可能做到与中学数学实际相结合,本课程应特别注意对概念及解题方法的分析。 通过本课程的学习,要求学生理解并熟练掌握平面射影几何的基本概念和理论。了解几何学的群论观点和各种几何学之间的联系和差别。学会统一处理几何问题的方法特别要学会利用二次曲线的射影理论处理仿射几何和度量几何方面的有关问题,以便提高学生分析问题和解决问题的能力。 【教学内容、要点和课时安排】 第一章仿射坐标与放射变换(8学时) 【目的要求】掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换;掌握仿射坐标系;熟练求出仿射变换的代数表示式;理解仿射性质。 【教学重点】仿射坐标系 【难点】仿射性质的理解 【教学内容】 第一节透视仿射对应 第二节仿射对应与仿射变换 第三节仿射坐标

高中数学必修二 空间几何体的体积教案(高二数学)

高中数学必修二空间几何体的体积教案 教学目标: 1.了解柱、锥、台的体积公式,能运用公式求解有关体积计算问题; 2.了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系,感受它们体积之间的关系; 3.培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力. 教材分析及教材内容的定位: 通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系,让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系,体会数与形的完美结合. 教学重点: 柱、锥、台的体积计算公式及其应用. 教学难点: 运用公式解决有关体积计算问题. 教学方法: 通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系,让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系,体会数与形的完美结合. 教学过程: 一、问题情境 类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积,我们可以用单位正方体(棱长为1个长度单位的正方体)的体积来度量几何体的体积. 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍,那么这个几何体的体积的数值就是多少. 长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么它的体积为 V长方体=abc或V长方体=Sh (这里,S,h分别表示长方体的底面积和高.) 二、学生活动 阅读课本P65“祖暅原理”.

思考:两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)的体积如何? 三、建构数学 1.柱体的体积. 棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到,因此,两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积. V 柱体= sh 2.锥体的体积. 类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等. 13 V sh =锥体 3.台体的体积. 上下底面积分别是S’,S ,高是h ,则 1 (')3 V h S S =台体 柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢? 4.球的体积. 一个底面半径和高都等于R 的圆柱,挖去一个以上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥后,所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢?——相等. 223112233V R R R R R πππ=-=球,所以343 V R π=球. 四、数学运用 例1 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8kg/cm 3)六角螺帽共重6kg ,已知底面是正六边形,边长为12mm ,内孔直径为10mm ,高为10mm ,问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14,可用计算器)? 分析:六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差,再由密度算出一个六角螺帽的质量. 解:22331012610 3.14()102956(mm ) 2.956(cm )42 V =??-??≈=, 所以螺帽的个数为

人教版信息技术三上第9课《画几何图形》教案

人教版信息技术三上第9课《画几何图 形》教案 教学目标 学会几何图形的画法。 教学任务 1、学习椭圆、矩形、圆角矩形工具的使用方法。 2、能运用画图工具作简单的规则图形。 教学方法 展示点评 教学重点、难点 “椭圆”、“矩形”、“圆角矩形”等画图工具的使用方法。 教学过程 一、教学引入(5分钟) 1、提问:如果工具箱或者颜料盒不见了怎么办? 2、在上课前老师先请你们看一幅画(在教学资源-素材中),请你们仔细观察一下,这个房子分别是由哪些图形组成的?(长方形、正方形、圆角长方形、椭圆)那我们应该怎样来画这座房子呢?今天我们就来学习。 二、新课(15分钟)

1、铅笔的介绍:铅笔是画笔软件教学的第一个工具,因此教学铅笔时详细些。选择好铅笔可以让学生把鼠标指针移到画布区,观察鼠标指针的变化同时也可让学生在画布描绘。画时着重让学生知道,应按住鼠标的左键不放,拖动鼠标。颜色的选择只需教师稍加点拔就可。在介绍滚动条前,可通过适当改变窗口大小,使滚动条出现。 2、矩形工具(画房子的主体) 首先我们应该画出房子的主体,是一个长方形,我们可以用工具箱中的矩形工具来。(师演示)(1)单击工具箱中的“矩形”工具按钮。 (2)在画图区适当的位置按下左键,以确定房子主体的左上角位置,再向右下角拖动,满意后,松开左键,这样房子的主体就画好了。 请一位同学上来演示用矩形工具画一扇门。(注意门的位置) 问:房子的窗户是什么形状的?正方形我们怎么来画呢? 请同学们自己在书上找到答案(读一读)。 在房子主体内确定好窗户的位置后,按下Shift键,再拖动鼠标,满意后松开鼠标,窗户就画好了。 下面请同学们练习,教师巡视指导。 2.圆角矩形工具(画房子的房顶、烟囱) 房顶是什么形状的? 我们可以用工具箱中的“圆角矩形”工具来画。它的画法与“矩形”工具是一样的,谁来试一下,把房顶和烟囱画出来。 学生演示(确定好房顶的位置后,拖动出一个合适的圆角长方形)。 3.椭圆工具(画烟) 烟囱里冒出的烟是椭圆形的,我们可以用工具箱中的“椭圆”工具来画,先单击“椭圆”工具,然后从烟囱口向右上方,分别拖动画出三个椭圆。(师演示)

几何图形初步导学案教案

第四章 图形认识初步 课题 4.1.1认识几何图形(1) 【学习目标】:1、通过观察生活中的大量图片或实物,经历把实物抽象成几何图形的过程; 2、能由实物形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物形状; 3、能识别一些简单几何体,正确区分平面图形与立体图形。 【重点难点】:识别简单的几何体是重点;从具体事物中抽象出几何图形是难点。 【导学指导】 一、知识链接 同学们,你仔细观察过我们生活的世界吗从城市宏伟的建筑到乡村简朴的住宅,从四通八达的立交桥到街头巷尾的交通标志,从古老的剪纸艺术到现代化的城市雕塑,从自然界形态各异的动物到北京的申奥标志……,包含着形态各异的图形。图形的世界是丰富多彩的!那就让我们走进图象的世界去看看吧。 二、自主探究 1.几何图形 (1)仔细观察图,让同学们感受是丰富多彩的图形世界; (2)出示一个长方体的纸盒,让同学们观察图回答问题: 从整体上看,它的形状是什么从不同侧面看,你看到了什么图形只看棱、顶点等局部,你又看到了什么 我们见过的长方体、圆柱、圆锥、球、圆、线段、点,以及小学学习过的三角形、四边形等,都是从形形色色的物体外形中得出的。我们把这些图形称为几何图形。 注意:当我们关注物体的形状、大小和位置时,得出了几何图形,它是数学研究的主要对象之一,而物体的颜色、重量、材料等则是其它学科所关注的。 2.立体图形 思考第117页思考题并出示实物(如茶叶、地球仪、字典及魔方等)及多媒体演示(如谷堆、帐篷、金字塔等),它们与我们学过的哪些图形相类似 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等它们各部分不都在同一平面内,它们是立体图形。 想一想 生活中还有哪些物体的形状类似于这些立体图形呢 思考:课本118页图中实物的形状对应哪些立体图形把相应的实物与图形用线连起来。 (1)纸盒 (1)长方体 (2)长方形 (3)正方形 (4)线段 点

苏教版必修二1.3《空间几何体的表面积和体积》word教案

1.3空间几何体的表面积与体积 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)能运用公式求柱 体、锥体和台体的全面积和体积,并且熟悉柱体、锥体与台体之间的转换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 (1)让学生经历几何全的侧面展开过程,体验用平面的知识来研究空间几何体的性质的方法。 (2)让学生学会用比较方法,思考柱体、锥体、台体的面积和体积公式之间的关系. 3、情感与价值 通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的应用价值,增强学习的积极性. 二、教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点:台体侧面积公式和体积公式的推导 三、教学方法与教学用具 1、教学方法: 启发式,探究. 2、教学用具:实物几何体,投影仪 四、教学设想 (一)创设情境、导入新课 (1)教师提出问题:在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积? 借助媒体投影,引导学生回忆,互相交流,教师归类. (2)教师设疑:几何体的表面积等于它的展开图的面积,那么,柱体,锥体,台体的侧面展开图是怎样的?你能否计算?引入新课. (二)师生互动、探究新知 1. 探究棱柱、棱锥、棱台的表面积公式或求法 (1)利用多媒体设备向学生投放长方体、椎体、台体的侧面展开图,引导学生得出棱柱、棱锥、棱台的表面积的一般求法. (2)组织学生分组讨论:这三类空间几何体的表面由哪些平面图形构成?表面积如何求? (3)教师对学生讨论归纳的结果进行点评. 2. 探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式或求法 (1)教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的计算公式: )(圆柱表面积l r S +=π2(其中l 为母线长,r 为底面半径) )2rl r S +=(圆锥表面积π(其中l 为母线长,r 为底面半径) )''22rl l r r r S +++=(圆台表面积π

美术教案-几何体画法(用)

美术教案-几何体画法 一﹑了解画石膏几何体的意义 常见的几何体教材有:锥体﹑球体﹑六棱柱体﹑圆柱体和方体等。 1﹑为什么石膏几何体是初学绘画的必修课? 因为几何体在结构上单纯,也是一切复杂形体最基本的组成和表现形式,只有先进行石膏几何体的绘画训练,能让大家比较容易的掌握最基本的素描造型方法,和初步的掌握素描五大调子﹑形体结构以及透视的变化。 2﹑几何体一般采用石膏做材料,在质地上比较单纯,也暂时不用考虑固有色对形体明暗的干扰,有利于初学者集中精力学习光对形体的影响,掌握色调的基本规则。 二﹑几何体的透视原理 透视的种类:平行透视﹑成角透视﹑散点透视。 1:平行透视:平行透视也叫一点透视,即物体向视平在线某一点消失。 2:成角透视:成角透视也叫二点透视,即物体向视平在线某二点消失 3:散点透视(略)不是重点 二﹑透视在绘画的特性 1﹑近大远小:近大远小是视觉自然现象,正确利用这种性质有利于表现物体的纵深感和体积感,从而在二维的画面上来表现出三维的体积空间。 2﹑近实远虚:由于视觉的原因,近处的物体感觉会更清晰,而远处的物体感觉会有些模糊,这一现象在绘画中也经常用来表现物体的纵深感。事实上,在绘画过程中,往往会对近实远虚更加以强调。 (另外应注意的是:并非在所有的绘画过程中都遵守“近实远虚”这一规则,在一幅作品中主与次的关系往往更为重要,主体物的实和次体物的虚是更好的视觉导向,这也是艺术优于现实的取舍和区别,) 二﹑做示范 1﹑球体: A﹑构图: 画球体第一步要先画出一个正方形 (用直线在画纸上定出最高点和最低点,以及等量长度的宽,注意构图的位置重心应在纸张的中心偏上。) 然后用直线依次逐步削去其角,逐步使其趋于圆形。 (注意:画圆一定要用直线来画,不能直接以弧线来圈一个圈,更不能运用圆规,这样做意在锻炼眼力和塑造形体的能力。) B﹑找出明暗交接线: 在球体上明暗交接线是一个弧形,同样用短直线相衔接来表现这一弧形明暗交接线。 (注意:明暗交接线在球体上的表现并非是截然的明暗分界,而是一个较模糊的,并且受反光影响,明暗交接线在色度上也并非一成不变,在表现上就更应注意观察,避免画死和概念化。) C﹑施加明暗: 在施加明暗时,最好把处于暗部的包括明暗交接线﹑暗面﹑反光和投影一块儿统一起来画。先统一为一体,然后再在"明暗交接线"等地方逐步加以强调,使之在统一中寻找变化﹑对比和关系。在亮面靠近明