高考数学组合问题

集 合

重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择． 考纲要求：①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；

②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题． 经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x2－2x ｝中的元素x 应满足什么条件?

当堂练习

1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）

A ．某班个子较高的同学

B ．长寿的人

C

D ．倒数等于它本身的数 2下面四个命题正确的是（ ）

A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}

B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}

C ．方程2

210x

x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合

3． 下面四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若 -a ?Z ，则a ∈Z ； （3）所有的正实数组成集合R+；（4）由很小的数可组成集合A ； 其中正确的命题有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程x2-3x+5=0的解集是空集； （3）方程x2-6x+9=0的解集是单元集； （4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集； 其中正确的命题有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 5． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( ) A ． {x,y 且0,0

x y <>} B ． {(x,y)

0,0

x y <>}

C. {(x,y)

0,0

x y <>} D. {x,y 且

0,0

x y <>}

6．用符号∈或?填空：

0__________{0}， a__________{a}， π__________Q ， 21

__________Z ，－1__________R ，

0__________N ， 0 Φ． 7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x =

}．

8．用列举法表示集合D={

2

(,)8,,x y y x x N y N

=-+∈∈}为 ．

9．当a 满足 时, 集合A ＝{

30,x x a x N +

-<∈}表示单元集．

10．对于集合A ＝{2，4，6}， 若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________． 11．数集{0，1，x2－x}中的x 不能取哪些数值？

12．已知集合A ＝{x ∈N|12

6x

－∈N }，试用列举法表示集合A ．

13.已知集合A={

2

210,,x ax x a R x R

++=∈∈}.

(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.

14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则1

1A

a

∈-,证明：

（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素； （2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。

§1.2 子集、全集、补集

重难点：子集、真子集的概念；元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的真子集的理解；补集的概念及其有关运算．

考纲要求：①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； ②在具体情景中，了解全集与空集的含义；

③理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 经典例题：已知A=｛x|x=8m+14n ，m 、n ∈Z ｝，B=｛x|x=2k ，k ∈Z ｝，问： （1）数2与集合A 的关系如何? （2）集合A 与集合B 的关系如何?

当堂练习：

1．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集

是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个

D ．3个

2．若M ＝{x ｜x ＞1}，N ＝{x ｜x ≥a}，且N ?M ，则（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1

3．设U 为全集，集合M 、N U ，且M ?N ，则下列各式成立的是（ ）

A ．u M ?u N

B ．u M ?M

C ．

u M ?

u N D ．

u M ?N

4. 已知全集U ＝{x ｜－2≤x ≤1}，A ＝{x ｜－2＜x ＜1 ＝，B ＝{x ｜x2＋x －2＝0}，C ＝{x ｜－2≤x ＜1 ＝，则（ ）

A ．C ?A

B ．

C ?u A

C ．

u B ＝C D ．

u A ＝B

5．已知全集U ＝{0，1，2，3}且u A ＝{2}，则集合A 的真子集共有（ ）

A ．3个

B ．5个

C ．8个

D ．7个

6．若A B ，A C ，B ＝｛0，1，2，3｝，C ＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A 为________． 7．如果M ＝{x ｜x ＝a2＋1，a ∈N*}，P ＝{y ｜y ＝b2－2b ＋2，b ∈N ＋}，则M 和P 的关系为M_________P ． 8．设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，A ?M ，A 不是空集，且满足：a ∈A ，则6－a ∈A ，则满足条件的集合A 共有_____________个．

9．已知集合A={13x -≤

≤}，

u A={|37x x <≤}，

u B={12

x -≤

<}，则集合B= ．

10．集合A ＝{x|x2＋x －6＝0}，B ＝{x|mx ＋1＝0}，若B A ，则实数m 的值是 ．

11．判断下列集合之间的关系：

（1）A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}； （2）A={2

|20

x x x --=},B={

|12

x x -≤≤},C={

2

|44x x x

+=};

（3）A={

10

|110

x x ≤≤},B={

2

|1,x x t t R

=+∈},C={|213x x +≥};

（4）11{|,},{|,}.

2

4

4

2

k k A x x k Z B x x k Z ==

+∈==

+∈

12． 已知集合{}2

|(2)10A x x

p x x R

=

+++=∈，，且?A {负实数}，求实数p 的取值范围．

13．.已知全集U={1,2,4,6,8,12},集合A={8,x,y,z},集合B={1,xy,yz,2x},其中6,12

z ≠,若A=B,

求u A.．

14．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{x ∈U|x2－5qx ＋4＝0，q ∈R}． （1）若u A ＝U ，求q 的取值范围； （2）若

u A 中有四个元素，求

u A 和q 的值；

（3）若A 中仅有两个元素，求u A 和q 的值．

§1.3 交集、并集

重难点：并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系．

考纲要求：①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； ②能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算．

经典例题：已知集合A=

{}2

,x

x x -= B={}2

240

,x

a x x -+=且A ?B=B ，求实数a 的取值范围．

当堂练习： 1．已知集合{}{}{}

2

2

20

,0

,2M x

x px N x

x x q M

N =

++==--=?=

且，则q p ,的值为 （ ）．

A ．

3,2

p q =-=- B ．

3,2

p q =-= C ．

3,2

p q ==- D ．3,2

p q ==

2．设集合A ＝｛（x ，y ）｜4x ＋y ＝6｝，B ＝｛（x ，y ）｜3x ＋2y ＝7｝，则满足C ?A ∩B 的集合C 的个数是（ ）．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3．已知集合

{}{}|35|141A x x B x a x a =

-≤≤=+≤

≤+，，A B B

?=且，

B φ

≠，则实数a 的取值范围是（ ）．

.1.01

A a

B a ≤≤≤

.0

.41

C a

D a ≤-≤≤

4.设全集U=R ，集合

{}{}()()0,()0,0

()

f x M x f x N x

g x g x =

====则方程

的解集是（ ）．

A ．M

B ． M ∩（u N ）

C ． M ∪（

u N ） D ．M N

?

5.有关集合的性质

:(1) u(A ?B)=(

u A)

∪（

u B ）; (2)

u(A ?B)=(

u A)?（

u B ）

(3) A ? (

uA)=U (4) A ? (uA)=Φ 其中正确的个数有（ ）个．

A.1 B ． 2 C ．3 D ．4

6．已知集合M ＝｛x ｜－1≤x ＜2＝，N ＝｛x ｜x —a ≤0｝，若M ∩N ≠Φ，则a 的取值范围是 ．

7．已知集合A ＝｛x ｜y ＝x2－2x －2，x ∈R ｝，B ＝｛y ｜y ＝x2－2x ＋2，x ∈R ｝，则A ∩B ＝ ． 8．已知全集{}1,2,3,4,5,U

A =

?

且(

u B){

}1,2,

=

u A){}

4,5B

?=

,

,

A B φ?≠ 则A= ，B= ．

9．表示图形中的阴影部分 ．

10.在直角坐标系中,已知点集A=

{}2

(,)

2

1

y x y x -=-,B={

}

(,)2x y y x =,则

(

uA) ? B= ．

11．已知集合M=

{}{}{}

2

2

2

2,2,4

,3,2,46

,2a a

N a a

a a M

N +-=++-+?=

且,求实数a 的的值．

12．已知集合{}{}2

2

,60

,,A x

x bx c B x

x m x A B

B A

=

++==++=?=且B

?=

{}

2，求实数b,c,m 的值．

13. 已知A ?

B={3}, (uA)∩B={4,6,8}, A ∩(

uB)={1,5},(u A)∪

(uB)={

*

10,,3

x x x N x <∈≠},试求u(A ∪

B)，A ，B ．

A

B

C

14.已知集合A=

}{2

40

x R

x x ∈+=，B=}{22

2(1)10

x R

x a x a ∈+++-=，且A ∪B=A ，试求a 的取值范围．

第1章 集 合 §1.4 单元测试 1．设A={x|x ≤4}，

a=

）

（A ）{a} A （B ）a ?A （C ）{a}∈A （D ）a ?A 2．若{1，2} A ?{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是（ ） （A ）8 （B ）7 （C ）4 （D ）3

3．下面表示同一集合的是（ ）

（A ）M={（1，2）}，N={（2，1）} （B ）M={1，2}，N={（1，2）} （C ）M=Φ，N={Φ} （D ）M={x|2

210}x x -+=,N={1} 4．若P ?U ，Q ?U ，且x ∈CU （P ∩Q ），则（ ）

（A ）x ?P 且x ?Q （B ）x ?P 或x ?Q （C ）x ∈CU(P ∪Q) （D ）x ∈CUP 5． 若M ?U ，N ?U ，且M ?N ，则（ ）

（A ）M ∩N=N （B ）M ∪N=M （C ）CUN ?CUM （D ）CUM ?CUN 6．已知集合M={y|y=－x2+1,x ∈R}，N={y|y=x2,x ∈R},全集I=R ，则M ∪N 等于（ ）

（A ）

{(x,y)|x=

1,,}

22

y x y R ±

=

∈ （B ）

{(x,y)|x 1,,,}

22

y x y R ≠±

≠

∈

（C ）{y|y ≤0,或y ≥1} （D ）{y|y<0, 或y>1}

7．50名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成绩都及格的人数是( )

（A ）35 （B ）25 （C ）28 （D ）15

8．设x,y ∈R,A={}

(,)x y y x =,B=

{}(,)

1

y x y x

=,则A 、B 间的关系为（ ）

（A ）A

B （B ）B

A （C ）A=

B （D ）A ∩B=Φ 9． 设全集为R ，若M={}1x x ≥ ，N=

{}

05x x ≤<，则（CUM ）∪（CUN ）是（ ）

（A ）

{}

0x x ≥ （B ）

{}

15x x x <≥或 （C ）

{}

15x

x x ≤>或 （D ）

{}

05x x x <≥或

10．已知集合{|31,},{|32,}M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈，若0

0,,

x

M y N ∈∈ 则00y x 与集合

,M N

的关系是 （ ）

? ≠

? ≠

（A ）00y x M ∈但N ?（B ）00y x N ∈但M ?（C ）00y x M ?且N ?（D ）00y x M ∈且N ∈ 11．集合U ，M ，N ，P

（A ）M ∩（N ∪P ） （B ）M ∩CU （N ∪P ） （C ）M ∪CU （N ∩P ） （D ）M ∪CU （N ∪P ） 12．设I 为全集，A ?I,B A,则下列结论错误的是（ ） （A ）CIA

CIB （B ）A ∩B=B （C ）A ∩CIB =Φ （D ） CIA ∩B=Φ

13．已知x ∈{1，2，x2}，则实数x=__________．

14．已知集合M={a,0}，N={1，2}，且M ∩N={1}，那么M ∪N 的真子集有 个． 15．已知A={－1，2，3，4}；B={y|y=x2－2x+2,x ∈A},若用列举法表示集合B ，则B= ． 16．设{

}

1,2,3,4

I

=

，A 与B 是I 的子集，若{

}

2,3

A B

=

，则称(,)A B 为一个“理

想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的 “理想配集”）

17．已知全集U={0，1，2，…，9}，若(CUA)∩(CUB)={0，4，5}，A ∩(CUB)={1，2，8}，A ∩B={9}， 试求A ∪B ．

18．设全集U=R,集合A={}

14x x -<<,B=

{}

1,y y x x A =+∈,试求CUB, A ∪B, A ∩B,A ∩(CUB), ( CU A) ∩

(CUB)．

19．设集合A={x|2x2+3px+2=0}；B={x|2x2+x+q=0}，其中p ，q ，x ∈R ，当A ∩B={}12

时，求p 的值

和A ∪B ．

20．设集合A=

{}

2

(,)

46

2x y y x x b a

=++-±,B=

{}

(,)2x y y x a =+,问：

(1) a 为何值时,集合A ∩B 有两个元素； (2) a 为何值时,集合A ∩B 至多有一个元素．

21．已知集合A=

{}1

234,,,a

a a a ，B=

{}2222

1

234

,,,a

a a a ，其中1

2

34

,,,a a

a a 均为正整数，且

1234

a a a a <<<，A ∩

B={a1,a4}, a1+a4=10, A ∪B 的所有元素之和为124,求集合A 和B ．

22．已知集合A={x|x2－3x+2=0},B={x|x2－ax+3a －5},若A ∩B=B ，求实数a 的值．

参考答案 第1章 集 合

§1.1 集合的含义及其表示

经典例题：解：由集合中元素的互异性知 2

2

3,32,2,x x x x x x ≠≠-≠-?????解之得x ≠－1，且x ≠0，且x ≠3．

当堂练习：

1. D;

2. B;

3. A;

4. C;

5. B;

6.∈、∈、?、?、∈、∈、?;

7. {2,x x n n Z

=∈};

8. {(0,8),(1,7),(2,4)};9.

36a <≤;10. 2或

4;

11.因为数集中的元素是互异的，所有2

2

01x x x x ≠≠???－，－． ∵x2－x ＝0的解是x ＝0或x ＝1， ∴x2－x ≠0的

解是x ≠0或x ≠1； ∵x2－x ＝1的解是x

＝

12

或x

＝

12

， ∴x2－x ≠1的解为x

≠

12

且

x

≠

12； 因此，x 不能取的数值是0，1

，12

±

．

12.∵12

6x －∈N （x ∈N ）， ∴6－x ＝1，2，3，4，6（x ∈N ），即x ＝5，4，3，2，0．故A ＝{0，2，3，4，

5}． 13.（1）当a=0时，方程2x+1=0只有一根

12

x =-

；当a ≠0时，△=0,即4-4a=0，所以a=1，这时

121

x x ==-．所以，当a=0或a=1时，A 中只有一个元素分别为12

-

或-1．（2）A 中至多有一元素包括两种

情形即A 中有一个元素和A 是空集．当A 是空集时，则有0440a a ≠?=-

?，解得a>1；结合（1）知，当a=0

或a ≥1时，A 中至多有一个元素． 14.（1）1

,2

1-； （2）集合A 非空，故存在a ∈A, a ≠1，∴

1

1A

a

∈-且1

11a

≠-，即0a ≠时，有

A

a

a a

∈-=--

11111

，且

1

1

a a

-≠,∴

1

11a A

a a

=∈--

,∴三个数为

11,

,

1a a a

a

--,再

证这三数两两互不相等即可．

§1.2 子集、全集、补集 经典例题：解：（1）2=8×2+14×（－1），且2∈Z ，－1∈Z ， 2=8×（－5）+14×3，且－5∈Z ，3∈Z 等．所以2∈A ．

（2）任取x0∈B ，则x0=2k ，k ∈Z ．∵2k=8×（－5k ）+14×3k ，且－5k ∈Z ，3k ∈Z ，∴2k ∈A ，即B ?A ． 任取y0∈A ，则y0=8m+14n ，m 、n ∈Z ，∴y0=8m+14n=2（4m+7n ），且4m+7n ∈Z.∴8m+14n ∈B ，即A ?B ． 由B ?A 且A ?B ，∴A=B ． 当堂练习：

1. B ;

2. A ;

3. A ;

4. D ;

5. D ;

6. Φ，｛0｝，｛2｝，｛0，2｝;

7. M

P;8. 7. 9. {|27x x ≤≤};10. m ＝0 或1

3或－1

2;

11. （1

）A ?B ?C.（2）{12},{2}A C =-= ，，∴C A B.

（3）{|1},{|1}B x x C x x =≥=≥ ， ∴A B=C.

（4）

12112

,.244424k k k k +++=

+= ∴当z k

∈时，2k+1是奇数，k+2是整数，

∴A B.

12. (1){}

A

φ=?负实数，符合条件

由

2

(2)4040

p p ?=+-<<<解得－

(2)004p ?==-当时，或

01{}41{}

p x A p x A p ==-?=-=?∴=当时，解得，满足负实数当时，解得，不满足负实数

12120000

x x p x x ?>+

<>?>??

???解得

13.显然0≠x

,若x=1,则z=2x=2, 从而2 y=8, y=4,得A={8,1,2,4},u A={6, 12};若y=1,则2x=8, x=4, 从而z=2, 得A={8,1,2,4},u A={6, 12};若z=1, 则xy=8, x=2x,不可能.综上所述,

u A={6, 12}．

14.（1）∵

u A ＝U ，∴A ＝φ，那么方程x2－5qx ＋4＝0的根x ≠1，2，3，4，5或无解．

x ≠1时，q ≠1，x ≠2，q ≠4

5；x ≠3，4，5时，q ≠13

15，1，25

29．若△＜0，即－54＜q ＜54

时，方程无实

根，当然A 中方程在全集U 中无实根．综上，q 的取值范围是{q|－

4

5＜q ＜4

5或q ≠1，4

5，13

15，29

25．（2）

因为u A 中有四个元素，所有A 为单元集合，由上一问知q ＝4

5时，A ＝{2}，u A ＝{1，3，4，5}；q ＝13

1

5

时，A ＝{3}，

u A ＝{1，2，4，5}；q ＝29

25时，A ＝{5}

，

u A ＝{1，2，3，4}．（3）因为A 为双元素集合，

由（1）知q ＝1时，A ＝{1，4}，u A ＝{2，3，5}．

§1.3 交集、并集

经典例题：解： A= {}1,0，∵A ?B=B ， ∴B ? A.

若B= φ，则

14160,4

a a ?=-??

；若B=

{}

0，则02－0+4=0，a ?φ；若B={}1,

则a ·12－2·1+4=0,a=－

2,－22

240x x -+=,{}2

20,2,1.2,1,x x x B +-==-=-不合；若B={}0,1,2

01401a a

=+=?????

???，φ?a . ∴14a ?.

当堂练习：

1. B ;

2. C ;

3. B ;

4. B ;

5. D ;

6.［－1，＋∞］;

7.｛y ｜－3≤y ≤3｝;

8.{}{}1,2,3,3,4,5;

A B ==

9.()A B C ??; 10.{(1,2)}; 11. ∵

{}2M N ?=

， ∴2,N ∈

若 32, 1.a a +==-这时{}{}2,1,3,2,3,11.M N

=

-=

若2

22,0.a

a +==

这时22,a +=不符合集合中元素的互异性．若2

2

462,440, 2.

a a a a a -+=-+==

这时M={}{}2,4,0,5,6,2N =

∴1, 2.

a

a =-=或

12.∵

{}2,A B ?=

∴2B ∈ ∴2

2

260, 5.m m +?+==- ∴{}{}2

560

2,3B x

x x =

-+==

∵,A B B ?=

∴.A

B ?

又 ∵

{}

2A B ?=

∴

{}

2A =

∴(22)4,224b C =-+=-=?= ∴4,4,5

b

c m =-==-．

13. 利用韦恩图求解得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},从而u(A ∪B)= {2,7,9}, A={1,3,5},B={3,4,6,8}．

14. (1)当B=A 时,可得a=1;(2)当B={0}时,得a=-1; (3)当B={-4}时,不合题意; (4)当B=Φ时,由0

?

<得1

a

<-,

综上所述, 1a ≤-或a=1．

§1.4 单元测试

1.D;

2.B;

3.D;

4.B;

5.C;

6.D;

7.B ;

8.B ;

9.B; 10.B; 11.B; 12.C; 13.0或2; 14.7; 15.{2，5，10}; 16. 9;

17．由韦恩图易得：A={1，2，8，9} B={3，6，7，9} A ∪B={1，2，3，6，7，8，9} 18.由条件得B={}

05y y <<,从而CUB=

{}

05y y y ≤≥或, A ∪B=

{}

15y y -<<,

A ∩B=

{}

04y y <<,A ∩(CUB)=

{}

10y y -<≤, (CU A) ∩(CUB)=

{}

15y y y ≤-≥或

19.∵A ∩B={12}，∴1

2∈A ，代入得p=－5

3 ∴A={

12

，2}

又∵A ∩B={1

2}，∴

12

∈B ，代入得q=－1 ∴B={1

2，－1}

则A ∪B={－1,1

2,2}

20. (1)由方程组2

462y x x y x a

=++=+???得2

260x x a ++-=,由0?>得5a >;

(2)由(1)可知5a ≤.

21.由条件得a1= a12,从而a1=1, a4=9, 若 a22= a4=9,则a2=3,所以a3+ a32=124-10-3-81=30,

a3=5,符合题意; 若a32== a4=9,则a3=3,得a2=2,这与"A∪B的所有元素之和为124"这一条件矛盾,所以A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}.

22．A={x|x2－3x+2=0}={1,2} 由x2－ax+3a－5=0,知Δ=a2－4(3a－5)=a2－12a+20=(a－2)(a－10)

(1)当2

(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠φ

若x=1，由1－a+3a－5=0得a=2此时B={x|x2－2x+1=0}={1}?A；

若x=2，由4－2a+3a－5=0，得a=1此时B={2，－1}?A．

综上所述，当2≤a＜10时，均有A∩B=B

1．排列组合题的求解策略

（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．

（2）分类与分步

有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．

（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．

（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．

（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．

（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为，这也就是方程的正整数解的个数．

2．圆排列

（1）由的个元素中，每次取出个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．

（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．

（3）定理：在的个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为．

3．可重排列

允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．

在个不同的元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种，所以从个不同的元素中，每次取出个元素的可重复的排列数为．

4．不尽相异元素的全排列

如果个元素中，有个元素相同，又有个元素相同，…，又有个元素相同（），这个元素全部取的排列叫做不尽相异的个元素的全排列，它的排列数是

5．可重组合

（1）从个元素，每次取出个元素，允许所取的元素重复出现次的组合叫从个元素取出个有重复的组合．

（2）定理：从个元素每次取出个元素有重复的组合数为：．

6．二项式定理

（1）二项式定理（）．

（2）二项开展式共有项．

（3）（）叫做二项开展式的通项，这是开展式的第项．

（4）二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等．

（5）如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果是奇数，则中间两项的二项式

系数与最大．

（6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即

7．数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法

二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题者却对其情有独钟．

（1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；

（2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合；

（3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩；

（4）综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决．

例题分析

例1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？

例2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？

例3．有个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？

例4．将个不同的小球放入个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？

例5．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？

例6．用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个？

例7．用五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方式？例8．某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？

例9．在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？

例10。.8位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种？

例11．某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道．如果有人从城南北角（图点）走到东南角中点最短的走法有多少种？

例12．用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能的号码？

例13．将个相同的小球，放入个不同的盒子（）．

（1）有多少种不同的放法？

（2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？

例14．8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．（只要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的）

例15．设，求的值．

例16．当时，的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论．

例17．已知数列（）满足：

求证：对于任意正整数，

是一次多项式或零次多项式．

例18．若（），求证：．

例19．设的整数部分，求的个数数字．

例20．已知（）求的个位数字．

例21．试证大于的最小整数能被整除（）．

例22．求证：对任意的正整数，不等式．

例23．设，且．求证对于每个，都有