牛吃草问题公式

牛吃草问题公式详解




牛吃草问题”主要有两种类型：

1、求时间

2、求头数

除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。

①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。

②已知天数求知数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

③根据“（原有草量”+若干天里新生草量）÷天数”，求出只数。





正确的是：

1.（较大的吃草量-较小的吃草量）÷（大的天数-小的天数）=每天生长草的量

2.（较大牛数-每天生长量）×较大天数=原草量

3.原草量÷〔题目要求牛的头数-每天生长量〕=题目要求的答案


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牛吃草问题常用到四个基本公式0
牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
（1）草的生长速度
＝ 对应的牛头数?吃的较多天数－相应的牛头数?吃的较少天数
?（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数?吃的天数－草的生长速度?吃的天数；`
（3）吃的天数＝原有草量?（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量?吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

? 自学指导
解答牛吃草问题，困难在于草的量不停在变！它每天都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量由两部分组成︰（1）某个期限前原有的草量；（2）这个期限后，每天新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。
解决牛吃草问题的关键是了解牧场草的生长情况，即原有的草量及每天新增的草量。题目给出的条件涉及3个量，即牛数、草量和天数。使用比较的方法可以求得上述的两种量。为方便比较，要使两种情况的草场面积一致。了解

有关牧场草的情况之后，再研究牛的情况。一般可以从两个不同的角度考虑︰天数固定，草场的草的总量就知道；每天新增加的草量已知，就可以对牛的吃草情况进行分配。有时候，也可以用追及问题的想法去处理牛吃草问题。
解决牛吃草问题必须求出草的生长速度和草原上原有的草量，这是解决问题的关键。在大多数情况下，牛吃草问题的解决分成以下几个步骤︰应用基本公式（1）和（2），分别求出草的生长速度和原有的草量；根据题目的要求选择基本公式（3）或（4）来解答题中的所求问题。
? 经典例题
「例1」 牧场上的青草，每周长一样密，一样快。如果这片牧场可供24头牛吃6周，
2 0头牛吃10周，那么这片牧场可供18头牛吃_____周。15周
思路剖析
解决本题抓住三点︰
1.把每头牛每天的吃草量看作是〝一个单位〞；
2.求出牧草每天的生长量(不会因牛的多少而改变)；
3.求出牧场上原来的草量(牛未吃之前的草量)。



「例2」 牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问供25头牛可吃几天？ 5天
点拨
本题的难点在于草的总量未定，并且草会随时间的增长而增长。
第一步先求出草每天的生长量；
第二步求出原有的草量；
第三步设想用几头牛去吃新生的草，剩下的牛去吃原有的草。所需天数即为所求。




「例3」 有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么这片草地可供10头牛和60只羊一起吃多少天？ 8天
思路剖析
这道题目中吃草的既有牛，又有羊，并且牛和羊每天的吃草量是不同的，
所以我们就要统一在牛（或羊）的条件下讨论问题。
因为一头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，
所以80只羊相当于20头牛，60只羊相当于15头牛。
本题就可以这样来转化︰有一块草地，每天草的生长速度相同。
这片草地可供16头牛吃20天或20头牛（实际上是80只羊）吃12天，
那么25头牛（实际上是10头牛加60只羊，相当于25头牛）可以吃多少天？
这是一个标准的消长问题。

「例4」一片牧草，可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天。现在一开始只有4头牛在吃，从第7天起增加了若干头牛来再吃6天，吃完了所有的草。假设草每天均匀生长，并且每头牛每天的吃的草量相等，那么从第7天起增加了多少头牛？10头牛

思路剖析
根据题目的条件可知吃草的总天数是12天，12天的青草总量很容易求得，青草总量分成两部分，前6天只有4头牛吃草；后6天增加了若干头。我们

可以从青草总量扣去4头牛6天所吃的草量，就是后6天增加若干头牛后吃的草量。



「例5」由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经过计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或者供16头牛吃6天，那么这片牧场上的草可供11头牛吃几天？8天
思路剖析
与一般的消长问题不同，本题的草不仅没有生长出来，而且还在不断地减少。但是草的量是均匀地减少的，所以我们同样可以用类似的方法来求解，不过过程略有不同。



「例6」有一只船漏了一个洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船已经进了一些水。如果用12个人淘水，要3个小时才能淘完。如果只有5个人淘水，要10个小时才能淘完。现在要想在2个小时内淘完，需要多少人淘水？17人
思路剖析
本题虽然不是“牛吃草”，但是问题的本质是一样的，所以我们的解题步骤也可以采取类似的步骤。



「例7」某画展早上10点开门，但早有人排队等候入场，以第一个观众到来时起，每分钟观众来的人数都一样多。如果开了3个入场口，9分钟以后就不再有人排队；如果开5个入场口，5分钟以后就没有人排队。请问︰第一个观众是甚么到来的？早上9点15分

思路剖析
观察题意，本题恰是牛吃草问题的应用。由于每分钟观众来的人数一样多，类似于牛吃草问题里的草的增长速度；而开门前的总人数类似于牛吃草问题里的原有草量。





「例8」有两个顽皮的孩子逆自动扶梯行驶的方向行走。男孩每秒可以走3级梯级，女孩每秒可以走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒。请问︰该扶梯共有多少级梯级？150级
思路剖析
本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于总的草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。



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「例9」有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中速车每小时走20千米，那么，慢速车每小时走多少千米？ 19千米
? 思路剖析
虽然本题表面上不像牛吃草问题，但仔细分析后，条件的结构转化后就与牛吃草问题没有什么多大的分别！事实上，“三辆车与骑车人的距离”相当于“原有的草量”，“车”相当于“牛”，“骑车人的速度” 就相当于“ 草的生长速度”，三辆车与骑车人的距离均匀地增加类似于牛吃草问题中新生的草均匀地生长一样！我们可以用“牛吃草”的一般解题方

法逐步分析，求出慢车的速度。
?点拨
消长问题（即牛吃草问题）的解法有一般性，掌握这种解法必须理解每一个步骤的算术意义，亦即公式的由来。建议多注意例4与例9中的第二种解法，因为第二种解法的步骤类似于用公式来求解，但它用分析的方法使得每一步的思路清晰。同样要注意有许多题型是可以转化为消长问题的，如例6、例7和例8。在解题时注意不要把“草在匀速生长”这一条件忘了，如果缺少这一个条件，它只是一个一般的工程问题而已。





「例10」有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供22头牛吃54天，第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天（每块地每公亩草量相同而且草都是匀速生长）？ 35头牛
? 思路剖析
解题的关键仍是设法找到每公亩地原有的草量和每天每公亩地新长出的草量。
? 点拨
牛吃草问题涉及三种数量，原有的草、新长出的草、牛吃掉的草。
牛吃草问题解法上大体分三步：
一、求新生草量；二、求原有草量；三、给出问题的解。

22头牛吃33亩牧场的草，

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消长问题

牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

（1）草的生长速度

＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）

÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

解答牛吃草问题，困难在于草的量不停在变！它每天都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量由两部分组成︰（1）某个期限前原有的草量；（2）这个期限后，每天新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。