最简二次根式的条件
最简二次根式的条件
（1）怎样形式才算是最简二次根式？
①被开方数的因数是整数，因式是整式。
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
注：对最简二次根式可作如下理解：
①被开方数不含分母。
②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1。
（2）化二次根式为最简二次根式的一般步骤：
①把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，把绝对值小于1的小数化成分数。
②被开方数是多项式的要进行因式分解。
③使被开方数不含分母。
④将被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。
⑤化去分母中的根号。
⑥约分。
二次根式有意义的条件练习题
二次根式有意义的条件练习题 1. 有意义的条件是 。 2. 当__________有意义。 3. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是 。 7. 2x =-，则x 的取值范围是 。 8. )1x 的结果是 。 9. 当15x ≤ 5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. = 成立的条件是 。 12. 若1a b -+与()2005 _____________a b -=。 13. )))020x y x x y =-+ 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） 15. 若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()2 22a + D. ()2 24a +
17. 若1a ≤ ） A. (1a - B. (1a - C. (1a - D. (1a - 18. =x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） ( ) ( ) ()() 123224==-= =∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。 22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。
二次根式的概念与性质1
二次根式的概念与性质1 一．选择题（共30小题） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥， 其中一定是二次根式的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 2．下列判断正确的是（） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列各式中，二次根式有（） ①②③④ A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 8．若有意义，则x满足条件是（） A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2 10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3 11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B． C．D． 12．二次根式中，字母a的取值范围是（） A．a B．a C．a D．a 13．使式子+成立的x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2 14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1 15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（） A．B． C．D． 16．下列说法正确的个数有（） ①代数式的意义是a除以b的商与1的和； ②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3； ③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0； ④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2． A．1个B．2个C．3个D．4个 17．使代数式有意义的整数x有（）
二次根式有意义
二次根式有意义 评卷人得分 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（） A．B．C．D． 3．式子中x的取值范围是（） A．x≤3 B．x＜3 C．x≥﹣3 D．x≥3 4．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥0 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥0且 x≠1 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（） A．x≥B．x≤C．x≥﹣ D．x≤﹣ 6．如果式子有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x≥2 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 8．若代数式有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且 x≠1 9．二次根式有意义的条件是（） A．x B．x C．x D．x≤3 10．如果式子是有意义，那么a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＞2 C．a=2 D．a≤1 11．使有意义的x的取值范围是（）
A．x＞B．x＜C．x≥﹣ D．x≤﹣ 12．使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x≥1且x≠2 D．x＞2 13．在二次根式中，字母x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥﹣3 评卷人 得分 二．填空题（共2小题） 14．当x 时，二次根式有意义． 15．如果分式有意义，那么x的取值范围是．
二次根式有意义 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 【解答】解：由题意可知： ∴x≥﹣3且x≠0 故选：C． 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（）A．B．C．D． 【解答】解：A、∵是二次根式， ∴3﹣x≥0， ∴x≤3，故本选项错误； B、∵是二次根式， ∴x+3≥0， ∴x≥﹣3，故本选项错误； C、∵是二次根式， ∴x﹣3≥0， ∴x≥3，故本选项错误； D、∵是二次根式， ∴≥0， ∴x＞3，故本选项正确； 故选：D．
二次根式定义解读
二次根式定义解读 我们知道：一般地，形如a )0(≥a 的式子的式子叫做二次根式，而a )0(≥a 也表示a 的算术平方根，所以可得,0≥a )0(≥a . 这里要注意的是两个非负数：a 是非负数，被开方数是非负数，那么它们在实际问题中有什么作用呢？ 1. 条件)0(≥a 的作用：列不等式，可求被开方数中，字母的取值范围. 例1 当a -1 1++a 有意义时，a 的取值范围是 . 析解：此式中含有二次根式，被开方数为非负数，得,0≥-a 含有分式，分母不为零，得01≠+a , a 的取值应使以上二式都成立， ∴据题意得???≠+≥-0 10a a 解得：,0≤a 且1-≠a . 例2 121 2+x 有意义，则x 的取值范围是 . 解：法一 据题意得： 012>+x , 12->x , 当x 取任意实数时，上式都成立，∴x 的取值范围是全体实数. 法二：∵,02≥x ∴112 ≥+x , 即x 取任意实数，被开方数都是正数，原式都有意义，∴x 的取值范围是全体实数. 点评：此题看似简单，学生却极易出错，错误原因往往是对法一中的12->x 不会处理，不知道解到此步，应得结论，却接着往下解，从而得出荒谬的结论. 【小结】数学表达式中的条件，往往是列方程或列不等式的依据，从而求出所含字母的取值范围. 2. 0≥a 的作用：表示非负数，往往与也表示非负数的绝对值、偶次幂同时出现于同一题目中. 例3 若32-+y x 与1-xy 互为相反数，则22y x += . 解：据题意得， 32-+y x +1-xy =0, ∴???=-=-+010 32xy y x , ∴???==+13 2xy y x ,
二次根式及其有意义的条件.docx
初中数学 二次根式及其有意义的条件 编稿老师 徐文涛 一校 杨雪 二校 黄楠 审核 隋冬梅 【考点精讲】 概念 二次根式 表示方法 有意义的条件 1. 二次根式：一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，其中“ ”称为 二次根号，“ a ”叫做被开方数。 2. 当 a ＞ 0 时， a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞ 0； 当 a ＝0 时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a ＝ 0。 这就是说， a （ a ≥ 0）是一个非负数。 【典例精析】 例题 1 下列各式中，是二次根式的有（ ） 10 ， x 2 3 ， 3 15 ， ，5 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 思路导航： 3 15 的根指数为 3； 5 的被开方数是负数，所以不是二次根式； 10 ， x 2 3 ， 符合二次根式的条件，所以是二次根式的有 3 个。 答案： C 点评： 二次根式必须满足两个条件：①根指数为 2；②被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。 例题 2 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义 （ 1） (x 3) 2 ；（ 2） 4 3x ；（ 3） 1 x 1 思路导航： 要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数， 如果分母中有根式， 那么 被开方数必须是正数，因为零不能作分母。 答案： 解：（ 1）因为（ x － 3） 2≥0，所以无论 x 取任何实数， (x 3) 2 都有意义； （ 2）若 4 3x 有意义，则必有 4－3x ≥0，即当 x ≤ 4 时， 4 3x 有意义； 3
二次根式定义与性质
二次根式定义及性质 教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).
经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.
二次根式有意义
二次根式有意义 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（）A．B．C．D． 3．式子中x的取值范围是（） A．x≤3 B．x＜3 C．x≥﹣3 D．x≥3 4．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥0 B．x≠1 C．x＞1 D．x≥0且x≠1 5．若二次根式有意义，则x的取值范围为（） A．x≥B．x≤C．x≥﹣D．x≤﹣ 6．如果式子有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x≥2 7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x＞0 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 8．若代数式有意义，则x的取值范围是（） A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1 9．二次根式有意义的条件是（） A．x B．x C．x D．x≤3 10．如果式子是有意义，那么a的取值范围是（） A．a≥2 B．a＞2 C．a=2 D．a≤1 11．使有意义的x的取值范围是（）
A．x＞B．x＜C．x≥﹣D．x≤﹣ 12．使式子有意义的x的取值范围是（） A．x≥1 B．x≤1 C．x≥1且x≠2 D．x＞2 13．在二次根式中，字母x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥﹣3 二．填空题（共2小题） 14．当x 时，二次根式有意义． 15．如果分式有意义，那么x的取值范围是．
二次根式有意义 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．x≠0 C．x≥﹣3且x≠0 D．x≥3 【解答】解：由题意可知： ∴x≥﹣3且x≠0 故选：C． 2．在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（）A．B．C．D． 【解答】解：A、∵是二次根式， ∴3﹣x≥0， ∴x≤3，故本选项错误； B、∵是二次根式， ∴x+3≥0， ∴x≥﹣3，故本选项错误； C、∵是二次根式， ∴x﹣3≥0， ∴x≥3，故本选项错误； D、∵是二次根式， ∴≥0， ∴x＞3，故本选项正确； 故选：D． 3．式子中x的取值范围是（）
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质 编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨 一、目标认知 1.学习目标： 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论： ，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点： ；，及其运用． 3.难点： 利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释： 二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.
知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？ 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式 作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．
二次根式的意义及基本性质
人教版九年级第21章第1节二次根式（2）教案 教学目标 1．知识与技能 （1）理解a≥0）是一个非负数； （22=a（a≥0），会运用该公式进行简单计算； 2．过程与方法 （1）先复习二次根式概念及成立条件； （2）再让学生探讨a≥0a≥0）是一个非负数； （32=a（a≥0），最后运用结论严谨解题． 3．情感、态度与价值观 （a≥0）的正负特征培养分类讨论的科学态度；学生通过运用 2=a（a≥0）严谨解题，加强学生准确解题的能力． 教学重难点 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2．难点：用分类思想导出a≥0）是一个非负数；?2=a （a≥0）． 一．课堂导入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0a<0 二．探索新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是正数，负数，还是零呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 做一做：根据算术平方根的意义填空： 2=_______；2=_______；2=______；2=_______；
）2=______；2=_______；2=_______． 老师点评4是一个平方等于4的 2=4． 同理可得：2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72 ，）2=0，所以 例1 计算 1．2 2．（）2 3．2 4．（2 ）2 分析2=a （a ≥0）的结论解题． 解：2 =32，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=56，（2）2=2 2724=． 三、巩固练习 计算下列各式的值： 2 2 42 ）2 （） 2 22- 四、应用拓展 例2 计算 1．（2（x≥0） 2．2 3．）2 4．）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）2≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题．
二次根式的概念及有意义的条件教案
教学过程 一、复习预习 1.二次根式的概念 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的双重非负性 二、知识讲解 考点1 二次根式的概念 （a≥0）?的式子叫做二次根式，”称为二次根号． 要点诠释：（1）必需含有二次根号. （2）被开方数a≥0. （3）a可以是数,也可以是含有字母的式子.
考点2 二次根式有意义的条件 要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 考点3 二次根式的双重非负性 二次根式的双重非负性是指二次根式本身是非负的 03 ，被开方数也是非负的 a 03. 三、例题精析 【例题1】 下列式子，哪些是二次根式，、1 x x>0）、 、、 1 x y +x ≥0，y?≥0）． 【答案】（x>0）、x ≥0，y ≥0）；不是二次 1x 、1x y +． 【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0． （x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的 1x 、1x y +． 【例题2】 当x 在实数范围内有意义？ 【答案】由3x-1≥0，得：x ≥1 3 当x ≥ 1 3 在实数范围内有意义． 【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0才能有意义．
【例题3】 已知 ，求x y 的值． 【答案】2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：x2 = y5 【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0. 2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：x2 = y5 【例题4】 ，求a2014+b2014的值． ∴a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1， 故a2014+b2014=（-1）2014+（1）2014=2 【解析】由二次根式的定义可知, 和都为非负数，且两个非负数的和为零， 故只能是a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1，故a2014+b2014=（-1）2014+12014=2. 四、课堂运用 【基础】 1.下列式子中，是二次根式的是（） A． B C D．x 【答案】A 【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号 ；第二，被开方数是正数或0． B选项所含根号不是二次的，C选项中被开方数可为负，D选项不含二次根号. 2.下列式子中,是二次根式的有(填序号)
二次根式有意义
二次根式有意义
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二次根式有意义 评卷人得分 一.选择题(共１3小题） 1．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A．x≥﹣3 B.x≠0?C．ｘ≥﹣３且x≠0 Ｄ.x≥３ 2．在下列二次根式中,x的取值范围是ｘ＞3的是（）A． B. C. D. 3．式子中ｘ的取值范围是（) A.x≤3 B．x<３?Ｃ．x≥﹣3 Ｄ．x≥3 4．如果代数式有意义，那么ｘ的取值范围是（) A.x≥０Ｂ.x≠1 C．x>1 D.x≥0且x≠1 5．若二次根式有意义,则ｘ的取值范围为（） A．x≥?B．ｘ≤?Ｃ.ｘ≥﹣Ｄ．x≤﹣ 6.如果式子有意义，则x的取值范围是() A.ｘ>﹣２Ｂ.ｘ≥﹣2 C.x>2 D．ｘ≥2 7.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ）Ａ．ｘ>0 B.x≥0?C.x≠0?D．ｘ≥0且x≠1 8．若代数式有意义，则ｘ的取值范围是( ) A．x>﹣１且x≠1?B．x≥﹣1 C.x≠1 D.ｘ≥﹣１且x≠１9．二次根式有意义的条件是（) Ａ.ｘB．ｘ C.x?Ｄ.x≤３ 10．如果式子是有意义,那么a的取值范围是（) A.a≥２?B．a>2?C.a=2?D．a≤１ 11．使有意义的x的取值范围是（）
A.ｘ＞? B.x< C.x≥﹣?Ｄ．x≤﹣ 12．使式子有意义的x的取值范围是（） A．x≥1?B．x≤1 C．ｘ≥1且x≠２?Ｄ．x>2 13.在二次根式中，字母x的取值范围是( ） A.x≥3 B.ｘ>3 C．x≤3 D．x≥﹣3 评卷人得分 二．填空题(共２小题) 1４．当x 时,二次根式有意义． 1５．如果分式有意义,那么x的取值范围是. ? 二次根式有意义 参考答案与试题解析 一．选择题(共13小题) 1.如果代数式有意义，则实数x的取值范围是（) A．x≥﹣3 Ｂ.ｘ≠０C．ｘ≥﹣3且x≠０?D．x≥３【解答】解:由题意可知: ∴x≥﹣3且ｘ≠０ 故选:Ｃ. 2.在下列二次根式中,x的取值范围是ｘ>3的是(） A.?B．C．?Ｄ. 【解答】解:A、∵是二次根式, ∴３﹣x≥0，
八年级数学下册二次根式定义练习题
八年级数学下册二次根式定义练习题 一、选择题 1．要使式子x -1有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x≤1 B.x≥1 C.x ＞0 D.x ＞﹣1 2、下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.2 x B.8 C.2x D.12+x 4x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．2x ≥- C ．2x ≥ D ．2x ≤ 5、若式子34x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.43x ≥ B. 43x> C. 34x ≥ D. 34 x> 6. 如果代数式有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠1 C ．x ＞0 D ．x≥0且x≠1 7 =成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥ 8、在函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ） A.x ≥﹣2且x ≠0 B.x ≤2且x ≠0 C.x ≠0 D.x ≤﹣2 9、求使下列各式有意义的x 的取值范围？ （1）2+x －x 23- （2）x -－ 11+x (3) 1y x = - （4）2||12--x x
一、选择题 1．下列式子成立的是（ ） A ．33 1= B ．2332=- C ．332=-）（ D.（3）2=6 2．化简8的结果是（ ） A ．2 B ．4 C ．22 D ．±22 3．化简27 23-的结果是（ ） A ．32- B ．32- C ．36- D ．2- 412a =-，则（ ） A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 5、已知y 3，则2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152- D ． 152 6＜0)得（ ） A B C D 7、设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 2a +|a +b |的结果是（ ） A.-2a +b B.2a +b C.-b D. b 8、若+|2a ﹣b+1|=0，则(b ﹣a)2015=（ ） A.﹣1 B.1 C.5 2015 D.﹣520159
二次根式有意义题
一、选择题（共20小题） 1．下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是（） A．B．C．D． 2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（A．x=1B．x≥1C．x＞1 D．x＜1 3．x取下列各数中的哪个数时，二次根式有意义（） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2 5．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≥1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≠1 6．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3 7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≤﹣4 B．x≥﹣4 C．x≤4 D．x≥4 8．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 9．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x= B．x≠C．x≥D．x≤ 10．要使式子有意义，则a的取值范围为（） A．B．C．D． 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3 12．要使二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（） A．x＞2 B．x≥2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2 13．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
14．代数式有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1且x ≠1 B ．x ≠1 C ．x ≥1且x ≠﹣1 D ．x ≥﹣1 15．下列说法中，正确的是（ ）A ．当x ＜1时，有意义 B ．方程x 2+x ﹣2=0的根是x 1=﹣1，x 2=2 C ．的化简结果是 D ．a ，b ，c 均为实数，若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c 16．在式子，，，中，x 可以取2和3的是（ ） A ． B ． C ． D ． 17．使代数式有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．﹣5≤x ＜5 C ．x ≥5 D ．x ≥﹣5 18．若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥ B ．x ≥﹣ C ．x ＞ D ．x ≠ 19．二次根式有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣2 B ．x ＞﹣2 C ．x ＜2 D ．x ≤2 20．要使式子有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣1 B ．m ≥﹣1 C ．m ＞﹣1且m ≠1 D ．m ≥﹣1且m ≠1 21．代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 22．使二次根式有意义的x 的取值范围是 ． 24．要使式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 25．使有意义的x 的取值范围是 ． 26．若，则（x+y ）y = ． 27．二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ． 28．使式子1+有意义的x 的取值范围是 ． 29．已知x 、y 为实数，且y=﹣+4，则x ﹣y= ． 30．若式子有意义，则实数x 的取值范围是 ．
二次根式的定义教案
档案号 主页 ——————— 教 学 教 案 ———————— 教 案 内 容 课次 授课时间 年 月 日 星期 ＿ ＿ ：＿ 至 ＿ ：＿ 课题 二次根式(1) 目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 重点 二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点 综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 教 学 过 程 及 要 点 入则孝 父母呼 应勿缓 父母命 行勿懒 父母教 须敬听 父母责 须顺承 易解：父母呼唤，应及时回答，不要慢吞吞的很久才应答，父母有事交代，要立刻动身去做，不可拖延或推辞偷懒。父母教导我们做人处事的道理，是为了我们好，应该恭敬的聆听。做错了事，父母责备教诫时，应当虚心接受，不可强词夺理，使父母亲生气、伤心。（君子闻过则喜，小人闻过则怒。） （一）复习回顾： （1）已知a x =2，那么a 是x 的_____;x 是a 的____, 记为____,a 一定是____数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____，0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）自主学习 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。 。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16 -，34，5-，)0(3≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以， 在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数 ________ )(2=a 42)3(
人教版初中数学二次根式知识点复习
人教版初中数学二次根式知识点复习 一、选择题 1．a 的取值范围为() A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不存在 【答案】C 【解析】 试题解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：a≥0，且-a≥0． ~ 所以a=0．故选C ． 2． ） A ．±3 B ．-3 C ．3 D ．9 【答案】C 【解析】 【分析】 进行计算即可． — 【详解】 ， 故选：C. 【点睛】 此题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键. 3．若代数式1y x = -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．0x ≥且1x ≠ C ．0x > D ．0x >且1x ≠ ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围． 【详解】 根据题意得：010x x ≥??-≠? ， 解得：x≥0且x≠1． 故选：B ． 【点睛】
| 此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 4． = ） A ．0x ≥ B ．6x ≥ C ．06x ≤≤ D ．x 为一切实数 【答案】B 【解析】 = ∴x≥0,x -6≥0, 》 ∴x 6≥. 故选B. 5．下列运算正确的是（ ） A ． B ）2 =2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 ` 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可. 【详解】 根据二次根式的加减，可知 A 选项错误； 根据二次根式的性质2=a （a≥02=2，所以B 选项正确； (0)=0(=0)(0)a a a a a a ??=??-? ＞＜﹣11|=11，所以C 选项错误； D D 选项错误． 故选B ． 【点睛】 、 此题主要考查了的二次根式的性质2=a （a≥ 0(0)=0(=0)(0)a a a a a a ??=??-? ＞＜，正确利用 性质和运算法则计算是解题关键.
人教版 八年级数学 二次根式有意义讲义 (含解析)
第13讲 二次根式有意义 知识定位 讲解用时：5分钟 A 、适用范围：人教版初二，基础一般； B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式，了解二次根式有意义，增强数形结合和用数学的意识。二次根式这一章节十分重要，是中考考查的一个重点，因此要好好学习并掌握。 知识梳理 讲解用时：20分钟 平方根与算术平方根 21、分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 100602020v v =+- 3162x x +-= 分式方程 整式方程 2、判断下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程? 2231323=π212x x x x x x x x -==---= ()43711121052131x y x x x x x x x x +=-=--+=++= 回顾： 什么是平方根？什么是算术平方根？ 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就称为a 的平方根，也称为二次根式. 也就是说：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作x=±√a 一般地，若一个非负数x 的平方等于a ，即x2=a，则这个数x 叫做a 的算术平方根.也就是说：若x 2=a ，则x 叫做a 的算术平方根，记作x=√a 总结： 当a 是正数时，√a 表示a 的算术平方根，也就是a 的正的平方根； 当a 是零时，√a 等于0，也叫做零的算术平方根； 当a 是负数时，√a 没有意义. √a 中a 的范围是a ≥0，√a 是非负数，即√a ≥0
课堂精讲精练 【例题1】 在下列代数式中，不是二次根式的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 解：A、，是二次根式，故此选项错误； B、，是二次根式，故此选项错误； C、，是二次根式，故此选项错误； D、，不是二次根式，故此选项正确； 故选：D． 讲解用时：2分钟 解题思路：此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 教学建议：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式，熟记定义. 难度： 2 适应场景：当堂例题例题来源：浦东新区期末年份：2015 【练习1.1】 下列代数式能作为二次根式被开方数的是（） A．3﹣πB．a C．a2+1 D．2x+4 【答案】C 【解析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误； C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；
二次根式定义
二次根式的定义 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________________ 2． 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________________ 3．下列各式：，，，（a＞0），其中是二次根式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________________ 5 ．使代数式 +有意义的整数x有 （） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．下列各式一定是二次根式的是（） A ． B ． C ． D ． 7．下列各式中无论x为任何数都没有意义的是（） A ． B ．C ． D ． 8．下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（） A ． B ．C ． D ． 9．使得有意义的a有（） A．0个 B．1个 C．无数个D．以上都不对 10 ．要使二次根式在实数范围内有意义， 则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（） A ．B ． C ． D ． 11．在下列式子：①②（x﹣2）0③中，x不可以取到2的是（） A．只有①B．只有②C．①和②D．①和③12．下列说法正确的是（） A．若a＜0，则＜0 B．x实数，且x2=a，则a＞0 C ．有意义时，x≤0 D．0.1的平方根是±0.01 13．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（） A ． B ． C ． D ． 14 ．要使式子有意义，则x的取值范围是__________________ 15．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（） A．x≥1 B．x＞0 C．x≥﹣1 D．任意实数16．下列式子一定是二次根式的是（） A ． B ． C ． D ． 17．若二次根式有意义，则字母x应满足的条件是__________________ 18．二次根 式中x的取值范围是__________________
二次根式定义及性质
二次根式定义及性质教学内容:
并利用它们进行计算和化简? 2. 重点：—「汕「?厂—，厂—5及其运用. 3. 难点：利用 gx θ(α≥0)，(乔「二S0X°), = α?≥0) 解决具体问题 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如 丄；(a ≥ 0)?的式子叫做二次根式，“"”称为二次根号. 知识点二：二次根式的性质 1.&≥Q(a≥0)； (石)=Λ (d ≥ 0) =IaI= < 3. 2. a (a ≥0) -a (a <0)； 4. 积的算术平方根的性质: 5. 商的算术平方根的性质: λj'.∕?, - -Λ J I -■", ' -■； 知识点三：代数式 S 形女口 5, a , a+b , ab ,】，X , & (α≥0) 这些式子，用基本的运算符号 (基本运算包括加、减、乘、 除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression). 1.学习目标：理解二次根式的概念， 了解被开方数是非负数的理由； 理解并掌握下列结论： U- ■' ■: ■' 111， 经 典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式: (X > 0)、 1 匚、=、二、U J i(X ≥0, y ≥ °)?
思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ??厂”；第二，被开方数是正数或 例2、当X 是多少时,,-I 在实数范围内有意义? 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0,所以3X -1 ≥0, ? 义. 1 解：由 3X -1 ≥ 0,得：X ≥ j 1 当X ≥ 1时，「丄-在实数范围内有意义. 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】X 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义? 1 解: (1)由 (M ≥ 0,解得：X 取任意实数 ???当X 取任意实数时，二次根式 ' ■'在实数范围内都有意义 (2)由 x-1 ≥ 0,且 x-1 ≠ 0,解得：X > 1 ?当X > 1时，二次根式■在实数范围内都有意义? 解：二次根式有: 匸、C i(X ≥ 0, y ≥ 0); 才能有意 J?. (X >0)、 不是二次根式的有:
二次根式化简与有意义范围
二次根式有意义范围 1、 x 的取值范围是（ ） ． A ．x ≤ 3 2 B ．x < 32 C ．x > 32 D ．x ≥ 32 2、当x ________时， 12-x 在实数范围内意义 3、当x ________时，二次根式 x 25-有意义？ 4、x 取何值时，下列各二次根式有意义？ （1） 3+x ； （2）52-x ； （3） x 1； （4） x -15． ________ ________ ________ ________ （5） x 322+ ；；（6）123+x ；（7）x 231 -． ________ ________ ________ 5、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ． 最简二次根式 1、下列根式中属最简二次根式的是（ ） 2、属于最简二次根式的是（ ）A. 8 B y x 2 C. 3 1 D.22y x + 3、下列各式中属于最简二次根式的是( ) A.. 12+x B. 5 2y x C. 12 D. 5.0 4、下列二次根式，与 a 是同类二次根式的是( ) (A) a 2 (B) 2 3a (C) 3 a (D) 4 a 5、二次根式2 1、12 、30 、x+2 、 240x 、 2 2y x +中，最简二次根式有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、二次根式12、 32+x 、 2 3 、b a 2、5.02、26中，最简二次根式的概率是 （A ） 16 （B ） 23 （C ） 13 （D ） 1 2 （ ） 7、如果最简二次根式 a +1与24-a 是同类根式，那么a ＝
二次根式及其有意义的条件 (2)
【考点精讲】 1. a≥0）的式子叫做二次根式，其中称为二 次根号，“a”叫做被开方数。 2. 当a ＞0a 0； 当a ＝000。 a ≥0）是一个非负数。 【典例精析】 例题1 下列各式中，是二次根式的有（ ） 10，32+x ，315，π，5- A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 思路导航：315的根指数为3；5-的被开方数是负数，所以不是二次根式；10， 32+x ，π符合二次根式的条件，所以是二次根式的有3个。 答案：C 点评：二次根式必须满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。 例题2 当x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）2 )3(-x ；（2）x 34-；（3） 1 1 -x 思路导航：要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母中有根式，那么被开方数必须是正数，因为零不能作分母。 答案：解：（1）因为（x －3）2≥0，所以无论x 取任何实数，2 )3(-x 都有意义；
（2）若x 34-有意义，则必有4－3x≥0，即当x≤ 3 4 时，x 34-有意义； （3）若11-x 有意义，则必有x －1＞0，即当x ＞1时，1 1 -x 有意义。 点评：本题考查了二次根式及分式有意义的条件。用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为0；二次根式的被开方数是非负数。本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。 例题3 已知x 、y 为实数， y=1 2 x -，试求3x+4y 的值。 思路导航：根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，得到相应的未知字母的值。 答案：解：依题意得?????≥-≥-0 4042 2x x ，所以x 2 =4，所以x=±2，又因为x －2是原式分母，所以x －2≠0，所以x≠2，所以x=－2，此时，y=－41，所以3x+4y=3×（－2）+4×（－4 1 ） =－7。 点评：用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为0。 【总结提升】 1. 正确理解二次根式的概念，要注意以下几点： （ 1 。 （2） 的根指数为2 ，即，我们一般省略根指数 2 2. 需要掌握三个具有非负性的式子：①a 2≥0；② |a|≥0（a≥0）。 （y －1）2 +|z|=0，（y －1）2=0，|z|=0，则x=－1，y=1，z=0。 3. 如果将公式 2 a =（a≥0 ）逆用，即2 a = （a≥0） ，就可以把一个非负数写成 一个数的平方的形式。例如：2 3= ，2 a b -=。（a －b≥0） 这一公式常用在因式分解中，如： 2 22 5(a a a a -=-= 。 （答题时间：20分钟） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. x 2. 要使 b a 是二次根式，则应满足的条件是（ ） A. a≥0且b≥0 B. a≥0且b ＞0