高考专题:换元法在解题中的应用-教师

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换元法在解题中的应用

[方法精要] 一般而言,在数学问题中,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这种方法称为换元法.某些数学问题通过这种换元,往往可以暴露已知与未知之间被表面形式覆盖着的实质,发现解题途径.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.

换元法又称辅助元素法、变量代换法,其特点是通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,把条件与结论联系起来,把陌生的形式转变为熟悉的形式.高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等.换元法应用广泛,如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等,在解析几何中也有广泛的应用.

题型一 换元法求函数的解析式

例1 已知f (1-cos x )=sin 2x ,求f (x ).

破题切入点 通过引入参数,令1-cos x =t ,将原式转化为含有t 的式子,从而得到函数f (x )的表达式,特别注意写出函数f (x )的定义域.

解 令1-cos x =t ,则t ∈[0,2],所以cos x =1-t ,

所以f (t )=sin 2x =1-cos 2x =1-(1-t )2=-t 2+2t ,所以f (x )=-x 2+2x (0≤x ≤2).

题型二 换元法在不等式中的应用

例2 已知a ,b ,c ∈R +,且a +b +c =1,求证:3a +1+3b +1+3c +1≤3 2.

破题切入点 换元法在不等式中的应用主要体现在不等式的证明中,把原不等式中的参数用某一个或几个量表示,然后利用取值范围进行比较.

证明 设3a +1+3b +1+3c +1=k , 再设3a +1=k 3+t 1,3b +1=k 3+t 2,3c +1=k 3

+t 3,其中t 1+t 2+t 3=0, ∴3a +1+3b +1+3c +1=(k 3+t 1)2+(k 3+t 2)2+(k 3

+t 3)2, 即6=k 23+23k (t 1+t 2+t 3)+t 21+t 22+t 23=k 23+(t 21+t 22+t 23),∴6≥k 23

,解得k ≤32, ∴3a +1+3b +1+3c +1≤3 2.

题型三 换元法在三角函数中的应用

例3 已知函数y =2+2sin x cos x +sin x +cos x ,x ∈[0,π2

],求函数的最大值和最小值.

破题切入点 题目中的未知量较多,解题时选择适当的三角函数式作为辅助未知量,可以利用正弦与余弦之间的关系,设sin x +cos x =t ,则2sin x cos x =t 2-1,把题目中较多的未知量通过换元用一个未知量表示,并根据这个未知量的范围解决最值问题.

解 令sin x +cos x =t ,因为x ∈[0,π2

],所以t ∈[1,2], 由(sin x +cos x )2=t 2得2sin x cos x =t 2-1,所以原函数变为y =t 2+t +1,t ∈[1,2],

因为y =t 2+t +1的对称轴是t =-12

,所以函数y =t 2+t +1在t ∈[1,2]上单调递增. 所以t =2时函数有最大值y max =(2)2+2+1=3+2;t =1时函数有最小值y min =3.

总结提高 换元法不仅是重要的解题方法,也是解高考题的热点方法之一,掌握它的关键在于通过观察、联想发现构造出变换式,常见的基本换元形式有等式代换、三角代换、均值代换、和差代换等.

强化训练

1.已知f (1-x )=2x ,则函数f (x )的解析式是( )

A .f (x )=2x 2

B .f (x )=2-2x 2

C .f (x )=2-2x 2(x ≥0)

D .f (x )=x 2

答案 C

解析 令1-x =t ,t ≥0,则x =1-t 2,

所以f (t )=2-2t 2(t ≥0).所以f (x )=2-2x 2(x ≥0).

2.已知函数f (x )=ax 3+b sin x +4(a ,b ∈R ),f (lg(log 210))=5,则f (lg(lg2))等于( )

A .-5

B .-1

C .3

D .4

答案 C

解析 因为log 210与lg2互为倒数,所以lg(log 210)与lg(lg2)互为相反数.

不妨令lg(log 210)=x ,则lg(lg2)=-x ,

而f (x )+f (-x )=ax 3+b sin x +4+a (-x )3+b sin(-x )+4=8,

故f (-x )=8-f (x )=8-5=3.

3.若函数y =f (x )的值域是[12,3],则函数F (x )=f (x )+1f (x )

的值域是( ) A .[12,3] B .[2,103] C .[52,103] D .[3,103

] 答案 B

解析 令t =f (x ),则t ∈[12,3],则F (x )=f (x )+1f (x )

可化为y =t +1t ,t ∈[12,3], 易知,当t =1时,y 有最小值2,当t =3时,y 有最大值103.故函数F (x )的值域为[2,103

]. 4.函数f (cos x )=cos 2x -3cos x +2的最小值为( )

A .2

B .0

C .-14

D .6 答案 B

解析 设t =cos x ,则f (t )=t 2-3t +2,t ∈[-1,1],

所以有f (t )=(t -32)2-14

.结合二次函数的单调性,可知当t =1时,函数f (t )有最小值即为0. 5.如果f (1x )=x 1-x

,则当x ≠0且x ≠1时,f (x )等于( ) A.1x B.1x -1 C.11-x

D.1x -1 答案 B

解析 令t =1x ,得x =1t ,∴f (t )=1t 1-1t =

1t -1,∴f (x )=1x -1. 6.若x 是三角形的最小内角,则函数y =sin x +cos x +sin x cos x 的最大值是( )

A .-1 B. 2 C .-12+ 2 D.12+ 2 答案 D

解析 由0

π,得1

+ 2. 7.已知f (3x )=4x log 23+233,则f (2)+f (4)+f (8)+…+f (28)的值等于________.

答案 2008

解析 令t =3x ,则x =log 3t ,

f (t )=4lo

g 3t log 23+233=4log 2t log 23log 2

3+233=4log 2t +233, 所以f (2)+f (4)+f (8)+…+f (28)=4×(1+2+3+…+8)+8×233=144+1864=2008.

8.函数y =x +4+9-x 2的最小值是________.

答案 1

解析 由9-x 2≥0得-3≤x ≤3,故可令x =3sin θ(θ∈[-π2,π2

]), 则y =3sin θ+4+9-9sin 2θ=3sin θ+3cos θ+4=32sin(θ+π4

)+4. 又θ+π4∈[-π4,3π4],所以sin(θ+π4)∈[-22

,1],所以y ∈[1,32+4].

9.若cos 2x +2m sin x -52

<0恒成立,试求实数m 的取值范围. 解 原式化为1-sin 2x +2m sin x -52<0,则sin 2x -2m sin x +32

>0, 即(sin x -m )2-m 2+32>0恒成立.令t =sin x ,f (t )=(t -m )2-m 2+32

(-1≤t ≤1). 若m <-1,则当t =-1时,f (t )有最小值f (-1)=2m +52

, 所以2m +52>0,即m >-54,所以-54

1,则当t =1时,f (t )有最小值f (1)=52-2m ,所以52-2m >0,即m <54,所以1

. 当-1≤m ≤1时,f (t )有最小值f (m )=32-m 2.所以32

-m 2>0.所以-1≤m ≤1. 综上,m 的取值范围是-54

. 10.在平面直角坐标系xOy 中,点P (x ,y )是椭圆x 23

+y 2=1上的一个动点,求S =x +y 的最大值.

解 根据分析,令x 3

=cos θ,y =sin θ,则x =3cos θ, 故可设动点P 的坐标为(3cos θ,sin θ),其中0≤θ<2π.

因此S =x +y =3cos θ+sin θ=2(32cos θ+12sin θ)=2sin(θ+π3).所以当θ=π6

时,S 取最大值2. 11.若函数f (x )=4x +a ·2x +a +1在(-∞,+∞)上存在零点,求实数a 的取值范围. 解 方法一 设2x =t ,则函数f (x )=4x +a ·2x +a +1

化为g (t )=t 2+at +a +1(t ∈(0,+∞)).

函数f (x )=4x +a ·2x +a +1在(-∞,+∞)上存在零点,等价于方程t 2+at +a +1=0,① 有正实数根.

(1)当方程①有两个正实根时,a 应满足

????? Δ=a 2-4(a +1)≥0,t 1+t 2=-a >0,

t 1·t 2=a +1>0解得:-1

(2)方程①有一正根一负根时,只需t 1·t 2=a +1<0,即a <-1;

(3)方程①有一根为0时,a =-1,此时方程①的另一根为1.,综上可知a ≤2-2 2. 方法二 令g (t )=t 2+at +a +1(t ∈(0,+∞)).

(1)当函数g (t )在(0,+∞)上存在两个零点时,

实数a 应满足????? Δ=a 2-4(a +1)≥0,-a 2>0,

g (0)=a +1>0,解得-1

(2)当函数g (t )在(0,+∞)上存在一个零点,

另一个零点在(-∞,0)时,实数a 应满足g (0)=a +1<0,解得a <-1.

(3)当函数g (t )的一个零点是0时,g (0)=a +1=0,a =-1,

此时可以求得函数g (t )的另一个零点是1. 综合(1)(2)(3)知a ≤2-2 2.

利用换元法解方程组

2 例如:x 2 3x x 2 3x 2 3x 2 2x 3x 2 2x 4x 2 5x 观察发现 2 3x 2 3x 2x 4x 2 5x 1,故可设 x 2 3x 2 3x 2 2x v ,原方程变为u 2 uv v 2 ,方程由繁变简,可得解? 第 6 讲利用换元法解方程 、方法技巧 (一) 换元法 解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分,达到化简的目的 . (二) 运用换元法解方程,主要有三种类型:分式方程、无理方程、整式(高次)方程 解分式方程、无理方程、 整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式(高次)方程逐步降次 (三) 换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的, 不同的方程就有不同的换元方 法,因此, 这种方法灵活性大,技巧性强?恰当地换元,可将复杂方程化简,以 便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. 82,使方程变得易解,这是均值换元法 例如: 5 — 6 0,可使用局部换元法, x 1 ②x 2 0,变形后也可使用局部换元法,设 2x 2 ~2 x x 2 1 19 —,看着很繁冗,变形整理成 6 x 2 x 2 2 x 2 x 19 一 —时,就可使用局部换兀法 6 82 , 可设 口 x 2,方程变成 ⑤6x 4 5x 3 38x 2 5x 符合与中间项等距离的项的系数相等, 如6x 4 与6 , 5x 3与5x 系数相等,可构造 x 1换元,是倒数换元法. x ⑥x 3 2、.3x 2 3x .3 1 0 ,不易求解,若反过来看,把设 x 看作已知数, 把.3设为设t ,则方程就变成x t 2 2x 2 1 t 数字换元法不常用,但不失为一种巧妙的解题方法 有时根 据方程各部分特点可设双元,达到化繁为简, 求解的目的

浅谈用换元法证明不等式

浅谈用换元法证明不等式 刘景 (茂名学院高州师范分院数学与计算机系 307数学1班) [摘要]换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中,按照所证不等式的结构特点,将不等式中的变量作适当的代换,可使不等式的结构明朗,从而使不等式变得容易证明,这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟,把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用,有些问题直接证明较为困难,但若通过换元的思想与方法来解就很方便,换元法多用于条件不等式的证明中。 [关键词]换元;不等式;化繁为简 不等式的概念:作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式,不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究.由于复数域没有定义大小,所以不等式中的数或字母表示的数都是实数.用符号>或<联结两个解析式所成的式子,称为不等式.不等式的证明问题,由于题型多变、方法多样、技巧性强,加上无固定的规律可循,往往不是用一种方法就能解决的,它是多种方法的灵活运用,也是各种思想方法的集中体现,因此难度较大。要处理好不等式的证明,必须注意: 1、熟练地掌握不等式的基本性质、重要不等式。 2、扎实的掌握不等式证明的常规方法。 3、注意和其他知识联系和综合运用。 4、不断地总结证明不等式的规律和技巧,不断地从正反两方面汲取解题经验。 我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法(比较法、综合法、分析法、辨别式法、构造函数法、反证法、放缩法等等),其中有换元法。

解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 不等式的证明有三难:证明入口难,条件使用难,变形方向难.如果用换元法,引进恰当的新元素,可将题目中分散的条件联系起来,或把隐含的条件显示出来,或把条件与结论联系起来,或变形为熟悉的问题.因此,换元法常常可以攻破三道难关。 下面我们探索怎样用换元法证明不等式的几种方法。 一、几何换元法 例1、在△ABC 中,b CA a BC c AB ===,,,内切圆交AB 、BC 、CA 分别于D 、E 、F ,如图1,则可设x z c z y b y x a +=+=+=,,,其中0,0,0>>>z y x 。几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。 设c b a ,,为三角形三边,求证:3≥-++-++-+c b a c b c a b a c b a 图1 证明:设,,,x z c z y b y x a +=+=+=,其中0,,>z y x 则c b a c b c a b a c b a -++-++-+=y x z x z y z y x 222+++++ =?????????? ??++???? ??++??? ??+y x x y y z x y x z z x 21322221=??? ? ???+?+?≥y x x y y z z y x z z x 原不等式得证。

最新小学数学教师解题能力大赛试题-(答案)

一、填空题(30分) 1、按规律填空:8、15、10、13、1 2、11、( 14 )、(9 )。 1、4、16、64、( 256 )、( 1024 )。 2、1根绳子对折,再对折,然后从中间剪断,共剪成( 5 )段。 3、小明在计算除法时,把除数780末尾的“0”漏写了,结果得到商是80,正确的商应该是( 8 ) 4、10个队进行循环赛,需要比赛( 45 )场。如果进行淘汰赛,最后决赛出冠军,共要比赛( 9 )场。 5、我是巨化一小教师我是巨化一小教师我是…………依次排列,第2006个字是(小)其中有( 250 )个师字。 6、如图,迷宫的两个入口处各有一个正方形机器人和一个圆形机器人,甲的边长和乙的直径都等于迷宫入口的宽度,甲和乙的速度相同,同时出发,则首先到达迷宫中心(“☆”处)的是(乙)。 7、对于谁能得到四年级六个班文艺大奖赛的金牌,小明、小光、小玲、小红四个小朋友争论不休。小明说:得金牌的不是一班就是二班。小玲说:得金牌的决不是三班。小光说:四、五、六班都不可能是冠军。小红说:得金牌的可能是四、五、六班中一个,比赛后发现这四个人中只有一个人猜对了,你判断是( 三班)冠军。 8、考试作弊(猜数学名词)(假分数) 3.4(猜一成语)(不三不四) 老爷爷参加赛跑(打数学家名)(祖冲之)72小时(打一汉字)(晶) 9、现在把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F洞中。问第2006粒珠子投在( F )洞中。 二、选择题(20分) 1、池塘里的睡莲的面积每天长大一倍,若经13天就可长满整个池塘,则这些睡莲长满半个池塘需要的天数为( D ) A、6 B、7 C、10 D 、12

小学数学教师解题能力试题整理

小学数学教师解题能力竞赛试题整理 填空部分: 1、在1—100的自然数中,()的约数个数最多。 2、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100,这两个质数之和是()。 3、在1~600这600个自然数中,能被3或5整除的数有()个。 4、有42个苹果34个梨,平均分给若干人,结果多出4个梨,少3个苹果,则最多可以分给()个人。 5、甲、乙两人同时从A点背向出发沿400米环行跑道行走,甲每分钟走80米,乙每分钟走50米,这二人最少用()分钟再在A点相遇。 6、11时15分,时针和分针所夹的钝角是()度。 7、一个涂满颜色的正方体,每面等距离切若干刀后,切成若干小正方体块,其中两面涂色的有60块,那么一面涂色的有()块。 8、六一儿童节游艺活动中,老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球,这些球给人的手感相同,只有红、黄、白、蓝、绿五色之分(摸时看不到颜色),结果发现总有两个人取的球相同,由此可知,参加取球的至少有()人。 9、一批机器零件,甲队独做需11小时完成,乙队独做需13小时完成,现在甲、乙两队合做,由于两人合作时相互有些干扰,每小时两队共少做28个,结果用了6.25小时才完成。这批零件共有()个。 10、然从常熟虞山下的言子墓以每分12米的速度跑上祖师山,然后以每分24米的速度原路返回,他往返平均每分行()米。 11、常熟市乒乓比赛中,共有32位选手参加比赛,如果采用循环赛,一共要进行()场比赛;如果采用淘汰赛,共要进行()场比赛。 12、甲、乙、丙三人各拿出同样多的钱合买一种英语本,买回后甲和乙都比丙多要6本,因此,甲、乙分别给丙1.5元钱,每本英语本()元。 13、一个表面都涂上红色的正方体,最少要切()刀,才能得到100个各面都不是红色的正方体。 14、果园收购一批苹果,按质量分为三等,最好的苹果为一等,每千克售价3.6元;其次是二等苹果,每千克售价2.8元;最次的是三等苹果每千克售价2.1元。这三种苹果的数量之比为2:3:1。若将这三种苹果混在一起出售,每千克定价()元比较适宜。 15、在一次晚会上男宾与每一个人握手(但他的妻子除外),女宾不与女宾握手,如果有8对夫妻参加晚会,那么这16人共握手()次。 16、百米赛跑,假定各自的速度不变,甲比乙早到5米,甲比丙早到10米。那么乙比丙早到()米。 17、一件工作,甲独干8天后,乙又独干13天,还剩下这件工作的1/6。已知甲乙合干这件工作要12天,甲单独完成这件工作要()天。 18、小华有2枚5分硬币,5枚2分硬币,10枚1分硬币,他要取出1角钱,共有()种不同的取法。 19、一个正方体,它的表面积是20平方厘米,现在把它切割成8个完全相同的小正方体。这些小正方体的表面积之和是( 40平方厘米)。 20、小明从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条的一半是上坡路,一半是下坡路。小明上学两条路所用的时间一样,已知下坡的速度是平路的3/2,那么上坡的速度是平路速度的( 3/4 )。

合并法换元法解元次方程组

合并法、换元法解二元一次方程组 (一)知识教学点 1.掌握用合并法、换元法解二元一次方程组的步骤. 2.熟练运用合并法、换元法解二元一次方程组. (二)能力训练点 1.培养学生的观察分析能力; 2.训练学生的运算技巧,养成检验的习惯. (三)德育渗透点 消元,化未知为已知的数学思想. (四)美育渗透点 通过本节课的学习,渗透化归的数学美,以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美. 二、学法引导 1.教学方法:引导发现法、练习法,指导法. 2.学生学法:在前面已经学过二元一次方程组的解法,故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法. 三、重点、难点、疑点及解决办法 (-)重点 使学生会用合并法、换元法解二元一次方程组. (二)难点 灵活运用合并法、换元法的技巧. (三)疑点 如何“消元”,把“二元”转化为“一元”.

四、课时安排 一课时. 五、教具学具准备 电脑 投影仪. 六、教学过程 一导 运用导学案 自主学习 (一)解二元一次方程组的基本思路是消元,即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程,从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组,如果仍按常规方法不仅运算量大,而且容易出错.若能根据题目的特点,适时改进方法,不仅可以减少运算量,而且可以又快又准地解出方程组. (二)自主探究请同学们根据提示用合并法解二元一次方程组 (略) 设计意图:以学生的兴趣为主,由易至难,逐层递进,逐步完成各个任务。 (三)总结 二研 合作学习 研究探讨 (一)例题解析 (1) ???-=+=+② 10y 65x ① 1056y x

(2) ???=+-=-+-② 72009)-7(2010y 9)4(2x ① 3)20092010(3)92(2y x 设计意图:合作探究,探索比较,发现规律,使每位学生参与其中,成为课堂的主人,提高解题技巧 (二)练习题 (1)???=+=+② 79y 137x ① 61713y x (2)???=+=+② 74y 1911x ① 1061119y x (3)?????-=--+=-++.1106,3106y x y x y x y x (4)??? ????=--+=-++.86)32(55)1(3,36)32(5)1(2y x y x 设计意图:竞赛完成,激发学习热情,巩固强化 三验 课堂小测验(略) 设计意图:对学生完成情况及时了解,及时总结,对课堂教学及时反思,对下一步的教学进行适时,适当的调整。并对学生的解题情况进行总体的评价,要本着激励的原则,使学生有成就感。

小学教师解题能力竞赛

小学教师解题能力竞赛(2007.5)(部分答案) 数学试卷 一、 填空。(24%) 1、一个九位数,最高位上是只有3个约数的奇数,最低位上是只有三个约数的偶数,百万位上的数只有1个约数,千位上是即是偶数又是质数的数,其余各位上都是0,这个九位数是( ),读作( )。 2、12和18的最大公约数是( ),用这三个数组成的最小的带分数中有( )个。 3、15米增加它的后,再增加米,结果是( )米。 4、找规律填数: 0.5、、37.5%、、、( )〔填分数〕、( )〔填百分数〕、…… 5、甲、乙两数的和是30,甲数的小数点向左移动一位后等于乙数的一半,那么甲数是( )。 6、等腰三角形的底边长8厘米,两边长度之比是3∶4,这个等腰三角形的周长应为( )。 7、一个圆柱体的底面周长是12.56分米,它的底面半径和另一个正方体的棱长相等,他们的高也相等。这两个形体的表面积之和是( )。() 8、某人在一次选举中,需全部选票的才能当选,计算全部选票的后,他得到的选票已达到当选选票数的,他还需要得到剩下选票的( )才能当选。 9、长方形的长和宽的比是7∶3,如果将长减少12厘米,宽增加16厘米,就变成一个正方形。原来长方形的面积是( )平方厘米。 10、一个圆锥体和圆柱体的底面半径之比是3∶2,体积之比是3∶4,那么他们的高之比是( )。 11、如图,在大长方形中放置了11个大小、形状都一模一样的小长方形,图中阴影部分面积是 ( )。 12、百米赛跑,假定各自的速度不变,甲比乙早到5米,甲比丙早到10米。那么乙比丙早到( )米。 13、右图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形的面积是( )平方厘米。 14、果园收购一批苹果,按质量分为三等,最好的苹果为一等,每千克售价3.6元;其次是二等苹果,每千克售价2.8元;最次的是三等苹果每千克售价2.1元。这三种苹果的数量之比为2:3:1。若将这三种苹果混在一起出售,每千克定价( )元比较适宜。 15、甲、乙两人同时从A 点背向出发沿400米环行跑道行走,甲每分钟走80米,乙每分钟走50米,这二人最少用( )分钟再在A 点相遇。 16、一个长方形水箱,从里面量长40厘米,宽30厘米,深35厘米.原来水深10厘米,放进一个棱长20厘米的正方形铁块后,铁块的顶面仍然高于水面,这时水面高( )厘米。 17、以[]表示不大于的最大整数,那么,满足[1.9]+[8.8]=36的自然数的值共有( )组。 18、3×5×17×257+1=,则=( ) 19、某班学生植树,第三天植的棵数恰好是前两天总和的2 倍,第四天植的棵数恰好是前三 12.5c 28cm

高中物理教学中解题能力的培养探讨

高中物理教学中解题能力的培养探讨 发表时间:2019-01-09T15:09:40.840Z 来源:《中小学教育》2019年第347期作者:陈眺寰[导读] 解题能力是学生物理素养的集中体现,是高中物理教学中培养学生综合能力的重要内容。 湖北省恩施市第一中学445000 摘要:解题能力是学生物理素养的集中体现,是高中物理教学中培养学生综合能力的重要内容。加强对生物理解题能力的培养,不仅能够提高学生解题的准确性,强化其学习的自信心和成就感,还能够引导学生独立思考,实现对物理问题的自主探究与总结,更能够培养学生良好的学习习惯,在解题中完善知识体系,从而提高知识的综合运用效果。本文从高中物理教学入手,对学生当前在解题中存在的问题进行产出,并有针对性地提出教学培养策略。 关键词:高中物理教学设计解题能力培养策略 高中物理是一门集逻辑性、抽象性和系统性为一体的学科。在教学实践中,教师不仅要在“传道、授业、解惑”方面给予学生充分的指导,更应该从思维层面对学生加以训练,让学生能够灵活地运用物理知识正确地解答问题。解决问题能力是高中生物理综合素养的集中体现,但是,目前在物理教学培养中,一些学生物理解题能力不足的问题却十分明显。例如审题不清,对题目中信息的收集不全面,或者对条件的分析停留在表面,缺乏深入剖析问题的意识;在解答中缺乏举一反三的能力,对题目的利用率不高,对解决方法的探索机械僵化;缺乏拓展创新思考的意识,对问题的分析局限在单一层面,缺乏多角度分析问题的能力等。对此,在高中物理教学中,教师应结合具体的教学内容对学生的解题能力进行有效培养。 一、坚持学生主体,调动解题兴趣 兴趣激发是引导学生自主解题的第一步,只有学生对物理问题产生了浓厚的兴趣,才能够调动积极情感参与到问题的思考、分析与解决中来。在高中物理教学中,教师应根据学生主体特点,抓住兴趣这一关键点,引导学生逐渐参与到问题情境中来。具体来讲,教师可以进行以下设计:第一,联系实际,充分挖掘趣味性教学元素。生活中的物理现象比比皆是,而沉闷枯燥的物理知识不仅增加了对知识理解的难度,也会让学生失去对物理应用价值的探索。因此,教师可以从生活中提炼物理问题,例如在探究摩擦力的过程中,教师可以鼓励学生从生活中收集案例,并结合案例分析发现物理问题,进而调动学生的解题兴趣;第二,丰富物理知识的呈现形式,采用多媒体技术让学生体会到物理知识的新颖、新奇。 二、合理选择内容,引导解题方法 物理题目与相应的知识点对应,而如何利用题目将这些知识点的内容有效地呈现出来,则是教师引导学生解题能力的关键。在高中物理教学中,教师应切实根据学生的知识基础和能力培养的需要,对内容进行精心设计,让学生能够在内容的引导下找到合适的解题方法。具体来讲,教师首先要注重题目的契合性,根据教学目的设计基本物理知识的运用、物理规律的探究等题目,让学生能够在理论与实践中得到训练,并加强新旧知识的联系,提高问题思考的效果;其次,注意问题的层次性,即题目的设计要遵循由易到难的原则,并且充分利用错题做到精讲精练,避免囫囵吞枣;最后,注重题目的拓展性,这主要是针对成绩较好的学生而言,教师应适当拓宽物理知识应用,利用创新思考问题激发学生进一步探究的兴趣,进而提高其创新解决问题的能力。 三、深入题目探究,提高思维能力 在物理解题能力的培养中,让学生正确地完成题目解答并不是唯一目的,在题目解决过程中实现对思维的有效训练才是教学培养的集中体现。在高中物理教学实践中,教师应结合物理解题过程对学生的思维能力进行培养。首先,教师应注重典型例题的分析与呈现,让学生能够理解题目中考察的知识点,以及这一类题目的分析思路,从而能熟能生巧,在反复的思考与练习中提高对同类问题灵活思考能力;其次,注重解题方式与技巧的讲授,所谓“授之以鱼不如授之以渔”。在高中物理教学中,教师应注重对解题方法的总结与分析,并引导学生自主思考,找到符合自己解题习惯的方法,以提高思维的逻辑性;最后,引导学生对解题中存在的问题进行反思与总结,并找到出现解题误区的主要原因,进而在纠正中提高思维的批判性。 四、完善解题过程,培养解题习惯 良好的习惯是减少解题错误,规范解题过程,提高分析思考能力的保证。在高中物理解题能力的培养中,教师应指导学生完善解题过程,以形成良好的解题习惯。首先,加强审题习惯的培养,即学生应学会咬文嚼字,深入分析题意,并根据问题做出基本判断;其次,加强规范解题习惯的培养,根据题目要求严格书写步骤,规范书写内容,并做到思路清晰、逻辑分明;最后,培养良好的反思习惯,例如在“法拉第电磁感应定律”的知识运用中,教师为发现学生在题目运用中存在疏漏,这时教师可以指导学生自主进行问题的反思,让学生能够重新考虑和重新检查结果,并思考之前思路中存在的问题,进而巩固自己所学的知识、方法,从而发展自主思考与解题能力。 总之,在高中物理教学中,培养学生的解题能力,对于调动学生的学习兴趣,提高学生的解题效率,引导学生构建完善的知识体系,培养学生自主学习习惯具有重要意义。基于此,教师应针对当前学生在物理题目解答中存在的问题,探究相应的解决对策,让学生能够在针对性的指导中提高对问题的分析与解决能力,进而实现物理知识的有效应用。 参考文献 [1]王宝林高中物理教学中对学生解题能力的培养[J].中国校外教育,2018(31):67-68。 [2]卢永生如何在高中物理教学中培养学生的解题能力[J].西部素质教育,2018,4(02):69-70。

综合解一元二次方程—换元法

2.2.5《解一元二次方程—换元法》典例解析与同步训练 【知识要点】 1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化, 这叫换元法. 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理. 2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母 来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元 的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的. 【典例解析】 例1.用适当方法解下列方程: (1)2x2﹣5x﹣3=0 (2)16(x+5)2﹣9=0 2 2 2 . (3)(x+x)+(x+x)=6 例题分析:本题考查了一元二次方程的几种解法:①公式法;②直接开平方法;③换元法(1)用公式法解一元二次方程,先找a,b,c;再求△;再代入公式求解即可; (2)用直接开平方法解一元二次方程,先将方程化为(x+5)2= ,直接开方即可;(3)设t=x2+x,将原方程转化为一元二次方程,求解即可. 解:(1)∵a=2,b=﹣5,c=﹣3,△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×2×(﹣3)=25+24=49, ∴x= = = , ∴x1=3,x2=﹣; (2)整理得,(x+5)2=, 开方得,x+5=±, 即x1=﹣4 ,x2=﹣5 , 2 +x,将原方程转化为2 , (3)设t=x t+t=6 因式分解得,(t﹣2)(t+3)=0, 解得t1=2,t2=﹣3. 2 2 ∴x+x=2或x+x=﹣3(△<0,无解), ∴原方程的解为x1=1,x2=﹣2.

换元法的常见形式

已经投寄(2005-10-14) 换元法的常见形式 在数学解题过程中,根据已知条件的特征,引入新的变量,对题目进行转化,形成一个用新变量表达的问题,通过解决新问题,来达到解决原问题的目的,这种解题方法叫做换元法。换元法的形式很多,但它们有一个共同特点,改变问题的结构形成新问题,为解决问题提供可能性,它是数学中转化和化归思想的一个重要体现。下面举例说明换元法的常见形式的应用。 一、三角换元 例1 已知224a b +=,229x y +=,求ax by +的最大值。 解 由224a b +=,可设2cos ,2sin a b αα==; 由229x y +=,可设3cos ,3sin x y ββ==. 于是6cos cos 6sin sin 6cos()6ax by αβαβαβ+=+=-≤ 又当2()k k Z αβπ-=∈时,上式中等号成立。即ax by +的最大值是6. 一般地,题目中若有条件222(0)a b r r +=≥,常设cos ,sin a r b r αα==进行三角换元,将问题改变成一个三角函数有关的问题,再利用三角函数知识、方法进行解答,此方法称为三角换元。事实上,对于任意两个实数,x y ,在坐标平面上总有惟一的对应点A(,)x y 与之对应,设此点到原点的距离为r ,射线Ox 逆时针方向旋转到射线OA 时,所转过的最小正角为θ,则cos ,sin x r y θθ==。 例2 实数,x y 满足224545x xy y -+=,设22S x y =+,求S 的最大值和最小值。 解 设cos ,sin x r y θθ==,则2245cos sin 5r r θθ-=,2545cos sin r θθ =- 所以222 51045cos sin 85sin 2S x y r θθθ =+===-- 所以当sin 21θ=时,max 103S =;当sin 21θ=-时,min 1013S =. 二、增量换元 若题目的已知中有形如a b >的条件,则可考虑设,0a b t t =+>,将问题进行转化。此法称为增量换元,也叫设差换元。它的作用是将不等条件转化为相等条件,使得式子方便地进行运算变形。 例3 已知)1,0(,,∈z y x ,且2=++z y x . 1xy yz xz ++>求证

小学数学教师解题能力竞赛(预赛)答案

小学数学教师解题能力竞赛 一、填空题(20分) (1)盒子里装有相同数量的红球和白球。每次取出 8个红球和 5个白球,去了若干次以后,红球刚好取走,白球还剩15个,一共取了( 5 ) 次,盒子里原有红球( 40 )个。 解析:思考为什么白球会剩下 15 个?因为每次少拿了 8-5=3 个。所以,取了 15÷3=5 次。 红球:8×5=40 个 (2)x 与y 成正比例,y 与z 成反比例,x 与z 成( 反 )比例。 (3)汽车从甲地到乙地,前2.4小时行了全程的53,照这样计算,还要( 1.6 )小时才能到达乙地。 (4)根据下图所示, a 、b 、c 三个物体的重量比是(4):(6 ):(9) (5) ,X 的整数部分是( 3 )。 原式=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5……+1/8)+(1/9+……+1/16)>[1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+…… +1/8)+(1/16+……1/16)=1+1/2+1/2+1/2+1/2=3 也就是说和大于 3。 原式=1+1/2+1/3+(1/4+……+1/7)+(1/8+……+1/15)+1/16<1+1/2+1/3+(1/4+……+1/4)+ (1/8+……+1/8)+1/16=1+1/2+1/3+1+1+1/16=3+1/2+1/3+1/16<4。 所以,和在 3 与 4 之间,整数部分是 3。 (6)1-50 号运动员按顺序排成一排,教练下令:“按 1、2、1、2、1、2……的顺序报数,报2的出列”剩下的队员重新排队。教练又下令“1、2 报数,报 2 的出列”,如此下去,最后剩 2 个人,他们是( 1 )号和( 33 )号。 解析:首先 1 号肯定是剩下来的。还有一个是最大的那个 2n +1,所以是 33。 (7)一项工程,原计划25天完成,实际只用了20天,则工作效率提高了1/4。 (8)一个数能被 3、5、7 整除,如果这个数被 11 除余 1,这个数最小是( 210 )。 解析:这个数可以写作 3×5×7×n=105n 。这个数减去 1 能被 11 整除。105n-1 是 11 的倍数。 考虑能被 11 整除的数的特性。(奇数位数字之和减去偶数位数字之和是 11 的倍数,简称“小鸡减小兔”兔=TWO ,偶数的意思,)n=2 时,105n-1=209,2+9=11,11-0 是 11 的倍数。所以,这个数最小是 210) (9) 一个长方体的底面面积为 300 平方厘米的正方形,它的侧面展开图正好是一个正方形, 这个长方体的表面积是( 5400 )平方厘米。 (10)质数表中6个连续质数的和是一个奇数。那么,这6个质数的和是( 41 )。 (11)正方体的棱长扩大n 倍,则棱长总和扩大( n )倍,表面积扩大( n 2 )倍,体积扩大( n 3 )倍。 (12)一个圆柱与一个圆锥体积相等、高也相等,已知圆柱的底面积是90平方厘米,那么,圆锥的底面积是( 270 )平方厘米。 (13)115 的分子、分母都加上同一个数( 7 )后,约分得32 。 (14)整数除法有余数的算式中,被除数、除数、商和余数的和是465。已知商是班级 姓名 成绩 密 封 线 内 不 得 答 题

2018饶县综高教师解题能力竞赛方案

上饶县综合高中2018年第四届教师解题能力竞赛工作实施方案 为适应高中新课程改革深入发展的需要,不断增强老师们及时了解学科动态、熟悉考点的能力,提升自己的专业素养,促进学校教育教学质量的进一步提高,结合实际,根据学校工作计划,我校定于2018年6月27日举行第四届教师解题能力竞赛,为使工作顺利开展,特制定本实施工作方案。 一、竞赛组织机构 主考:叶声国 考务组长:沈大战 考务成员:丰光青王勇李建国 二、竞赛时间、竞赛科目、竞赛形式和地点 1、竞赛时间:2018年6月27日(周三)下午14:55开考,语文150分钟(含写作文),数学120 分钟,英语100分钟(不考听力,但含写书面表达),其余学科均为100分钟。 2、竞赛科目:高中语文、高中数学、高中英语、高中物理、高中化学、高中生物、高中政治、高中 历史、高中地理、高中通用技术(纸质试卷)、高中信息技术(纸质试卷)。 3、竞赛形式:闭卷笔试,所有参考教师在五楼会议室对号入座(座位号见附表)。 三、参赛对象 在教学岗位上任教语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信技、通技等11门学科的所有高中部在职教师(校级领导因考务工作除外,长期请病假产假的除外)。 四、考试范围及卷面分值 命题内容主要包括高中各学科高考所要求的有关学科内容;试题难度与本学科高考模拟题相当;卷面分值:全部学科按高考分值(英语学科除去听力分数)。 1、本次比赛按学科组进行设奖:不分等级,根据考试成绩从高到低排序,5人以内(不含5人)的学 科取1人获奖;5人以上(含5人)8人以内(不含8人)的学科取2人获奖;8人以上(含8人)的学科取3人获奖。 2、获奖最低控制分数线:获奖成绩不得低于总分的60%;凡比赛成绩低于最低控制分数线的参赛教 师,一律不计奖。 七、奖励办法及竞赛结果运用 1、奖励办法:获奖教师奖本学期教学绩效考核分1.5分。 2、如符合参赛条件,但无故未参加解题大赛的教师扣学期绩效考核分5分且在本年度职称评、续 聘中不予评、续聘,且在本年度评优、评先中一票否决。 3、参赛教师请认真答题,如考试态度不端正,考试只写姓名不作答的教师,则扣其学期绩效考核 分5分,只做选择题,不做其它题,扣其绩效考核分2分。 4、对于无故未参赛或参赛了但经核实后认定是态度不端正的,将与其本学年师德师风考核结果挂 钩,具体由校长办公会研究决定。 上饶县综合高中 2018年6月4日

杭州市初中数学青年教师教学基本功评比解题能力竞赛题

杭州市初中数学青年教师教学基本功评比 解题能力竞赛题 1.(满分15分) (1)请你用几种不同的分割方法,将正三角形分别分割成四个等腰三角形(要求,徒手画出正三角形、画出分割线,并标出必要的角的度数). (2)如图,是某学生按题(1)要求画出的一种分割图,请简述你将如何讲解? 第1题

2. (满分15分)已知ABCD 是矩形,以C 为圆心,CA 为半径画一个圆弧分别交AB , AD 延长线于点E ,点F ,连接EB ,FD ,若把直角∠BCD 绕点C 旋转角度θ(0 < θ < 90°),使得该角的两边分别交线段AE ,AF 于点P ,点Q ,则CQ 2+CP 2等于( ) A .2QF ?PE B .QF 2 + PE 2 C .(QF + PE )2 D .QF 2 + PE 2 +QF ?PE (1)请用你认为最简单的方法求解(注意:是选择题); (2)请用几何方法证明你的选择是正确的; (3)建立一个直角坐标系,用代数方法证明你的选择是正确的. 3. (满分15分)如图,已知圆柱底面半径为r , SA 是它的一条母线,长为l . 设从点A 出 发绕圆柱n 圈到点S 的最短距离为m (n 为正整数) . (1) 用r 与l 表示m 可得m = (注意:是填空题). (2) 写出你得出题(1)结论的详细过程. (第2题) (第3题)

4. (满分15分)如图,七个边长均为1的等边三角形分别用①至⑦表示.给出命题:如果移出其中1个三角形,再把某些三角形整体作一次位置变换,那么一定可以与位置未变的三角形拼成一个正六边形. (1) 设位置变换为平移变换,试通过具体操作说明命题是正确的(分别写出:移出哪个三角形?哪些三角形组成的图形作平移,及平移的方向和平移的距离); (2) 设位置变换为旋转变换,请列举出能使命题成立的所有情况(分别写出:移出哪个三角形?哪些三角形组成的图形作旋转,旋转的方向、角度,并在图中标上字母表示旋转中心; (3) 将移出的三角形作相似变换,使之放置在某个位置时,能盖住正六边形,问:相似比能否等于3.14? 请说明理由. (第4题)

利用换元法解方程(组)教学内容

第6讲 利用换元法解方程 一、方法技巧 (一)换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分,达到化简的目的. (二)运用换元法解方程,主要有三种类型:分式方程、无理方程、整式(高次)方程. 解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式(高次)方程逐步降次. (三)换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的,不同的方程就有不同的换元方 法,因此,这种方法灵活性大,技巧性强.恰当地换元,可将复杂方程化简,以便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. 例如:① 256011x x x x ????++= ? ?++? ??? ,可使用局部换元法,设1x y x =+ ②22110x x x x +++=,变形后也可使用局部换元法,设1x t x += ③222212219116 x x x x x x x +++++=+++,看着很繁冗,变形整理成222211191116 x x x x x x +++++=+++时,就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=,可设()()3122x x y x +++==+,方程变成 ()()441182y y ++-=,使方程变得易解,这是均值换元法. ⑤4326538560x x x x +-++=,符合与中间项等距离的项的系数相等, 如46x 与6,35x 与5x 系数相等,可构造1x x + 换元,是倒数换元法. ⑥32310x x +++=,不易求解,若反过来看,把设x 看作已 t ,则方程就变成()() 2232110x t x t x ?+++-=, 数字换元法不常用,但不失为一种巧妙的解题方法. 有时根据方程各部分特点可设双元,达到化繁为简,求解的目的. 例如:

青年教师解题能力大赛(数学试题)

青年教师解题能力大赛 数 学 试 题 第Ⅰ卷 (选择题 共50分) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2{|1}M x x ==,集合{|||1}N x a x ==,若N M ?,那么由a 的值所组成的集合的子集个数( ) A .1 B .2 C .3 D .4 2. 定义运算 a b ad bc c d =-,则满足21i z z =--的复数z 是( ) A .1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i -- 3. 函数x x y cos -=的部分图像是( ) 4. 若函数3 21()'(1)53 f x x f x x =--++,则'(1)f 的值为( ) A .2 B .2- C .6 D .6- 5. 一个几何体的三视图如图所示,若它的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是一个正三角形,则这个几何体的表面积是( ) A .)33(8+ B. C. 8(2 D. 6. 如果33sin cos cos sin θθθθ->-,且()0,2θπ∈,那么角θ的取值范围是( ) ..

A .0, 4π?? ?? ? B .3,24ππ?? ??? C .5,44 ππ?? ??? D .5,24ππ?? ??? 7.流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( ) A .2)(x x f = B .x x f 1 )(= C .62ln )(-+=x x x f D .x x f sin )(= 8. 在ABC ?中,若cos(2)2sin sin 0B C A B ++<,则该 ABC ?的形状为 ( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 9.过双曲线122 22=-b y a x ()0,0a b >>上任意一点P ,引与实轴平行的直线,交两渐近线于 M 、N 两点,则?的值是( ) A. 22b a + B. ab 2 C. 2a D. 2 b 10.已知1x 是方程lg 2011x x =的根,2x 是方程x ·10x =2011的根,则x 1·x 2等于( ) A .2009 B .2010 C .2011 D .2012 ※ 请把选择题答案填写在下面的表格中. 第Ⅱ卷 (非选择题 共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上. 11.圆2 2 (3)(3)4x y -+-=的圆心到直线0kx y -=k 的取值范围为____________.

2020高中物理教师解题竞赛

xx 年高中物理教师解题竞赛 满分100分,考试时间90分钟 命题:费宏 xx-01-16 一.单一选择题(3 5=15分) 1.一个质量为2kg 的物体,在5个共点力作用下处于平衡状态。现同时撤去大小分别为 15N 和10N 的两个力,其余的力保持不变,关于此后该物体的运动的说法中正确的是 A .一定做匀变速直线运动,加速度大小可能是5m/s 2 【 】 B .一定做匀变速运动,加速度大小可能等于重力加速度的大小 C .可能做匀减速直线运动,加速度大小是2m/s 2 D .可能做匀速圆周运动,向心加速度大小是5m/s 2 2.水平飞行的子弹打穿固定在水平面上的木块,经历时间△t 1,机械能转化为内能的数值为△E 1。同样的子弹以同样的速度击穿放在光滑水平面上同样的木块,经历时间△t 2,机械能转化为内能的数值为△E 2,假定在两种情况下,子弹在木块中受到的阻力大小是相同的,则下列结论正确的是 【 】 A .△t 1<△t 2 △E 1=△E 2 B .△t 1>△t 2 △E 1>△E 2 C .△t 1<△t 2 △E 1<△E 2 D .△t 1=△t 2 △E 1=△E 2 3.如图所示,Q 是带负电的点电荷,P 1和P 2是电场中的两点,若E 1、E 2为P 1、P 2两点的电场强度大小,φ1、φ2为P 1、P 2两点的电势,则 【 】 A .E 1>E 2,φ1>φ2 B .E 1E 2,φ1<φ2 D . E 1φ2 4.如图所示,ab 、cd 为两根水平放置且相互平行的金 属轨道,相距L ,左右两端各连接一个阻值均为R 的定值电阻,轨道中央有一根质量为m 的导体棒 MN 垂直放在两轨道上,与两轨道接触良好,棒及轨道的电阻不计。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B .棒MN 在外驱动力作用下做简谐运动,其振动周期为T ,振幅为A ,通过中心位置时的速度为v 0 .则驱动力对棒做功的平均功率为【 】 A. 202mv T B. 222 B L v R C 22228B L A T R D 222 02B L v R 5.银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T ,S 1到O 点的距离为r 1、S 1到S 2间的距离为r ,已知引力常量为G 。由此可求出S 2的质量为 【 】 Q P 1 P 2

小学数学教师解题能力竞赛试题

小学数学教师解题能力竞赛试题整理填空部分: 1、在1—100的自然数中,()的约数个数最多。 2、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100,这两个质数之和是()。 3、在1~600这600个自然数中,能被3或5整除的数有()个。 4、有42个苹果34个梨,平均分给若干人,结果多出4个梨,少3个苹果,则最多可以分给()个人。 5、甲、乙两人同时从A点背向出发沿400米环行跑道行走,甲每分钟走80米,乙每分钟走50米,这二人最少用()分钟再在A点相遇。 6、11时15分,时针和分针所夹的钝角是()度。 7、一个涂满颜色的正方体,每面等距离切若干刀后,切成若干小正方体块,其中两面涂色的有60块,那么一面涂色的有()块。 8、六一儿童节游艺活动中,老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球,这些球给人的手感相同,只有红、黄、白、蓝、绿五色之分(摸时看不到颜色),结果发现总有两个人取的球相同,由此可知,参加取球的至少有()人。 9、一批机器零件,甲队独做需11小时完成,乙队独做需13小时完成,现在甲、乙两队合做,由于两人合作时相互有些干扰,每小时两队共少做28个,结果用了6.25小时才完成。这批零件共有()个。

10、李然从常熟虞山下的言子墓以每分12米的速度跑上祖师山,然后以每分24米的速度原路返回,他往返平均每分行()米。 11、常熟市乒乓比赛中,共有32位选手参加比赛,如果采用循环赛,一共要进行()场比赛;如果采用淘汰赛,共要进行()场比赛。 12、甲、乙、丙三人各拿出同样多的钱合买一种英语本,买回后甲和乙都比丙多要6本,因此,甲、乙分别给丙1.5元钱,每本英语本()元。 13、一个表面都涂上红色的正方体,最少要切()刀,才能得到100个各面都不是红色的正方体。 14、果园收购一批苹果,按质量分为三等,最好的苹果为一等,每千克售价3.6元;其次是二等苹果,每千克售价2.8元;最次的是三等苹果每千克售价2.1元。这三种苹果的数量之比为2:3:1。若将这三种苹果混在一起出售,每千克定价()元比较适宜。 15、在一次晚会上男宾与每一个人握手(但他的妻子除外),女宾不与女宾握手,如果有8对夫妻参加晚会,那么这16人共握手()次。16、百米赛跑,假定各自的速度不变,甲比乙早到5米,甲比丙早到10米。那么乙比丙早到()米。 17、一件工作,甲独干8天后,乙又独干13天,还剩下这件工作的1/6。已知甲乙合干这件工作要12天,甲单独完成这件工作要()天。 18、小华有2枚5分硬币,5枚2分硬币,10枚1分硬币,他要取出1角钱,共有()种不同的取法。

换元法解方程

换元法解方程 西安市第八十五中学江树基 换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分,达到化简的目的.换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的,不同的方程就有不同的换元方法,因此,这种方法灵活性大,技巧性强.恰当地换元,可将复杂方程化简,以便寻求解题的途径.常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等. 解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次,实现这一基本思想的方法有多种,其中换元法是常用的一种重要方法,本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧. 一、分式方程 分析:这个方程左边两个分式互为倒数关系,抓住这一特点,可设 ∴(y-1)2=0,解得y=1. 经检验,x 1,x 2 都是原方程的根. 分析:观察方程的分母,发现各分母均是关于x的二次三项式,仅常数项不同,抓住这一特点,可设y=x2+2x. 解:设y=x2+2x,则原方程可化为 即y2-y-12=0,解得y1=4,y2=-3.

x2+2x=-3,无实数解. 例3 解方程 分析:观察方程的分母,发现三个分母都是关于x的二次三项式,仅一次项不同,抓住这一特点,可设y=x2+2x+10. 解:设y=x2+2x+10,则原方程可化为 解得y =9x,y2=-5x. 1 由x2+2x+10=9x,解得x =5,x2=2. 1 由x2+2x+10=-5x,解得x =-5,x4=-2. 3 经检验知,它们都是原方程的解. 注:以上三个例子可看出,换元时必须对原方程进行仔细观察、分析,抓住方程的特点,恰当换元,化繁为简,达到解方程的目的. 二、无理方程 两边立方,并整理得 y3-2y2+3y=0,即y(y2-2y+3)=0, ∴y=0或y2-2y+3=0,无解. 经检验知x=-1是原方程的解. 可设两个未知数,利用韦达定理解. 原方程为m+n=1,又∵(m+n)3=m3+n3+3mn·(m+n)=4+3mn=1,∴mn=-1.

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