全变差有界函数列的一致R可积性

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基

实变函数复习资料,带答案

《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例

实变函数测试题9-参考答案

实变函数测试题9 1、若1 n n A ∞ = 的基数为c ，证明：存在0n ，使得0 n A 的基数也是c 。 证明：由于c = ∞=E ，我们不妨设1 =n n A E ∞ ∞= 。用反证法，若,1,2,3n A c n = <= ， 设i p 为E ∞到R 中如下定义的映射：若12n x x x x E ∞∈=(,,...,,...)，则 i i p x x （）=。令* (),1,2,i i i A p A i == ，则==*,1,2,i i A A c i = ≤<= 。所以对每个i ，存在* \i i R A ε∈。于是12=,,...n E εεεε∞∈（,...）。下证1 n n A ε∞ =? 。 事实上，若1 n n A ε∞ =∈ ，则存在i ，使得i A ε∈，于是* =()()=i i i i i p p A A εε∈，这与 *\i i R A ε∈矛盾，所以1 =n n A E ε∞ ∞=? ，这又与E ε∞∈矛盾，所以至少存在某 个0i ，使0 =i A c 。证毕。 2、用三进位无限小数表示康托尔集P 中的数时，完全可以用不着数字1，试用此事实证明P 的基数为c 。 证明 先用三进位有限小数来表示集P 的余区间的端点（都属于P ），则有 ()11,0.1,0.223?? = ??? ()12,0.01,0.0299?? = ??? ()78,0.21,0.2299?? = ??? 一般地，第n 次挖掉的12n -个开区间() 1 ,1,2,,2 n n k I k -= 中， () 121121(0.1,0.2)n k n n I a a a a a a --= ，

实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A U U 2．设n E R ?，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数 a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有 [()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()()()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ? x E ∈ （是否成立） 二、选择题 1、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C =I U I U I （B ）(\)A B A =?I （C ）(\)B A A =?I （D ）A B A B ?U I 3. 若()n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）

实变函数综合训练题

《实变函数》综合训练题（四） （含解答） 一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的有理点全体，则（C 、D ）[考核对典型集合掌握的情况] （A ）E 是闭集 （B ）E 中的每一点都是内点 （C ）E 是可数集 （D ）0mE = 2、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 3、若1E R ?的外测度为零，则（ B 、D ）[考核零测集的特点] （A ）E 一定是可数集 （B ）E 一定是可测集 （C ）E 不一定是可数集 （D ）0mE = 4、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ）[考核典型集的外测度可数性的特点] （A ）*m E 可以等于零 （B ）* 0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 5、设()n mE E R <+∞?，函数列{()}n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，若()()()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结论不一定成立（A 、B 、C 、D ） [考核可测函数与勒贝格积分的简单综合] （A ）()d E f x x ?存在 （B ）()f x 在E 上L 可积 （C ）.. ()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()d ()d n n E E f x x f x x →∞ =?? 6、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ）[考核特征函数的特点] （A ）[,]a b 上的简单函数（B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数（D ）[,]a b 上

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基

本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量

闭区间上连续函数性质证明

§2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。 重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。 教学方法：讲练结合。 在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 证 [证法一](应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ 考虑开区间集 []{} b a x x U H x ,);(∈''='δ, 显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ 覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有 ().,,2,1,k i M x f i =≤ 令 ,m a x 1i k i M M ≤≤= 则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤?δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． [证法二](应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,?．由致密性定理，它含有收敛子列{} k n x ，记ξ=∞ →k n k x lim 。由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得 () ()+∞<=∞ →ξf x f k n k lim 另一方面，由n x 的选取方法又有()() +∞=?+∞→≥>∞ →k k n k k n x f k n x f lim 与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界. 最大、最小值定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值． 证 (应用确界原理) 已证f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ．倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f <．令

19春福师《实变函数》在线作业一

(判断题)1: 一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)2: 测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)3: 若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。 A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)4: 测度为零的集称为零测集. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)5: f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b]. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)6: 函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)7: 对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)8: f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)9: 不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . A: 错误

B: 正确 标准解答: (判断题)10: 若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)11: 对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)12: 积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)13: 增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)14: 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)15: 若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)16: f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. A: 错误 B: 正确 标准解答: (判断题)17: 三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。A: 错误 B: 正确

函数极限的性质证明(精选多篇)

函数极限的性质证明 函数极限的性质证明 x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |xn+1-a|<|xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a; |x2-a|<|x1-a|/a; 向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n) 2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化) =/【√+√】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。 3 当0

当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)(分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim=0 n→∞ (2)lim=3/2 n→∞ (3)lim=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1 sin(1/n)=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来 就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数 极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀 limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0 lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n ^2)=1 limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0 第二篇：函数极限的性质 §3.2 函数极限的性质 §2函数极限的性质 ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不 等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题. 2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限. ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数极限的性质. 难点: 函数极限的性质的证明及其应用. ⅲ. 讲授内容

函数的有界性和最值

第一节：函数的有界性和最值 一、有界性 定义1：设A 为函数()f x 定义域的子集，若M ?，使得x A ?∈有()f x M ≤(或()f x M ≥)， 则称()f x 在A 上有上(或下)界.称M 为它的一个上(或下)界. 定义2：设A 为函数()f x 定义域的子集，若()M x ?，使得x A ?∈有()()f x M x ≤(或()()f x M x ≥)，则称()f x 在A 上有上(或下)界函数.称()M x 为它的一个上(或下)界函数. 二、最值 略 三、例题讲解 例1、求证函数11()sin f x x x =在1(0,)2 x ∈上无上界. 证明：对于任意的0M >，只需证明01(0,)2 x ?∈使得()f x M >. 为此：取001,,()(2)sin(2)2,22222 x k N f x k k k k N k ππππππππ++=∈=++=+∈+ 要使得：2,2k M k N ππ++>∈，只需要1()22k M ππ>-，可取1[()]122 k M ππ=-+ 故函数11()sin f x x x =在1(0,)2x ∈上无上界. 例2、(北约2010) 1=的实根的个数. 3== 5== 所以：方程左边3521=- +≥>，从而方程无实根. 例3、2(),,f x x px q p q R =++∈，若()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值为M ，则M 的最小值为 . 解：11max ()x M f x -≤≤=，(1)1,(1)1,(0)M f p q M f p q M f q ≥=++≥-=-+≥= 则4112(1)(1)22M p q p q q p q p q q ≥+++-++-≥+++-+-=

证明若函数在有界闭区域上可积

1. 证明:若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上可积,则(,)f x y 在D 上有界. 证 设(,)f x y 在D 上可积,故存在D 的分割1,2{,,},n T σσσ= 使得 1 |()|1,n i i i f p I σ=?-<∑ (1) 其中(,).D I f x y dxdy = ?? 若(,)f x y 在D 上无界,则对上述D 的分割1,2{,,},n T σσσ= (,)f x y 必在某个小区域k σ上无界. 当i k ≠时,取定,i i p σ∈令|()|,i i i k G f p σ≠=?∑因(,)f x y 在k σ无界,存在,k k p σ∈使得 ||1 |()|,k k I G f p σ++>?进而 1 |()||()()| ||1|()||()|||||1, n i i i i k k i i k k k i i k i k k f p I f p f p I I G f p f p I G I σσσσσσσ=≠≠?-=?+?-++≥?-?-> ??--=?∑∑∑ 与(1)式矛盾,故(,)f x y 在D 上有界. 2. 若(,)f x y 为有界闭区域D 上的非负连续函数,且在D 上不恒为零,则(,)0.D f x y dxdy >?? 证 由题设,存在000(,),P x y D ∈使00(,)0,f x y >而(,)f x y 在D 上连续,由连续函数的保号性,存在 1,D D ?使得001(,)(,),2 f x y f x y > 进而有 1 1 1 0011(,)(,)(,)(,)(,)0,2 D D D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y D -= + ≥ > ?>?? ?? ?? ?? 其中1D ?为区域1D 的面积. 3. 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,且在D 内任一子区域D D '?上有 (,)0,D f x y d x d y ' =?? 则 (,)0,(,).f x y x y D ≡∈ 证 直接用題2的结论即得. 4. 设(,)f x y 在区域D 上连续,试将积分(,)D f x y dxdy ??化为(直角坐标下)不同顺序的累次积分: (1) D 由不等式22 ,0,1y x y x y ≤≥+≤所确定的区域;

特级教师高考数学首轮复习第7讲-函数有界性

一、函数有界性知识结构 二、重点叙述 1. 函数有界性的概念 ①定义:对于函数f(x),如果存在一个常数M,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x)≤M(或f(x) 对于函数f(x),如果存在一个常数m,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x)≥m(或f(x) >m),那么函数f(x)就叫做有界函数,m是函数f(x)的下界。 ②函数有界与最值的关系: 有界函数不一定有最值;函数有最值,则函数一定有界。 函数有上界,无论f(x)≤M,还是f(x)0 ,使得f(x0 )=M,或f(x0 )=H 函数有下界,无论f(x)≥m,还是f(x) >m,若在定义域内不存在x0 ,使得f(x0 )=m,或f(x0 )=H>m,则函数就没有最小值。 如函数在(-∞,-1)内有下界,但没有最小值,在(-1,-∞)内有上界,但没有最大值。 2. 函数有界性的几何特征 在函数图象变化过程中,函数图象永远在直线y=M的下方,或在直线y=m的上方,或夹在两直线y=M和y=m之间。 3. 函数有界性的判定方法与证明 ①图象法:在函数图象变化过程中,函数图象永远在直线y=M的下方,或在直线y=m的上方,

或夹在两直线y=M和y=m之间。 ②定义法: 设定义在A上的函数f(x),利用数式变换,使得f(x)=M-g(x),或f(x)≤M-g(x),且对于任意的x∈A,有g(x)≥0,则f(x)≤M。 设定义在A上的函数f(x),利用数式变换,使得f(x)=m+g(x),或f(x)≤m+g(x),且对于任意的x∈A,有g(x)≥0,则f(x)≥m。 ③最值法:转化为求函数最值。即 ; 或。 4. 函数有界性的应用 ①解题需要判断或证明函数的有界性。 如证明不等式f(x)g(x))恒成立,可利用函数的有界性设计“中介”M(或m),使f(x)m>g(x)),从而证得f(x)g(x))成立。 如,证明不等式。 ②用于判断或证明关于不等式恒成立的问题。 设定义在A上的函数f(x),证明f(x)≤M,或f(x)≥m对任意的x∈A恒成立。 三、案例分析 1. 案例1:（2008广东·14）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程 有实根，则的取值范围是________． 【答案】。 分析：用直接法解之。∵，利用二次函数的有界性，把关于的方程有实根转化为含绝对值的不等式恒成立的问题解决。解：∵， ∴为何值时关于的方程有实根转化为求不等式

第一节函数的有界性和最值

湖北省鄂南高中2015届理科实验班数学培优讲义 函数部分 第一节：函数的有界性和最值 一、有界性 定义1：设为函数定义域的子集，若，使得有(或 A ()f x M ?x A ?∈()f x M ≤)， ()f x M ≥则称在上有上(或下)界.称为它的一个上(或下)界. ()f x A M 定义2：设为函数定义域的子集，若，使得有(或 A ()f x ()M x ?x A ?∈()()f x M x ≤)，则称在上有上(或下)界函数.称为它的一个上(或下)界函数. ()()f x M x ≥()f x A ()M x 二、最值 略 三、例题讲解 例1、求证函数在上无上界.11()sin f x x x = 1 (0,2 x ∈证明：对于任意的，只需证明使得. 0M >01 (0,)2 x ?∈()f x M >为此：取001,,()(2)sin(22,22222x k N f x k k k k N k πππ πππππ++ =∈=++=+∈+要使得：，只需要，可取2,2k M k N ππ++>∈1(22k M ππ> -1[()]122k M π π=-+故函数在上无上界. 11()sin f x x x =1 (0,)2 x ∈例2、(北约2010) 的实根的个数 . 1 = 3= =- 5==-所以：方程左边，从而方程无实根 . 321=- >例3、，若在上的最大值为，则的最 2 (),,f x x px q p q R =++∈()f x [1,1]x ∈-M M 小值为 . 解：，11 max ()x M f x -≤≤=(1)1,(1)1,(0)M f p q M f p q M f q ≥=++≥-=-+≥=

实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案 本科 一、题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U =A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A ≤B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是闭集 4．有限个开集的交是开集 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U ≤12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ?? 是可数集，则* m E =0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈?，()E x f x a ??≥??是可测集，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是可测函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +?()()f x g x + 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上可积 11．设,A B 为集合，则()\B A A U ?A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{} 211,2,A k k =-=L ，则A =a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设n E ?? ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是闭集 14．任意个开集的并是开集 15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ?，则1mE ≤2mE 16．设E 中只有孤立点，则* m E =0 17．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1 a ?∈?，()E x f x a ??

函数形式的单调有界原理的证明

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/eb13427046.html, 函数形式的单调有界原理的证明 作者：刘晓兰 来源：《课程教育研究》2018年第49期 【摘要】引入实数的连续归纳法，用它证明函数极限的单调有界原理，进而数列极限可以作为函数极限的特殊情形讨论。 【关键词】函数极限单调有界原理数学归纳法 【中图分类号】O171 【文献标识码】C 【文章编号】2095-3089（2018）49-0122-01 在微积分教材中，在介绍极限时，不管是在非数学专业的高等数学教材中还是数学专业的数学分析教材中，都是先介绍数列的极限，然后再介绍函数极限，本文引入张景中院士提出的关于实数理论的“连续归纳法”，证明函数极限的单调有界原理，这样数列形式的单调有界原理就可以作为其特例理解，从而教材可以把函数极限和数列极限调整顺序。 1.关于正整数的数学归纳法原理 第二数学归纳法：设有一个与自然数n有关的命题P（n），如果： （1）当n=1时，命题P（1）成立； （2）假设对任意自然数1≤n 2.关于实数的连续归纳法原理 定理1 设P（t）是涉及实数t的一个命题，满足： （1）存在区间[t0，t1），使P（t）在此区间上成立； （2）对任意区间[t0，s），P（t）在此区间上成立，可推出存在t2>s，P（t）在区间[t0，t2）上成立；P（t）则在[t0，+∞）上成立。 3.函数极限的单调有界定理 定理2（函数极限的单调有界定理） 设函数f（x）在[a，+∞）上单调有界，则极限 f（x）存在。 证明：不妨设f（x）是单调递减的，若 f（x）存在，由f（x）的递减性，可得？坌 x∈[a，+∞），必有f（x）≥ f（x），即 f（x）是f（x）的下界。