导数的应用与生活中的优化问题举例(理)

导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

一．基础知识

1．函数的单调性与导数

在某个区间(a，b)内，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．如果_________，那么函数y＝f(x)在这个区间上是常数函数．

若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0吗？f′(x)＞0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.

2．函数的极值与导数

(1)函数的极小值

若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值_____，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧________，则a点叫做函

数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．

(2)函数的极大值

若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_____，

且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_________，则b点叫做

函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，________和________统称为极值．

3．函数的最值与导数

函数f(x)在[a，b]上有最值的条件:如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是

一条__________的曲线，那么它必有最大值和最小值．

4．生活中的优化问题

二.典例剖析

题型一.函数的单调性与导数

例1.已知函数f(x)＝3x－2ax－1.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围．

(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

变式:已知a∈R，函数f(x)＝(－2x＋ax)x e (x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2 时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．

题型二.

函数的极值与导数 例 2. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()

22f ，处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.

变式: 设a 为实数,函数3()3f x x x a =-++

(1)求()f x 的极值;(2)当a 为何值时,函数()y f x =恰好有两个零点?

题型三. 函数的最值与导数

例3. 已知a 为实数，函数f (x )＝(x 2＋1)(x ＋a )．若f ′(－1)＝0，求函数y ＝f (x )在???

?－32，1上的最大值和最小值．

变式: 已知32()f x x ax bx c =+++在23

x =-与1x =时，都取到极值。 （1）求a b 、的值；（2）若对2[1,2],()x f x c ∈-<恒成立，求c 的取值范围。

例4.已知函数f (x )＝ln x －a x

.若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值.

题型四.生活优化举例

例5. 用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，

问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

三.检测

1．函数y ＝3

x 的单调增区间是( )

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，＋∞)

D ．(－∞，0)和(0，＋∞)

2．函数y ＝x sin x ＋cos x 在下面哪个区间内是增函数( )

A ．(π2，3π2)

B ．(π，2π)

C ．(3π2，5π2

) D ．(2π，3π) 3．函数f (x )＝3x ＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．[3，＋∞)

B ．[－3，＋∞)

C ．(－3，＋∞)

D ．(－∞，－3)

4.函数f (x )＝(x －3)e x

的单调递增区间是 ( )

A.(－∞，2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D.(2，＋∞)

5.已知函数f(x)的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )

取得极大值－5时，x 的值应为 ( )

A.－1

B.0

C.1

D.±1

6.若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是

( )A.a ＜1 B.a ≤1 C.0＜a ＜1 D.0＜a ≤1

7..函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数

f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8.设a ∈R，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )

A ．a ＞－3

B ．a ＜－3

C ．a ＞－13

D ．a ＜－13

9．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的

最小值是( )

A ．－37

B ．－29

C ．－5

D ．以上都不对

10．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－2,2)

B ．[－2,2]

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

11．函数f (x )＝3x ＋3a 2x ＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是

________．

12.函数f (x )＝3x －152

x －33x ＋6的单调减区间为________．

13.f(x)＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为 .

14.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，求实数a 的取值范围．