2018届高考数学大一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式教师用书理4-5.

第一节 绝对值不等式

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

1．绝对值三角不等式

定理1：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立。 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －b |≤|a －c |＋|c －b |，

当且仅当(a －c )(c －b )≥0时，等号成立。

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集：

①|ax ＋b |≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c 。

微点提醒

1．应用“零点分区法”的注意点

令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根，要把这些根按由小到大进行排序，在各个区间上解不等式时，端点值要不重不漏。

2．从解集理解不等式恒成立问题

不等式的解集为R说明不等式恒成立，不等式的解集为?，说明其对立面恒成立。

小|题|快|练

1．设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是( )

A．|a＋b|＞|a－b|

B．|a－b|＜|a|＋|b|

C．|a＋b|＜|a－b|

D．|a－b|＜||a|－|b||

【解析】解法一：特殊值法。

取a＝1，b＝－2，则满足ab＝－2＜0，

这样有|a＋b|＝|1－2|＝1，

|a－b|＝|1－(－2)|＝3，

|a|＋|b|＝1＋2＝3，

||a|－|b||＝|1－2|＝1，

∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立。故选C。

解法二：由ab＜0得a，b异号，

易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，

∴选项C成立，A、B、D均不成立。故选C。

【答案】 C

2．若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为________。【解析】由|x－a|<1，则－1

∴a－1

【答案】 2

3．f(x)＝|2－x|＋|x－1|的最小值为________。

【解析】∵|2－x|＋|x－1|≥|2－x＋x－1|＝1，

∴f(x)min＝1。

【答案】 1

4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为________。【解析】∵||x＋1|－|x－2||≤3，

∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，

∴k<(|x＋1|－|x－2|)的最小值，

即k<－3。

【答案】(－∞，－3)

5．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________。

【解析】 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤5。 【答案】 5

【解析】 解法一：不等式的几何意义 如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数。显然，区间[－2,1]不是不等式的解集。把A 向左移动一个单位到点A 1，此时A 1A ＋A 1B ＝1＋4＝5。把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时B 1A ＋B 1B ＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)。

解法二：零点分段 原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5??????

x ≤－2，

－ x －1 － x ＋2 ≥5或

?

??

??

－2＜x ＜1，－ x －1 ＋x ＋2≥5

或?

????

x ≥1，

x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3，

∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)。

解法三：构造函数 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0。 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则f (x )＝????

?

－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，

2x －4，x ≥1，作出函数的图象，如

图所示。

由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)。

【答案】 (－∞，－3]∪[2，＋∞)

反思归纳 解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x 的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简洁。若x 的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍。

【变式训练】 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|。

(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集。

【解析】 (1)f (x )＝???

??

x －4，x ≤－1，

3x －2，－1

2，

－x ＋4，x >3

2，

y ＝f (x )的图象如图所示。

(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1

3或x ＝5。

故f (x )>1的解集为{x |1

3或x >5}。 所以|f (x )|>1的解集为{x |x <1

3或15}。 【答案】 (1)见解析 (2){x |x <1

3或15}

(1)证明：??????13a ＋16b <1

4；

(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由。

【解析】 (1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝????

?

3，x ≤－2，－2x －1，－2

－3，x ≥1。

由－2<－2x －1<0，解得－12

2，

则M ＝? ????

－12，12。

所以??????13a ＋16b ≤1

3|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14。 (2)由(1)得a 2

<14，b 2

<1

4。

因为|1－4ab |2－4|a －b |2

＝(1－8ab ＋16a 2b 2

)－4(a 2

－2ab ＋b 2

) ＝(4a 2

－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |。

【答案】 (1)见解析 (2)|1－4ab |>2|a －b |

反思归纳 1.利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明。 2．利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明。 3．转化为函数问题，数形结合进行证明。

【变式训练】 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤1

4，求证：|x ＋5y |≤1。 【证明】 ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|。 ∴由绝对值不等式的性质，得 |x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤

|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×1

4＝1。 即|x ＋5y |≤1。

(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；

(2)设函数g (x )＝|2x －1|。当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围。 【解析】 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2。 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3。 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}。 (2)当x ∈R 时，

f (x )＋

g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |

≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a 。

所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3。① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解。 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2。 所以a 的取值范围是[2，＋∞)。

【答案】 (1){x |－1≤x ≤3} (2)[2，＋∞) 反思归纳 1.不等式恒成立问题的解法

若不等式f (x )≤a 在区间D 上恒成立，则f (x )max ≤a ；若f (x )≥a 在区间D 上恒成立，则

f (x )min ≥a 。

2．不等式能成立问题的解法

若f (x )≤a 在区间D 上能成立，则f (x )min ≤a ，若f (x )≥a 在区间D 上能成立，则f (x )max ≥a 。 【变式训练】 (1)(2016·重庆模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|ax |。 ①当a ＝1时，解不等式f (x )≥g (x )＋1；

②当a ＝2时，若对一切x ∈R ，恒有f (x )＋g (x )≥b 成立，求实数b 的取值范围。 (2)已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|。 ①求不等式f (x )≥3的解集；

②若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围。

【解析】 (1)①f (x )≥g (x )＋1?|2x ＋1|≥|x |＋1，当x ≤－12时，不等式?－(2x ＋1)≥－x ＋1，解得x ≤－2；

当－1

2

f (x )＋

g (x )＝|2x ＋1|＋|2x |≥|(2x ＋1)－2x |＝1，所以b ≤1。

(2)①f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，

当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2； 当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈?； 当－3

||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5， 则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5。 若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5，

解得－1≤a ≤9。所以a 的取值范围是[－1,9]。

【答案】 (1)①不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞) ②(－∞，1] (2)①{x |x ≥1} ②[－1,9]

1解析 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，

解?

????

|x －2|≥0，|x －2|≤2得0≤x ≤4。

∴不等式的解集为[0,4]。 答案 [0,4]

2．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围。 解析 由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x －5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2。

答案 a <2

3．对于任意实数a ，b 已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围。

解析 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，

所以|3a －3b |≤3，??????a －12≤1

2，

所以|4a －3b ＋2|＝??????

3a －3b ＋? ????a －12＋52

≤|3a －3b |＋??????a －12＋5

2≤3＋12＋52＝6， 即|4a －3b ＋2|的最大值为6， 所以m ≥6。 答案 m ≥6