BCH三种译码算法之比较

BCH 三种译码算法之比较

龙进凯 崔小欣

北京大学信息科学技术学院微电子学研究院

摘要

本文从BCH 译码中错位多项式的求解这一关键步骤入手，详细分析了彼得森算法（Peterson ）、伯利坎普算法（Berlekamp ）和欧几里得算法（Euclidean ）这三种译码算法的数学原理，并给出了三种算法相应的硬件实现。文章的最后还给出了三种算法的实现比较，希望能够对BCH 译码工作起到一定的参考价值。

关键词：错位多项式，彼得森算法，伯利坎普算法，欧几里得算法

1 引言

二进制BCH 译码一般来说分为四个步骤，如图1所示。首先根据接收到的码字R(x)来计算伴随多项式S(x)，然后通过伴随多项式S(x)的系数S 1，S 2，…,S 2t (t 为最多可纠正的错误个数)来计算错误位置多项式σ(x)，最后再根据错误位置多项式σ(x)的系数σ1，σ2，…,σt 利用Chien 搜索算法来求出错误位置并对接收码字进行纠错译码。

图1 译码器结构框图

在上述的四个步骤中，决定BCH 译码器的复杂性和速度的关键在于错位多项式σ(x)系数的计算。因此，本文着重对错位多项式σ(x)的各种计算方法以及相应的硬件实现展开讨论。

2 算法描述

2.1 彼得森（Peterson ）译码算法

定义错误图案为120(,,,)n n e e e --=-=e R v ，则有

111211

112122212221

2221

20()())1()()()1()

()()1n n n n n n t n t n t t e S e S S e ααααααααα------T T T

--?????????????

?????

=?=?==

??????????????

????S H R H e ( （2.1-1） 若传输过程中有()e e t ≤个错误，则对于12i t ≤≤，有

1

2

(1)(2)1210

e

i n i n i i n n i l i l i l S e e e e αααα

α

α

?-?---???=?+?++?+=+++ （2.1-2）

令,(1)i l j X j e α=≤≤，则有

12,(12)i i i

i e S X X X i t =+++≤≤

（2.1-3）

12,,,e X X X 称为错误位置。 定义错误位置多项式

212012()(1)(1)(1)e e e x X x X x X x x x x σσσσσ=---=++++

（2.1-4） ()x σ的根的倒数为12,,,e X X X 。

因此需要求出错误位置多项式()x σ的系数i σ。()x σ的系数i σ可以通过解下面的方程组得出：

11112122221

22

0t t

t t t t t t t t t S S S S S S S S S S S S σσσ+-++--??

????????????????+=??

????????????????

（2.1-5）

这种通过直接解方程组来得到错位多项式系数的方法称为彼得森(Peterson)译码算法。假设某种码的纠错能力t=2，则方程（2.1-5）变为

31213

2240S S S S S S σσ????

??+= ? ? ?????

?? （2.1-6）

从而解得

1432

12

213S S S S S S S σ-=-，232422213

S S S S S S σ-=-

2.2 伯利坎普（Berlekamp ）译码算法

令 21()(1())()mod t x x S x x x ωσ+=+? （2.2-1）

且满足

deg(())deg(())x x σω≥

称式2.2-1为Berlekamp 关键方程。满足方程2.2-1的解不唯一，而由最小距离译码原理，求得的()x σ应该是对应发生错误码元最少的错误图案，即是()x σ次数最低的解，记作*()x σ。求一个*()x σ，使得

*21()(1())()mod t x x S x x x ωσ+=+?

（2.2-2）

满足

**

deg(())deg(())deg(())min{deg(())}

x x x x σωσσ≥=

解关键方程的迭代步骤如下：

1) 设(1)(0)101()1,(1)0,1,()1,(0)0,,0x D d x D d S j σσ--=-======； 2) 若0j d =，则

(1)()()(),(1)()j j x x D j D j σσ+=+=

若0j d ≠，则 (1)()1()()()()j j j i i j i x x d d x x σσσ+--=-

(1)(1)deg(())j D j x σ++=

其中,0i i j d <≠，且()i D i -有最大值；

3) 如果21j t =-，则迭代结束，否则执行4)； 4) 令1j j =+，计算

()()111()()j j j j j j D j D j d S S S σσ++-=+++

回到2)。

2.3 欧几里得（Euclidean ）译码算法

定义错误值多项式 2()()()mod t x S x x x ωσ≡

（2.3-1）

且满足

deg(()),deg(())1x t x t σω≤≤-

式2.3-1的等价表达为

2()()()()t x q x x x S x ωσ=+ （2.3-2）

其中，()q x 是()x ω除以2t x 的商，()()S x x σ是余数。

()x σ可由下面两式开始迭代计算得到： 2210()t t x x S x =?+?

2()01()t S x x S x =?+?

具体迭代步骤如下：

1) 初始化，迭代次数0i =；

()2()a t x x ω=，()()0a x σ=；()()()b x S x ω=，()()1b x σ=；

2) 如果 2i t =，则停止迭代；否则就进行以下运算：

a) ()()()()b b x x x ωω←?，()()()()b b x x x σσ←?； b) ()2()b t x δω=，()2()a t x γω=；

()()()()()()c a b x x x ωδωγω=?+?，()()()()()()c a b x x x σδσγσ=?+?；

c) 如果 0δ=，()()()()()(),()()a a a a x x x x ωωσσ←←；

否则，()()()()()(),()()a b a b x x x x ωωσσ←←； d) ()()()()()(),()()b c b c x x x x ωωσσ←←； 3) 迭代次数1i i =+，返回2）。

当进行完2t 次迭代计算后，()()b x σ的21t +个系数中的高1t +个为错误位置多项式()x σ的1t +个系数。

3 硬件实现

下面我们以（15,7）二元BCH 码（最多可以纠正2个随机错误）为例，将以上的三种译码算法分别用硬件描述语言加以实现，以供比较。

1） 对于彼得森（Peterson ）算法，如果输入的伴随多项式的系数S 1=S 2=S 3=S 4=0，则表示接收到的码字没有错误，那么相应的错位多项式的系数σ1=σ2=0；有一个或者两个错误时的情况如下：

2）对于改进的伯利坎普（Berlekamp）算法，有一个或者两个错误时的情况如下：

3）对于欧几里得（Euclidean）算法，有一个或者两个错误时的情况如下：

4 分析比较

从以上的仿真结果可以看出，对于三种算法，同样的一组伴随多项式的系数得到了相同的错位多项式的系数；但是三种算法所花费的计算时间是不一样的。Peterson算法对于三种情况（接收码字没有错误、有一个错误、有两个错误）来说计算时间都是相等的，都只要经过2拍就能得到结果；Berlekamp算法对于接收码字没有错误或者只有一个错误时，也只需要2拍就能得到结果，但是对于两个错误，该算法则需要（t+e+2=6）拍；而Euclidean算法对于接收码字有一个或两个错误的情况则分别需要（2t+4=8）拍和（4t+7=15）拍来得到结果。

对三种算法的硬件描述进行FPGA综合，结果如下（所选器件为Xilinx Virtex2 : XC2V40 : CS144 : -6）：

1）三种算法在该器件上可以达到的最高频率如下表所示：

2）三种算法在最高频率下所占用的资源情况如下表所示：

5 结论

综合以上考虑，当二元BCH码的纠错能力t=2时，彼得森算法相对于另外两种算法来说，无论是速度方面还是所占用资源方面都具有很大的优势，因此应当优先采用；但是当纠错能力t变得很大时，直接求解方程组（2.1-5）几乎变得不可能，这时只有采用伯利坎普算法或者欧几里得算法才能适合硬件实现，而这两种算法的选择应该考虑到速度与面积的折中：当速度是主要考虑因素时应当选用欧几里得算法，当面积是主要考虑因素时应当选用伯利坎普算法。

参考文献

[1]刘玉君，信道编码。河南科学技术出版社，1992年5月。