华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案

华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案
华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案

29.0(,)11

cos ,

sin (,)(cos ,sin ),cos sin ;

sin cos .

sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r r

x r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u r

u θθθθθθ

θθθθθθθθθ+=++==??=?∴==+???

=?+??=??=∵ 证明方程在极坐标下为 证明: sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos ()

sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ???????=???????????????

???????+=+??????????

?

??????

?==?????????

??????

??=???????????? 从而

2222222222222

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin ()

sin yy u u u u r r r r r r u u u

r r r r u u u y y r r y θθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθ??????

?=+

?+?????????++???????????==+?????????= 2222

22

2222222

cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u u

r r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθ

?????

???++????????????

????=?++????????+?+????+=+ 所以 1

0.

u +=

习题二

21.(01,0),(0,)(1,)0,1,0.(2)2(,0)11,1,

2(,0)(1);tt xx t

u a u x t u t u t x x u x x x u x x x ?=<<>?

==????<≤???=?????<

?=??求下列问题的解

22(,)()().()()0,()()0.(0)(1)0.()()0,

(0)(1)0.

(),()si n n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X X x X x X X n X x B λλλλπ=′′+=′′+===′′+=??

==?==解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得 由边界条件分离变量,得 求解固有值问题

得, 1

11212202n (1,2,).()cos sin (1,2,).(,)(cos sin )sin .42sin (1)sin sin .

2n n n n n n n n x n T t C an t D an t n u x t a an t b an t n x n a x n xdx x n xdx n πππππππ

πππ

===+==+??=+?=????∑∫∫ 代入另一常微分方程,得

其中 ()()14402244124(1)sin 11.44(,)(sin cos 11sin )sin .2n

n n

n b x x n xdx an n a n u x t an t an t n x n n a ππππππππ

π∞

=??=?=???

???=+????∫∑ 因此,所求定解问题的解为

2(0,0),(0,)(,)0,(3)35(,0)3sin

6sin ,22(,0)0.

tt xx x t u a u x l t u t u l t x x

u x l l u x ππ?=<<>?

==???=+??

=?? ()22(,)()().()()0,()()0.(0)()0.()()0,

(0)()0.

21(),(2n n u x t X x T t T t a T t X x X x X X l X x X x X X l n X l λλλπλ=′′+=′′+=′==′′+=??

′==?+=解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得 由边界条件分离变量,得 求解固有值问题

得, ()()()()()()1

21)sin (0,1,2,).22121()cos

sin (0,1,2,).22212121(,)(cos

sin )sin .222235(3sin

6sin 22n n n n n n n n n x B x n l

a n a n T t C t D t n l l

a n a n n u x t a t

b t x l l l x x a l l πππ

πππππ∞

=+==++=+=+++=+=+∑ 代入另一常微分方程,得

则 其中 ()03,1;

21)sin 6,2;20,12.0.

3355(,)3cos sin 6cos sin .2222l n n n xdx n l l n b a a u x t t x t x l l l l

πππππ=?+?==??≠?

==+∫、 因此,所求定解问题的解为

3.4(0,0),(2)(0,)0,(,)0,(,0)().t xx x x u u x l t u t u l t u x x l x =<<>??

==??=??

求下列定解问题的解:

2

(,)()().()4()0,()()0.

(0)()0.()()0,

(0)()0.

(),()n n u x t X x T t T t T t X x X x X X l X x X x X X l n X x A l

λλλπλ=′+=′′+=′′==′′+=??

′′==?==解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得 由边界条件分离变量,得 求解固有值问题

得, 2

22()2()012

00

0cos (0,1,2,).()(0,1,2,).

1(,)cos .

222().

62()cos n n t l

n n n t l

n n l l n n x n l T t D e n n u x t a a e x l l a x l x dx l n a x l x xd l l πππππ

?∞?=====+=?==?∑∫∫ 代入另一常微分方程,得

则 其中 2222

222()22

12[1(1)].2[1(1)](,)cos .6n n n t l

n l x n l l n u x t e x n l

ππππ∞?=??+?=??+?=+∑ 因此,所求定解问题的解为

2110(01),,0,(1,)0,.,.

rr r u u u r r r A u A θθθαθαθπα?

++=<

?≤≤??=??<≤???

其中为已知常数

22(,)()().()()()0,()()0.()()0,

()(2).

(),()cos sin n n n n u r R r r R r rR r R r n X x A n B n θθλθλθθλθθθπλθθ=Φ′′′+?=′′Φ+Φ=′′Φ+Φ=??

Φ=Φ+?==+解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得

求解固有值问题

得,

()2010(0,1,2,).()()()0,

(0).

()(0,1,2,).

1

(,)cos sin .

212n n n n n n n n n r R r rR r R r R R r C r n u r a a n b n r A

a Ad a αα

λθθθαθπ

π

=?=′′′?+?=?

<+∞?===++==∑∫ 代入另一常微分方程的定解问题

得, 则 其中 11

2cos sin ,

1

sin 0.

2(,)sin cos .n n

n A

A n d n n b A n d A A u x t r n n n α

α

α

α

θθαππθθπ

ααθππ

?

?

====

==+∫∫∑ 因此,所求定解问题的解为

0(0,0),(0,)0,(,)0(0),

(,0)(1),lim (,)0(0),

.

xx yy y u u x l y u y u l y y x u x A u x y x l l A →∞?

+=<<<<∞??

==≤<∞???=?=<

其中为已知常数 2

(,)()().()()0,()()0.

(0)()0.()()0,

(0)()0.

(),()sin n n n u x y X x Y y X x X x Y y Y y X X l X x X x X X l n X x B l

λλλπλ=′′+=′′?===′′+=??

==?==解:应用分离变量法,令 代入方程分离变量,得 由边界条件分离变量,得 求解固有值问题

得, 10(1,2,).

()(1,2,).

(,)sin

.22()sin .lim (,)0n n y y l

l

n n n n n y y l l

n n n l n n y n x n l Y y C e D e n n u x y a e b e x l x n A a b A l xdx l l l n u x y a πππππππ

π

?∞?=→∞

==+=??=+????

+=?=

=?∑∫ 代入另一常微分方程,得

则 其中 10.

2(,)sin .n n y l n A n u x t e x n l ππ

π

?===∑

因此,所求定解问题的解为

()22228.-10.cos ,sin ,111(0),

0.{cos sin }.,()xx yy x y a rr r r a

n a u u u x r y r u u u r a r r u A n B n u r a r θθθθθθθ+==+====?

++=?<

?=?+= 在以原点为心,为半径的圆内,试求泊松方程 的解,使它满足边界条件解:令作极坐标变换,得

由固有函数法,相应的固有函数系为 因此,设方程的解为

[]()()()

()()()()0002

22

2cos ()sin .11,110,0210,323()0()n n n n n n n n n n

n n n

n n n n b r n a a r n a a a n r r n

b b b r r a r A r B r n b r C r D θθ∞

=?+?′′′

+=???

?′′′+?=≠??

?′′′+?=??

=+≠=+∑ 代入方程,得

方程,的通解:, ()()2

000(0),()0;(0),()0.()00()0.

11()ln ,

4

(0),()n n n n n n n n r a a a b b a a r n b r a r A r B r a a a ?<+∞=<+∞==≠==+?<+∞=. 由有界性条件及边界条件,

得 , 方程的通解: 由有界性条件及边界条件,

()()()()()22

022

222

0.

1().

4

1,.

4

1,.a r a r u r a r u x y a x y θ=?=???=?+ 得 则定解问题的解为 化成直角坐标,则得

2

1

2

10.sin ,(2)(0,)0,(,)0(0),

(,0)0,(,0)0(0);

{sin }.

(,)()sin .

tt xx t

n n n u a u t x l u t u l t t u x u x x l n x l

n u x t u t x l n a u u l ππ

π

π∞

=?=+??

==≥??==≤≤??

=??′′+????

∑求下列问题的解:

解:由固有函数法,相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程,得

()2

11102

0(1),.(0)(0)0(1,2,),1()0;

1()sin sin .n n n n t n a u u t l u u n n u t l a

n u t t d a

l l l a t t a a l ππτττππππ=≠??′′+=????

′===≠===????

?=?

????????∫"" 由初始条件,得

当时, 当时, 2

(,)sin sin l l a u x t t t x a a l l ππππ???

?=?

???????

? 故所求的解为

21

1

0(0,0),(3)(0,)0,(,)0,(,0)0.,{sin

}.(,)()sin .

sin 22sin [1(t xx n n n n l n u a u A x l t u t u l t u x n x l

n u x t u t x l n A A A x l n A A A xdx l l n π

π

π

π

π

=∞

=?=+<<>?

==??=?

====

?∑∑∫ 解:由固有函数法相应的固有函数系为 设方程的解为 并将展为: ,

其中 2

2

2

()

023321)].2[1(1)],(0)0.2()[1(1)]2[1(1)][1].

(,n n n n n n a t t

n l n n a t n l

n a A u u l n u A

u t e d n Al e n a

u x πτπππτπ

π????????

???????????′+=?????????=?=??=???∫ 代入原方程可得

得: 故所求的解为

2

2

332

1

2)[1(1)][1]sin .

n a t

n

l n Al n t e x n a

l

ππ

π??∞

?????

==

???∑

()2

2

11.224sin cos ,(2)(0,)0,(,)(0),(,0),(,0)()(0).

(,)(,)().224sin cos ,(0,)(0tt

xx t tt

xx u a u x x l l

u t u l t B t B

u x x u x x l x x l l u x t v x t w x v a v w x x l l

v t w ππππ?=+??

==≥???==?≤≤?

=+′′=+++求下列问题的解

解:设问题的解为 将其代入上面的定解问题,得

22222)0,(,)(),

(,0)(),(,0)().

224sin

cos 0,(0)0().

4()sin

.8(0,)0,(,)0,

(,0)t tt xx v l t w l B B

v x w x x v x x l x l a w x x l l

w w l B B l w t x x l a l v a v v t v l t v x πππ

π???

=+=???+==??

?′′

+=???==?=+==== 化成下面两个问题:

(1) , 解得: (2) 12

222022340(),(,0)().

(,)cos sin sin .0,4;24sin sin 8, 4.

824()sin t n n n l n l n B

x w x v x x l x l n a n a n v x t a t b t x l l l n l n a x xdx l l a l l n a

n l b x l x xdx n a l n ππππππππππ∞

=?

??

????=??

?

?=+???

?≠??=??=??=??=??=∑∫∫ 解得: 其中, ()()43222441

222[11].4[11]44(,)cos sin sin sin .844(,)(,)()1cos

sin 8n

n n a

l l a n a n v x t t x t x a l l n a l l B l a u x t v x t w x x t x l a l l ππ

ππππππ

π∞

=????=?+??=+=+?????∑ 则 因此,原问题的解为

14..0,(2)(-)(),(-)().0().

:0X X X X X X X x Be Ae Be A B λππππλ′′+=??

′′==?<=++=+?=?==?求下列问题的固有值与固有函数解:当时,方程的通解为 由边界条件,有 ,

0()0.0().-0.:().0().sin ,X x X x Ax B A B A B A X x C X x A B A B A B

λ

ππ

λ

===++=+?==>=+?=++=? 当时,方程的通解为 由边界条件,有 得

当时,方程的通解为 由边界条件,有

22sin ;()0sin 0(1,2,);()cos sin .(0,1,2,),()cos sin .

n n n n n n n n X x n n X x A nx B nx n n X x A nx B nx λλ+====+===+"""" 要不恒等于,则,得

故,固有值 固有函数

222()()0,(3)(1)()0.

ln ,()0.

0()00:x y x xy x y y y e x e x d y

y d y x Be Bx A B Be τλτλττ

λ′′′?++=?

==?==+=<=+=++=+=解:方程通过自变量代换 或 得: 当时,方程的通解为 由边界条件,有 , ;

))

0()0.

0()ln .0,0.:()0.0()cos ln sin ln .0,A B y x y x A B A x B B A y x y x A B A x B x A λτλ==?===+=+===>=+=+= 当时,方程的通解为 由边界条件,有 得

当时,方程的通解为 由边界条件,有

()()2220;()00(1,2,);()sin ln .(1,2,),()sin ln .

n n n n n n B y x n n y x B n x n n y x B n x λππλπ========"""" 要不恒等于,则,得

故,固有值 固有函数

数理方程期末试题B答案

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷(B ) (参考答案) 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题(共80分,每题16分) 1. 求下列定解问题(15分) 2. 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题:(15分) 3. 设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。初速度为零,又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4. 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ,并由此求 出波动方程的通解。 5. 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示:1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导;2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ,其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法,有 于是 6. 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=,则可得

以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点,则问题(II )的特征值和特征函数分别为 问题(I )的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题(共2分,每题10分) 7. 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线,ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数,n 为C 的外法线方向,其方向余弦为βαcos ,cos ,则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数,在D+C 上有一阶连续偏导数,令 得到 交换u,v ,得到 上面第二式减去第一式,得到 证毕。 8. 证明关于Bessel 函数的等式:

学习复变函数与积分变换的心得

学习复变函数与积分变换的心得 我是一名自考生,通过网络学习这门课程,学习了不少以前书本上学不到的东西。它的应用及延伸远比概率统计广,复杂得多。我从中学到了很多,上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。同时网络学习也带给我了一定的帮助。 关于这门课程,首先,它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程,它与工程力学、电工技术、和自动控制等课程的联系十分密切,其理论方法应用广泛。同时,作为一门工程数学的课程,它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的,其前提就是为了服务于实际工程。其次,复变函数与积分变换作为一门工程数学课程,概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点,又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解,要求理论推导具有严密的逻辑性,而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理,但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支,复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础,而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用,可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程,又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设,尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言,该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课,它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供了必要的数学工具因此,学好这门课程非常必要然而,该课程一直是学生较难学的课程之一。 第一、学生普遍认为复变函数的应用性不强我们知道复变函数是建立在复数的基础上的,而复数中是一个虚数单位,从而大家对复数的真实性存在疑虑,所以很难想象它在现实生活和实践中的应用价值另外,在学习这门课程当中,复变函数这部分原理、规律多,内容枯燥、抽象,需要理解的概念和定义也多,学生普遍感觉到理论性偏强,有点抓不住重点;而积分变换这部分所涉及的背景较多,学生所面对的大多是一些抽象枯燥的变换公式这些会让学生们认为这是一门纯理论且没用的课程,也就没有兴趣可言。 第二、复变函数是实变函数在复数域的推广,它的许多概念性质和意义与实变函数有相同之处,同时又与实变函数有着诸多不同不少学生在学习当中往往只注意到相同点,而没有注意到它们的不同点,这让学生感觉可以直接把实变函数当中所学的知识和方法照搬过来即可,觉得这门课程与高等数学没什么区别,感觉是在重复学习,没多大意思。 第三、与后续专业课衔接不够紧密,复变函数与积分变换课程的讲授往往与后续专业课程的使用存在一定的时间差,在后续课程用到时,往往都要花一定得时间去复习,否则学生难于跟上,造成教学重复现象,课时利用率不高。所以网络学习给我们提供了一个后备平台。 们合理利用网络来学习其他课程。 第四、通过网络学习增强了我们对远程教育的了解,提高了我们对这门课程的认真度,同时鼓励同学

数理方程与特殊函数教学大纲

数理方程与特殊函数 课程简介:本课程为电子与通信工程类专业的基础课。学分2,周学时2。本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式,以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。 教学目的与基本要求:通过数理方程与特殊函数课程的学习,使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能,培养学生分析问题解决问题的能力,为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。本课程的先修课程为:高等数学,复变函数,积分变换 主要教学方法:课堂讲授与课外习题。 第零章预备知识(4学时) 复习先修课程中相关的一些内容,主要包括:二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法;积分学中的一些重要公式和技巧;傅里叶(Fourier)分析;解析函数的极点及其留数;拉普拉斯(Laplace)变换。 第一章典型方程和定解条件的推导(4学时) 在讨论数学物理方程的求解之前,应建立描述某种物理过程的微分方程,再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。本章学习的重点和难点是了解数学物

理方程的推导及定解问题的确定过程,学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。 第一节基本方程的建立 通过几个不同的物理模型,推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程:波动方程、电磁场方程和热传导方程。 第二节初始条件与边界条件 方程决定了物理规律的数学形式,但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件,用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。 第三节定解问题的提法 由于每一个物理过程都处在特定的条件之下,所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。初始条件和边界条件都称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起,就构成了一个定解问题。 本章习题:3-5题 第二章分离变量法(8学时) 本章主要介绍在求解偏微分方程的定解问题时,如何设法把它们转化为常微分方程来求解。本章学习的重点和难点是掌握分离变量法这一“化繁为简”的典型方法的实质,学会求解常见的定解问题。

华中科技大学档案馆中英文成绩单 正式版

华中科技大学本科成绩一览表 中华人民共和国湖北武汉 学号:******* 姓名:×××入学时间:2001/09/01 院(系):动力工程系学制:四年专业:热能动力工程制表日期:2006/10/30 序 号课程名称学分09/2001-07/2002 学期 1st 2nd 09/2002-07/2003 学期 1st 2nd 09/2003-07/2004 学期 1st 2nd 09/2004-07/2005 学期 1st 2nd 1 2 3 4 5 英语 高等数学 机械制图 算法语言 272 107 241 52 77 81 74 82 70 68 80 77 72 6 7 8 9 10 线性代数 物理 物理实验 理论力学 复变函数与积分变换 36 140 71 100 46 75 82 73 79 80 80 87 76 12 13 14 15 数理方程 流体力学 电工技术 材料力学 36 80 60 80 68 87 76 94 通过 17 18 19 20 机械原理 机械零件 工程热力学 传热学 42 48 70 70 83 80 82 86 21 22 23 24 25 电子技术基础 金属材料及热处理 微机原理及应用 互换性与技术测量 汽轮机原理 60 44 60 48 80 86 85 88 74 79 27 28 29 30 换热器 热力发电厂 自动控制理论 零件设计 30 50 68 2.5周 91 80 91 良 31 32 33 34 35 英语六级 生产实习 测试技术 能源工程 热工自动化 2周 50 44 40 63 优 88 86 91 37 38 39 40 泵与风机 专业英语 锅炉课程设计 汽机课程设计 30 30 120 1周 81 通过 良 优通过 41 42 43 44 45汽轮机运行特性 现代大型电站锅炉 两相流动与传热 沸腾燃烧 ...... 30 30 30 30 通过 通过 通过 通过 46 47 48 49 50 ...... 51 52 53 54 55

数学与应用数学专业培养方案-同济大学数学系

数学与应用数学专业培养方案 一、专业历史沿革 同济大学数学系始建于1945年,程其襄、杨武之、朱言钧、樊映川、张国隆、陆振邦等一大批知名专家曾在此任教。解放后,几经国家调整,本系时有间断。于1980年,(应用)数学系正式恢复,陆续引进一批国内外培养的具有博士学位的青年教师,原有师资队伍的结构有了变化,充实了教学与科研力量。从20世纪90年代开始,学校又先后引进国内知名数学家、博土生导师陈志华、陆洪文、姜礼尚教授等来数学系工作,教学和科研整体实力有很大提高。数学与应用数学专业在建系后就已设立,文革期间中断了招生,1978年恢复高考后数学与应用数学专业也随之恢复了招生。至今本专业已培养了毕业生3000多人,数学系的学生遍布国内外的许多国家,有的继续从事做数学的教学及科学研究工作,有的在大型国企和外企,特别是银行、金融、计算机等行业工作,很多毕业生已成为杰出科学家和行业精英。 二、学制与授予学位 四年制本科。 本专业所授学位为理学学士。 三、基本学分要求

四、专业培养目标 本专业培养具备扎实数学基础,并具备运用数学知识和计算机解决实际问题的能力,受到科学研究的初步训练,能在科技、教育、信息、金融保险等部门及企事业单位从事研究、教学、管理及计算机软件开发等具有国际视野的复合型高级专门人才,或能继续在国内外攻读研究生学位的高级专门人才。 五、专业培养标准

六、主干学科 数学。 七、核心课程 数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、复变函数、实变函数、概率论(理)、数值分析(理)、数理方程(理)等。 八、教学安排一览表 见附表一。 九、实践环节安排表 见附表二。 十、课外安排一览表 见附表三。 十一、有关说明 1. 公共基础课中的有3门计算机课程,其中在硬件技术基础、数据库技术基础、多媒体技术基础、Web技术基础和软件开发技术基础5门课程中应至少选修1门。 2. 培养方案中打*的课程为研究生阶段设置的课程,供要求较高的学生选修。 3. 各类选修课要求与建议: 本专业学生在如下的专业选修课中,选修15学分。 金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析、运筹学(理)、应用随机过程、泛函分析(研)*、抽象代数(研)*、微分流形(研)*、矩阵分析(研)*、李群与李代数(研)*、偏微分方程(研)*、有限元方法(研)*、运筹学通论(研)*、图论及其应用(研)*、有限差分方法与谱方法(研)*。其中金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析这三门课程是金融数学方向的课群组,如果想选修金融数学方向建议3门课程全部选修。已经取得保研资格的学生,建议选修打*的10门研究生专业基础课中的相关课程。 公共选修课至少选修8学分,课程任选,其中至少要有一门艺术类课程。

学习复变函数与积分变换的心得

学习复变函数与积分变换的心得 这个学期我们学习了复变函数与积分变换这门课程,虽然它同概率统计一样也是考查课,但它的应用及延伸远比概率统计广,复杂得多。我从中学到了很多,上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。 每周二都很空闲,除了体育课就没课了,又因为这门课程是公共考查课,是四个班级在一起上课,所以有时候经常想逃课,但自从上了梁老师的一堂课,就感觉到了他是一个很负责的老师,他每次来教室都来得很早,他很喜欢点名,上课上的也很生动,他经常会叫同学上黑板做题目,来检查学生学得怎么样,他不希望同学带早餐进教室。以后的星期二基本上都没逃过课,我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。 关于这门课程,首先,它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程,它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切,其理论方法应用广泛。同时,作为一门工程数学的课程,它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的,其前提就是为了服务于实际工程。其次,复变函数与积分变换作为一门工程数学课程,概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点,又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解,要求理论推导具有严密的逻辑性,而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理,但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。如单位脉冲函数,对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等,这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。 复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支,复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础,而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用,可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程,又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设,尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言,该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课,它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学

数理方程总结完整终极版

00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子:2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题: 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条

波动方程的边界条件:

(3) 弹性支承端:在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验:(1) 初始 问题:只有初始条件,没有边界条 件的定解问题; (2) 边值问题:没有初始条件,只 有边界条件的定解问题; (3) 混合问题:既有初始条件,也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性:定解问题是 否有解; ?解的唯一性:是否只有一 解; ?解的稳定性:定解条件有 微小变动时,解是否有相应的微小变动。 分离变量法:基本思想:首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解,然后由叠加原理作出这些解的线性组合,最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理,使问题简单化。适用范围:波动问题、热传导问题、稳定场问题等

分离变量法步骤:一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ

非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法:1.基本思想:先求出偏微分方程的通解,然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤:通过变量变换,将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围:无界域内波动方程,等…

数理方程与特殊函数试卷 3套

2010年6月 一、填空题(20分) 1、微分方程的固有值为 ____________,固有函数为____________。 2、勒让德多项式的母函数为________________________。 3、一长为的均匀直金属杆,x=0端固定,x=l端自由,则纵向震动过程中的边界条件为 ________________________。 4、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 5、微分方程,在条件下的拉氏变换表 达式为____________________________________。 6、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 7、函数是区域内的调和函数,它在上有一阶连续偏导数,则 ____________. 8、定解问题的解为________________________。 9、在第一类奇次边界条件下=____________。 10、=____________,=____________。 二、证明题(10分) 三、建立数学物理方程(10分) 一长为l、截面积为s、密度为、比热容为的均匀细杆,一端保持零度,另一端有恒定的热量q流入,初始温度为试建立热传导方程,写出定界条件(要有必要的步骤)。四、写出下列定解问题的解(35分) 1、

2、 3、 五、将函数展开为广义傅里叶级数(25分) 1、设是的正零点,试将函数展开成的傅里叶贝塞尔级数。 2将函数按埃尔米特多项式展开成级数。 2009年6月 一、填空题(20分) 11、微分方程的固有值为 ____________,固有函数为____________。 12、勒让德多项式的母函数为________________________。 13、一长为的均匀直金属杆,x=0端温度为零,x=l端有恒定的热流流出,则热传导过 程中的边界条件为________________________。 14、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 15、微分方程,在条件下,其拉氏 变换表达式为____________________________________。 16、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 17、函数是区域内的调和函数,它在上有一阶连续偏导数,则 ____________. 18、定解问题的解为 ________________________。 19、在第一类奇次边界条件下=____________。 20、=____________,=____________。 二、证明题(10分)

第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程; 2、给定数理方程的附加条件:初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件,连接条件),从而与数理方程一起构成定解问题; 3、方程齐次化; 4、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类(状态描述、变化规律) 1、来源 I .质点力学:牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=????? 弹性定律弦弹性体力学 杆 振动:波动方程);膜流体力学:质量守恒律:热力学物态方程: II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程;Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ??-?=??????-?=??? 热传导方程:扩 散方程:特别: 稳态(0t ρ?=?):20ρ?= (Laplace equation). IV . 量子力学的薛定谔方程: 22.2u i u Vu t m ?=-?+?

二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤: (1)定变量:找出表征物理过程的物理量作为未知数(特征量),并确定影响未知函数的自变量。 (2)立假设:抓主要因素,舍弃次要因素,将问题“理想化” ---“无理取闹”(物理趣乐)。 (3)取局部:从对象中找出微小的局部(微元),相对于此局部一切高阶无穷小均可忽 略---线性化。 (4)找作用:根据已知物理规律或定律,找出局部和邻近部分的作用关系。 (5)列方程:根据物理规律在局部上的表现,联系局部作用列出微分方程。 Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解 第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立 7.1.1 弦横振动方程的建立 (一根张紧的柔软弦的微小振动问题) (1)定变量:取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ,从 而速度为t u ,加速度为tt u . (2)立假设:①弦振动是微小的,1<<α,因此,sin tan ααα≈≈,1cos ≈α,又 tan u x αα?=≈?,1<

数学物理方程学习总结

数学物理方程学习总结 四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活,如今作为一名研究生,很荣幸又能跟着匡老师学习数学。我本科主修土木工程专业,现在学的是岩石力学专业,主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究,所以数学物理方程这门课成了我的必修课。 数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义,有些问题的解可以通过实验给出,这给偏微分方程的研究指明了方向,同时由于物理学上的需求,就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。 本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理,了解其在微分方程求解中的应用,并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件(泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态,与初始状态无关,所以不提初始条件)的提出和表示。第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用,主要针对求解热传导方程和波动方程。三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别,分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题;行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法;积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程,伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题(狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题),然后介绍几种格林函数的取得,最后简介求解狄氏问题。最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程(贝塞尔方程和勒让德方程)的引入和他们性质和求解。数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程,介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。 作为数理方程的学习者,本人觉得它确实是一门比较难的课程,真正的难点却并不是只有数理方程课程本身,而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。所以,我觉得想学好这门课程,不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上,还得多做课本上的例题、习题。

数学物理方程与特殊函数课后答案

29.0(,)11 cos , sin (,)(cos ,sin ),cos sin ; sin cos . sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r r x r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u r u θθθθθθ θθθθθθθθθ+=++==??=?∴==+??? =?+??=??=∵ 证明方程在极坐标下为 证明: sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos () sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ???????=??????????????? ???????+=+?????????? ? ?????? ?==????????? ?????? ??=???????????? 从而 2222222222222 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin () sin yy u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u y y r r y θθθθθθθθ θθθθθθθθθθθ?????? ?=+ ?+?????????++???????????==+?????????= 2222 22 2222222 cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθ θθθθθθθθ ????? ???++???????????? ????=?++????????+?+????+=+ 所以 1 0. u +=

数学物理方程与特殊函数期末考试试题卷子2011

XXXXX 大学研究生试卷 (考试时间: 至 ,共 2小时) 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2011年 12 月 28 日 成绩 1.化方程2220xx xy yy x y x u xyu y u xu yu ++++=为标准形. (10分) 2. 把定解问题:(10分) 212(0)(0,)(),(,)() (,0)(),(,0)(),(0) tt xx x x t u a u x l u t h t u l t h t u x x u x x x l ?ψ?=<

3.有一带状的均匀薄板(0x a ≤≤,0y ≤<+∞), 边界0y =上的温度为0u ,其余边界上的温度保持零度,并且当y →+∞时,温度极限为零. 求解板的稳定温度分布. (用分离 变量法求解).(20分) 4.求下面的定解问题:(10分) 090,(,0) 0,sin tt xx t t t u u x R t u u x ==-=∈>??? ==??. 第2页

5.求()2 1,1 (),()0,1 x x F f x f x x ?-≤?=?>??,其中()F ?表示Fourior 变换.(10分) 6.求()2(),()sin(),03 L f t f t t t π =-≥,其中()L ?为Laplace 变换.(10分) 第3页 学 号 姓 名 学 院 教师 座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

《数学物理方程》教学大纲

《数学物理方程》教学大纲 (Equations of Mathematical Physics ) 一. 课程编号:040520 二. 课程类型:限选课 学时/学分:40/2.5 适用专业:信息与计算科学专业 先修课程:数学分析,高等代数,常微分方程、复变函数 三. 课程的性质与任务: 本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过本课程的学习,要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。本课程主要讲述三类典型的数学物理方程,即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法,变分法等。 四、教学主要内容及学时分配 (一)典型方程和定解条件的推导(7学时) 一些典型方程的形式, 定解条件的推导。偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。 (二)分离变量法(7学时) 三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法. (三)积分变换法(8学时) Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质,Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。 (四)行波法(7学时) 一维波动方程的求解方法,高维波动方程的球面平均法,降维法 (五)格林函数(6学时)

微积分中学中的几个重要公式;调和函数的Green公式和性质;格林函数;格林函数的性质;格林函数的求解方法。 (六)变分法(5学时) 变分法的一些基本概念,泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题 五、教学基本要求 通过教师的教学,使学生达到下列要求 (一)掌握典型方程和定解条件的表达形式,了解一些典型方程的推导过程,会把一个物理问题转化为定解问题。掌握偏微分方程的基本概念,掌握关于两个变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简,掌握迭加原理与齐次化原理。 (二)掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤,理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法, 会求解非齐次方程的定解问题,掌握非齐次边界条件的处理方法。 (三)掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义,掌握解决柯西始值问题的行波法。了解依赖区间、决定区域、特征线、影响区域和决定区域的概念。掌握三维波动方程的初值问题的径向对称解,了解高维波动方程初值问题的球面平均法和降维法。 (四)掌握Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质,会Fourier变换和Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。 (五)掌握Green第一公式和第二公式。掌握调和函数的Green公式和性质,理解格林函数的基本性质。会求半空间和球域上的格林函数。 (六)掌握变分法的基本概念,会求解几类典型的变分问题的解。 六、课程内容的重点和深广度要求 教学基本要求中的数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧是本课程的重点,此外,学生对下列各项也应给予注意: 1.线性偏微分方程的分类与化简。 2.固有值问题,关于固有值与固有函数讨论。 3.方程与边界条件同时齐次化的简易方法。 4. Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质。 5. 格林函数的定义和基本性质 6. 泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题。

大学高数学习方法总结

2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课,大家都会觉得再熟悉不过了,从小学一直到高中,它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯,仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问,更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么,究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候,可能许多同学都比较喜欢学习数学,而且数学成绩也很优秀,因而这时是处于一种良性循环的状态,不会有太多的挫败感,因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学,由于理论体系的截然不同,我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦,甚至会有不如意的结果出现,这时就一定得坚持住,能够知难而进,继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久,就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识,虽然表面上能听懂,但却不明白知识背后的真正原因,所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了,“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看,因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了,香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过:“在初学高数时感觉晕是很正常的,而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃,初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外,还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨,教科书在讲解初步知识时,有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想,因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以,在开始学习数学时,可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下,转而继续学习后续知识,然后不时地回头复习,在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题,进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法,使得温故不但能知新,而且还能更好地知故。篇二:高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法,因人而异,这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科,几乎对所有的专业的学习都有帮助,对于我们飞行器动力工程专业,高等数学是联系物理,力学,以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带,对于大一这一年的学习尤为重要,只有打下坚实的基础,对于之后学习其他的学科,包括选修课中的工程数学的分支(复变函数,数理方程等),都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构,大一上学期主要学习极限,函数,以及微分和积分,(空间几何在下学期学),在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础,重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来,有些问题运用基本定义就会迎刃而解,在掌握了基本概念和常用的解题方法后,学习起来就会很轻松;下学期比较重要,相对于上学期的内容也较丰富和复杂;对于偏导数和曲线积分、曲面积分,需要扎实的微积分思想,此外就是级数和微分方程;总之,高等数学可以说是积分,微分占据主要地位。 (一)做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结,理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书(个人推荐吉米多维奇),在平时做作业和做课外题目的过程中,自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较,互相补充,遇到好的解题方法要记下来,要记的内容是题目,方法和自己的感受;遇到不明白的题目时不要浮躁,也不要着急先看答案,首先进行冷静的思考,要知道考的内容是什么,要用到什么知识点,然后一步一步看答案,这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么,然后停止看答案,想一想答案的这一步对你是否有启示作用,接下来自己试一试能不能继续独立往下做,如果不行的话继续往下看答案,直到做出来为止,做完后一定做好笔记。 (二)考试后的反思

研究生数理方程与特殊函数考题2014

科技大学研究生试卷 (考试时间: 至 ,共 2小时) 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2014年 12 月 日 成绩 考核方式: (学生填写) 1.化简方程22222 (,)(,)(,) 1280u x y u x y u x y x x y y ???++=????并求其通解. (10分) 2. 设有一长度为L 的均匀细棒,其侧面和两端均绝热,初始温度分布为已知。(1)求以后时刻的温度分布;(2)证明:当初始温度分布为常数时,以后时刻的温度分布也必为常数. (20分) 第 1页 3.求解定解问题:(15分) 学 号 姓 名 学 院 教师 座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

200000 (0,0),t xx x x l t u a u x l t q u u u k u u ===?=<<>? ? ==?? ?=?,00,,,a u k q 均为常数. 4.求函数()() 2 1 ()13f s s s =+- 的Laplace 逆变换.(10分) 第2页 5.求下面的定解问题:(15分) 号 效……………………

2 00,(,0) ,sin tt xx t t t u a u x at x R t u x u x ==?-=+∈>?? ==??. 6.求3()J x dx ? .(10分) 第3页 7.写出平面第一象限的Dirichlets 问题对应的Green 函数及其定解问题.(10分)

数理方程期末试题B答案

数理方程期末试题B答 案 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷 (B ) (参考答案) 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题(共80分,每题16分) 1. 求下列定解问题(15分) 2. 用积分变换法及性质,求解半无界弦的自由振动问题:(15分) 3.设弦的两端固定于0x =及x l =,弦的出示位移如下图所示。初速度为 零,又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4. 证明在变换, x at x at ξη=-=+下,波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ, 并由此求出波动方程的通解。 5. 用分离变量法解下列定解问题

[ 提示:1) 可以直接给出问题的固有函数,不必推导;2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ,其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法,有 于是 6. 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=,则可得 以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点,则问题(II )的特征值和特征函数分别为 问题(I )的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题(共2分,每题10分) 7.证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线,ds 是弧长微分。

数学物理方法第二篇第2章

第二章 数学物理方程和二阶线性偏微分方程分类 §2.2.1数学物理方程 数学物理方程(简称数理方程)通常是指从物理模型中导出的函数方程,特别是偏微分方程,我们这里着重讨论二阶线性偏微分方程. 数学物理方程一般可以按照所代表的物理过程(或状态)分为三类: 1.振动与波(机械的、电磁的)称为波动方程.例如,在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的方程.有一维波动方程xx tt u a u 2=(自由振动方程),),(2t x f u a u xx tt +=(强迫振动方程),这里u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移,a 是波的传播 速度.tt u 表示22t u ??,xx u 表示22x u ??;二维波动方程u a u tt ?=2,?是拉普拉斯算符2222y x ??+??≡?(二维的),22 2222z y x ??+??+??≡?(三维的). 2.输运过程称为扩散方程,热传导方程.例如,有一维的热传导方程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表示x 点在t 时刻的温度,2a 称为扩散率或温度传导率.方程),(2t x f u a u xx t +=表示有热源的传导方程. 3.稳定(或者静止、平衡)过程(或状态)称为拉普拉斯方程. 02222=??+??≡?y u x u u . 在数学中,把二阶线性偏微分方程进行分类,其中有三种最重要

的类型,分别称为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程,而上面所指出的那些数理方程都是二阶线性偏微分方程.波动方程可以作为研究双曲型方程的模型,热传导方程可以作为研究抛物型方程的模型,拉普拉斯方程可以作为研究椭圆型方程的模型. 对于仅有数理方程这类偏微分方程还不足以确定物体的运动,因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作用有关.从数学的角度考虑,物体运动的起始状态称为初始条件,物体运动的边界情况称为边界条件.求一个微分方程的解满足一定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.而初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的,则称该定解问题为初值问题,又叫哥西(Cauchy)问题;若定解条件为边界条件的,则称为边值问题. 边界条件一般有三种类型,以一维的为例:在x =0点的第一边界条件:)(),0(t t u μ=;第二边界条件:)(),0(t v t u x =;第三边界条件:)(),0(),0(t t hu t u x θ=-,这里h 为已知常数,)(t μ,)(t v ,)(t θ为已知函数.如果)(t μ,)(t v ,)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件,一般将边界条件写成)()],(),([t f t M n u t M u D M =??+?∈βα,D ?表示区域D 的边界,n 是D ?的外法线方向,这里α,β不同时为零的常数,则是这三种边界条件的综合表述. 如果一个定解问题中既有初始条件又有边界条件,则称为混合问题. 例1.在杆的纵向振动时,假设(1)端点固定;(2)端点自由;(3)

第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程; 2、给定数理方程的附加条件:初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件,连接条件),从而与数理方程一起构成定解问题; 3、方程齐次化; 4、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类(状态描述、变化规律) 1、来源 I .质点力学:牛顿第二定律F mr = } 连续体力学2222()(,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ????? -?=??????? ?? +??=??? ?-? +??=+=????? 弹性定律弦 弹性体力学杆 振动:波动方程);膜 流体力学:质量守恒律:热力学物态方程: II.麦克斯韦方程 ; ;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+? ?=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程;Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程:扩 散方程:特别: 稳态(0t ρ?=?):20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程: 2 2.2u i u Vu t m ?=-?+?

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