2016-2017学年四川省广安市高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年四川省广安市高一下学期期末考试

数学（理）试题

一、选择题

1．化简cos 15°cos 45°－sin15°sin 45°的值为( )

A. B. C. － D. －

【答案】A

【解析】由题意可得：

.

本题选择A选项.

2．设，若，则下列不等式中正确的是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】令a=1、b=0，可得：

b-a=-1，不满足b-a＞0，故A错误；

a3+b3=1，不满足a3+b3＜0，故B错误；

b+a=1，满足b+a＞0，故C正确；

a2-b2=1，不满足a2-b2＜0，故D错误.

故选C.

3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不同在任何一个平面的图是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】A：PQ与RS是两条平行且相等的线段，故A不满足条件；

B：同A，PQ与RS是两条平行且相等的线段，故B不满足条件；

C：PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故C满足条件；

D：由题易得PR平行且等于12SQ，故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交于同一个点，故D不满足条件.

本题选择C选项.

4．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确

．．．命题的序号是（）

A. ①②③

B. ①②

C. ②③

D. ②④

【答案】A

【解析】①平行向量不一定相等，因此①不正确；

②不相等的向量可能平行，因此②不正确；

③平行于同一个向量的两个向量是共线向量，不一定正确。例如：给出不共线的非零向量，它们都与平行，但是不共线；

④相等向量一定共线，正确；

故答案为：①②③。

本题选择A选项.

5．已知等差数列{a n}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5的值为( )

A. 10

B. 15

C. 20

D. 40

【答案】B

【解析】在等差数列{a n}中，

由a3+a8=a6+a5=22，

又a6=7，

得a5=15.

本题选择B选项.

6．设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-1

2

,则|a+2b|等于( )

【答案】B

【解析】

故选B.

7．设变量x，y满足，则x＋2y的最大值为( )

A. －2

B. 2

C. 1

D. 0

【答案】B

【解析】绘制不等式组表示的可行域，由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2.

本题选择B选项.

点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

8．已知数列{a n}的通项公式a n＝n＋(n∈N)，则数列{a n}的最小项是( )

A. a12

B. a13

C. a12或a13

D. 不存在

【答案】C

【解析】令，

由对勾函数的性质可得：

当时,函数f(x)单调递增;当时,函数f(x)单调递

减。

∴数列{a n}的最小项是a12=25与a13=25中的最小值，

因此数列{a n}的最小项是a12或a13.

本题选择C选项.

9．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是( )

A. B.

C. 3+

D. 12+

【答案】D

【解析】由已知中的三视图可知，该几何体是一个半球和四棱柱结合而成的组合体，

其中半球的半径为2，故半径的体积为

，

四棱柱的底面是一个边长为2的正方形，高为3，

故四棱柱的体积为2×2×3=12， 故组合体的体积为： ， 本题选择D 选项.

点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．

10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

【答案】B

【解析】试题分析：由正弦定理将bcos C ＋ccos B ＝asin A 转化为2sin cos cos sin sin B C B C A +=

()2sin sin sin 12B C A A A π

∴+=∴=∴=，三角形为直角三角形

【考点】正弦定理及三角函数公式

11．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )

A. 8 km/h

B. 6

km/h C. 2km/h D. 10 km/h

【答案】B

【解析】设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h.

由题意知：sinθ= ，则cosθ= . 所以由余弦定理得：

， 解得： . 本题选择B 选项.

12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N)，等差数列{b n }中，b n >0 (n ∈N)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列.则数列{a n ·b n }的前n 项和T n 为（ ）

A. 3n－1

B. 2n＋1

C. n·3n

D. －2n·3n

【答案】C

【解析】∵a1=1,a n+1=2S n+1(n∈N?)，

∴a n=2S n?1+1(n∈N?,n>1)，

∴a n+1?a n=2(S n?S n?1)，

∴a n+1?a n=2a n，

∴a n+1=3a n(n∈N?,n>1)

而a2=2a1+1=3=3a1，

∴a n+1=3a n(n∈N?)

∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴an=3n?1，

∴a1=1,a2=3,a3=9，

在等差数列{b n}中，

∵b1+b2+b3=15，

∴b2=5.

又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{b n}的公差为d，

∴(1+5?d)(9+5+d)=64

解得d=?10，或d=2，

∵bn>0(n∈N?)，

∴舍去d=?10，取d=2，

∴b1=3，

∴b n=2n+1(n∈N?)

错位相减求和可得T n=n?3n.

本题选择C选项.

点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．

二、填空题

13．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于______

【答案】

【解析】由题意可得：，

由向量垂直的充要条件可得： .

14．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________

【答案】＋2

【解析】根据斜二侧画法可知,原图形为直角梯形,其中上底AD=1,高

AB=2A′B′=2,下底为，

∴ .

即原平面图形的面积是＋2.

15．在等比数列{a n}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________

【答案】240

【解析】由等比数列的性质可得： .点睛：用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量，减少差错.

16．O是平面上一定点，△ABC中AB=AC，一动点P满足：

则直线AP通过△ABC的___________(请在横线上填入正确的编号）

①外心②内心③重心④垂心

【答案】① ② ③ ④

【解析】设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线，

由向量的运算法则可得,

由题意有：，

即，∴A、P、D三点共线，

点P一定过△ABC的重心，

结合AB=AC可得：直线AP通过△ABC的外心、内心、垂线和重心.

答案为：① ② ③ ④

三、解答题

17．已知右图是一个空间几何体的三视图．

（1）该空间几何体是如何构成的；

（2）求该几何体的表面积

【答案】（1）见解析（2）