初中几何证明的经典难题

初中几何证明的经典难题

一.割补法:

1.(全等)如图,点E 是BC 中点,CDE BAE ∠=∠,求证:CD AB =

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(相似)如图,点E 是BC 上一点,EC k BE ?=,CDE BAE ∠=∠,猜想AB 、CD 的数量关系.

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2. (全等)如图,在ABC ?中,?=∠90BAC ,AC AB =,BA CD //,点P 是BC 上一点,连结AP ,过点P 做AP PE ⊥交CD 于E .

探究PE 与PA 的数量关系.

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(相似)如图,在ABC ?中,?=∠90BAC ,AC k AB ?=,BA CD //,点P 是BC 上一点,连结AP ,过点P 做AP PE ⊥交CD 于E .

探究PE 与PA 的数量关系.

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3. (全等)如图,在ABC ?中,AC AB =,点D 在AB 上,点E 在AC 的延长线上,且CE BD =,DE 交BC 于点P .

探究PE 与PD 的数量关系.

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(相似)如图,在ABC ?中,AC k AB ?=,点D 在AB 上,点E 在AC 的延长线上,且CE BD =,DE

交BC 于点P .

探究PE 与PD 的数量关系.

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4. (全等)如图,在ABC ?中,A ECB DBC ∠=∠=∠2

1,BD 、CE 交于点P .

探究BE 与CD 的数量关系.

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(相似)如图,在ABC ?中,A ECB DBC ∠=∠+∠,BD 、CE 交于点P ,PC k PB ?=. 探究BE 与CD 的数量关系.

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5.(全等)如图,在EBC ?中,BD 平分EBC ∠,延长DE 至点A ,使得ED EA =,且C ABE ∠=∠. 探究AB 与CD 的数量关系.

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(相似)如图,BD 平分EBC ∠,D '是BD 上一点,且D B k BD '?=,连结C D '、DE ,并延长DE 至点A ,使得ED EA =,且C ABE ∠=∠.

探究AB 与D C '的数量关系.

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6.(全等)如图,在ABC ?中,?=∠90C ,BC AC =,P 为AB 的中点,PF PE ⊥分别交AC 、BC 于E 、F .

探究PE 、PF 的数量关系.

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(相似)如图,在ABC ?中,?=∠90C ,BC AC =,P 为AB 上一点,且PB k AP ?=,PF PE ⊥分别交AC 、BC 于E 、F .

探究PE 、PF 的数量关系.

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(相似)如图,在ABC ?中,BC AC =,P 为AB 上一点,且PB k AP ?=,?=∠+∠180C EPF ,EPF ∠的两边分别交AC 、BC 于E 、F .

探究PE 、PF 的数量关系.

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7. (全等)如图,CD CB =,?=∠+∠180CDE ABC ,DE AB =. 探究:AF 与EF 之间的数量关系

9(相似)如图,CD CB =,?=∠+∠180CDE ABC ,DE k AB ?=.

探究:AF 与EF 之间的数量关系

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10如图,直线1l 、2l 相交于点A ,点B 、点C 分别在直线1l 、2l 上,AC k AB ?=,连结BC ,点D 是线段AC 上任意一点(不与A 、C 重合),作α=∠=∠BAC BDE ,与ECF ∠的一边交于点E ,且ABC ECF ∠=∠.

⑴如图1,若1=k ,且?=∠90α时,猜想线段BD 与DE 的数量关系,并加以证明; ⑵如图2,若1≠k ,时,猜想线段BD 与DE 的数量关系,并加以证明.

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二.倍长中线法:

11. (全等)如图,点E 是BC 中点,CDE BAE ∠=∠,求证:CD AB =

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12(相似)如图,AD 是ABC ?的中线,AC k AB ?=,点E 是AC 延长线上一点,且BAD AEF ∠=∠,EF 交BA 延长线于点F .探究AE 、AF 的数量关系.

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13 (全等)如图,在ABC ?中,AB CD =,BDA BAD ∠=∠,AE 是BD 边的中线.求证:AE AC 2=

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14(相似)如图,在ABC ?中,AD k AB ?=,BDA BAD ∠=∠,AE 是BD 边的中线,且C EAD ∠=∠. 探究AE 、AC 的数量关系.

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15. (全等)如图,在ABC ?中,AD 平分BAC ∠,G 为BC 的中点,AD EG //交CA 延长线于E . 求证:EC BF =

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16(相似)如图,在ABC ?中,G 为BC 的中点,E 为CA 延长线上一点,EG 交AB 于F ,EG AD //交BC 于点D ,AB CH //交AD 延长线于点H ,且AC k EC ?=.探究:FB 与CH 的数量关系.

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17(全等)如图,等腰直角ABC ?与等腰直角BDE ?,P 为CE 中点,连接PA 、PD . 探究PA 、PD 的关系.

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18(相似)如图,ABC ?与BDE ?中,?=∠=∠90BDE CAB ,AB k AC ?=,DB k DE ?=,P 为CE 中点,连接PA 、PD .

探究PA 、PD 的数量关系.

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19(全等)如图,两个正方形ABDE 和ACGF ,点P 为BC 的中点,连接PA 交EF 于点Q . 探究AP 与EF 的关系.

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20(相似)⑴如图1,两个矩形ABDE 和ACGF 相似,AB k AE ?=,点P 为BC 的中点,连接PA 交EF 于点Q .探究AP 与EF 的关系.

⑵如图2,若将“两个矩形ABDE 和ACGF 相似”改为“两个平行四边形ABDE 和ACGF 相似”,且α=∠EAB .探究AP 与EF 的关系.

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21.已知:如图,正方形ABCD 和正方形EBGF ,点M 是线段DF 的中点.

⑴试说明线段ME 与MC 的关系.

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⑵如图,若将上题中正方形EBGF 绕点B 顺时针旋转α度数(?<90α),其他条件不变,上述结论还正确吗?若正确,请你证明;若不正确,请说明理由.

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22.如图1,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.

⑴操作:将三角板中的?

90角的顶点与点O重合,使这个角落在ABC

?的内部,两边分别与正方形ABCD的边AB、BC交于F、E.当F、E的位置发生变化时,请你通过测量并回答,每组AF、FE、

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EC三条线段中,哪一条线段是中始终最长.

⑵以AF、FE、EC这三条线段能否组成以FE为斜边的直角三角形?

若能,请你证明;若不能,请你说明理由.

⑶探究:如图2,ABC

90角的顶点与点O重合,使这个角

B,点O是斜线AC的中点,当?

∠90

?,?

=

在ABC

?的内部绕点O转动时,⑵中的结论是否仍然成立?请你证明.

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23⑴如图1,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(BC

CG>)取线段AE的中点P.

探究:线段PD、PF的关系,并加以证明.

⑵如图2,将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后,其他条件不变. 探究:线段PD、PF的关系,并加以证明.

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