数学理卷·2016届北京市海淀区高三第一学期期中练习(2015.11)WORD版

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学（理科）2015.11

本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列函数中为偶函数的是

3．在△ABC中，的值为

A．1 B．－1 C．1

2

D．－

1

2

4．数列的前n项和为，则的值为

A．1B．3C．5 D．6

5．已知函数，下列结论错误的是

A．B．函数的图象关于直线x＝0对称

C．的最小正周期为 D．的值域为

6．“x＞0 ”是“”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足

8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，

则实数a 的取值范围是

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．

10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，

则

11．已知等差数列的公差

，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝

12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a

，则点B 的坐标

为 ． 13．已知函数

，若

的图象向左平移

个单位所得的图象与

的图象向右

平移个单位所得的图象重合，则的最小值为

14．对于数列，都有

为常数）成立，则称数列

具有

性质

．

⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质

，则t 的最大值为 ；

⑵ 若数列

的通项公式为

，且具有性质

，则实数a 的取值范围是

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列

的公比

，其n 前项和为

（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：

16．（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．

17．（本小题满分13分）

如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，

（Ⅰ）求BD的长；

（Ⅱ）求证：

18．（本小题满分13分）

已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l

（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的通项公式；

（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．

20．（本小题满分14分）

已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如

对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．

（Ⅰ）判断函数 是否是

函数；（只需写出结论）

（Ⅱ）设函数f(x)是定义R 在上的周期函数，其最小正周期为T ，若f(x)不是函数，求T 的最小值．

（Ⅲ）若函数

是

函数，求a 的取值范围．

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数 学 （理科） 2015.11

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. B

2. B

3. A

4. C

5. D

6. C

7. A

8. D

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 3 10. 11. 5 12. (3,6)-- 13. 4 14. 2； [36,)+∞

说明；第10，14题第一空3分，第二空2分

三、解答题: 本大题共6小题，共80分.

15．解：（Ⅰ）

法一：因为{}n a 为等比数列， 且3244a a a =，

所以2334a a =，所以34a =， 因为233

141

a a q a =

==，所以2q =±. 因为0n a >，所以0q >，即2q = ---------------------------3分 所以45116a a q ==. --------------------------6分 法二：因为{}n a 为等比数列，且3244a a a =，

所以24114a q a q =，所以24q =，所以2q =±,

因为0n a >，所以0q >，即2q = ---------------------------3分 所以45116a a q ==. --------------------------6分（Ⅱ）法一：

因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分

因为1(1)

211n n n a q S q

-==--, --------------------------10分

所以11211

222

n n n n n S a ---==-,

因为

1

1

2n ->，所以11222n n n S a -=-<. --------------------------13分 法二：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分

所以1(1)

211n n n a q S q

-=

=--, --------------------------10分 所以

11202n n n S a --=-<，所以2n n

S

a <. --------------------------13分 法三：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, --------------------------８分

所以1(1)

211n n n a q S q

-=

=--. --------------------------10分 要证

2n

n

S a <，只需2n n S a <， 只需212n n -< 上式显然成立，得证. --------------------------13分 16.解：

（Ⅰ）因为ππ())cos(2)33

f x x x =+++,

所以πππππ())cos(2)66363

f ?

++?+, 2π2π31

3sin(

)cos()13322

=+=-=. --------------------------4分

（Ⅱ）因为ππ())cos(2)33

f x x x =+++,

所以 π1π

()s i n (2)

c o s (2)]

323

f x x x =+++

ππππ2[c o s

s i n (2)s i n c o s (2)]

6

363x x =+++ ππ

2sin[(2)]36x =++

π

2sin(2)2

x =+ --------------------------7分

2cos 2x = , --------------------------9分 所以周期2π

π2

T =

= . --------------------------11分 令2ππ22πk x k -≤≤， --------------------------12分 解得π

ππ2

k x k -

≤≤，k ∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为π

(π,π),2

k k -k ∈Z . --------------------------13分

法二：因为ππ())cos(2)3

3

f x x x =+++,

所以ππππ

()cos cos2sin )(cos2cos sin2sin )3333

f x x x x x ++--------------------7分

11sin 2)(cos22)22x x x x =+

+ 2cos 2x = --------------------------9分

所以周期2π

π2

T =

= . --------------------------11分 令2ππ22πk x k -≤≤， --------------------------12分

解得π

ππ2

k x k -≤≤，k ∈Z , 所以()f x 的单调递增区间为π

(π,π),2

k k -k ∈Z . --------------------------13分

17．解： （Ⅰ）法一：

在ABD ?中，因为1

cos 7

ADB ∠=

，(0,π)ADB ∠∈,

所以sin ADB ∠=

--------------------------3分 根据正弦定理，有

sin sin BD AB

A AD

B =

∠∠, --------------------------6分 代入8,,3

AB A π

=∠=

解得7BD =. --------------------------7分 法二：作BE AD ⊥于E .

因为π

8,3

AB A =∠=，所以在ABD ?中，πsin 3BE AB =?= --------------------------3分

在BDE ?中，因为1

cos 7

ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈，

所以sin ADB ∠= --------------------------6分 所以7sin BE

BD BDE

=

=∠. --------------------------7分

（Ⅱ）法一：

在BCD ?中，根据余弦定理 222

c o s 2B C C D B D C B C C D

+-∠=?, --------------------------10分

代入3,5BC CD ==，得1

cos 2

C ∠=-，

(0,π)C ∠∈,所以2π

3

C ∠=. --------------------------12分

所以 πA C ∠+∠=，而在四边形ABCD 中 +2πA ABC C ADC ∠+∠+∠∠=

所以πABC ADC ∠+∠=. --------------------------13分

法二：在ABD ?中，11

cos ,14

ABD ∠=

所以sin ABD ∠=，

1

cos 7

ADB ∠=

， 所以sin ADB ∠=. --------------------------8分

在BCD ?中，11

cos ,14

DBC ∠=

所以sin ABD ∠=

13

cos 14

BDC ∠=

， 所以sin ADB ∠= --------------------------9分

所以cos cos()ABC ABD DBC ∠=∠+∠，

23

cos cos sin sin 98

ABD DBC ABD DBC =∠∠-∠∠=

--------------------------11分 c o s c o s (A D C A D B B D C ∠=∠+∠，

23

cos cos sin sin 98

ADB BDC ADB BDC =∠∠-∠∠=-

--------------------------12分 即cos cos ABC ADC ∠=-∠, 所以πABC ADC ∠+∠=. --------------------------13分 18．解

（Ⅰ）因为(0)1f =，所以曲线()y f x =经过点(0,1),

又2

'()2f x x x a =++, --------------------------2分 所以'(0)3f a ==-, --------------------------3分 所以2'()23f x x x =+-.

当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:

--------------------------5分

所以函数 ()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-，(1,+)∞,

单调递减区间为(3,1)-. --------------------------7分 （Ⅱ）

因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,

当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立， 即2

'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立，

根据二次函数的性质，只需要'(2)0

'()0

f f a -≤??≤?， 解得30a -≤≤.

又2a -<，所以20a -<≤. --------------------------9分 当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立，

只要2

'()2f x x x a =++在[2,]a -上的最小值大于等于0即可， 因为函数2

'()20f x x x a =++≥的对称轴为1x =-， 当21a -<≤-时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'()f a ，

解2

'()=30f a a a +≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立. --------------------------11分 当1a -<时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'(1)f -， 解'(1)120f a -=-+≥得1a ≥，所以1a ≥，

综上，实数a 的取值范围是20a -<≤或1a ≥. --------------------------13分 19．解：

（Ⅰ）因为 12n n n S a a +=，所以1122S a a =，即1122a a a =,

因为10a a =≠，所以22a =, --------------------------2分 （Ⅱ）因为 12n n n S a a += ， 所以112(2)n n n S a a n --=≥，两式相减，

得到112()n n n n a a a a +-=-， --------------------------4分 因为0n a ≠，所以112n n a a +--=，

所以212{},{}k k a a -都是公差为2的等差数列，

当21n k =-时，12(1)1n a a k n a =+-=+-, --------------------------6分 当2n k =时， 22(1)2n a k k n =+-==,

所以1, , n n a n a n n +-?=??为奇数,

为偶数.

--------------------------8分

（Ⅲ）

法一：因为12n n n S a a +=，由（Ⅱ）知道 1, , n n a n a n n +-?=??

为奇数,

为偶数,

所以1

(1)(1), 2

1() , 2

n n a n n S n n a n ?+-+??=??+??为奇数,为偶数, --------------------------10分

注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的， 当n 为偶数时，0n a >，所以此时1n n S S ->，

所以15S 为最小值等价于13151517,S S S S ≥≤， --------------------------12分 所以141516170, 0a a a a +≤+≥，

所以141510, 161710a a ++-≤++-≥，

解得3228a -≤≤-. --------------------------13分 因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠，

所以a 不能取偶数，所以31, 29a a =-=-. --------------------------14分 法二：

因为12n n n S a a +=， 由（Ⅱ）知道 1, , n n a n a n n +-?=??为奇数,

为偶数,

所以1

(1)(1), 2

1() , 2

n n a n n S n n a n ?+-+??=??+??为奇数,为偶数, --------------------------10分

因为15S 为最小值，此时n 为奇数，

当n 为奇数时，1

(1)(1)2

n S n a n =

+-+， 根据二次函数的性质知道，有14162

a

≤-≤，解得3228a -≤≤-， --------------------------12分

因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠，

所以a 不能取偶数，所以31, 29a a =-=-. --------------------------13分 经检验，此时n S 为最小值，所以 31, 29a a =-=-. --------------------------14分 20. 解：

（Ⅰ）21()3

f x x x =-是Ω函数， --------------------------2分

()sin πg x x =不是Ω函数. --------------------------4分

（Ⅱ）T 的最小值为1. --------------------------6分 因为()f x 是以 T 为最小正周期的周期函数，所以()(0)f T f =.

假设1T <，则[]0T =，所以([])(0)f T f =，矛盾. --------------------------8分 所以必有1T ≥，

而函数()[]l x x x =-的周期为1，且显然不是是Ω函数，

综上，T 的最小值为1. --------------------------9分 （Ⅲ） 当函数()a

f x x x

=+

是Ω函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾. --------------------------10分 若0a <，则2

'()10a

f x x =-

>， 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形， 所以此时()a

f x x x

=+

不是Ω函数. --------------------------11分 当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]

a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，

因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，

所以2[][]([]1)m a m m <<+. --------------------------12分 当0m <时，[]0m <，

因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，

所以2[][]([]1)m a m m >>+. --------------------------13分 记[]k m =, 综上，我们可以得到

“0a >且*2,k a k ?∈≠N 且(1)a k k ≠+”. --------------------------14分