数学中考阴影部分面积的计算

盘点近年来有关阴影面积的中考试题

一、阴影部分是整体的图形

1、直接将阴影部分的面积看成几个规则图形面积的和（差）

例1（2009年四川凉山州）如图l，将ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'使点A、B、C'在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为_______cm2．

例2（2010年浙江杭州，有改动）如图2，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交

CB的延长线于点G．则由DG，GE和ED围成的图形面积（图中阴影部分）为__________．

分析如图2，连结OD、OE，易知四边形ODCE为正方形，且边长为3．由OD=OF，得

例3(2010年湖北十堰)如图3(1)，(n＋1)个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3面积为S2，…，四边形P n M n N n N n 面积为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得S n＝_______．

＋1

2、利用平移、轴对称、旋转变换化难为易

(1)平移变换

例4(2009年浙江嘉兴，有改动)如图4－1，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若弦AB的长为6，则阴影部分的面积为_______．

分析将⊙P沿着PO方向平移直至两圆心重合，从而将阴影部分的面积转化为圆环的面积(如图4－2)．由垂径定理，得

(2)轴对称变换

例5(2010年浙江台州)如图5，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD 于点E．则阴影部分面积为(结果保留π)_______．

分析连结AC，则AC过点E．由对称性可知AB、AE和BE围成的图形面积与阴影部分的面积相同．

例6 (2010年安徽芜湖)芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计，如图6(1)，他在边长为1的正方形ABCD 内作等边三角形BCE ．并与正方形的对角线交于F 、G 两点，制成如图6(2)的图标．则图标中阴影部分图形AFECD 的面积＝_______．

分析 过点F 作FH ⊥AB 于点H(如图6(1))，易知△AHF 为等腰直角三角形，∠ABF ＝30°． 设FH ＝x ，则AH ＝x ，BH 3x ．

(3)旋转变换

例7 09年潍坊)如图7，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8cm ．BC ＝6cm ，分别以点A 、C 为圆心，以

2

AC

的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余(阴影)部分的面积为( )cm 2．

(A)252424π-

(B)254π (C) 5244π- (D) 25246

π- 分析 易求∠A ＋∠C ＝90°，AC 22AB BC +＝10．将⊙A 中的扇形绕AC 的中点顺时

针旋转180°后，则可拼成

1

4

圆，于是， 故选A ．

3、估计阴影部分的面积

例8 (2009年甘肃庆阳)图8中一段抛物线ACB 是二次函数y ＝－

12

x 2

＋2的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的图形面积为S ，试求出S 取值的一个范围．

分析 如图8，这段图象与x 轴的交点为A(－2，0)、B(2，0)，与y 轴的交点为C(0，2)．设

P(x ，y )在图示抛物线上，则 OP 2＝x 2＋y 2 ＝ (4－2y )＋y 2 ＝(y －1)2＋3．

由0≤y ≤2，得3≤OP 2≤4．

32的两个半圆所夹的圆环内， 所以S 在图示两个半圆面积之间，即

故

32

π

二、阴影部分是分散的图形

1、利用平移、轴对称、旋转变换化分散为整体 (1)平移变换

例9 (2010年河北省)把三张大小相同的正方形卡片A 、B 、C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图9(1)摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图9(2)摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1_______S 2(填“>”、“<”或“＝”)．

分析 将图9(1)中正方形卡片C 向左平移至盒底的左上角(如图9(3))，将9(2)中正方形卡片B 向下平移至盒底的右下角(如图9(4))，可见S 1＝S 2．

(2)轴对称变换

例10 (2010年山东临沂)正方形ABCD 边长为a ，点E 、F

分别是对角线BD 上的两点，过点E 、F 分别作AD 、AB 的平行 线，如图10所示，则图中阴影部分的面积之和等于_______． 分析 因为正方形ABCD 是轴对称图形，所以将△BCD 内 的阴影部分沿着直线BD 翻折180°后会与△ABD 内的空白部分 重合在一起，故拼成了△ABD ，其面积为正方形ABCD 面积的

一半，即阴影部分的面积之和等于

12

a 2．

例11 (2009年湖南娄底)如图11，⊙O 的半径为2，C 1是函

数y ＝

12x 2的图象，C 2是函数y ＝－1

2x 2的图象，则阴影部分的面 积是_______．

分析 因为⊙O 关于x 轴对称，抛物线y ＝1

2

x 2与抛物线y ＝

－1

2

x 2亦关于x 轴对称，所以将位于x 轴下方半圆内的阴影部分沿着x 轴翻折180°后会与位于x 轴上方半圆内的空白部分重合在一起，故拼成了半圆，其面积为⊙O 面积的一半，即阴影部分的面积是2π．

(3)旋转变换

例12 (2009年广西桂林、百色)如图12，□ABCD 中， AC 、BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分 的面积为( )

(A)3 (B)6 (C)12 (D)24

分析 因为□ABCD 是中心对称图形，所以所以将△ABC 内的阴影部分绕着对角线的交点旋转180°后会与△CDA 内的

空白部分重合在一起，故拼成了△CDA ，其面积为□ABCD 面积的一半，即阴影部分的面积之和等于12，故选C ．

例13 (2009年四川绵阳)如图13，△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆O 1的直径，半圆O 1过C 点且与半圆O 1相切，则图中阴影部分的面积是( )．

(A)

2736a π- (B) 2

536a π- (C) 2736a (D) 2

536

a

分析 连结PD ，AE(如图13)，易知△CPD 和△ABE 均为等腰 直角三角形，所以将⊙O 2内的阴影部分绕着圆心O 2顺时针旋转90° 与弓形DP 重合在一起，将⊙O 1内的阴影部分绕着圆心O 1逆时针旋转90°与弓形EA 重合在一起，拼成了四边形AEDP ．

连结O 1O 2，设⊙O 2的半径为x ，则

故选D．

(4)组合变换

例14 (2010年四川巴中)如图14所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为_______．

分析由于无法知道每个扇形的圆心角，若逐一计算，显然将无法

求解．图中六个小扇形的半径相同，而且六边形的内角和为720°，运

用整体思想，把六个小扇形组合在一起，拼成两个整圆，所以图中阴影

部分的面积为2π．

例15(2010年云南昆明)如图15，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，

BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )

分析可看成在△ABC上覆盖以AB为直径半圆和以AC为直径

半圆，因为ABC内的阴影部分被半圆覆盖两次，所以，

故选D．

2、利用等积变换逐个求解阴影每一部分的面积

例17 (2008年浙江温州)如图16，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为_______．

即图中三个阴影三角形面积之和为10.5．

3、估计阴影部分的面积

例18 (2008年浙江杭州)如图17，记抛物线y ＝－x 2

＋1的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份．设分点分别为P 1，P 2，…，P n －1，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点Q 1，Q 2，…，Q n －1，再记直角三角形OP 1Q 1，P 1P 2Q 2，…的面积分别为S 1，S 2，…，这样就有

S 1＝2312n n -，S 2＝23

42n n -…；记Ｗ＝S 1＋S 2＋…＋S n －1，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数

是( )

(A)23 (B)12 (C)1

3

(D)14

分析 如图17，抛物线y ＝－x 2＋1的图象与x 正半轴的交点为 A(1，0)，与y 轴的交点为8(0，1)．

设抛物线与y 轴及x 正半轴所围成的面积为S ，M(x ，y )在图示 抛物线上，则

222OM x y =+ ()21y y =-+

＝2

1324y ?

?-+ ??

?．

由0≤y ≤1，得3

4

≤OM 2≤1． 这段图象在图示半径为3

2

、1的两个14圆所夹的圆环内，所以S 在图示两个圆14面积之间，

即

从而

316π＜S ＜1

4

π． 显然，当n 的值越大时，W 的值就越来越接近抛物线与y 轴和x 正半轴所围成的面积的一半，所以 332π＜W ＜1

8π． 与其最接近的值是，故本题应选C ．