扇形、圆柱、圆锥面积公式及计算
扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图
［学习目标］
1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。
2. 扇形面积公式：
n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。
3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高
r底面半径h圆柱高
4. 圆锥侧面积
圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。
侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。
5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。
6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。
7. 圆柱
圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱的
底面半径为r，高为h，则：，
。
8. 圆锥
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则
。
［重点、难点］
扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。
【典型例题】
例1. 已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。
图1
解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心，
BC为半径的圆上，
∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60°
∴
例2. 已知扇形的圆心角150°，弧长为，则扇形的面积为____________。
解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R，
由弧长公式，得：
∴
由扇形面积公式，，故填。
点拨：本题主要考查弧长公式和扇形面积公式。
例3. 已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为__________。（弓形的弧为劣弧）。
解：∵弓形弦长等于半径R
∴弓形的弧所对的圆心角为60°
∴扇形的面积为。
三角形的面积为。
∴弓形的面积为。
即。故应填。
点拨：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差。本题若没有括号里的条件，则有两种情况。
例 4. 若圆锥的母线与底面直径都等于a，这个圆锥的侧面积为_____________。
解：∵圆锥的底面直径等于a。
∴底面半径为，
∴底面圆的周长为。
又∵圆锥的母线长为a，
∴圆锥的侧面积为。
故应填
点拨：圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，可利用扇形的面积公式求得。
例5. 如图2所示，OA和OO1是⊙O中互相垂直的半径，B在上，弧的圆心是O1，半径是OO1，⊙O2与⊙O、⊙O1、OA都相切，OO1＝6，求图中阴影部分的面积。
图2
解：设⊙O2与⊙O、⊙O1、OA分别切于点D、C、E，设⊙O2的半径为r，连结O1O2，O2E，过点O2作O2F⊥O1O于F，连结O1B、OB、OO2。
∵O1O＝6，
l ∴
∴
又∵
，
∴，
，
，
∴（舍去）
又∵是等边三角形
，
∴扇形和扇形的面积相等且都等于。
∴所组成的图形面积为扇形O1BO和扇形OO1B的面积之和减去三角形O1OB的面积，即：
又∵扇形OAO1的面积为：
∴阴影部分的面积为：
点拨：本题比较复杂，考查的知识面比较多，要正确作辅助线，找出解题的思路。
例6. 在半径为2的圆内，引两条平行弦，它们所对的弧分别为120°和60°，求两弦间所夹图形的面积及周长。
解：分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况：
①如图3所示，由题意，
图3
则∠AOB＝120°，∠COD＝60°
又∵AB∥CD，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD
又∵∠AOC＋∠BOD＝180°
∴∠AOC＝∠BOD＝90°
∴
又∵
故所求面积为
又∵∠AOC＝90°，
∴，
同理
又∵△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝2
又∵
∴所求的周长
②如图4所示，由第一种情况，得所求面积：
图4
所求周长
点拨：要注意本题的两种情况，另外，弧长公式和扇形以及弓形的面积求法要求正确掌握，熟练运用。
例7. 如图5所示，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。（答案保留）
（1999年广州）
图5
解：设正方形外接圆、内切圆的半径为R、r，面积为
。
∵
∴。
常见错误：此题最容易产生的问题是找不出正方形边长的一半与两圆的半径之间的勾股关系。即不会运用圆内接正方形与圆外切正方形的性质来解题。这一点读者应认真体会。
例8. 如图6所示，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝BC＝CA＝6cm
图6
（1）求证：∠OBC＝30°；
（2）求OB的长（结果保留根号）；
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留）。
解：（1）AB＝BC＝CA，∴∠A＝60°
∴∠BOC＝120°，又∵OB＝OC，
∴∠OBC
（2）过O作OD⊥BC于D，
∵OB＝OC，BC＝6cm，
∴
∵，
∴
（3）∵
∴
即阴影部分面积是。
常见错误：此题常见的问题是不会运用正三角形这一条件，从而无法证明∠OBC＝30°；当然，解直角三角形失误，求扇形面积时公式记错产生的错误，也是考试中的常见错误，应引起警惕。
例9. 一个圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。
点悟：如图7所示，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半径r。由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即Rt△SOA，且SO＝10，SA＝l，OA＝r，关键找出l与r的关
系，又其侧面展开图是半圆，可得关系，即。
图7
解：设圆锥底面半径为r，扇形弧长为C，母线长为l，
由题意得
∴①
在Rt△SOA中，②
由①、②得：。
∴所求圆锥的侧面积为
。
例10. 圆锥的轴截面是等腰△PAB，且PA＝PB＝3，AB＝2，M是AB上一点，且PM＝2，那么在锥面上A、M两点间的最短距离是多少？
点悟：设圆锥的侧面展开图是扇形PBB'，A点落在A'点，则所求A'、M之间的最短距离就是侧面展形图中线段A'M的长度。
解：如图8所示，扇形的圆心角＝360°
图8
∴∠A'PB＝60°，在△A'PM中，过A'作A'N⊥PM于N，
则∴，
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、填表
（1）已知：正n边形边长为a
（2）已知：正n边形半径R
二、填空题：
1. 如果扇形半径长3cm，圆心角120°，则它的面积是_____________cm2。
2. 若圆锥母线长5cm，高3cm，则其侧面展开图的圆心角是_____________度。
3. 若圆锥底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图面积是_____________cm2。
4. 有一圆柱状玻璃杯，底面半径3cm，高为8cm，今有一长12cm
的吸管斜放入杯中，若不考虑吸管粗细，则吸管最少露出杯口处的长度是_____________cm。
5. 用一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片做成一圆锥侧面，那么圆锥底面半径是_____________cm。
6. 如图1，正方形ABCD边长为2，分别以AB、BC为直径在正方形内作半圆，则图中阴影部分面积为_____________平方单位。
图1 图2
7. 如图2，AB＝2cm，∠AOB＝90°，AO＝BO，以O为圆心，OA为半径作弧AB，以AB为直径做半圆AmB，则半圆和弧AB所围阴影部分面积是_____________cm2。
8. 若圆锥侧面积为，母线长5cm，则圆锥的高为_____________cm。
9. 圆柱表面积为，它的高为2cm，则底面半径为_____________cm。
10. 矩形ABCD中，AC＝4cm，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋转一周，得到圆柱表面积为_____________cm2。
三、解答题：
11. 已知扇形的半径为，它的面积恰好等于一个半径为
的圆面积，那么这个扇形的圆心角为多少度？
12. 如图3，已知半圆O，以AD为直径，AD＝2cm，B、C是半圆弧的三等分点，求图中阴影部分面积。
图3
13. 已知如图，割线PCD过圆心O，且PD＝3PC，PA、PB切⊙O 于点A、B，∠PAB＝60°，PA＝，AB与PD相交于E，求弓形ACB的面积。
【试题答案】
一、填表：
（1）
（2）
二、填空题：
1. 2. 288 3.
4. 2
5. 10
6.
7. 1 8. 4cm 9. 3cm
10.
三、解答题：
11. 解：由题意，设所求圆心角为°，则
答：所求扇形圆心角为60°
12. 解：连结OB、OC
∵
∴
13. 解：连结OA、OB，在Rt△AEP中，∠PAB＝60°∴∠APD＝30°
在Rt△OAP中，
∴∠AOP＝60°，OA＝4，PO＝8
∴∠AOB＝120°
∴
由题意，PD＝3PC
∴
PC＝4，PD＝12
∴CD＝8
由题意：
∴
∴OE＝3
∴
∴
圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式
刘老师 圆柱的侧面积=底面圆周长×高 字母表示：S 侧=C 底h 2． 底面圆周长=圆周率×直径=圆周率×2×半径 字母表示：C 底=πd=2πr 3． 求圆柱的表面积三步： （1）圆柱的底面积=S 底=πr2=π（d÷2）2=πd2÷4 （2）圆柱侧面积=S 侧=h×C 底（底面圆周长）=2πrh=πdh （3）圆柱表面积=S 表=S 侧+2S 底 圆柱体积的公式 圆柱的体积=底面积×高 字母表示：V 柱=S 底h 圆锥体积的公式 （1） 圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的1/3 V 锥=V 柱÷3=S 底h÷3 （2） 已知圆锥底面积（S ）和高（h ），求体积的公式：V 锥=S 底h÷3 （3） 已知圆锥体积（V ）和高（h ），求底面积的公式：S 底=3V 锥÷h （4） 已知圆锥体积（V ）和底面积（S ），求高的公式：h=3V 锥÷S 底 板块一 圆柱与圆锥 【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的 表面积是多少平方米？(π取3.14) 1110.51 1.5 例题精讲 圆柱与圆锥
【例 2】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【例 3】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14 =) 【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14 =) 【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
圆锥表面积公式
圆锥体表面积公式的推导 在上《圆柱与圆锥》这单元中的圆锥时，蔡老师运用实物教学向我们详细地介绍了圆锥的特点。之后蔡老师问了一句:“你们还想知道有关圆锥的哪些内容呢？” “表面积！” “体积！”看来大多数同学竟和我的想法一样，真是英雄所见略同啊！ “圆锥的表面积等你们到初三再学，现在我们来看体积。”蔡老师只满足了我们的一个愿望。 “唉！为什么还要等三年呀！”见大家都无精打采了，蔡老师解释说“求圆锥体的表面积得用上母线l以及扇形圆心角的度数，这些对你们来说太深奥了，有兴趣的同学可以自己试着推算，遇到不懂的到办公室找我。” 我的兴趣被蔡老师的解释彻底吊起来了，好，非得把这难题攻克！回到家里，我苦思冥想，在多次检验之后，我终于推导出圆锥的表面积公式。推导过程如下： 如果用r来表示底面半径，l表示圆锥的母线，n°表示圆锥侧面扇形的圆心角的度数，则底面周长为2πr,所以扇形的弧线长度也为2πr，而弧线长度（扇形所占圆周长）就等于n°／360°.扇形所占圆是以以母线l为半径的，所以它的周长为2πr，得出 n／360 = 2πr／2πl = r／l r／ l就是弧线长度与扇形所占圆周长之比，也就是扇形与扇形所占圆的面积之比。所以，只需求出扇形所占圆的面积再乘以r／l便可以得出扇形的面积。而扇形所占圆的面积为πl2，即可得出： S侧 = πl2×r／l = πrl 向前再推一步，又得出扇形面积的计算公式：
S侧 =πrl =1/2×2πr×l = 1/2×底面弧线长× 母线长 由此推导出圆锥侧面扇形面积等于πrl ，等于3．14乘以底面半径再乘以母线即可。圆锥的表面积为侧面积加底面积，又为： S表 = S侧＋S底 =πrl＋πr2 =πrl＋πr×r =πr(l＋r) 由此得出圆锥表面积计算公式。这样，在制作圆锥时可以根据底面圆来确定侧面扇形圆心角的度数，也可以不剪开一个圆锥就知道它的表面积了。 中学数学教材中知识点的抽象性和隐含性比其它学科显得更为突 出．数学中的知识点要通过想象思维和逻辑推理才能揭示，由于学生受思维和推理能力的限制，以及没有阅读数学课本的习惯，许多学生对数学教材看不懂，不理解．为了完成中学数学的教学目的和任务，首先教师要认真钻研和熟悉教材，把蕴藏在教材中那些隐含的知识点挖掘出来，帮助学生理解教材和掌握教材，以培养学生的研究能力．
圆锥表面积公式
圆锥体表面积公式的推导 圆锥体表面积公式的推导 在上《圆柱与圆锥》这单元中的圆锥时，蔡老师运用实物教学向我们详细地介绍了圆锥的特点。之后蔡老师问了一句:“你们还想知道有关圆锥的哪些内容呢？” “表面积！” “体积！”看来大多数同学竟和我的想法一样，真是英雄所见略同啊！ “圆锥的表面积等你们到初三再学，现在我们来看体积。”蔡老师只满足了我们的一个愿望。 “唉！为什么还要等三年呀！”见大家都无精打采了，蔡老师解释说“求圆锥体的表面积得用上母线l以及扇形圆心角的度数，这些对你们来说太深奥了，有兴趣的同学可以自己试着推算，遇到不懂的到办公室找我。” 我的兴趣被蔡老师的解释彻底吊起来了，好，非得把这难题攻克！回到家里，我苦思冥想，在多次检验之后，我终于推导出圆锥的表面积公式。推导过程如下： 如果用r来表示底面半径，l表示圆锥的母线，n°表示圆锥侧面扇形的圆心角的度数，则底面周长为2πr,所以扇形的弧线长度也为2πr，而弧线长度（扇形所占圆周长）就等于n°／360°.扇形所占圆是以以母线l为半径的，所以它的周长为2πr，得出 n／360 = 2πr／2πl = r／l r／ l就是弧线长度与扇形所占圆周长之比，也就是扇形与扇形所占圆的面积之比。所以，只需求出扇形所占圆的面积再乘以r／l便可以得出扇形的面积。而扇形所占圆的面积为πl2，即可得出： S侧 = πl2×r／l = πrl 向前再推一步，又得出扇形面积的计算公式：
S侧 =πrl =1/2×2πr×l = 1/2×底面弧线长× 母线长 由此推导出圆锥侧面扇形面积等于πrl ，等于3．14乘以底面半径再乘以母线即可。圆锥的表面积为侧面积加底面积，又为： S表 = S侧＋S底 =πrl＋πr2 =πrl＋πr×r =πr(l＋r) 由此得出圆锥表面积计算公式。这样，在制作圆锥时可以根据底面圆来确定侧面扇形圆心角的度数，也可以不剪开一个圆锥就知道它的表面积了。 中学数学教材中知识点的抽象性和隐含性比其它学科显得更为突出．数学中的知识点要通过想象思维和逻辑推理才能揭示，由于学生受思维和推理能力的限制，以及没有阅读数学课本的习惯，许多学生对数学教材看不懂，不理解．为了完成中学数学的教学目的和任务，首先教师要认真钻研和熟悉教材，把蕴藏在教材中那些隐含的知识点挖掘出来，帮助学生理解教材和掌握教材，以培养学生的研究能力．
圆柱和圆锥相关公式和规律
圆柱侧面积和表面积 圆柱的侧面展开图：可能是长方形，也可能是正方形。可能是平行四边形 ①侧面展开是长方形，长方形的长是圆柱底面周长C，长方形的宽是圆柱的高h。 圆柱的侧面积就是长方形的面积 圆柱侧面积=底面周长×高 底面周长=圆柱侧面积÷高高=圆柱侧面积÷底面周长 ②侧面展开是正方形：底面周长=高=正方形的边长。 圆柱的侧面积就是正方形的面积 S侧=2πr×2πr=4π×S底面积 S表=S侧+2S底，因为S侧=Ch，S底=πr2，所以S表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2 用乘法分配率得圆柱的表面积公式 =2πr(h+r) ③圆柱的表面展开图：一个长方形和两个圆形，长方形的长就是圆柱底面的周长C， 长方形的宽就是圆柱的高h。还有两个底面是圆形 圆柱体积的计算方法 把圆柱体拼成一个近似的长方体：长方体底面积等于圆柱底面积，长方体的高等于圆柱的高，因为长方体体积=底面积×高，所以圆柱体积=底面积×高 长方体的长a就是圆柱的底面周长的一半πr; 长方体的宽b就是圆柱的半径r; 长方体的高h等于圆柱的高h 圆柱的体积等于长方体的体积; 难点：★把圆柱体转化成长方体，体积不变，表面积增加了左、右两个面的面积=r×h ×2=dh ★圆柱的侧面积=长方体的前、后两个面积的和(底面周长×高)；圆柱的上、下底面和等于长方体的上、下底面和(长×宽×2)，所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左、右两个侧面(宽×高×2)。 V柱=S底×h柱 S底= V柱÷h柱 h柱= V柱÷S底 圆锥体积的计算方法 等底等高：圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的三分之一。 相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。
圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式
立体图形 表面积 体积 圆柱 h r 222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积 2πV r h =圆柱 圆锥h r 22ππ360 n S l r =+= +圆锥侧面积底面积 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21 π3 V r h =圆锥体 板块一 圆柱与圆锥 【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的 表面积是多少平方米？(π取3.14) 1110.51 1.5 【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直 径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【例 3】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那 么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 例题精讲 圆柱与圆锥
【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这 ) 个油桶的容积．(π 3.14 = 【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14 =) 【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？ 【例 6】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2 2008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2 cm．(π取3.14)
六年级圆柱和圆锥的计算公式
一、圆柱：1、怎样求圆柱的侧面积 ①知道圆柱的底面周长和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=底面周长×高。（公式：S侧=C h） 例：圆柱的底面周长是31.4米，高是2米，侧面积是多少？ 用公式：S侧=C×h 31.4×2=62.8（平方米） ②知道圆柱的底面直径和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=π×底面直径×高。(公式：S侧=πd h) 例：一个圆柱的底面直径是4米，高是10米，侧面积是多少？ 用公式：S侧=π×d×h 3.14×4×10=125.6（平方米） ③知道圆柱的底面半径和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=2π×底面半径×高。(公式：S侧=2πd h) 例：一个圆柱的底面半径是5米，高是10米，侧面积是多少？用公式：S侧=2π×d×h2×3.14×5×10=314（平方米）2、怎样求圆柱的底面积：（因为圆柱的底面是一个圆。求圆柱 的底面积必须知道圆柱底面圆的半径。） 所以圆柱的底面积公式是: S底面积=πr2 例：一个圆柱的底面半径是3米，高是8米，底面积是多少？ 用公式：S底面积=πr2 3.14×32=28.26（平方米） 3、怎样求圆柱的表面积：因为圆柱体包括一个侧面积和两个
底面积。 (有时让求一个，如求水桶的表面积，这时应计算一个底面积) 计算方法：用上面的圆柱的侧面积和圆柱的底面积相加即可。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积×2 公式：S 表面积=S 侧面积+S 底面积×2（有时候不用乘2, 如求水桶的表面积） 4、怎样求圆柱的体积： 圆柱的体积=底面积×高 公式：V 圆柱=S 底面积×h （公式：V 圆柱 =πr 2×h ） 例：圆柱的底面半径是5米，高是4米，圆柱的体积是多少？ 用公式：V 圆柱=πr 2×h 3.14×55×4=314（立方米） 二、怎样求圆锥的体积 圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。 圆锥的体积= 底面积×高 公式：V 圆锥= S 底面积×h 公式：V 圆锥= πr 2×h 注：因为圆锥的底面是一个圆，所以圆锥的底面积（S 底面积） 计算公式是：S 底面积=πr 2 例题： 一个圆锥形的煤堆，底面半径是 1.5 米，高是 1.2 米。这堆 煤有多少立方米？ 用公式：V 圆锥 = πr 2×h ×3.14×1.52×1.2=2.826(m 3 ) 知道圆锥的体积和底面积，求圆锥的高。 圆锥÷S 底面积 知道圆锥的体积和高，求圆锥的底面积。圆锥÷h 31313 13131
扇形圆柱圆锥面积公式及计算
扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图 ［学习目标］ 1. 掌握基本概念：正多边形，正多边形的中心角、半径、边心距以及平面镶嵌等。 2. 扇形面积公式： n是圆心角度数，R是扇形半径，l是扇形中弧长。 3. 圆柱是由矩形绕一边旋转360°形成的几何体，侧面展开是矩形，长为底面圆周长，宽为圆柱的高 r底面半径h圆柱高 4. 圆锥侧面积 圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转360°形成的几何体。 侧面展开是扇形，扇形半径是圆锥的母线，弧长是底面圆周长。 5. 了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成，明确圆柱的高和母线，它们相等。 6. 了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成，明确圆锥的高和母线，知道可以通过解高、母线、底面半径所围直角三角形，解决圆锥的有关问题。 7. 圆柱 圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。如图所示，若圆柱的
底面半径为r，高为h，则：， 。 8. 圆锥 圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥底面的周长。因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则 。 ［重点、难点］ 扇形面积公式及圆柱、圆锥侧面积公式的理解和灵活应用。 【典型例题】
例1. 已知如图1，矩形ABCD中，AB＝1cm，BC＝2cm，以B为圆心，BC为半径作圆弧交AD于F，交BA延长线于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面积。 图1 解：∵AB＝1，BC＝2，F点在以B为圆心， BC为半径的圆上， ∴BF＝2，∴在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，∠ABF＝60° ∴ 例2. 已知扇形的圆心角150°，弧长为，则扇形的面积为____________。 解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R， 由弧长公式，得： ∴ 由扇形面积公式，，故填。
圆柱圆锥常用的表面积体积公式
圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式 板块一 圆柱与圆锥 【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的 表面积是多少平方米？(π取3.14 ) 1110.51 1.5 【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直 径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 例题精讲 圆柱与圆锥
【例 3】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14 =) 【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14 =) 【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？
【例 6】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2 2008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2 cm．(π取3.14) 第2题 【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3 =) 【例 7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？(π 3.14 =) 【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件 的表面积和体积． 【例 9】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？
圆柱和圆锥的公式
圆柱和圆锥的公式和应用一：圆柱和圆锥 圆的周长=圆柱和圆锥底面的周长 圆的周长=2×圆周率×半径 半径=圆的周长÷圆周率÷2 c=2∏r r=c÷∏÷2 圆的周长=圆周率×直径 直径=圆的周长÷圆周率 c=∏d d= c÷∏ 圆的面积=圆柱和圆锥地面的面积 圆的面积=圆周率×半径的平方 s底=∏×r×r 二：圆柱侧面积
圆柱侧面积=底面周长×圆柱的高 S侧=c×h 因为：c=2∏r c=∏d 所以圆柱侧面积还可以写出： s侧=2∏r h 或s侧=∏d h 知道圆柱侧面积和圆柱的高，怎么求底面周长、底面直径和底面半径？ 底面周长=圆柱侧面积÷圆柱的高 C=s侧÷h 底面直径=圆柱侧面积÷圆柱的高÷圆周率 d=s侧÷h÷∏ 底面半径=圆柱侧面积÷圆柱的高÷圆周率÷2 r=s侧÷h÷∏÷2 三：圆柱的表面积： 表面积：圆柱的表面积=底面周长×高+底面面积×2 S表=c×h+ ∏×r×r×2 典型情况：做一个油桶需要多少平方米的铁皮。
（需要计算一个侧面积+二个底面面积） 特殊情况：一、（1）做无盖的水桶需要多少平方米的铁皮。 （2）圆柱形的游泳池或水池在四周和底部抹水泥或贴瓷砖。 （只要计算一个侧面积+一个底面积） 二、(1) 做通风管、落水管、烟囱需要多少铁皮。 （2）压路机前轮压过的路面面积。 （只要计算一个侧面积） 四：圆柱的体积 圆柱的体积=底面面积×高 V柱=s底×h 圆柱底面面积=圆柱体积÷圆柱的高 S底=v÷h 圆柱的高=圆柱的体积÷圆柱底面面积 H= v÷S底 五：圆锥的体积 圆锥的体积=圆锥底面积×高÷3 V锥=s底×h÷3 圆锥的底面积=圆锥的体积×3÷圆锥的高 S底=v×3÷h 圆锥的高=圆锥的体积×3÷圆锥的底面积
圆柱和圆锥的公式
圆柱和圆锥 圆的周长=圆柱和圆锥底面的周长 圆的周长=2×圆周率×半径半径=圆的周长÷圆周率÷2 c=2∏r r=c÷∏÷2 圆的周长=圆周率×直径直径=圆的周长÷圆周率 c=∏d d= c÷∏ 圆的面积=圆柱和圆锥地面的面积 =∏×r×r 圆的面积=圆周率×半径的平方s 底 圆柱侧面积 原柱侧面积=底面周长×圆柱的高 S侧=c×h 因为c=2∏r c=∏d 所以圆柱侧面积还可以写出： s侧=2∏r h 或s侧=∏d h 知道圆柱侧面积和圆柱的高，怎么求底面周长、底面直径和底面半径？ 底面周长=圆柱侧面积÷圆柱的高 C=s侧÷h 底面直径=圆柱侧面积÷圆柱的高÷圆周率 d=s侧÷h÷∏ 底面半径=圆柱侧面积÷圆柱的高÷圆周率÷2 r=s侧÷h÷∏÷2 圆柱的表面积 表面积：圆柱的表面积=底面周长×高+底面面积×2 S表=c×h+ ∏×r×r×2 典型情况：做一个油桶需要多少平方米的铁皮。 （需要计算一个侧面积+二个底面面积） 特殊情况：一、（1）做无盖的水桶需要多少平方米的铁皮。 （2）圆柱形的游泳池或水池在四周和底部抹水泥或贴瓷砖。 （只要计算一个侧面积+一个底面积） 二、(1) 做通风管、落水管、烟囱需要多少铁皮。 （2）压路机前轮压过的路面面积。 （只要计算一个侧面积） 圆柱的体积 圆柱的体积=底面面积×高 V柱=s底×h 圆柱底面面积=圆柱体积÷圆柱的高 S底=v÷h 圆柱的高=圆柱的体积÷圆柱底面面积 H= v÷S底
圆锥的体积 圆锥的体积=圆锥底面积×高 V锥=s底×h÷3 圆锥的底面积=圆锥的体积×3÷圆锥的高 S底=v×3÷h 圆锥的高=圆锥的体积×3÷圆锥的底面积 h=v×3÷S底 圆柱和圆锥面积和体积计算时的注意事项 1、看清楚题目中的单位一不一样，最好在所有单位下面画出横线。 （例：一个圆柱底面积是31.4平方厘米，高是3分米） 2、看清楚求面积还是求体积，一般可以从单位看出来。 （例：做一个水桶需要多少平方米铁皮-----肯定是求面积的。） （例：这个水桶可以盛水多少立方分米-----肯定是求体积的） （例：平均每平方米用油漆0.3千克，至少要有油漆多少千克，---要求面积的）（例：每立方米稻谷重0.85吨，这堆稻谷重多少吨？-----肯定要求体积的） 等底等高的圆柱和圆锥的体积的关系 等底等高，等底包括四种情况（底面周长、直径和半径相等） 1、等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍，圆锥的体积是圆柱的1 3 。等底等高的 圆柱的体积比圆锥体积多2倍，等底等高的圆柱的体积比圆锥体积多200%， 等底等高圆锥的体积比圆柱体积少2 3 ，等底等高圆锥的体积比圆柱体积少 66.7%。 2、体积和底面积相等，圆柱的高是圆锥的高的1 3 ，圆锥的高是圆柱的3倍。 3、体积和高相等，圆柱的底面积是圆锥的底面积的1 3 ，圆锥的底面积是圆柱的 底面积的3倍。
圆锥表面积的推导
圆锥[编辑] 维基百科，自由的百科全书 跳转至：导航、搜索 一个正圆锥和一个斜圆锥。 圆锥也称为圆锥体，是一种三维几何体，是平面上一个圆以及它的所有切线和平面外的一个定点确定的平面围成的形体。圆形被称为圆锥的底面，平面外的定点称为圆锥的顶点或尖端，顶点到底面所在平面的距离称为圆锥的高。通常“圆锥”一词用来指代正圆锥，也就是圆锥顶点在底面的投影是圆心时的情况。正圆锥可以定义为一个直角三角形绕其中一条直角边旋转一周得到的几何体，这个直角三角形的斜边称为圆锥的母线。顶点在底面的投影不在圆心，这样的圆锥称为斜圆锥。正圆锥可以由平面截圆锥面得到，斜圆锥则不能。倾斜平面截取圆锥面得到的几何形体叫做椭圆锥。 目录 [隐藏] ? 1 性质 o 1.1 体积 o 1.2 表面积和侧面积 o 1.3 体重心 ? 2 参考资料 ? 3 参见 性质[编辑] 正圆锥是基本的旋转体之一，由直角三角形以其中一条直角边所在的直线为旋转轴进行旋转得到。三角形的斜边长称为圆锥的斜高。 体积[编辑] 设圆锥的底面圆半径为，圆锥的高为，底面圆面积为，体积为，那么圆锥体的体积可以通过以下公式计算： 其中底面圆面积： 圆锥的体积公式可以从祖暅原理推出。祖暅原理说明，如果两个高度相同的立体形体在所有等高截面上面积都相等，那么它们体积相等。以圆锥底面为基准面，放置一个底面积为
的正方锥，那么，在任何的高度上，与基准面平行的平面截圆锥的截面面积 都等于截正方锥的截面面积。所以圆锥的体积等于正方锥的体积，也就是。[1]另外， 用现代的定积分方法也可以直接计算圆锥的体积公式。 表面积和侧面积[编辑] 正圆锥的侧面可以展开为平面上的一个扇形。这个扇形所在的圆半径就是圆锥的斜高，对应的圆弧长为底部圆形的周长。设圆锥的斜高为，斜高可以表示为：。设圆锥的表面积为，侧面积为，侧面积（也就是扇形的面积）可以用以下公式计算： 表面积等于侧面积与底面圆面积的和，也就是： 体重心[编辑] 若实心正圆锥的质量平均分布，其质心位于底面圆心与顶点连线上离顶点处。 参考资料[编辑] 1.^应用祖暅原理求圆锥曲线绕轴旋转所得旋转体的体积. 参见[编辑] ?棱锥：底面不同
圆柱与圆锥的公式
第二单元圆柱和圆锥 1、圆柱的特征： （1）底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。 （2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。 （3）高的特征：圆柱有无数条高。 2、圆柱的高：两个底面之间的距离叫做高。 3、圆柱的侧面展开图： 当沿高展开时展开图是（长方形）； 这个长方形的长等于（圆柱的底面周长），长方形的宽等于（圆柱的高）。这个长方形的面积等于（圆柱的侧面积），因为长方形面积=长×宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高 当底面周长和高相等时，沿高展开图是（正方形）； 当不沿高展开时展开图是（平行四边形）。 4、圆柱的侧面积： 圆柱的侧面积=底面的周长×高， 用字母表示为：S侧=Ch。h=S侧÷C C= S侧÷h S侧=∏dh=2∏rh 5、圆柱的表面积： 圆柱的表面积=侧面积+底面积×2。 即S表= S侧+ S底×2 =Ch+∏(C÷∏÷2)2×2 =∏dh+∏(d÷2) 2×2 =2∏rh+∏r2×2 （计算时最好分步使用公式，以免出现计算错误。） 6、圆柱表面积在实际中的应用: 无盖水桶的表面积=侧面积+一个底面积 油桶的表面积=侧面积+两个底面积 烟囱通风管的表面积=侧面积 只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装 侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池 侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类 7、圆柱的体积：V=Sh h=V÷S S=V÷h V=∏r2h （已知r） V=∏(d÷2) 2h （已知d） V=∏(C÷∏÷2)2h （已知C）
8、把一个圆柱体切分成若干份拼成一个近似的长方体，在这个过程中，形状发生了变化，体积没有发生变化。表面积增加了2rh. 9、圆锥的特征： （1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。 （2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 （3）高的特征：圆锥有一条高。 10、圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 11、圆锥的体积：圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍，反之圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。 V锥=1 3 V柱= 1 3 Sh V锥= 1 3 ∏r2h V锥= 1 3 ∏(d÷2)2h V锥= 1 3 ∏(C÷∏÷2)2h 12、圆柱与圆锥的关系： （1）与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。 （2）体积和高相等的圆锥与圆柱（等底等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 （3）体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍。 13、生活中的圆锥：沙堆、漏斗、帽子。 典型题： 1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形，它的高是底面直径的∏倍， 即h=C=∏d,它的侧面积是S侧=h2 2、圆柱的底面半径扩大2倍，高不变，表面积扩大2倍，体积扩大4倍。 3、圆柱的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8
圆柱与圆锥的相关概念
圆柱与圆锥的相关概念 圆柱的认识 1、圆柱：把一个长方形绕它的一条边旋转一周形成的图形就是圆柱。 2、圆柱上下两个面叫做底面，它们是面积相等的两个圆。 3、圆柱两底面之间的距离叫做高。周围的面叫做侧面，圆柱的侧面是曲面。 4、圆柱的侧面展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 5、计算公式： 圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积 =ch = s表=s侧+s底×2= 即S 侧 6、圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积． 7、求圆柱的体积跟求长方体、正方体一样，都是底面积×高 圆柱的体积=圆柱的底面积×高，即V=sh = 圆锥的认识 1、圆锥：把一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的图形就是圆锥。 2、圆锥只有一个底面，底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。 3、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 4、把圆锥的侧面展开得到一个扇形 两个底面之间的距离是圆柱体的高，圆柱有无数条高，且高的长度都相等。 圆柱体的侧面是一个曲面。 圆柱的侧面积=底面周长x高 圆柱的表面积=侧面积+底面积x2 圆柱的体积=底面积x高 如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，圆柱的体积公式可以写成：V=Sh 体积是等底等高圆锥体的3倍 圆锥体特点: 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3 将圆锥的侧面积不成曲线的展开，是一个扇形
圆锥有一个底面，一个顶点，只有一条高! 圆锥体的表面积=1/2×母线×底面周长＋底面积 圆锥体积公式： V＝1/3Sh S是底面积，h是高，r是底面半径 与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。 体积和高相等的圆锥与圆柱（等底等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的倍。
六年级数学下册《圆柱与圆锥》知识点
六年级数学下册《圆柱与圆锥》知识点 知识点 圆柱是由两个底面和一个侧面三部分组成的。 圆柱的两个圆面叫做底面。 底面各部分的名称：圆柱的底面圆的圆心、半径、直径和周长分别叫做圆柱的底面圆心、底面半径、底面直径和底面周长。 底面的特征：圆柱底面是完全相同的两个圆。 圆柱周围的面叫做侧面。 特征：圆柱的侧面是曲面。 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 一个圆柱有无数条高。 把圆柱平行于底面进行切割，切面是和底面大小相同的两个圆;把圆柱沿底面直径垂直于底面进行切割，切面是两个完全相同的长方形。 圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 在圆柱的上下底面周长上任取一点分别为A、B，连接AB，沿着AB将圆柱的侧面剪开，圆柱展开后是一个平行四边形。 温馨提示：圆柱的底面是圆形，面不是椭圆。
温馨提示：沿高剪开时，圆柱的侧面展开图是一个长方形。 0.从圆柱的上下两个底面观察会得到圆;从圆柱的正面或侧面观察会得到长方形。 1.如果圆柱的侧面展开图是个长方形，那么该圆柱的底面周长大约是其底面直径长度的3倍。如果圆柱的侧面展开图是个正方形，那么该圆柱的高大约是其底面直径长度的3倍。 圆柱的侧面积=底面周长×高。如果用字母S表示圆柱的侧面积，用c表示底面周长，用h表示高，则圆柱的侧面积的计算公式是S=ch 3.已知圆柱的底面直径和高，可以根据公式：S=πdh直接求出圆柱的侧面积。 已知圆柱的底面半径和高，可以根据公式：S=2πrh直接求出圆柱的侧面积。 圆柱的表面积是指圆柱的侧面积和两个底面的面积之和。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2，用字母表示为S表=S侧+2S底。 已知圆柱的底面半径和高，可以根据公式：S表=2πrh+2πr2直接求出圆柱的表面积。 已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的表面积时，可以根
圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式(学习资料)
知识类+ 1 立体图形 表面积 体积 圆柱 h r 222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积 2πV r h =圆柱 圆锥h r 22ππ360 n S l r =+= +圆锥侧面积底面积 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21 π3 V r h =圆锥体 板块一 圆柱与圆锥 【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的 表面积是多少平方米？(π取3.14) 1110.51 1.5 【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直 径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 例题精讲 圆柱与圆锥
知识类+ 2 【例 3】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那 么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这 个油桶的容积．(π 3.14=) 16.56m 【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体 的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=) 10cm 【例 5】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表 面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的 表面积是多少？ 4cm
六年级数学圆柱和圆锥概念及公式汇总整理
《圆柱和圆锥》概念公式整理 一、概念整理： 1.圆柱的特征：有2个底面，1个侧面，两个底面是面积相等的圆形。侧面是一个曲面。两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高。 2.沿着高剪开，圆柱的侧面展开得到一个长方形（特殊情况是一个正方形），长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高，长方形的面积相当于圆柱的侧面积。 3.当圆柱的侧面展开得到一个正方形时，圆柱的底面周长和高相等。 4.求圆柱的表面积时要根据实际情况分析： （1）只求侧面积：商标纸、通风管、压路机前轮滚动、烟囱等 （2）求侧面积+一个底面积：水池、笔筒、帽子、无盖水桶等 5.把圆柱的底面分成许多相等的扇形，切开后可拼成一个近似长方体，长方体的长相当于圆柱底面周长的一半（∏r），长方体的宽相当于圆柱的底面半径（r），长方体的高相当于圆柱的高（h），长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的体积等于圆柱的体积。 6.把一个圆柱拼成一个长方体后，体积不变， 表面积增加了2rh。（如图：增加了长方体左右两个面） 7.把一个圆柱沿着高切开，表面积增加了两个底面积（∏r2×2）； 把一个圆柱没着底面直径切开，表面积增加了两个长方形（dh×2）。 8.示例：长方形的长是10厘米，宽是5厘米， 以长为轴旋转，圆柱体的r=5厘米，h=10厘米。h=5 r=10 r=5 h=10
以宽为轴旋转，圆柱体的r=10厘米，h=5厘米。 9.直角三角形的两条直角边分别是3厘米、4厘米， 以任意一条直角边为轴旋转，均可得到圆锥。 10.圆锥有2个面，底面是一个圆形，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。 11.圆锥的侧面展开是一个扇形，扇形的弧长就是圆锥的底面周长。 12.等底等高的情况下，圆锥体积是圆柱体积的3 1 ，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 13.把一个正方体加工成一个最大的圆柱（或圆锥），正方体的棱长等于圆柱 （或圆锥）的底面直径，正方体的棱长也等于圆柱（或圆锥）的高。 14.把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的3 1 削去部分的体积是圆柱体积的3 2 14.把一个圆锥切成两个半圆锥，表面积增加了两个三角形的面积（dh ）。 15.蛋糕上打十字形丝带， 丝带的长度=4d+4h+打结的长度 16.一个圆柱锯掉一段后，表面积减少的部分是锯掉部分的侧面积。 3 4 4 3
(完整版)圆柱与圆锥题型归纳
圆柱圆锥常考题型归纳 一、圆柱 1. 圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。 圆柱也可以由长方形卷曲而得到。 （两种方式：1.以长方形的长为底面周长，宽为高;2.以长方形的宽为底面周长，长为高。 其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。） 2．圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的。 3.圆柱的切割：a.横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即22S R π=增。 b.竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R ，切面为正方形），该长 方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的 面积，即S 增=4Rh 4. 圆柱的侧面展开图：a. 沿着高展开,展开图形是长方形，如果2h R π=，展开图形为 正方形。 b. 不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形。 c.无论如何展开都得不到梯形 5、圆柱的相关计算公式： a ．底面积：2=S R π底 b ．底面周长：2C d r ππ== c ．侧面积：2S Rh π=侧 d ．表面积 ：S=2S 底+S 侧 =222R Rh ππ+ e ．体积 ： 2 V R h π= 考试常见题型：a. 已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长 b. 已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积 c. 已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积 d. 已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积， e. 已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积 以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。 二、圆锥 1、圆锥的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的。 圆锥也可以由扇形卷曲而得到。 2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高 3、圆锥的切割：a.横切：切面是圆 b.竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高 是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，表面积增加两个等腰三角形的面积， 即S 增=2Rh 4、圆锥的相关计算公式a. 底面积：2=S R π底
00人教版六年级数学下册圆柱与圆锥知识点
圆柱与圆锥知识点 一、圆柱的认识 1、圆柱的初步认识 像茶叶筒、罐头盒、木墩等物体的形状都是圆柱形。 2、圆柱各部分的名称 圆柱是由两个底面和一个侧面三部分组成的。 底面：圆柱的两个圆面 侧面：圆柱周围的面 高：圆柱两个底面之间的距离 3、圆柱的特征 底面：是完全相同的两个圆 侧面：是曲面 高：一个圆柱有无数条高 4、圆柱的侧面、底面及其之间的关系 圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高 二、圆柱的表面积 1、圆柱侧面积的计算方法 圆柱的侧面积=底面周长?高。 S 表示侧面积，C 表示底面周长，h 表示高，S=Ch 2、圆柱侧面积计算公式的应用 ①已知圆柱的底面直径和高：S=πdh ②已知圆柱的底面半径和高：S=2πrh 3、圆柱表面积的意义和计算方法 圆柱表面积=圆柱的侧面积+底面积?2 4、圆柱表面积计算公式的应用 ①已知圆柱的底面半径和高：S=2πrh+2π2r ②已知圆柱的底面直径和高：S=πdh+2π2)2(d 推导出S=πdh+2 1π2d ③已知圆柱的底面周长和高：S=Ch+π22）（π C =Ch+π22C 5、进一法 在取近似值时，根据实际情况把一个数某位后面的数字（不管这个数字比5大还是比5小）舍去并把保留部分最后一位数字加上1，这种取近似值的方法叫做“进一法” 三、圆柱的体积 1、圆柱体积的意义和计算公式 ①一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积。
②圆柱的体积=底面积?高，V=Sh 2、圆柱的体积计算公式的应用 ①已知圆柱的底面半径和高：V=π2r h ②已知圆柱的底面直径和高：V=π2)2 (d h ③已知圆柱的底面周长和高：V=π22）（π C h 四、圆锥 1、圆锥的初步认识 像沙堆、陀螺等物体的形状都是圆锥 2、圆锥各部分的名称 圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的。 底面：圆锥的圆面 侧面：圆锥周围的面 高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离 3、圆锥的高的测量方法 ①先把圆锥的底面放平 ②用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面 ③竖直地量出平板和底面之间的距离，就是圆锥的高 4、圆锥的特征 底面：是一个圆 侧面：是一个曲面 高：只有一条高 五、圆锥的体积 1、圆锥体积的计算公式 圆锥V=31圆柱V=3 1Sh 2、圆锥的体积计算公式的应用 ①已知圆锥的底面半径和高，求圆锥体积：V= 3 1π2r h ②已知圆锥的底面直径和高，求圆锥体积：V=31π2)2(d h=121π2d h ③已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积：V=3 1π22）（πC h=π122h C
六年级圆柱和圆锥的计算公式
一、圆柱：1、怎样求圆柱的侧面积姓名： ①知道圆柱的底面周长和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=底面周长×高。（公式：S侧=C h） 例：圆柱的底面周长是31.4米，高是2米，侧面积是多少？ 用公式：S侧=C×h 31.4×2=62.8（平方米） ②知道圆柱的底面直径和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=π×底面直径×高。(公式：S侧=πd h)例：一个圆柱的底面直径是4米，高是10米，侧面积是多少？ 用公式：S侧=π×d×h 3.14×4×10=125.6（平方米）③知道圆柱的底面半径和高。★用下面公式计算： 圆柱的侧面积=2π×底面半径×高。(公式：S侧=2πr h) 例：一个圆柱的底面半径是5米，高是10米，侧面积是多少？用公式：S侧=2π×r×h 2×3.14×5×10=314（平方米）2、怎样求圆柱的底面积：（因为圆柱的底面是一个圆。求圆柱 的底面积必须知道圆柱底面圆的半径。） 所以圆柱的底面积公式是: S底面积=πr2 例：一个圆柱的底面半径是3米，高是8米，底面积是多少？ 用公式：S底面积=πr2 3.14×32=28.26（平方米） 3、怎样求圆柱的表面积：因为圆柱体包括一个侧面积和两个底面积。(有时让求一个，如求水桶的表面积，这时应计算一个底面积) 计算方法：用上面的圆柱的侧面积和圆柱的底面积相加即可。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积×2
公式：S 表面积=S 侧面积+S 底面积×2（有时候不用乘2, 如求水桶的表面积） 4、怎样求圆柱的体积： 圆柱的体积=底面积×高 公式：V 圆柱=S 底面积×h （公式：V 圆柱 =πr 2×h ） 例：圆柱的底面半径是5米，高是4米，圆柱的体积是多少？ 用公式：V 圆柱=πr 2 ×h 3.14×52×4=314（立方米） 二、怎样求圆锥的体积 圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。 圆锥的体积= 底面积×高公式：V 圆锥= S 底面积×h 公式：V 圆锥= πr 2×h 注：因为圆锥的底面是一个圆，所以圆锥的底面积（S 底面积） 计算公式是：S 底面积=πr 2 例题： 一个圆锥形的煤堆，底面半径是 1.5 米，高是 1.2 米。 这堆煤有多少立方米？ 用公式：V 圆锥= πr 2×h ×3.14×1.52×1.2=2.826(m 3 ) 知道圆锥的体积和底面积，求圆锥的高。 圆锥÷S 底面积 知道圆锥的体积和高，求圆锥的底面积。圆锥÷h 31313 1313 1
圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式
圆柱与圆锥 例题精讲 板块一圆柱与圆锥 【例 1】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米(π取3.14) 【例 2】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米 【例 3】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示) 【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14 =) 【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米(π 3.14 =) 【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米 【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少
【例 6】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2 2008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2 cm．(π取3.14) 【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3 =) 【例 7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米 (π 3.14 =) 【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积． 【例 9】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升 【例 10】(2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14) 【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米合多少升 【巩固】一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少(π取3) 【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿． 【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米(π3 =) 【例 11】(第四届希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降 ________厘米． 【例 12】有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A盒注满水，把A盒的水倒入B盒，使B 盒也注满水，问A盒余下的水是多少立方厘米