广东省佛山市顺德区2012学年第一学期高三文科数学期末质量检测
2012学年度第一学期高三年级期末质量检测
文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。
2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式：锥体的体积公式：13
V Sh =
（其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
1．已知集合{1,2},{,},a A B a b ==若1
{}2A B = ,则A B 为（ ）
A ．1{,1,}2
b B ．1{1,}2
- C ．1{1,}2
D ．1{1,
,1}2
-
2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则
5i z
=（ ）
A ．2i -
B ．2i +
C ．2i --
D ．2i -+ 3．已知1sin 3
α=
，则cos(2)πα+的值为（ ）
A ．
79
B ．79
- C ．
29
D ．23
-
4．已知{}n a 是等差数列，6720a a +=，7828a a +=，则该数列前13项和13S =（ ） A ．156 B ．132
C ．110
D ．100
5．下列命题中的假命题是（ ）
A ．3
,0x R x ?∈< B ．“0>a ”是“0a >”C ．,20x
x R ?∈> D ．“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件 6．如图，函数()y f x =的图象是折线段ABC （包括端点），
其中A B C ，，的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4）， 则((0))f f = （ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6
D
C
B
A
N
M
A
B
C
D
B 1
C 1
7．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、1C 截去两个角后所得的几何体，
则该几何体的主视图（或称正视图）为（ ）
8．已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线12
2
=+
m
y
x 的离心率为（ ）
A ．
2
3或
2
5 B ．
2
3 C ．5 D ．
2
3或5
9．在右程序框图中，当n ∈N *（n>1）时，函数()n f x 表示函数
1n -f x ()的导函数.若输入函数1sin cos =+()f x x x
，则输出的函
数()n f x 可化为（ ） A
．+x π)4 B
．-x π)4 C
-
x π)
4
D
．+
x π)
4
10．定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的
(,)a m n =
，(,)b p q = ，令a b m q np =- ，下面说法
错误的是（ ）
A ．若a
与b 共线，则0a b = B ．a b b a =
C ．对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=
D ．2
222()()||||a b a b a b +?=
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共５小题，考生作答４小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
11．20(0)(1,1),ax my a m +-=≠直线过点则该直线的倾斜角为 。
第9题图
C B
A
E
F 第15题
kg ）
第12题图 12．为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况，
抽查了该校100名高中男生的体重情况。 根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据 此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 13．若函数2()ln(1)f x x ax =+-是偶函数，则函数的 定义域是 。
★（请考生在以下两个小题中任选一题作答，两题全答的以第14小题计分） 14．（坐标系与参数方程）已知直线:40l x y -+=与圆{12cos 12sin :
x y C θ
θ
=+=+， 则C 上各点到l 的距离的最小值为_______．
15．（几何证明选讲）如图,以4A B =为直径的圆与△ABC 的两边
分别交于,E F 两点，60ACB ∠= ，则E F = .
三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．） 16．（本题满分12分）
已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的一系列对应值如下表：
（1）求()f x 的解析式；
（2）若在A B C ?中，2A C =，3B C =，1()2
f A =-
，求A B C ?的面积．
17．（本题满分12分）
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示
（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；
（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：
2222222
981026109466++++++=，
236112136472
222222=++++++）
18．（本题满分14分）
如图，己知?BCD 中，∠BCD = 900
，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=450，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且EF//CD
（1）求证： EF ⊥平面ABC ；
（2）求此三棱锥A —BCD 的表面积；
（3）若E 、F 分别是AC 、AD 上的中点，求点A 到平面BEF 的距离． 19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n n S a 21=+． （1）求432,,a a a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（3）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
20．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知向量(,4),(,4)a x y b kx y =-=+
（k R ∈），a b ⊥ ，动
点(,)M x y 的轨迹为T ．
（1）求轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当1k =时，已知(0,0)O 、(2,1)E ，试探究是否存在这样的点Q ： Q 是轨迹T 内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ 的面积2O E Q S ?=若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．
21．（本题满分14分）
已知函数3
2
11()(,)32
a f x x x bx a a
b +=
-
++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点.
（1）当1a =时,求函数()f x 的图像在3x =处的切线方程; （2）若存在0x <,使得()9f x '=-,求a 的最大值； （3）当0a >时，求函数()f x 的零点个数.
2012学年度第一学期高三年级期末质量检测
文科数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题 11．3135()4
π?或
12．240 13．(,1)(1,)-∞-+∞ 14
．2 15
．
三、解答题 16．（本题满分12分）
已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的一系列对应值如下表：
（1 （2）若在A B C ?中，2A C =，3B C =，1()2
f A =-
，求A B C ?的面积．
解：（1）由题中表格给出的信息可知，函数()f x 的周期为344
T ππ
π=-
=，
所以22π
ωπ
=
=. ……………………………………………2分
注意到s i n (2()
)04
π??-+=，也即2()2
k k Z π
?π=
+∈，由0?π<<，所以
2
π
?=
………………………………………………4分
所以函数的解析式为()sin(2)2
f x x π
=+（或者()cos 2f x x =） ……………………5分
（2）∵1()cos 22
f A A ==-，∴3
A π
=
或23A π=
……………………………6分
当3
A π
=
时，在A B C ?中，由正弦定理得，
sin sin B C A C A
B
=
，
∴2sin 2sin 33
AC A B B C
??=
=
=
， ……………………………………7分
∵B C
A C >，∴
3
B A π
<=
，∴cos 3
B =
， ………………………………8分
∴1
sin sin()sin cos cos sin 23
2
3
6
C A B A B A B =+=+=+?=，…9分
∴11
sin 232
2
6
2
ABC S AC BC C ?=
???=
???
=
．…………………10分
同理可求得,当23
A π=
时,
11sin 232
2
6
2
ABC S AC BC C ?=
???=???= …………………12分
（注：本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和?方法众多，只要言之有理并能正确求出即给分）.
17．（本题满分12分）
某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示 （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．（参考数据：2222222
981026109466
++++++=，236112136472
222222=++++++） 解：（1）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23……………………2分
（2） 217
32
232224151714=++++++=
甲x ……………………3分
1213
11
23273130
217
x ++++++==乙 ………………………4分
()(
)(
)()()()(
)2
2
2
2
22
2
2
21-1421-1721-15
21-24
21-2221-2321-32
236
7
7
S ++++++=
=
甲 …………………………………………………………………5分
()
()()()()()()
2
222222
2
21-1221-1321-1121-2321-2721-3121-304667
7
S ++++++=
=
乙 ……………………………………………………………6分
2
2S 乙甲<∴S ，从而甲运动员的成绩更稳定 ………………………………7分
（3）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49 ……………………………………………………………………………………8分 其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲得17分有3场，甲得15分有3场，甲得24分有4场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得32分有7场，共计26场 ……10分 从而甲的得分大于乙的得分的概率为2649
P =
………………………………12分
18. （本题满分14分）
如图，己知?BCD 中，∠BCD = 900，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=450
，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且EF//CD
（1）求证： EF ⊥平面ABC ；
（2）求此三棱锥A —BCD 的表面积；
（3）若E 、F 分别是AC 、AD 上的中点，求点A 到平面BEF 的距离．
（1）证明：因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，
又在△BCD 中，∠BCD = 900
，所以，BC ⊥CD ，又AB∩BC ＝B ，
所以，CD ⊥平面ABC ， ………………………………………………3分 又因//E F C D ，所以EF ⊥平面ABC ………………………4分
（2）因CD ⊥平面ABC ，所以CD ⊥AC ，CD ⊥BC ；又因AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥BC 、AB ⊥BD ；
所以三棱锥A-BCD 的四个面都是直角三角形。因BC=CD=2，故
BD=； 又∠ADB = 450，故
BD=AB=，
AC=
==
，所以：
11112
2
2
2
11112222682
2
2
2
AC D ABC BC D ABD S S S S S AB BC BC C D AB BD AC C D
????=+++=?+
?+
?+
?=?+
??+
??=+???表分
（3）解：因EF ⊥平面ABC ，BE 在面BCD 内，所以，EF ⊥BE ， 又因E ，F 分别是AC ，CD 的中点，所以112
E F C D ==，又AB ⊥BC ，因此BE 是△ABC
的中线，
所以1122
A B E A B C S S ??=
=
?=
，12BE AC =
=
，所以：
1112
2
2
BEF S EF BE ?=
?=
??=
A 到面BEF 的距离为h, 因EF ⊥平面ABC ，
根据A BEF F ABE V V --=，所以
113
3
B E F A B E S h S EF ???=
?
，3
2
ABE BEF
S EF h S ???=
=
=
所以，A 到面BEF
3
……………………………14分
19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n n S a 21=+． （1）求432,,a a a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（3）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
解：（1）∵11=a ，∴2212==a a ，6223==S a ，18234==S a ， ……3分
（2）∵n
n S a 21=+，∴12-=n n S a (2)
n ≥，
∴
n
n n a a a 21=-+，
13n n
a a +=(2)n ≥
又
21
2a a =，∴数列{}n a 自第2项起是公比为3的等比数列， …………………6分
∴2
1(1)
23(2)n n n a n -=?=???≥， ………………………………………………………8分 （3）∵n n b na =，∴2
1
(1)23(2)
n n n b n n -=?=???≥， ……………………………………10分 ∴
0122
122323324323
n n T n -=+??+??+??++?? ， ①
1
3
2
1
3
234233232233-??++??+??+??+=n n n T ② ………12分
①-②得
1
2
2
1
22223232323
23
n n n T n ---=-+??+?+?++?-?? ()2
3
2
1
2233
33
2
3n n n -
-
=+++++
-? =
1(1
2)31n n --?-
∴
21
3
)21(1
+
?-
=-n n n T ．
………………………………………………………14分
20．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知向量(,4),(,4)a x y b kx y =-=+
（k R ∈），a b ⊥ ，动
点(,)M x y 的轨迹为T ．
（1）求轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当1k =时，已知(0,0)O 、(2,1)E ，试探究是否存在这样的点Q ： Q 是轨迹T 内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ 的面积2O E Q S ?=？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．
解：（1）∵a b ⊥ ∴(,4)(,4)0a b x y kx y ?=-+=
得22160kx y +-= 即2216kx y += …………………………………………2分 当0k =时，方程表示两条与x 轴平行的直线；（答方程表示两条直线不扣
分） ……………………………………………………3分 当1k =时，方程表示以原点为圆心，4为半径的圆；(答方程表示圆不扣分) ……4分 当0k >且1k ≠时，方程表示椭圆；…………………5分 当0k <时，方程表示双曲线. ………………………6分
（2）由（1）知，当1k =时，轨迹T 的方程为：222
4x y +=.
连结OE ，易知轨迹T 上有两个点A (4,0)-，B (4,0)满足
2O EA O EB S S ??==,分别过A 、B 作直线OE 的两条平行线1l 、
2l . ∵同底等高的两个三角形的面积相等
∴符合条件的点均在直线1l 、2l 上. …………………7分 ∵12
O E k =
∴直线1l 、2l 的方程分别为：1(4)
2
y x =
+、
1(4)2
y x =
- …………………………………………………………………8分
设点(,)Q x y （,x y Z ∈ ）∵Q 在轨迹T 内，∴2
2
16x y +<……………………9分
分别解22161(4)2x y y x ?+
1
(4)2
x y y x ?+
?=-?? 得2425x -<<与2245
x -<< ∵,x y Z ∈∴x 为偶数，在2(4,2)5
-上2,,0,2x =-，对应的1,2,3y =
在2(2
,4)5
-上2,0,2x =-，对应的3,2,1y =---…………………………………13分
∴满足条件的点Q 存在，共有6个，它们的坐标分别为：
(2,1),(0,2),(2,3),-(2,3),(0,2),(2,1)----．………………………………………14分
21．（本题满分14分）
已知函数3
2
11()(,)32
a f x x x bx a a
b +=
-
++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点.
（1）当1a =时,求函数()f x 的图像在3x =处的切线方程; （2）若存在0x <,使得()9f x '=-,求a 的最大值； （3）当0a >时，求函数()f x 的零点个数. 解: 3
2
11
()3
2
a f x x x bx a +=
-
++,2()(1)f x x a x b '=-++
由(0)0f '=得 0b =,()(1)f x x x a '=--.………………………………………………2分
（1） 当1a =时, 32
1()13
f x x x =
-+,()(2)f x x x '=-，(3)1f =,(3)3f '=
所以函数()f x 的图像在3x =处的切线方程为13(3)y x -=-,即380x y --= ……………………………………………………………………4分 （2）存在0x <,使得()(1)9f x x x a '=--=-
,
991()()6a x x x
x
--=--
=-+-
≥=，7a ≤-，
当且仅当3x =-时，7.a =-
所以a 的最大值为7-. ………………9分 （3）当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：
()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值
3
321111(1)(1)3()06
624f a a a a a ??+=-
+=-
+-+
又14(2)0,3
f a -=--
<21
3()(1)32f x x x a a ?
?=
-++????
，3((1))02f a a +=>.
所以函数()f x 在区间()32,0,(0,1),(1,
(1))2
a a a -+++内各有一个零点，
故函数()f x 共有三个零点。 ……………………………………………………14分 注：①证明()f x 的极小值3
1(1)(1)0(0)6
f a a a a +=-+<>也可这样进行:
设3
3
2
11()(1)(361)6
6
g a a a a a a =-
+=-
+-+，
则2
11()(366)(3)(1)6
2
g a a a a a '=-+-=-
+-
当01a <<时, ()0g a '>,当1a >时, ()0g a '<,函数()g a 在区间(]0,1上是增函数,在区间[)1,+∞上是减函数,故函数()g a 在区间()0,+∞上的最大值为
3
11(1)1(11)06
3
g =-
+=-
<,从而()f x 的极小值3
1(1)(1)0(0)6
f a a a a +=-
+<>.
②证明函数()f x 共有三个零点。也可这样进行:
()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值3
321111(1)(1)3()06624f a a a a a ??+=-+=-+-+
, 当 x 无限减小时，()f x 无限趋于;-∞ 当 x 无限增大时，()f x 无限趋于.+∞
故函数()f x 在区间(),0,(0,1),(1,)a a -∞+++∞内各有一个零点，
故函数()f x 共有三个零点。 ……………………………………………………14分