汕头市2012年普通高中高三教学质量测评试题(一)数学(文)参考答案

汕头市2012年普通高中高三教学质量测评

文科数学参考答案和评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查

内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，

可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答

有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一．：

二．：

11．1

2． 12．

3

π

． 13．27，1006． 14．sin ρθ=． 15．4π．

说明：第13题填对一空得3分，填对2空得5分.

解答过程分析：

1．选A ．解析：(2)z i i =+12i =-+，虚部是2.特别提醒：不是2i ．

2．选D ．解析：阴影部分的元素x A ∈且x B ?，即U A B ?e,选项D 符合要求．

3．选A ．解析：由2y ax '=，又点（1，a ）在曲线2

ax y =上，依题意得1

22x k y a ='

===，

解得1a =．

4．选B ．解析：60kg 以频率为0.04050.01050.25?+?=，故人数为4000.25100?=（人）． 5．选C ．解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，构造幂函数3y x =，为增函数， 故A 是对；对于B 、D ，构造对数函数0.5log y x =为减函数，lg y x =为增函数，B 、D 都正确；对 于C ，构造指数函数0.75x y =，为减函数，故C 错．

6．选A ．解析：()

()1202012020101002

a a S a a +=

=+=，故12010a a +=，615120a a a a =

2

1

20252a a +??≤= ???

．

7．选D ．解析：这是一个横放的圆柱体，其底面半径12

r =，高1h =，底面面积24

S r π

π==

底，

侧面积2S rh ππ==侧，故322

S S S π=+=

侧表底．

8．选B ．解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令ax +y =0并平移使之与过点C （3

4,

32）（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注

意到a >0，只能和AC 重合，∴a =1

9．选C ．解析：由点A 、点C 的横坐标可知

4

T π=，∴24T π

πω

==

，

12

ω=

，排除B 、D ，又点()0,1在图象上，代入()2sin 2

6x f x π??

=-

???

得12sin 6π??

=-

??

?

不成立，排

除A ，只有C 合适．说明，本题得出的是最佳选项，由图象无法确定振幅的值．

10．选B ．解析：(1)f x +是奇函数，即其的图象关于点(0,0)对称，将(1)f x +向右平移1个单位长度，得()f x ，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，由1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，知12120()()0x x f x f x ->??

-

0()()0x x f x f x -

?->?，()f x 为R 上的减函数；又将(1)0f =，不等式(1)0f x -<即(1)(1)f x f -<，有11x ->，故0x <.

11．填

12

．解析：55111111sin 11666622f f f π????????

=-+=-+=-+=-+=

? ? ? ?

????????

． 12．填

3

π

．解析：()()a b c b c a +++-()()()2

2

3b c a b c a b c a b c +++-=+-=

????????，得

22

2

b c a b c

+-=，由余弦定理得222

1cos 222

b c a

bc A bc

bc

+-==

=

，又0A π<<，∴3

A π

=

．

13．填27，1006．解析：（1）按框图，x 是公比为2的等比数列的项，y 是公差为-2的等差数列的项，当6y =-时，为第4项，这时x 是等比数列的第4项，即27t =；（2）n 是公差为2的等差数列的项，当2012n >时，最大的项数为1006，即输出),(y x 共1006组． 14

．填sin ρθ=(2,)3

π

化为(1,

，过(1,且平

行于x

轴的直线为y =

sin ρθ=

．

法二：在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程sin ρθ=

。

15．填4π．解析：由弦切角定理，P A C A B C ∠=∠，由120P A B ∠=?，90C A B ∠=?得

30P A C A B C ∠=∠=?，在Rt ABC ?中，22224R B C A C ===?=，4R =，2

S R π==4π．

三．解答题：

16．（1）由已知{}31A x x =-<<，{}23B x x =-<<，…………………………2分

设事件“x A B ∈ ”的概率为1P ， 这是一个几何概型，则13162

P =

=。………………………………………5分

（2）因为,a b Z ∈，且,a A b B ∈∈，

所以，{}2,1,0a ∈--，{}1,0,1,2b ∈-基本事件由下表列出，共12个：

a b -共有12个结果，即12个基本事件：

-1，-2，-3，-4，0，-1，-2，-3，1，0，-1，-2 …………………9分

又因为()3,3A B =- ，

设事件E 为“a b A B -∈ ”，则事件E 中包含9个基本事件，………………11分 事件E 的概率93()12

4

P E =

=。………………………………………… 12分

17．解：（1）∵(2sin 2cos sin 2m n x x x x ππ??

=--+-

???

2

cos 2cos 2cos 21x x x x x =-+=++………………2分

∴()f x =1-m n 2cos 2x x =

-，…………………………………………3分

∴()f x =2sin 26x π??

- ??

?。………………………………………………………4分

（2）由222()2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤-

≤

+∈，

解得()6

3

k x k k Z π

π

ππ-

+≤≤

+∈，……………………………………6分

∵取k =0和1且[]0,x π∈，得03

x π

≤≤

和

116

x ππ≤≤，

∴()f x 的单调递增区间为0,3π??

??

?

?

和11,6π

π??

????。……………………………8分 法二：∵[]0,x π∈，∴11266

6

x π

π

π-≤-≤，

∴由266

2

x π

π

π

-

≤-

≤

和31122

6

6

x ππ

π≤-

≤

， …………………………6分

解得03

x π

≤≤

和

116

x ππ≤≤，

A

∴()f x 的单调递增区间为0,

3π?

?

?

??

?

和

11,6ππ??

??

??

。……………………………8分 （3）()sin g x x =的图象可以经过下面三步变换得到()f x 2sin 26x π??

=- ??

?

的图象：

()sin g x x =的图象向右平移

6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

12

倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到()f x 2sin 26x π??

=- ?

?

?

的图象. …………………………………………14分（每一步变换2分）

18．解：（1）由题意可知：一年总共需要进货

x

6000次（*∈N x 且x ≤6000），………2分

∴x x y 5.15.62600060008.260004.3-?-?-?=，………………………………5分

整理得：2

3375000

3600x

x

y --=（*∈N x 且x ≤6000）.……………………6分

（2）375000

337500033600360022x

x

y x

x ??=--

=-+ ??

?

（*

∈N x 且x ≤6000）

， ∵

2

3375000

x

x

+≥1500750256250022

3375000

2

=?==?

x x

，

（当且仅当

2

3375000

x x

=

，即500=x 时取等号）…………………………………9分

∴当500=x 时，210015003600max =-=y （元），

答：当每次进货500包时，利润最大为2100元。……………………………………12分

19． 解：（1） 平面A B C D ⊥平面ABEF ，C B A B ⊥,

平面A B C D 平面ABEF AB =，

C B ∴⊥平面ABEF ，

∵AF ?平面ABEF ，∴A F C B ⊥，………………………………… 2分 又A B 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，

∴A F ⊥平面C B F . ………………………………………… 4分

（2）设D F 的中点为N ，则M N

12

C D ，又A O

12C D ，

则M N A O ，四边形M N A O 为平行四边形，∴//O M A N ，又A N ?平面D A F ，O M ?平面D A F ，∴//O M 平面D A F . ……………… 8（3）∵B C ⊥面B E F ，∴13

F C B E C B E F B E F V V S B C --?==

??，

B 到E F 的距离等于O 到E F 的距离，

过点O 作O G E F ⊥于G ，连结O E 、O F ， ∴O E F ?为正三角形， ∴O G 为正O E F ?的高，

∴22O G A =

=

11分

∴13

F C B E C B E F B E F V V S B C --?==

?? ……………………………………… 12分

1111113

2

3

2

2

12

EF O G BC =????=

?

??

=

。………………… 14分

20．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. ……………2分

令()0f x '>，解得1x e

>

；令()0f x '<，解得10x e

<<

.

从而()f x 在10,e ?? ??

?

单调递减，在1

,e ??

+∞ ???

单调递增. 所以，当1x e

=

时，()f x 取得最小值11()f e

e

=-. ……………………… 6分

（2）解法一：依题意，得()1f x ax ≥+在[)1,+∞上恒成立，

即不等式1ln a x x

≤+

对于[)1,x ∈+∞恒成立 . ……………………………………8分

令1()ln g x x x

=+， 则2

1111()1g x x

x

x x ??

'=-=

- ???

. ………………………10分 当1x >时，因为11()10g x x x ??

'=

-> ???

， 故()g x 是()1,+∞上的增函数， 所以()g x 的最小值是(1)1g =，…………… 13分 所以a 的取值范围是(],1-∞. ……………………………………………………14分 解法二：令()()(1)g x f x ax =-+，则()()1ln g x f x a a x ''=-=-+，

① 若1a ≤，当1x >时，()1ln 10g x a x a '=-+>+≥，

故()g x 在()1,+∞上为增函数，

所以，1x ≥时，()(1)10g x g a ≥=-≥，即()1f x ax ≥-；…………………… 10分

② 若1a >，方程()0g x '=的根为1

0a x e -=，

此时，若()01,x x ∈，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数. 所以()01,x x ∈时，()(1)10g x g a <=-<，

即()1f x ax <-，与题设()1f x ax ≥-相矛盾.

综上，满足条件的a 的取值范围是(],1-∞. ………………………………… 14分

21.解：（1）

1

n n a -=

=

= ()2n ≥……3分

∴数列{}

n

a

是以公比为

2

，首项为1a =

分

（2）∵1n n a a -=

()

11,n n x y --()()222

1111111111,222

n n n n n n n x y x y x y a --------+=+= ， ∴n θ=

4

π

，……………………………………………………………………………………6分 ∴n b =21142

n n π

π?-=

-，……………………………………………………………7分

∴()2

21112224n n S n n n π

πππ??????=-+-++-=+-

? ? ??????? 。…………………9分

（3）假设存在最小项，设为n c

，

∵1

22

2

2n n

n a --?=

=????

，……………………………………………………10分

∴22

22

2

n

n n c --=

?，………………………………………………………………11分

由1n n c c +<得当5n ≥时，567c c c <<< ；

由1n n c c +<得当5n ≤时，541c c c <<< ；……………………………………13分

故存在最小项为32

532

2

c -=-

?。

…………………………………………………14分