全国初中数学联赛试题

2016年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x ?称为x 的小数部分．已知23

t =

?，a 是

t 的小数部分，b 是t ?的小数部分，则

11

2b a

?= ( ) A ．

12 B ．32

C ．1

D ．3

2. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书

30本，那么不同的购书方案有 ( )

A ．9种

B ． 10种

C ．11种

D ．12种

3. (A)． 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐

数”．如：333321(1)2631=??=? ，，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为( )

A ．6858

B ．6860

C ．9260

D ．9262

3. (B)．已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)．当

a b ?为整数时，ab = ( )

A ．0

B ．

14 C ．3

4

? D ．2?

4. 已知O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，若

82AB CD ==，，则BCE △的面积为 ( )

A ．12

B ．15

C ． 16

D ．18 5. 如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==，1CD =，对角线

的交点为M ，则DM =( ) A ．3 B ． 5 C ．

22 D ．12

6. 设实数x y z ，，满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为( )

A ．

12 B ． 23 C ． 3

4

D ．1

二、填空题(本题满分28分，每小题7分)

(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上．)

7. 【7(A)、8(B)】已知ABC △的顶点A 、C 在反比例函数y =

(0x > )的图象上，90ACB ∠=?，30ABC ∠=?，AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6AB =，则点C 的坐标为 ．

(B)．已知ABC △的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，

AD =，则AM = ．

8. (A)．在四边形ABCD 中，BC AD ∥，CA 平分BCD ∠，O 为对角线的交点，CD AO =，

BC DO =，则ABC ∠= ．

9. 【9(A)、10(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数

恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ．

(B)．若质数p 、q 满足：340111q p p q ??=+<，，则pq 的最大值为 ．

10. (A)．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内

(每格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2．考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ，则M 的最大值为 ．

第二试

一、(本题满分20分)

已知a b ，为正整数，求22324M a ab b =???能取到的最小正整数值．

二、(本题满分25分)

(A)．如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ，点E 在BD 上，AE AC =，

四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N ．证明:FN DE =．

(B)．已知：5a b c ++=，22215a b c ++=，33347a b c ++=

求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值．

三、(本题满分25分)

(A)．已知正实数x y z ，，满足：1xy yz zx ++≠ ，且

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

??????++=．

(1) 求111

xy yz zx

++的值． (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++．

(B)．如图，在等腰ABC △中，AB AC ==，D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，EB 的延长线与AD 的延长线交于点F ，求AD AF ?的值．

2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解

第一试

(3月20日上午8:30 - 9:30)

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内． 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内)，一律得0分．)

1．用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x ?称为x 的小数部分．已知

t =a 是t 的小数部分，b 是t ?的小数部分，则

11

2b a

?= ( )

.A

12 .B 2

.C 1 .D

【答案】A ．

【解析】

22,2t =

=<

3 1.a t ∴=?=

又

221,t ?=??<

(4)2b t ∴=???=11211,

2222b a +∴

?==?=故选A ． 2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30

本，那么不同的购书方案有 ( )

.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 【答案】C ．

【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30

101520500

x y z x y z ++=??

++=?，

即30341002y z x y z x +=???+=??，解得20210y x z x =???=+?

依题意得，,,x y z 为自然数(非负整数)，

故010,x ≤≤x 有11种可能的取值(分别为0,1,2,

,9,10)，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一

的值(自然数)相对应． 即不同的购书方案共有11种，故选C ． 3(A)． 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：

333321(1),2631,=??=? 2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和

谐数”之和为 ( ) .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B ．

【解析】[]3322

(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ??+??=+??+++?+???

22(121)k =+ (其中k 为非负整数)，由22(121)2016k +≤得，9k ≤

0,1,2,

,8,9k ∴=，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为

333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.????+?+?++?+?=+=??

故选B ．

3(B)．已知二次函数2

1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)．当

a b ?为整数时，ab = ( )

.A 0 .B 14 .C 3

4

? .D 2?

【答案】B ．

【解析】依题意知0,0,10,2b

a a

b a

<++= 故0,b < 且1b a =??， (1)21a b a a a ?=???=+，于是10,a ?<< 1211a ∴?<+<

又a b ?为整数，210,a ∴+= 故1

,2

a b =?

=14ab =，故选B ．

4．已知O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，若

8,AB =2CD =，则BCE ?的面积为( )

.A 12 .B 15 .C 16 .D 18

【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+

OD AB ⊥于,C 1

4,2

AC CB AB ∴==

= 在Rt OAC ?中，2

2

2

,OC AC OA +=

即2

2

2

4(2),x x +=+解得3x =，即3OC = (第4题答案图)

OC 为ABE ?的中位线，2 6.BE OC ∴== AE 是O 的直径，90,B ∴∠=

11

4612.22

BCE S CB BE ?∴=?=??= 故选A ．

5．如图，在四边形ABCD 中，0

90BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==，1CD =，对角线的交点为M ，则DM = ( )

.

A 32 .

B 53

.

C 2

2

.D 12

(第5题答案图)

【答案】D ． 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ?～,CMD ?,AH AM

CD CM

∴

=1,CD =

,AM AH CM ∴=

设,AM x = 则5,5CM x AH x

=?∴=? 在Rt ABM ?中，2225,BM AB AM x =+=+ 则2

55

AB AM

x AH BM

x ?=

=+

25,55

x x

x ∴

=

?+显然0x ≠，化简整理得2255100x x ?+= 解得5

,2

x =

(25x =不符合题意，舍去)，故 5

,2CM =

在Rt CDM ?中，2212

DM CM CD =?=，故选D ． 6．设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )

.A

12 .B 23 .C 3

4

.D 1 【答案】C ．

【解析】

22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++??=???++

22

2211122332222y x y x x x x ????????=?+?+??++??? ? ? ???????????

222

211113322222244y x x x y x x ???

???=?+??++=?+???+≤ ? ? ????

???

当且仅当1,02x y =

=时，M 取等号，故max 3

4

M =，故选C ． 二、填空题(本题满分28分，每小题7分)

(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上．)

1．【1(A)、2(B)】 已知ABC ?的顶点A 、C 在反比例函数3

y x

= (0x > )的图象上，

090ACB ∠=，030ABC ∠=，AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标

为 ．

【答案】3,22??

? ???

．

【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ． 在Rt ACB ?中，cos 33BC AB ABC =?∠=

在Rt BCD ?中，33

sin ,2

CD BC B =?=

(第1题答案图) 9cos ,2BD BC B =?=32AD AB BD ∴=?=，设33,,,C m A n m n ????

? ? ? ??

???， 依题意知0,n m >>故33

,CD n m AD m n

=?=

?，于是 332

333

2n m m

n ??=?????=?? 解得3223m n ?=???=?，故点C 的坐标为3,22?? ? ?

??． 1(B)．已知ABC ?的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，3AD =，

则AM = ．

【答案】2． 【解析】

(第1题答案图1 ) ( 第1题答案图2)

依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠，0

90,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠． (1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ?≌,ADB ?1

,2

BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴

==在Rt DAC ?中，即1

cos ,2

DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=．

在Rt ADC ?中，tan 3tan 603,CD AD DAC =?∠=?= 1.DM =

在Rt ADM ?中，222AM AD DM =

+=．

(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示．同理可得2AM =．综上所述，2AM =． 2(A)．在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CA 平分BCD ∠，O 为对角线的交点，,

CD AO =,BC OD =则ABC ∠= ．

【答案】126．

【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=，

CA 平分BCD ∠，OCD OCB α∴∠=∠=，

BC ∥AD ，,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=， (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=，AD CD ∴=，

,CD AO =AD AO ∴=，

ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=，OC BC ∴=， ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=

,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=

2,2180,βααβ∴=+=解得36,72αβ==，72DBC BCD ∴∠=∠=，

,BD CD AD ∴==18054,2

ABD BAD β

?∴∠=∠=

= 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=．

3．【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ． 【答案】167334．

【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①

31000(31000),y xy x y x ∴=?=?故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =(t 为正整数)，代入①

得10003,t tx +=1000,3t

x t

+∴=

x 是三位数，10001003t

x t

+∴=

≥，解得 1000

,299

t ≤

t 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时

167,334.x y == 故所求的六位数为167334．

3(B)．若质数p 、q 满足：340,111,q p p q ??=+<则pq 的最大值为 ．

【答案】1007．

【解析】由340q p ??=得，34,p q =?2

224(34)343,33pq q q q q q ?

?∴=?=?=?? ??

?

因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值． 又111p q +<，34111,q q ∴?+<3

28

4

q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =?==?不是质数，舍去．

当19q =时，3453p q =?=恰为质数．故max max 19,()53191007q pq ==?=．

4(A)．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2．考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ，则M 的最大值为 ． 【答案】10.

【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，确定M 的最大值．

(1)若5个1分布在同一列，则5M =；

(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤?+?=，故10M ≤;

(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤?+?+?=，故10M ≤;

(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾． 综上所述，10.M ≤

另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10．故M 的最大值为10.

(3月20日上午9:50 — 11:20)

一、(本题满分20分)

已知,a b 为正整数，求2

2

324M a ab b =???能取到的最小正整数值．

【解析】解：因,a b 为正整数，要使得2

2

324M a ab b =???的值为正整数，则有2a ≥． 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4． 当3a =时，b 只能为1或2．若1,18b M ==;若2b =，则7M =．

当4a =时，b 只能为1或2或3．若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =． (下面考虑：2

2

324M a ab b =???的值能否为1？)

(反证法)假设1M =，则223241a ab b ???=，即22

325a ab b ?=+，

2(3)25a a b b ?=+ ①

因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数， 不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则

22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ???=++?=+??+??

即2

(3)a a b ?被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故1M ≠．因此，M 能取到的最小正整数值为2．

二、(本题满分25分)

(A)．如图，点C 在以AB 为直径的

O 上，CD AB ⊥于点D ，点E 在BD 上，,

AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与

O 交于点N ．证明:FN DE =．

(第2(A)题答案图) 【证明】：连接BC 、.BN AB 为O 的直径，CD AB ⊥于点D

90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=

,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠,ACB ADC ∴??∽ ,AC AB

AD AC

∴

=2AC AD AB ∴=? 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上，DE DM EF MF ===

,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠,ANB ADM ∴??∽ ,AN AB

AD AM

∴

=,AD AB AM AN ∴?=?2,AC AM AN ∴=? ,AE AC =2AE AM AN ∴=?

以点F 为圆心、FE 为半径作,F 与直线AM 交于另一点P ，则F 与AB 切于点E ，

即AE 是

F 的切线，直线AMP 是F 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =?

AN AP ∴=，即点N 与点P 重合，点N 在F 上，FN FE DE ∴==．

(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)

(B)．已知：5,a b c ++= 2

2

2

15,a b c ++= 3

3

3

47.a b c ++= 求2

2

2

2

2

2

()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值． 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ??++=

++?++=?

? 由恒等式3

3

3

2

2

2

3()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++?=++++???得，

4735(155),abc ?=??1abc ∴=?

又22

()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++?++=??=? 同理可得2222

5(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=?++=?

∴原式=[]3

5(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ???=?+++++?

125[6416545(1)]625.=???+???=

【注：恒等式3

2

()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ???=?+++++?】 三、(本题满分25分)

(A)．已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ，且

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

??????++= ．

(3) 求

111

xy yz zx

++的值． (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++．

【解析】(1)解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)

4x y y z z x xy yz zx

??????++=，

去分母得222222

(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz ??+??+??=，

222222222222

()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ??++?+++++++++?=??

()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++?+++++++?=，

∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx ?++++?=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++?≠，

()0,xyz x y z ∴?++=xyz x y z ∴=++，∴原式=

1.x y z

xyz

++= (2)证明：由(1)得计算过程知xyz x y z ∴=++，又,,x y z 为正实数，

9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++?++

9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++?++++

222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++? 222()()()0.x y z y z x z x y =?+?+?≥

∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++．

【注：2

2

2

2

2

2

()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++

222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++

222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++

222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】

(B)．如图，在等腰ABC ?中，5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ?的值．

(第3(B)题答案图)

【解析】如图，连接,,AE ED CF ，则

,AB AC =ABD ACB ∴∠=∠

点C 关于直线AD 的对称点为点E ，,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠

,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆，BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等)

BAD BCF ∴∠=∠，,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠

,AFB ABD ∴??∽,AB AF AD AB

∴

=()

22

5 5.AD AF AB ∴?=== (注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆)