人教版新课标高中数学选修2-2《导数及其应用》单元测试题(含答案)

导数单元测试题 2014.3.12

一、选择题(共10小题，每小题5分,共50分)

1. 函数3

(21)y x =+在0x =处的导数是 （ ） A.0

B.1

C.3

D.6

2．函数)0,4

(

2cos π

在点x y =处的切线方程是 （ ）

A ．024=++πy x

B ．024=+-πy x

C ．024=--πy x

D ．024=-+πy x

3．设函数()f x 的导函数为()f x '，且2

()2'(1)f x x x f =+?，则'(0)f 等于 ( )

A ．0 B. -4 C. -2 D. 2 4. 给出以下命题：① 若

()0b a

f x dx >?

，则()0f x >； ②

20

sin 4x dx =?

π；

③()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则

()()a a T T

f x dx f x dx +=?

?

；其中正确命题的个数为 （ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0 5．函数3

13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3

C. 极小值-1，极大值3

D. 极小值-2，极大值2

6. 若函数3

2

()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是（ ）

A. 02b <<

B. 2b <

C. 0b >

D. 1

02

b << 7. 方程010962

3

=-+-x x x 的实根个数是( ) A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

8. 已知自由下落物体的速度为V gt =，则物体从0t =到0t 所走过的路程为（ ）

A ．

2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．201

4

gt 9．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 10．已知函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，其中()f x '

为函数(

)f x 的导函数，则()y f x =的大致图象是( )

二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分)

11.

dx x ?

--3

3

29= , dx x x ?+20)sin (π

＝ .

12. 已知曲线3

2

3610y x x x =++-上一点P ，则过曲线上P 点的所有切线方程中，斜率最小的

切线方程是 .

13．由曲线2

2y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积为 . 14．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2

(23)()0

x x f x '-->的解

集 .

三、解答题

15．（本小题满分12分）

已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+ 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求,,a b c 的值.

16．（本小题满分12分）

平面向量11),(,22a b =-=

，若存在不同时为0的实数k 和t 使

2

(3),x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥ ，试确定函数()k f t =的单调区间.

17.（本小题满分12分）

已知函数3

2

()f x ax bx cx =++在点0x 处取得

极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)， 如图所示.求：

（1）0x 的值； （2）,,a b c 的值. （3）若曲线=y )(x f )20(≤≤x 与m y =有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.

18．（本小题满分13分）

已知函数()32f

x x ax bx c

=-+++图像上的点

),1(m P 处的切线方程为

31y x =-+．

（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式； （2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围.

19．（本小题满分13分）

定义在定义域D 内的函数)(x f y =，若对任意的D x x ∈21,都有12|()()|1f x f x -<，则称函数)(x f y =为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”.试问函数

]1,1[()(3-∈+-=x a x x x f ,R a ∈)是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不

是，请说明理由.

20．（本小题满分13分） 设0a ≥，

2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．

（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2

ln 2ln 1x x a x >-+．

周三练习题答案

1—5 DDBBC 6—10 DCACB

11. 92

π,

2

18π+ 12.3110x y --=

13. 1 14. (,1)(1,1)(3,)-∞-?-?+∞

15.

'

2

'

2

'2:()32(2)3(2)2(2)01240

(1)3231,8()(1,0)1106

f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=∴-+==++=-∴==-∴+?+?+=∴= 3解又又过点,1

16

．解：由11),(2a b =-=

得

0,2,1a b a b === 2222

2[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=

33311

430,(3),()(3)44

k t t k t t f t t t -+-==-=- （t ≠0）

'233()0,1,144f t t t t =-><->得或；233

0,1144

t t -<-<<得 且 t ≠0

所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,0),(0,1)-。 17、（1）0x =1 （2）12,9,2=-==c b a （3）)5,4[ 18.解：()'

232f

x x ax b =-++，

因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，所以()'

1323f a b =-++=-，即20a b +=， 又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-。

（1）函数()f x 在2x =-时有极值，所以()'21240f a b -=--+=，

解得2,4,3a b c =-==-，所以()3

2

243f x x x x =--+-．

（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()'

2

3f

x x

bx b =--+在区间

[]2,0-上的值恒大于或等于零，

则()()'21220,'00,

f b b f b -=-++≥???=≥??得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞ 19. 解:因为|||)()(|m in m ax 21f f x f x f -<-，

)3(13)(]],1,1[()(23分导数是函数 -='∈-∈+-=x x f R a x a x x x f

)2(,19

2

4|||)()(|,932,932)],1,1[()(,)1()1()

2(;9

3

2]0,1[)(,),4(;932]1,0[)(,013)(,3

3

;013)(,330.33,013min max 213222分故最小值是的最大值是所以函数因为分内的极大值是在同理分内的极小值是在故时当时当即时当 <=-<--+

∈-∈+-==-=+--∈>-='><-='<<±==-f f x f x f a a R a x a x x x f a f f a x f a x x f x x f x x x f x x x )],1,1[()(3R a x a x x x f ∈-∈+-=所以函数是“妈祖函数”.

20.（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a

f x x x x

'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22

()10x F x x x x

-'=-=>，，

列表如下：

故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值

(2)22ln 22F a =-+．

（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加．

所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即2

1ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2

ln 2ln 1x x a x >-+．