勾股定理的应用习题

一、选择题

1、一架41m长的云梯的底端离建筑物9m，则它可以达到建筑物的高度是（）

A．30 B．40 C．41 D．36

2、如图，一架25dm长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将平滑（）

A．9dm B．15dm C．5dm D．8dm

3、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为（）．

A．80mm B．90 mm C．100 mm D．80mm

4、如图，学校的保管室里，有一架5m长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为（）

A．B． C．D．

5、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离为3米，同时梯子的顶端B下降至B′．那么BB′：①等于1米，②大于1米，③小于1米．其中正确结论的序号是（）

A．① B．② C．③ D．无法确定

6、如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是（）

A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定

7、如图所示，在一个正方形上连接直角三角形，再以直角边为边长作正方形，一个一个连接在一起，无限反复同一个过程，构成了千姿百态、奇妙美丽的勾股树，设最大正方形的边长为10，末尾正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形E的面积和为S，则S n=（）

A．100 B．120 C．110 D．80

8、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50米，这辆小汽车速度为（）（提示：1米/秒=3.6千米/小时)

A．72 B．100 C．110 D．80

二、解答题

9、如图所示，一旗杆在离地面5 m处断裂，旗杆顶部落在离底部12 m处，问旗杆折断前有多高?

10、有一根长70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，30 cm，40cm的木箱中，能放进去吗?

11、如图，是一条水渠的横断面，已知渠底宽6米，渠深4米，渠的两坡长都是5米，求渠的两岸距离．

12、一船在灯塔C的正东方向8海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏西30°方向航行．

(1)多长时间后，船距灯塔最近？

(2)多长时间后，船到达灯塔的正北方向?此时船距灯塔多远?(参考数据：162－82≈13.92)

13、如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，C、D间的距离为3千米，现在在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出此时铺设水管的总费用．

14、如图所示，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B两处相距河岸的距离AC，BD分别为500 m 和300 m，且C，D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水，再将牛赶回家，那么牧童最少要走多少米?

15、由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方方向300km的B处，以km/h的速度向东偏南30°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴严重影响的区域，问：A市是否受到这次沙尘暴的影响？若不受到，说明理由；若受到，求出A市受沙尘暴影响的时间．

16、王老师让同学们讨论这样一个问题：如图所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体盒子下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的F点处的食物，问怎样爬行路程最短?最短路程是多少?过了一会儿，王老师问同学们答案，甲生说：“先由A点到B点，再走对角线BF．”乙生说：“我认为应由A先走对角线AC，再由C到F．”丙生说：“将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长．”丁生说：“将长方形ABCD 与正方形CFGD展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．”

你认为哪位同学的说法正确?你还有其他方法吗?若有，请叙述出来，并说明理由．(参考数据：5.392≈29)

答案：

第1题 B

第2题D

第3题C

第4题A

第5题C

第6题B

第7题A

第8题A

提示：

3、构造直角三角形，利用勾股定理求解．

由图可知：AC=120－60=60，BC=140－60=80，∠ACB=90°．

由勾股定理，得=100(mm)．

因此A、B间的距离为100mm．

5、在Rt△AOB中，．

在Rt△A′OB′中，A′B′=AB=，OA′=3．

所以，

所以BB′=OB－OB′=7－．因为，

所以6<<7．所以BB′=7－

6、将侧面展开为矩形，线段AB为最短路程BC=8㎝，AC=6㎝，

所以 AB=10㎝.

7、根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

正方形A、正方形B的面积和为正方形1的面积．

正方形l、正方形C的面积和为正方形2的面积．

正方形D、正方形E的面积和为正方形3的面积．

正方形2、正方形3的面积和为正方形4的面积．

即正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形E的面积和S n=102=100．

8、由题意，得AC=30米，AB=50米．由勾股定理，得BC=40米．

所以小汽车在2秒内行驶了40米，速度为20米/秒，即72千米/小时．所以小汽车超速了．

9、分析：旗杆垂直地面，所以△ABC是直角三角形，根据勾股定理，可得AC2＋BC2=AB2．

解：由题意可知∠C=90°，∴AC2＋BC2=AB2．

又∵BC=5m，AC=12 m，

∴AB2=AC2＋BC2=122＋52=144＋25=169，

∴AB=13(m)．

∴旗杆折断前的高度为BC＋AB=5＋13=18(m)．

10、分析：由于木棒长为70 cm，远大于各边的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱是立体图形，可以利用空间的最大长度．

解：能放进去，如图所示，连结A1C1，AC1．

在Rt△A1B1C1中，

A1C12=A1B12＋B1C12=502＋302=3400．

在Rt△AA1C1中，

AC12=AA12＋A1C12=402＋3400=5000．

∵5000>702，∴AC1>70 cm，

∴70 cm长的木棒能放入这只木箱中．

小结：解决此题的关键在于明确AC1即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续应用勾股定理的条件，同时，还能培养学生的空间想像能力．

11、解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．

在Rt△AEB中，AE2=AB2－BE2=52－42=32，

∴AE=3．

同理FD=3，∴AD=3＋6＋3=12．

12、解：如图所示．

(1)依题意知，当船航行到D点时，距灯塔最近，

此时有CD⊥AB．

∵∠BAC=60°，∴∠ACD=30°，

∴AD=AC=×8=4(海里)，

∴4÷20=(时)=12(分)，

∴12分后，船距灯塔最近．

(2)当船到达灯塔的正北方向的B点时，BC⊥AC．

∴∠B=30，∴AB=2AC=2×8=16(海里)，

∴16÷20=(时)=48(分)

∴BC2=AB2－AC2=162－82≈13.92，∴BC≈13.9(海里)，

∴48分后，船到达灯塔的正北方向，此时船距灯塔约13.9海里．13、解：延长AC到A′，使A′C=AC，连结A′B与CD交于O点．

铺设的管道最短为=5（千米），

总费用为5×2=10（万元）．

14、解：如图所示．过点B作关于直线CD的对称点B′，

连结AB′与直线CD相交于点P，

延长AC至E，使CE=BD，连结B′E，则∠E=90°，

∴AE=AC＋EC=AC＋B′D=AC＋BD=500＋300=800(米)，

EB′=CD=600米．

在Rt△AEB′中，AB′2=B′E2＋AE2=6002＋8002=1000000(米2)，

∴AB′=1000米．

∴牧童最少要走1000米．

15、解：依题意画出图形（如图），则沙尘暴运动的路线是从B到C．作AD⊥BC于D．

在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=300km，

则AD=AB=150km．

即沙尘暴在运动过程中到A点最近距离为150km，而150km<200km，故A市会受到沙尘暴的影响．

设沙尘暴距A点200km，刚好处在BC上E、F两点．

Rt△ADE中，AE=200km，AD=150km，

∴．

∴EF=2DE=km．

故A市受沙尘暴影响的时间为．

点评：对于实际问题关键是根据题意，画出几何图形，建立几何模型．再构造直角三角形，运用勾股定理解决．

16、分析：要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连结AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方法类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、宽不同．若在丙、丁的长方形中画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了．

解：按丙生的方法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD．如图所示，