9.4矩形、正方形同步练习(B)

9.4《矩形、正方形》同步练习（B ）

第1题. 如图（1），ABC △是直角三角形，90ABC ∠=

．将ABC △补成矩形，使ABC △的两个顶点为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合条件的矩形可以画2个，矩形ABCD 和矩形AEFC ． ①如图（2），ABC △是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，在图中把它画出来． ②如图（3），ABC △是锐角三角形，且满足BC AC AB >>，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，在图中把它画出来．

答案：解：①1个 ②3个

第2题. 正方形ABCD 中，35CE MN MCE =∠=

，，则ANM ∠=（ ） Ａ．45

Ｂ．55

Ｃ．65

Ｄ．75

答案：Ｂ

第3题. 如图，正方形1

ABCD AB P =中，，点是对角线AC 上的一点，分

Ａ Ｄ

Ｃ

Ｆ Ｂ Ｅ Ａ

Ｂ （1） （2） （3） Ａ

Ｎ Ｄ

Ｍ

Ｂ Ｅ D

答案：4

第4题. 某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．

（1）问长方形的长应为多少？

（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；

（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的、反映解题思路的辅助线）．

答案：解：（1）如图，设长方形对角线的交点为O ，数字12、2在长方形中所对应的点分别为A 、B ，连结

OA 、OB ，则106090tan 60AB

OA AOB OAB OA

=∠=∠== ，，，，

tan 60AB OA == ∴

∴长方形的长为

3分

（2）方法一：作AOB ∠的平分线，交AB C C 于点，则点处为数字1的位置．

5分

方法二：设数字1标在30AB C OC AOC ∠=

上的点处，连结，则，

tan 30AC OA ==

， 由此可确定数字1的位置．

5分

（3）如图所示．

说明：1、标对了4、8、10的得1分，都标对了的得3分； 2、用其它辅助线来确定的，只要正确均得3分； 3、没有辅助线的，最多得2分．

第5题. 矩形纸片ABCD 中，4AD =cm ，10AB =cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE = cm ．

答案：295

第6题. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最小内角等于 ．

答案：30

第7题. 如图，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．

（１） 园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由 白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中

间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有

三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多 少平方米？

D C '

C B A F

E Ｂ

F B D

内 外

（１） 答案：解：ABC △与AEG △面积相等

过点C 作CM AB ⊥于M ，过点G 作GN EA ⊥交EA 延长线于N ，则

A M C ∠=90ANG ∠=

四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形

90180

BAE CAG AB AE AC AG BAC EAG ∴∠=∠===∴∠+∠=

，，

180EAG GAN BAC GAN

∠+∠=∴∠=∠

ACM AGN ∴△≌△ 11

22

ABC AEG CM GN S AB CM S AE GN ∴==

= △△，

ABC AEG S S ∴=△△

（２） 解：由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和

∴这条小路的面积为(2)a b +平方米．

第8题. 如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC BD 、相交于O CE OB ，∥，交AB 的延长线于E ，试说明AC 与CE 的关系．

答案：解：AC CE =理由如下： CD AB CE OB ∥，∥， ∴四边形BECD 是平行四边形． EC BD ∴=．

B

D

Ｂ

..

AC BD CE AC ∴=∴=

第9题. 如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 在BC 的延长线上，如果BE BD =，且2AB =cm ，求E ∠和BE 的长．

答案：解： 四边形ABCD 是正方形，且2AB =cm ，

451804567.5.

2

BD BE BD BE DBE E EDB ∴====∴=∠=-∴∠=∠== ，，

第10题. 下列说法正确的是（ ）

Ａ．两边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． Ｂ．四个角都是直角的四边形是正方形．

Ｃ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． Ｄ．有一个角是直角，一组对边平行的四边形是矩形．

答案：Ａ

第11题. 已知矩形ABCD ，对角线AC BD 、相交于O AE BD BE AC ，∥，∥，AE 、 BE 相交于E ，试判定四边形OAEB 的形状．

Ａ

Ｅ

AE BD BE AC ∥，∥，

∴四边形OAEB 是一个平行四边形．

又 四边形ABCD 是一个矩形，AC BD =， 即：OA OB =

OAEB ∴

是一个菱形．

第12题. 如图所示，

ABCD 中，AQ BN CN DQ 、，、分别是DAB ABC ∠∠，，BCD ∠，CDA ∠的平

分线，AQ 与BN 交于P CN ，与DQ 交于M ，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．

答案：解：结论：四边形PQMN 是一个矩形． 理由如下： 四边形ABCD 是一个平行四边形．

180AD BC DAB ABC ∴∴∠+∠= ∥，．

又AQ BN 、分别是DAB ABC ∠∠，的角平分线．

11

12.

221112()18090.

22ABC BAD ABC BAD ∴∠=∠∠=∠∴∠+∠=∠+∠==

，×

90APB ∴∠= ，同理90BNM AQD ∠=∠= ．

∴四边形PQMN 是矩形．

第13题. 已知如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE CF =． （1）求证：.BCE DCF △≌△

（2）若30FDC ∠=

，求BEF ∠的度数． Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｍ

Ｑ

Ｐ Ｎ

2 1

答案：（1）证明： 四边形ABCD 是正方形， .90B C D C B C E D C F ∴=∠=∠=

又.CE CF BCE DCF = ，△≌△

（2）由以上可知：.30BEC DFC FDC ∠=∠∠= ，

60.5045.

6045105.

DFC BEC CE CF CEF CFE BEF ∴∠=∴∠==∴∠=∠=∴∠=+=

，，

第14题. 矩形且有一般平行四边形不具有的性质是（ ） Ａ．对角相等 Ｂ．对边相等 Ｃ．对角线互相平分 Ｄ．四个角是直角

答案：Ｄ

第15题. 矩形的两条对角线所成的钝角为120

，若一条对角线长是2，那么矩形的周长为（ ） Ａ．6.0

Ｂ．5.8

Ｃ．2(1+

Ｄ．5.2

答案：C

第16题. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，延长BC 至F ，使C F C E =，连结DF BE ，与DF 相交于G ，则下面结论错误的是（ ） Ａ．BE DF = Ｂ．BG DF ⊥ Ｃ．90DFC CEB ∠+∠=

Ｄ．90FDC ABG ∠+∠=

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

Ｅ Ｆ

Ｇ

答案：Ｃ

第17题. 如图所示，在矩形ABCD 中，2BC AE BD =，⊥于E ，30BAE ∠=

，那么ECD △的面积是（ ）

Ａ．

Ｃ．

2

Ｄ．

2

答案：Ｃ

第18题. 如图，正方形ABCD 内作正三角形ABE 连结DE CE 、，则EDC ∠= ．

答案：15

第19题. 已知正方形ABCD 中，对角线AC 的长为12cm ，P 为AB 上任一点，则点P 到AC BD 、的距离之和为 ．

答案：6cm

第20题. 如图所示，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在BC 边上的F 点处，如果10AD =， 6AB =，求AFE △的面积．

Ａ

Ｄ

Ｃ

Ｂ

Ｅ Ａ

Ｃ Ｄ

Ｅ

Ａ

答案：解：由题意知：AFE ADE △≌△，

9010.AFE D AF AD EF DE ∴∠=∠==== ，，

68.108 2.

AB BF CF =∴==∴=-= ，

设DE x =，则EF x =，6CE x =- 则：222

EF EC CF =+ 即：2

2

2

(6)2x x =-+，

解得103

x =

．

10.3

111050

10.

2233AEF EF S AF EF ∴=

∴=== △××

第21题. 如图所示，菱形ABCD 的对角线相交于点O DE AC CE BD DE ，∥，∥，、 CF 相交于E ，试判定四边形OCED 的形状．

答案：解：四边形OCED 是矩形，理由如下： DE AC CE BD ∥，∥， ∴四边形OCED 是平行四边形． 四边形ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥． 即：90DOC ∠=

．

∴四边形OCED 是矩形．

Ａ Ｂ Ｃ Ｅ Ｄ

Ｏ

第22题. 公园里有一块正方形的土地，准备把它分成面积相等的四部分，以便于栽种不同品种的花卉，请你设计一个划分的方案，把草图画出来，至少三种方案．

答案：如下图：

第23题. 如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，30ABD ∠=

，将ABD △沿直线BD 折叠，点A 落在点

E 处，则CDE ∠等于多少度？

答案：解：由题意可知： 90.ABD EBD E A ABD EBD ∠=∠=∠=∠ △≌△，， 3060EBD BDE ∴∠=∠= ，．

又60ADB ∠=

30.

603030.

BDC CDE ∴∠=∴∠=-=

第24题. 如图，正方形ABCD 中，对角线交点为O E ，为OB 上的一点，DG AE ⊥于G ，DG 交OA 于F ．求证：OE OF =．

Ａ

Ｄ Ｅ

Ａ Ｂ

Ｅ Ｄ Ｏ Ｇ Ｆ

2 1 C

答案：解： 四边形ABCD 是正方形， OA OD ∴=．

且90AOD AOE ∠=∠=

．

190290.

.

1 2...

DFO AFG DFO AFG AOE DOF OE OF ∴∠+∠=∠+∠=∠=∠∴∠=∠∴∴=

，△≌△

第25题. 已知正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上一点，MN DM ⊥且交CBE ∠的平分线于N ．（如左图）

（1）求证：DM MN =．

（2）若将上述条件中的“M 是AB 的中点”“改为M 是AB 上的任意一点”其余条件不变（如右图），则结论“MD MN =”还能成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．

答案：证明：（1）在AD 上截取AF AM =，则AF BM =．

90.

45135.

AF AM A AFM DFM =∠=∴∠=∴∠=

，，

又BN 是CBE ∠的角平分线，

45.135.

190.

N B E MBN DM MN DMA ∴∠=∴∠=∴∠+∠=

⊥，

又290.DMA ∠+∠=

2 1.

..

D F M M B N D M M N ∴∠=∠∴∴=△≌△ （2）成立．证法同（1）类似．

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｍ Ｎ Ｅ Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｆ Ｍ Ｎ

Ｅ

1

2

第26题. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

Ａ．对角线相等Ｂ．对角线平分每一组对角

Ｃ．对角线互相平分Ｄ．对角线互相垂直

答案：Ａ

第27题. 正方形具有而菱形不具有的性质是（）

Ａ．对角线互相平分Ｂ．对角线互相垂直

Ｃ．对角线相等Ｄ．对角线平分一组对角

答案：Ｃ

第28题. 正方形的对角线为2，则它的面积为．

答案：2

AC=，则另一条对角线BD=．第29题. 已知矩形ABCD一条对角线13

答案：13

第30题. 要使一个正方形体积变为原来的8倍，它的边长必须增大为原来的倍．答案：2