第一讲 裂项法

第一讲 裂项法
第一讲 裂项法

第一讲 裂项法

基本类型

1.1223344950?+?+?++? =_________;

[分析与解答]

这是整数的裂项。裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消。 设S =1223344950?+?+?++?

1×2×3=1×2×3

2×3×3=2×3×(4-1)=2×3×4-1×2×3 3×4×3=3×4×(5-2)=3×4×5-2×3×4 …

49×50×3=49×50×(51-48)=49×50×51-48×49×50

3S =1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+49×50×3=49×50×51 S =49×50×51÷3=41650 常用公式:

122334(1)?+?+?++?+ n n =

(1)(2)

3

n n n ++

2222

(1)(21)

1236

+++++=

n n n n

2

3

3

3

3

(1)1232+??

+++=????

n n n 2.

111112

23

34

4950

+

+

++

???? =_________;

[分析与解答]

这题是典型的分数裂项:

211?=1-2

1

3

21?=

2

1-3

1

50

491?=

49

1-50

1 原式=1-50

1=

50

49

3.

111

113

35

57

99101

+

+

++

???? =_________;

[分析与解答]

这题是典型的分数裂项:

113?=(1-13

)×

2

1

135

?=(

13

-15

)×2

1

1

99101

?=(

199-

1101)×2

1 原式=(1-1

101

)×

2

1=

50101

复杂裂项 4.11

11123

234

345

192021

+

+

++

???????? =_________;

[分析与解答]

对于分数裂项最后只留下第一个与最后一个的差。

1123

??=(

111223-

??)×

21 1234

??=(

1

123

34

-

??)×

2

1

1192021

??=(

111920

2021

-

??)×

2

1

原式=2

1(

21

2012

11?-

?)=

840

209

5.

1111135

246

357

202224

+

+

++

???????? =_________

[分析与解答] :原式=

5

311??+

7

531??+…+2321191??+

6421??+…+

24

22201??

=41

(3

11

?-

23

211?)+

4

1(

4

21?-

24

221

?)

=483

40+

2112

65=

340032

28160+

340032

10465=

340032

38625

6.1(12)(123)(1234)(123450)++++++++++++++++ =_________; [分析与解答]

利用等差数列求和公式,再利用例1的结论。 原式=2

1(1×2+2×3+3×4+….+50×51)=

2

3

1×50×51×52=2210

7. 1111

112

123

1234

123450

+

+

+

++

+++++++++++ =_________;

[分析与解答] 1+

3

22?+

4

32?+….+

51

502?=2×(

2

11?+

3

21?+…+

51

501?)=

10051

拓展提高 8.2

2

2

2

2

2

111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)

2345

4849

-

?-?-?-??-?- =_________;

[分析与解答]

:这题是利用平方差公式进行裂项。a 2-b 2=(a+b)(a-b) 1-2

2

1=12-(21)2=(1+

2

1)×(1-

2

1)=

2

2

1

原式=

2

2

3

4×3

2×4

4

5

6×5

6

6

5×….×

49

50×49

48=

2

49

50=

49

25

9.

23

4

50

1(12)

(12)(123)

(123)(1234)

(12349)(12350)

+

+

++

?++?++++?+++++++?++++ =_________;

[分析与解答] 原式=

3

12?+

633?+

10

64?+

15105?+…+

1275122550?

=(-

1

13

1)+(-3

16

1)+(-

6110

1)+(

-

1225

1

1275

1)

=1275

1274

10.1

23

49223

234

2345

23410

+

+

+

++

????????? =_________;

[分析与解答]

2

1=1-

21

3

22

?=

3

213?-=2

1-

3

21?

4

323

??=

4

3214??-=

3

21

?-

4

321

??

….

10

(4329)

????=

10

....432110????-=

9 (4321)

????-

10

(4321)

????

原式=1-10

(4321)

????=1-

3628800

1=3628800

3628799

11.

9998971123

234

345

99100101

+

+

++

???????? =_________;

[分析与解答]

3

2199??=

3

211100??-=

3

21100??-

3

21?=

3

21100??-

3

21?

43298??=4322100??-=432100

??-4

322

??=432100??-431?

5

4397??=

5

433100??-=

5

43100??-

5

433??=

5

43100??-

5

41?

….

101

100991??=

101

1009999100??-=

101

10099100??-

101

1009999??=

101

10099100??-

101

1001?

原式=

321100??+

4

32100??+

5

43100??+….+

101

10099100??-(

3

21?+

4

31?+

5

41?+….+

101

1001?)

=100×2

1×(2

1-10100

1)-(2

1-101

1)

=25-202

1-

2

1+

101

1

=2451101

练习题:

1、14477104952?+?+?++? =_________; [分析与解答]

设S =14477104952?+?+?++? 1×4×9=1×4×7+1×4×2

4×7×9=4×7×(10-1)=4×7×10-1×4×7 7×10×9=7×10×(13-4)=7×10×13-4×7×10 ………….

49×52×9=49×52×(55-46)=49×52×55-46×49×52 9S =49×52×55+1×4×2 S=(49×52×55+1×4×2)÷9=15572 2、

111114

47

710

4952

+

+

++

???? =_________;

[分析与解答] 原式=3

1(1-

52

1)=

52

17

3、

1111135

357

579

192123

+

+

++

???????? =_________;

[分析与解答] 原式=

4

1(

3

11?-

23

211?)=

483

40

分数裂项求和方法总结 (一) 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析:因为111n n -+=11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++(n 为自然数) 所以有裂项公式:111(1)1 n n n n =-++ (二) 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析:1() n n k +型。(n,k 均为自然数) 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ (三) 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析: () k n n k +型(n,k 均为自然数) 11n n k -+=()()n k n n n k n n k +-++=() k n n k + 所以 () k n n k +=11n n k -+

(四) 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析: 2()(2) k n n k n k ++(n,k 均为自然数) 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ (五) 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析:1()(2)(3) n n k n k n k +++(n,k 均为自然数) 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ (六) 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析:3()(2)(3) k n n k n k n k +++(n,k 均为自然数) 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法: 1.看分数分子是否为1; 2.是1时,裂项之后需要整体×首尾之差分之一; 3.不是1时不用再乘; 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。

思维训练分类为:浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 (一)用裂项法求 1一型分数求和分析:因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) (n为自然数)所以有裂项公式: n(n 1) 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右)'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析: n(n k) 型。 (n,k 均为自然 数) 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ; n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n(n k) n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析:型(n,k均为自然数)n(n k) k 所以一- n(n k) n n k

(1 1 3 97 99 3200 9603 自然数) n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n (n k )(n 2k ) 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算: 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 (n,k 均为自然数) 【例5】 1 1 计算:1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 (丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] (六)用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和:分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k)

分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1)11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2)2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。

知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容,也是数学竞赛的重要内容之一。 分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据,要使计算快 速、准确,关键是掌握运算技巧。对算式认真观察,剖析算是的特点及个数之间的关系,巧妙、灵活的运用运 算定律,合理改变运算顺序,使计算简便易行,这对启迪思维,培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: (1)平方差公式:a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项 法: 例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算:2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222

分数计算一一裂项法 【知识要点】 正确、迅速、灵活、合理地进行整数、小数、分数四则混合运算,是小学生须掌握的技能、技巧之一,计算时必须做到: 1、拿到一题,首先要全面审题,确定运算顺序,这是运算的根本。 2、然后要全面观察题目的结构、特征,分析题中数与数的关系,灵活运算各种定律、性质使 计算简便,这是运算的灵魂。 3、计算时要做到一步一回头,也就是及时检验,这是使你终生受益的习惯。【自主练习】 111 1 1 1_ -11 1 11 2 3 3 4 4 5r T 5 6 6 77 8十十?… 12 2 3 49 50 1111 +?-?++ 1995 19961996 19972007 20082008 ?丄?丄丄 12 20 30 42 56 72 90 7 13 21 31 43 57 73 91 —十-------- 十------- r ------------ r ----------- ~1~------ 十 ------- r ----------- 6 12 20 30 42 56 72 90

二 1 」… J 1 4 4 7 7 10 97 100 1111 1 1 ----- + ------- + ------- + -------- + --------- + --------- 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 11 31 5丄7丄9丄 3 15 35 63 99 2.2.2 ..???丄 21 77 165 1677 1 7 9 11 13 15 1 — 3 1 2 20 30 42 56 小结:求若干个分数之和的计算题,一般可以用通分的办法,但有些计算题,可以 采用裂项的办法,即运用以下这些公式巧妙求出整个算式的和,称为裂项法。 1 9 11 1 3 15 --- ----- -------- "T - ---------- ---- -------- ~T~ ------------- 4 20 30 42 56

分数乘法与分数裂项法

分数乘法与分数裂项法 【专题解析】 我们知道,分数乘法的运算是这样的:分数乘分数,应该分子乘分子,分母乘分母(当然能约分的最好先约分在计算)。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧,它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法,达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律:这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时,一定要仔细分析另一个因数的特点,尽量进行变换拆分,从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分:除了把公因数约简外,对于分子、分母中含有的公因式,也可直接约简为1。 进行分数的乘法运算时,要认真审题,仔细观察运算符号和数字特点,合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质,当变成符合运算定律的形式时,才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 例1.计算: (1)4544×37 (2)2004×2003 67 分析与解:观察这两道题的数字特点,第(1)题中的45 44 与1只相差1个分数单位,如果把4544写成(1-45 44 )的差与37相乘,再运用乘法分配律可以使计算简便。同样,第(2)题 中可以把整数2004写成(2003+1)的和与200367 相乘,再运用

乘法分配律计算比较简便。 【举一反三】 计算: (1)4443×37 (2)5756×37 (3)5756 × 56 例2.计算: (1)72174×2417 (2)7315 1×81 分析与解:(1)72174把改写成(72 +174 ),再运用乘法分 配律计算比常规方法计算要简便得多。(2) 73151把改写成(72 +1516),再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 【举一反三】 计算: (1)2074×107 (2)16136×32 13 (3)133 57×8 1 (4)64171×9 1 【小试牛刀】 计算: (1)2928 ×37 (2)29 13×28 【典型例题】——乘法交换律的巧用

分数裂项求和标准个性 化教案 公司内部编号:(GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

变形裂项:先变形为直接裂项。 【典型例题】 例1 计算: 观察:直接裂项2 11121121-=?= 31 2132161-=?= 41 31431121-=?= ............. = 201 ( )()=?1( )-( ) ( )()=?= 1 301( )-( ) 解:原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65 例2 计算:7217 561542133011209127651-+-+-+- 观察:直接裂项3121323265+=?+= 41 314343127+=?+= 920= =?+545451 41+ ............... ()() 115630+==?( )+( ) ()( ) 136742+==?( )+( ) 解:原式) ()()()()()()(9 18 18 17 17 16 16 15 151414131312 11+-+++-+++-+++-= 例3.+?+?+?7 52532312……+ 1192 ? 变形裂项: .............. 解:原式)11 1 91()7 15 1()5 13 13 1 11-++-+-+-= ()( 例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍,“补一退一”

解:原式128 1 12811281641321161814121 - +++++++=)( 例5 1 101 1811611411212 2222-+-+-+-+- 由)()(2 2 b a b a b a +?-=-知,可以将原式变形为: 解:原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试: 【我能行】 1. +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2.521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结 (一) 用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和 分析:因为11 1n n -+=11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++(n 为自然数) 所以有裂项公式:111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960) +++ ???的和。 (二) 用裂项法求1 () n n k +型分数求和 分析:1 ()n n k +型。(n,k 均为自然数) 因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ????? (三) 用裂项法求 () k n n k +型分数求和 分析: () k n n k +型(n,k 均为自然数) 11 n n k -+=()()n k n n n k n n k +-++=()k n n k +

、裂项法 小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出:两个分母不同的分数相加减, 自然数,公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题 例1 计算: 分析与解此题按常规方法先通分后再求和,显然计算起来十分繁杂 是 1 ,而分母又都是相邻两个自然数的积,符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式,就得到下面12 个等式:

上面12 个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法. 例2 计算: 分析与解这里的每一项的分子是1,分母不是相邻两个自然数的积,但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和,这使我们联想到计算公式:1+

当n分别取1,2,3,?,100时,就有 即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式,略加变形就得到例 1 的形式,仿照例 1 的方法便可求出解来

分析与解猛一看,此题似乎无法下手,而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过,减法是加法的逆运算.换句话说,任一加法算式都可以改为 这个题的答案是否只有这一个呢?如果不只一个,怎样才能找出所有答案呢?为此,我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数,且 当t=1 时,x=7,y=42,当t=2 时,x=8,y=24,当t=3 时, x=9,y=18,当t=4 时,x=10,y=15,当t=6 时,x=12,y=12, 当t=9 时,x=15,y=10,

第二讲分数 1.2NT 1.2 分数计算(裂项法) 知要点和基本方法 分数算是小学数学的重要内容,也是数学的重要内容之一。 分数算同整数算一既有知要求又有能力要求。法、定律、性是行算的依据,要使算快 速、准确,关是掌握运算技巧。算式真察,剖析算是的特点及个数之的关系,巧妙、灵活的运用运 算定律,合理改运算序,使算便易行,启迪思,培养合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: ( 1)平方差公式:a2 b2 ( a b) ( a b) ( 2)等差数列求和公式:a1 a2 a3 a n 1 a n 1 a1 a n n 2 ( 3)分数的拆分公式:① 1 1) = 1 - 1 n(n n n 1 ② 1 d) = 1 ×( 1 - 1 ) n(n d n n d 裂项法: 例1. 算: 1 + 1 + 1 +??+ 99 1 1 2 2 3 3 4 100 11 1 例4.算:++??+ 10×1111×1219× 20 例2. 1 1 1 算: 10× 11 + 11×12 +??+ 59× 60 例5. 1 1 1 1 算2×3 + 3×4 +??+6× 7 + 7× 8 例3.算:21 + 1 6+12 1 +20 1 +30 1 +42 1

六年级第一学期NT 例6. 算: 1+1 + 1 + 1 + 1 2 6 12 20 例 10. 算: 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 例7. 算:1 1 1 1 1 1 1 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 例 11. 算: 1 1 1 1 1 1 8 24 48 80 120 168 例 8.算:1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 315 3563 99 143 例 9. 算: 1 4 1 7 1 10 1 13 1 1 4 7 10 13 16 例 12. 算:1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 +??+ 1 + 2 +??+100 + 99 +??+ 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 100 100 100 100 100 例 13. 算: 1+ 1 + 1 1 + 1 1 3 +??+ 1 2 3 1 1 2 2 3 2 4 2005 例 14.算: 2×( 1- 1 2)×( 1- 1 2)×( 1-1 2)×??×(1- 1 2) 2005 2004 2003 2

2008年10月4日 六年级 基本公式:()111n n+1n n 1-+=; 推广形式:()111n n+d d n n d ??-??+?? 1= 例1、计算:11111122334989999100+++++?????=(1-21)+(21-31)+(31-41)+……+(991-1001)=1-1001=100 99。 例2、计算: 1111112612203042+++++=76; 例3、计算:1111111357911104088154238340+++++=20 336; 例4、计算:=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意:拆分未必拆成两个分数之差,有的时候,需要拆成两个分数之和;可以利用公式: 11m+n m n mn += 例5、计算:1111(1)(1)(1)(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示:1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解:原式=1324359112233441010????????????……=111210?=1120 例6、计算:60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答:因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ,所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算:111116425672-+++=9 8;

分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1 a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1 (1)(2) n n n ?+?+,1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111[] (1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++

1111 [] (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) 11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2) 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 【例 1】 11111 1223344556 ++++=????? 。 【巩固】 111 (101111125960) +++ ???

分数乘法与分数裂项法 【专题解析】 我们知道,分数乘法的运算是这样的:分数乘分数,应该分子乘分子,分母乘分母(当然能约分的最好先约分在计算)。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧,它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法,达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律:这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时,一定要仔细分析另一个因数的特点,尽量进行变换拆分,从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分:除了把公因数约简外,对于分子、分母中含有的公因式,也可直接约简为1。 进行分数的乘法运算时,要认真审题,仔细观察运算符号和数字特点,合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质,当变成符合运算定律的形式时,才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 例1.计算:(1)4544×37 (2)2004×2003 67 分析与解:观察这两道题的数字特点,第(1)题中的4544与1只相差1个分数单位,如果把4544写成(1-45 44 ) 的差与37相乘,再运用乘法分配律可以使计算简便。同样,第(2)题中可以把整数2004写成(2003+1)的和与 2003 67 相乘,再运用乘法分配律计算比较简便。 【举一反三】 计算:(1) 4443×37 (2)5756×37 (3)5756×56 例2.计算:(1)72174×2417 (2)73 151×81 分析与解:(1)72174把改写成(72 +174),再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。(2)73151 把 改写成(72 +15 16 ),再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 【举一反三】 计算:(1)2074×107 (2)16136×3213 (3)13357×81 (4)64171×9 1 【小试牛刀】

一、裂项法 小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出:两个分母不同的分数相加减, 自然数,公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题. 例1计算: 分析与解此题按常规方法先通分后再求和,显然计算起来十分繁杂. 是1,而分母又都是相邻两个自然数的积,符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12个加数也分别写成两个单位分数之差的形式,就得到下面12个等式:

上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法. 例2 计算: 分析与解这里的每一项的分子是1,分母不是相邻两个自然数的积,但都是从1开始的连续若干个自然数的和,这使我们联想到计算公式: 1+

当n分别取1,2,3,…,100时,就有 即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式,略加变形就得到例1的形式,仿照例1的方法便可求出解来.

分析与解猛一看,此题似乎无法下手,而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过,减法是加法的逆运算.换句话说,任一加法算式都可以改为 这个题的答案是否只有这一个呢?如果不只一个,怎样才能找出所有答案呢?为此,我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y都是自然数,且 当t=1时,x=7,y=42, 当t=2时,x=8,y=24, 当t=3时,x=9,y=18, 当t=4时,x=10,y=15, 当t=6时,x=12,y=12, 当t=9时,x=15,y=10,

分数的裂项求和 月 日 姓 名 【知识要点】 有一类型的分数计算题目有以下特征:①分子相同;②分母中是乘法,且首尾相同,环环相扣,差相等。 此列分数的和=(头-尾)× 1差 如:1111512 ??=-? ??? 一般地利用下面的等式,巧妙地计算一些分数求和的问题: ① ()11111n n n n =-++ ②()11k n n k n n k =-?++(推倒过程:()()()1 1n k n k n n k n n k n n k n n k +-=-=+?+?+?+) 【经典例题】 例1 11111223344950++++???? 例2 1111131535399483+++++ 例3 15111092612110++ ++ 例4 579111315171921231612203042567290110132-+-+-+-+-+ 例5 11111121231234123100+ ++++++++++++++

随堂小测 姓 名 成 绩 1.11111 23981223349899++++???? 2. 22222217716516772021+++++ 3.151******** 71726122090+++++ 4.1791113151713122030425672+- +-+-+ 5.50 ...43211......4321132112111+++++++++++++++

课后作业 姓 名 成 绩 1. 111124466898100++++???? 2.11111111111315 171921232527612203042567290++++++++ 3.1511198926122090+++++ 4.15791151261220305642+- +--- 5. 109876543211......543211432113211+++++++++++++++++++++

本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1)11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2)2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 知识点拨 教学目标 分数裂项计算

分数计算——裂项法 裂项一: 1 n×(n+1) = 1 n- 1 n+1 例: 1 6= 1 2×3 = 1 2- 1 3 1 110= 1 10×11 = 1 10- 1 11 应用1:1 2+ 1 6+ 1 12+ 1 20+…+ 1 2450 裂项二: 1 n×(n+d) = 1 d×( 1 n- 1 n+d ) 例: 1 3×5 = 1 2×( 1 3- 1 5) 1 4×9= 1 5×( 1 4- 1 9) 应用2: 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +…+ 1 1997×1999 裂项三: 1 n×(n+1)×(n+2) = 1 2×[ 1 n×(n+1) - 1 (n+1)×(n+2) ] 例: 1 1×2×3 = 1 2×( 1 1×2 - 1 2×3 ) 1 11×12×13 = 1 2×( 1 11×12 - 1 12×13 ) 应用3: 1 1×2×3 + 1 2×3×4 +…+ 1 9×10×11 裂项四: 1 n2-1 = 1 2×( 1 n-1 - 1 n+1 ) 例: 1 22-1 = 1 2×( 1 2-1 - 1 2+1 )= 1 2×(1- 1 3) 1 102-1 = 1 2×( 1 10-1 - 1 10+1 )= 1 2×( 1 10- 1 11) 应用4: 1 22-1 + 1 42-1 + 1 62-1 +…+ 1 1002-1

应用5:1+ 1 1+2 + 1 1+2+3 + 1 1+2+3+4 +…+ 1 1+2+3+…+10 应用6:1-5 6+ 7 12- 9 20+ 11 30- 13 42+ 15 56- 17 72 应用7:计算 (1+1 2)×(1+ 1 4)×(1+ 1 6)×…×(1+ 1 10) ×(1-1 3)×(1- 1 5)×…×(1+ 1 11) 应用8:5 14+ 5 84+ 5 204+ 5 374+ 5 594+ 5 864 基础夯实: 1. 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 2001×2002 2. 4 1×5 + 4 5×9 + 4 9×13 + 4 13×17 +…+ 4 25×29 3. 1 12+ 1 20+ 1 30+ 1 42+ 1 56+ 1 72+ 1 90 4. 1998 1998×1999 + 1998 1999×2000 + 1998 2000×2001 +…+ 1998 2049×2050

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