第一讲 裂项法
第一讲 裂项法
基本类型
1.1223344950?+?+?++? =_________;
[分析与解答]
这是整数的裂项。裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消。 设S =1223344950?+?+?++?
1×2×3=1×2×3
2×3×3=2×3×(4-1)=2×3×4-1×2×3 3×4×3=3×4×(5-2)=3×4×5-2×3×4 …
49×50×3=49×50×(51-48)=49×50×51-48×49×50
3S =1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+49×50×3=49×50×51 S =49×50×51÷3=41650 常用公式:
122334(1)?+?+?++?+ n n =
(1)(2)
3
n n n ++
2222
(1)(21)
1236
+++++=
n n n n
2
3
3
3
3
(1)1232+??
+++=????
n n n 2.
111112
23
34
4950
+
+
++
???? =_________;
[分析与解答]
这题是典型的分数裂项:
211?=1-2
1
3
21?=
2
1-3
1
…
50
491?=
49
1-50
1 原式=1-50
1=
50
49
3.
111
113
35
57
99101
+
+
++
???? =_________;
[分析与解答]
这题是典型的分数裂项:
113?=(1-13
)×
2
1
135
?=(
13
-15
)×2
1
…
1
99101
?=(
199-
1101)×2
1 原式=(1-1
101
)×
2
1=
50101
复杂裂项 4.11
11123
234
345
192021
+
+
++
???????? =_________;
[分析与解答]
对于分数裂项最后只留下第一个与最后一个的差。
1123
??=(
111223-
??)×
21 1234
??=(
1
123
34
-
??)×
2
1
…
1192021
??=(
111920
2021
-
??)×
2
1
原式=2
1(
21
2012
11?-
?)=
840
209
5.
1111135
246
357
202224
+
+
++
???????? =_________
[分析与解答] :原式=
5
311??+
7
531??+…+2321191??+
6421??+…+
24
22201??
=41
(3
11
?-
23
211?)+
4
1(
4
21?-
24
221
?)
=483
40+
2112
65=
340032
28160+
340032
10465=
340032
38625
6.1(12)(123)(1234)(123450)++++++++++++++++ =_________; [分析与解答]
利用等差数列求和公式,再利用例1的结论。 原式=2
1(1×2+2×3+3×4+….+50×51)=
2
1×
3
1×50×51×52=2210
7. 1111
112
123
1234
123450
+
+
+
++
+++++++++++ =_________;
[分析与解答] 1+
3
22?+
4
32?+….+
51
502?=2×(
2
11?+
3
21?+…+
51
501?)=
10051
拓展提高 8.2
2
2
2
2
2
111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)
2345
4849
-
?-?-?-??-?- =_________;
[分析与解答]
:这题是利用平方差公式进行裂项。a 2-b 2=(a+b)(a-b) 1-2
2
1=12-(21)2=(1+
2
1)×(1-
2
1)=
2
3×
2
1
原式=
2
3×
2
1×
3
4×3
2×4
5×
4
3×
5
6×5
4×
6
7×
6
5×….×
49
50×49
48=
2
1×
49
50=
49
25
9.
23
4
50
1(12)
(12)(123)
(123)(1234)
(12349)(12350)
+
+
++
?++?++++?+++++++?++++ =_________;
[分析与解答] 原式=
3
12?+
633?+
10
64?+
15105?+…+
1275122550?
=(-
1
13
1)+(-3
16
1)+(-
6110
1)+(
-
1225
1
1275
1)
=1275
1274
10.1
23
49223
234
2345
23410
+
+
+
++
????????? =_________;
[分析与解答]
2
1=1-
21
3
22
?=
3
213?-=2
1-
3
21?
4
323
??=
4
3214??-=
3
21
?-
4
321
??
….
10
(4329)
????=
10
....432110????-=
9 (4321)
????-
10
(4321)
????
原式=1-10
(4321)
????=1-
3628800
1=3628800
3628799
11.
9998971123
234
345
99100101
+
+
++
???????? =_________;
[分析与解答]
3
2199??=
3
211100??-=
3
21100??-
3
21?=
3
21100??-
3
21?
43298??=4322100??-=432100
??-4
322
??=432100??-431?
5
4397??=
5
433100??-=
5
43100??-
5
433??=
5
43100??-
5
41?
….
101
100991??=
101
1009999100??-=
101
10099100??-
101
1009999??=
101
10099100??-
101
1001?
原式=
321100??+
4
32100??+
5
43100??+….+
101
10099100??-(
3
21?+
4
31?+
5
41?+….+
101
1001?)
=100×2
1×(2
1-10100
1)-(2
1-101
1)
=25-202
1-
2
1+
101
1
=2451101
练习题:
1、14477104952?+?+?++? =_________; [分析与解答]
设S =14477104952?+?+?++? 1×4×9=1×4×7+1×4×2
4×7×9=4×7×(10-1)=4×7×10-1×4×7 7×10×9=7×10×(13-4)=7×10×13-4×7×10 ………….
49×52×9=49×52×(55-46)=49×52×55-46×49×52 9S =49×52×55+1×4×2 S=(49×52×55+1×4×2)÷9=15572 2、
111114
47
710
4952
+
+
++
???? =_________;
[分析与解答] 原式=3
1(1-
52
1)=
52
17
3、
1111135
357
579
192123
+
+
++
???????? =_________;
[分析与解答] 原式=
4
1(
3
11?-
23
211?)=
483
40
分数裂项求和方法总结 (一) 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析:因为111n n -+=11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++(n 为自然数) 所以有裂项公式:111(1)1 n n n n =-++ (二) 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析:1() n n k +型。(n,k 均为自然数) 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ (三) 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析: () k n n k +型(n,k 均为自然数) 11n n k -+=()()n k n n n k n n k +-++=() k n n k + 所以 () k n n k +=11n n k -+
(四) 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析: 2()(2) k n n k n k ++(n,k 均为自然数) 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ (五) 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析:1()(2)(3) n n k n k n k +++(n,k 均为自然数) 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ (六) 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析:3()(2)(3) k n n k n k n k +++(n,k 均为自然数) 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法: 1.看分数分子是否为1; 2.是1时,裂项之后需要整体×首尾之差分之一; 3.不是1时不用再乘; 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
思维训练分类为:浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 (一)用裂项法求 1一型分数求和分析:因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) (n为自然数)所以有裂项公式: n(n 1) 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右)'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析: n(n k) 型。 (n,k 均为自然 数) 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ; n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n(n k) n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析:型(n,k均为自然数)n(n k) k 所以一- n(n k) n n k
(1 1 3 97 99 3200 9603 自然数) n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n (n k )(n 2k ) 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算: 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 (n,k 均为自然数) 【例5】 1 1 计算:1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 (丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] (六)用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和:分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k)
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1)11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2)2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。
知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容,也是数学竞赛的重要内容之一。 分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据,要使计算快 速、准确,关键是掌握运算技巧。对算式认真观察,剖析算是的特点及个数之间的关系,巧妙、灵活的运用运 算定律,合理改变运算顺序,使计算简便易行,这对启迪思维,培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: (1)平方差公式:a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项 法: 例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算:2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222
分数计算一一裂项法 【知识要点】 正确、迅速、灵活、合理地进行整数、小数、分数四则混合运算,是小学生须掌握的技能、技巧之一,计算时必须做到: 1、拿到一题,首先要全面审题,确定运算顺序,这是运算的根本。 2、然后要全面观察题目的结构、特征,分析题中数与数的关系,灵活运算各种定律、性质使 计算简便,这是运算的灵魂。 3、计算时要做到一步一回头,也就是及时检验,这是使你终生受益的习惯。【自主练习】 111 1 1 1_ -11 1 11 2 3 3 4 4 5r T 5 6 6 77 8十十?… 12 2 3 49 50 1111 +?-?++ 1995 19961996 19972007 20082008 ?丄?丄丄 12 20 30 42 56 72 90 7 13 21 31 43 57 73 91 —十-------- 十------- r ------------ r ----------- ~1~------ 十 ------- r ----------- 6 12 20 30 42 56 72 90
二 1 」… J 1 4 4 7 7 10 97 100 1111 1 1 ----- + ------- + ------- + -------- + --------- + --------- 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 11 31 5丄7丄9丄 3 15 35 63 99 2.2.2 ..???丄 21 77 165 1677 1 7 9 11 13 15 1 — 3 1 2 20 30 42 56 小结:求若干个分数之和的计算题,一般可以用通分的办法,但有些计算题,可以 采用裂项的办法,即运用以下这些公式巧妙求出整个算式的和,称为裂项法。 1 9 11 1 3 15 --- ----- -------- "T - ---------- ---- -------- ~T~ ------------- 4 20 30 42 56
分数乘法与分数裂项法
分数乘法与分数裂项法 【专题解析】 我们知道,分数乘法的运算是这样的:分数乘分数,应该分子乘分子,分母乘分母(当然能约分的最好先约分在计算)。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧,它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法,达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律:这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时,一定要仔细分析另一个因数的特点,尽量进行变换拆分,从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分:除了把公因数约简外,对于分子、分母中含有的公因式,也可直接约简为1。 进行分数的乘法运算时,要认真审题,仔细观察运算符号和数字特点,合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质,当变成符合运算定律的形式时,才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 例1.计算: (1)4544×37 (2)2004×2003 67 分析与解:观察这两道题的数字特点,第(1)题中的45 44 与1只相差1个分数单位,如果把4544写成(1-45 44 )的差与37相乘,再运用乘法分配律可以使计算简便。同样,第(2)题 中可以把整数2004写成(2003+1)的和与200367 相乘,再运用
乘法分配律计算比较简便。 【举一反三】 计算: (1)4443×37 (2)5756×37 (3)5756 × 56 例2.计算: (1)72174×2417 (2)7315 1×81 分析与解:(1)72174把改写成(72 +174 ),再运用乘法分 配律计算比常规方法计算要简便得多。(2) 73151把改写成(72 +1516),再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 【举一反三】 计算: (1)2074×107 (2)16136×32 13 (3)133 57×8 1 (4)64171×9 1 【小试牛刀】 计算: (1)2928 ×37 (2)29 13×28 【典型例题】——乘法交换律的巧用
分数裂项求和标准个性 化教案 公司内部编号:(GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
变形裂项:先变形为直接裂项。 【典型例题】 例1 计算: 观察:直接裂项2 11121121-=?= 31 2132161-=?= 41 31431121-=?= ............. = 201 ( )()=?1( )-( ) ( )()=?= 1 301( )-( ) 解:原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65 例2 计算:7217 561542133011209127651-+-+-+- 观察:直接裂项3121323265+=?+= 41 314343127+=?+= 920= =?+545451 41+ ............... ()() 115630+==?( )+( ) ()( ) 136742+==?( )+( ) 解:原式) ()()()()()()(9 18 18 17 17 16 16 15 151414131312 11+-+++-+++-+++-= 例3.+?+?+?7 52532312……+ 1192 ? 变形裂项: .............. 解:原式)11 1 91()7 15 1()5 13 13 1 11-++-+-+-= ()( 例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍,“补一退一”
解:原式128 1 12811281641321161814121 - +++++++=)( 例5 1 101 1811611411212 2222-+-+-+-+- 由)()(2 2 b a b a b a +?-=-知,可以将原式变形为: 解:原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试: 【我能行】 1. +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2.521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结 (一) 用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和 分析:因为11 1n n -+=11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++(n 为自然数) 所以有裂项公式:111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960) +++ ???的和。 (二) 用裂项法求1 () n n k +型分数求和 分析:1 ()n n k +型。(n,k 均为自然数) 因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ????? (三) 用裂项法求 () k n n k +型分数求和 分析: () k n n k +型(n,k 均为自然数) 11 n n k -+=()()n k n n n k n n k +-++=()k n n k +
、裂项法 小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出:两个分母不同的分数相加减, 自然数,公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题 例1 计算: 分析与解此题按常规方法先通分后再求和,显然计算起来十分繁杂 是 1 ,而分母又都是相邻两个自然数的积,符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式,就得到下面12 个等式:
上面12 个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法. 例2 计算: 分析与解这里的每一项的分子是1,分母不是相邻两个自然数的积,但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和,这使我们联想到计算公式:1+
当n分别取1,2,3,?,100时,就有 即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式,略加变形就得到例 1 的形式,仿照例 1 的方法便可求出解来
分析与解猛一看,此题似乎无法下手,而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过,减法是加法的逆运算.换句话说,任一加法算式都可以改为 这个题的答案是否只有这一个呢?如果不只一个,怎样才能找出所有答案呢?为此,我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数,且 当t=1 时,x=7,y=42,当t=2 时,x=8,y=24,当t=3 时, x=9,y=18,当t=4 时,x=10,y=15,当t=6 时,x=12,y=12, 当t=9 时,x=15,y=10,
第二讲分数 1.2NT 1.2 分数计算(裂项法) 知要点和基本方法 分数算是小学数学的重要内容,也是数学的重要内容之一。 分数算同整数算一既有知要求又有能力要求。法、定律、性是行算的依据,要使算快 速、准确,关是掌握运算技巧。算式真察,剖析算是的特点及个数之的关系,巧妙、灵活的运用运 算定律,合理改运算序,使算便易行,启迪思,培养合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: ( 1)平方差公式:a2 b2 ( a b) ( a b) ( 2)等差数列求和公式:a1 a2 a3 a n 1 a n 1 a1 a n n 2 ( 3)分数的拆分公式:① 1 1) = 1 - 1 n(n n n 1 ② 1 d) = 1 ×( 1 - 1 ) n(n d n n d 裂项法: 例1. 算: 1 + 1 + 1 +??+ 99 1 1 2 2 3 3 4 100 11 1 例4.算:++??+ 10×1111×1219× 20 例2. 1 1 1 算: 10× 11 + 11×12 +??+ 59× 60 例5. 1 1 1 1 算2×3 + 3×4 +??+6× 7 + 7× 8 例3.算:21 + 1 6+12 1 +20 1 +30 1 +42 1
六年级第一学期NT 例6. 算: 1+1 + 1 + 1 + 1 2 6 12 20 例 10. 算: 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 例7. 算:1 1 1 1 1 1 1 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 例 11. 算: 1 1 1 1 1 1 8 24 48 80 120 168 例 8.算:1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 315 3563 99 143 例 9. 算: 1 4 1 7 1 10 1 13 1 1 4 7 10 13 16 例 12. 算:1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 +??+ 1 + 2 +??+100 + 99 +??+ 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 100 100 100 100 100 例 13. 算: 1+ 1 + 1 1 + 1 1 3 +??+ 1 2 3 1 1 2 2 3 2 4 2005 例 14.算: 2×( 1- 1 2)×( 1- 1 2)×( 1-1 2)×??×(1- 1 2) 2005 2004 2003 2
2008年10月4日 六年级 基本公式:()111n n+1n n 1-+=; 推广形式:()111n n+d d n n d ??-??+?? 1= 例1、计算:11111122334989999100+++++?????=(1-21)+(21-31)+(31-41)+……+(991-1001)=1-1001=100 99。 例2、计算: 1111112612203042+++++=76; 例3、计算:1111111357911104088154238340+++++=20 336; 例4、计算:=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意:拆分未必拆成两个分数之差,有的时候,需要拆成两个分数之和;可以利用公式: 11m+n m n mn += 例5、计算:1111(1)(1)(1)(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示:1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解:原式=1324359112233441010????????????……=111210?=1120 例6、计算:60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答:因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ,所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算:111116425672-+++=9 8;
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1 a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1 (1)(2) n n n ?+?+,1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111[] (1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++
1111 [] (1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1) 11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2) 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 【例 1】 11111 1223344556 ++++=????? 。 【巩固】 111 (101111125960) +++ ???
分数乘法与分数裂项法 【专题解析】 我们知道,分数乘法的运算是这样的:分数乘分数,应该分子乘分子,分母乘分母(当然能约分的最好先约分在计算)。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧,它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法,达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律:这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时,一定要仔细分析另一个因数的特点,尽量进行变换拆分,从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分:除了把公因数约简外,对于分子、分母中含有的公因式,也可直接约简为1。 进行分数的乘法运算时,要认真审题,仔细观察运算符号和数字特点,合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质,当变成符合运算定律的形式时,才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 例1.计算:(1)4544×37 (2)2004×2003 67 分析与解:观察这两道题的数字特点,第(1)题中的4544与1只相差1个分数单位,如果把4544写成(1-45 44 ) 的差与37相乘,再运用乘法分配律可以使计算简便。同样,第(2)题中可以把整数2004写成(2003+1)的和与 2003 67 相乘,再运用乘法分配律计算比较简便。 【举一反三】 计算:(1) 4443×37 (2)5756×37 (3)5756×56 例2.计算:(1)72174×2417 (2)73 151×81 分析与解:(1)72174把改写成(72 +174),再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。(2)73151 把 改写成(72 +15 16 ),再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 【举一反三】 计算:(1)2074×107 (2)16136×3213 (3)13357×81 (4)64171×9 1 【小试牛刀】
一、裂项法 小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出:两个分母不同的分数相加减, 自然数,公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式: 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题. 例1计算: 分析与解此题按常规方法先通分后再求和,显然计算起来十分繁杂. 是1,而分母又都是相邻两个自然数的积,符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12个加数也分别写成两个单位分数之差的形式,就得到下面12个等式:
上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了 像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法. 例2 计算: 分析与解这里的每一项的分子是1,分母不是相邻两个自然数的积,但都是从1开始的连续若干个自然数的和,这使我们联想到计算公式: 1+
当n分别取1,2,3,…,100时,就有 即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式,略加变形就得到例1的形式,仿照例1的方法便可求出解来.
分析与解猛一看,此题似乎无法下手,而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过,减法是加法的逆运算.换句话说,任一加法算式都可以改为 这个题的答案是否只有这一个呢?如果不只一个,怎样才能找出所有答案呢?为此,我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y都是自然数,且 当t=1时,x=7,y=42, 当t=2时,x=8,y=24, 当t=3时,x=9,y=18, 当t=4时,x=10,y=15, 当t=6时,x=12,y=12, 当t=9时,x=15,y=10,
分数的裂项求和 月 日 姓 名 【知识要点】 有一类型的分数计算题目有以下特征:①分子相同;②分母中是乘法,且首尾相同,环环相扣,差相等。 此列分数的和=(头-尾)× 1差 如:1111512 ??=-? ??? 一般地利用下面的等式,巧妙地计算一些分数求和的问题: ① ()11111n n n n =-++ ②()11k n n k n n k =-?++(推倒过程:()()()1 1n k n k n n k n n k n n k n n k +-=-=+?+?+?+) 【经典例题】 例1 11111223344950++++???? 例2 1111131535399483+++++ 例3 15111092612110++ ++ 例4 579111315171921231612203042567290110132-+-+-+-+-+ 例5 11111121231234123100+ ++++++++++++++
随堂小测 姓 名 成 绩 1.11111 23981223349899++++???? 2. 22222217716516772021+++++ 3.151******** 71726122090+++++ 4.1791113151713122030425672+- +-+-+ 5.50 ...43211......4321132112111+++++++++++++++
课后作业 姓 名 成 绩 1. 111124466898100++++???? 2.11111111111315 171921232527612203042567290++++++++ 3.1511198926122090+++++ 4.15791151261220305642+- +--- 5. 109876543211......543211432113211+++++++++++++++++++++
本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即: 1(1)(2)n n n ?+?+,1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 裂差型裂项的三大关键特征: (1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算: 常见的裂和型运算主要有以下两种形式: (1)11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? (2)2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。 知识点拨 教学目标 分数裂项计算
分数计算——裂项法 裂项一: 1 n×(n+1) = 1 n- 1 n+1 例: 1 6= 1 2×3 = 1 2- 1 3 1 110= 1 10×11 = 1 10- 1 11 应用1:1 2+ 1 6+ 1 12+ 1 20+…+ 1 2450 裂项二: 1 n×(n+d) = 1 d×( 1 n- 1 n+d ) 例: 1 3×5 = 1 2×( 1 3- 1 5) 1 4×9= 1 5×( 1 4- 1 9) 应用2: 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +…+ 1 1997×1999 裂项三: 1 n×(n+1)×(n+2) = 1 2×[ 1 n×(n+1) - 1 (n+1)×(n+2) ] 例: 1 1×2×3 = 1 2×( 1 1×2 - 1 2×3 ) 1 11×12×13 = 1 2×( 1 11×12 - 1 12×13 ) 应用3: 1 1×2×3 + 1 2×3×4 +…+ 1 9×10×11 裂项四: 1 n2-1 = 1 2×( 1 n-1 - 1 n+1 ) 例: 1 22-1 = 1 2×( 1 2-1 - 1 2+1 )= 1 2×(1- 1 3) 1 102-1 = 1 2×( 1 10-1 - 1 10+1 )= 1 2×( 1 10- 1 11) 应用4: 1 22-1 + 1 42-1 + 1 62-1 +…+ 1 1002-1
应用5:1+ 1 1+2 + 1 1+2+3 + 1 1+2+3+4 +…+ 1 1+2+3+…+10 应用6:1-5 6+ 7 12- 9 20+ 11 30- 13 42+ 15 56- 17 72 应用7:计算 (1+1 2)×(1+ 1 4)×(1+ 1 6)×…×(1+ 1 10) ×(1-1 3)×(1- 1 5)×…×(1+ 1 11) 应用8:5 14+ 5 84+ 5 204+ 5 374+ 5 594+ 5 864 基础夯实: 1. 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 2001×2002 2. 4 1×5 + 4 5×9 + 4 9×13 + 4 13×17 +…+ 4 25×29 3. 1 12+ 1 20+ 1 30+ 1 42+ 1 56+ 1 72+ 1 90 4. 1998 1998×1999 + 1998 1999×2000 + 1998 2000×2001 +…+ 1998 2049×2050